模糊逻辑模糊集和模糊逻辑[43]概念起源于1965年，它是由美国控制论专家L.A. Zadeh 首先提出的. 模糊集合论是经典集合论通过引入所谓隶属函数的概念发展起来的，目前已经建立起一系列有关模糊数学的基础理论和应用方法[51-54]. 其基本思想是利用数学语言来描述并解释具有不确定性（模糊性）的自然语言、自然现象以及不能或很难建立其精确的数学模型的物理过程，使之被纳入到定量分析理论中，再利用数学理论和工具去解决这些问题，达到更加符合实际的目的. 由于较之分明集合，模糊集合能更好地反映、描述和刻划客观实际问题，自它诞生之日起，不仅得到了数学工作者、理论分析家的推崇，而且也得到应用专家的钟爱. 随着计算机技术的飞速发展，模糊集理论和模糊逻辑在解决实际问题等方面已显示出巨大的优越性，广泛并成功地运用于控制理论、优化过程、聚类分析、模式识别、知识表示、专家系统及信号与图象的分析处理等诸多领域[55-65].在本文的讨论中，除非特别说明，一直规定U 是一个带有“+”运算的Abelian 群. U 的最典型的例子是d 维Euclidean 空间d R 和d 维离散数值空间d Z （d 是一个非负整数）. 定义U 中任意元素x 和y 的差y x -为1-+y x ，其中1-y 表示元素y 在U 中的逆元.1 模糊集合包含关系的模糊化每一个映射]1,0[:→U F μ确定U 上的一个模糊（子）集F ，对任意U x ∈，称]1,0[)(∈x F μ为点x 属于集合F 的程度，称F μ为模糊集F 的隶属函数. F μ和F 之间是相互唯一确定的. 以后，我们将对F μ和F 不加区别，统称其为U 上的一个模糊集. 记U U ]1,0[)(=℘为U 上的模糊集的全体.集合U 的幂集)(U P 可以嵌入到)(U ℘中. 事实上，对任意)(U P A ∈，令⎩⎨⎧∉∈=Ax A x x F A ,0,1)( 则)(U F A ℘∈，常称A F 为集合A 的特征函数. 在)(U ℘上定义偏序“⊆”：)()(2121x F x F F F ≤⇔⊆，U x ∈，)(,21U F F ℘∈则)(U P 和)(U ℘都构成偏序集，且还是完备格. 若规定)(U F ℘∈的补“'”为)(1)('x F x F -=，U x ∈那么，)(U P 和)(U ℘都形成完备的布尔格.1.1 模糊逻辑运算定义1.1 模糊合取C 是从2]1,0[]1,0[]1,0[=⨯到]1,0[的二元运算，满足（1）单调性：C 关于两个变量均是非降的；（2）边界条件：0)0,1()1,0()0,0(===C C C ，1)1,1(=C .若模糊合取C 还满足（3）]1,0[,)1,(),1(∈==s s s C s C ，则称C 是一个三角半范（简称-t 半范）. 满足（4）交换律：]1,0[,),,(),(∈=t s s t C t s C ；（5）结合律：]1,0[,,),),,(()),(,(∈=r t s r t s C C r t C s C的三角半范C 称为一个三角范数，或-t 范数.称满足s s s C <),(，)1,0(∈s 的连续的-t 范数为一个Archimedean 范数. 定义1.1中的边界条件是为了确保模糊合取C 是Boolean 合取运算的扩张，其中的单调性是使得C 具有逻辑意义. 常用的、比较典型的模糊合取运算有⎩⎨⎧<==1),max(,01),max(),,min(),(0t s t s t s t s C z Lukasiewic 运算：)1,0m ax (),(1-+=t s t s C)(2),(2st t s st t s C -+-= 概率积运算：st t s C =),(3⎪⎩⎪⎨⎧==<+<-+===1,120),/(0,0),(224t s t s st t s st t s t s C Brouwer del o G -&&运算：),m in(),(5t s t s C =Dienes Kleene -运算： ⎩⎨⎧>+≤+=1,1,0),(t s t t s t s C h Reichenbac 运算：⎩⎨⎧>+-+≤+=1,/)1(1,0),(t s s t s t s t s C Hamacher 族运算：当1>r 时，⎪⎩⎪⎨⎧=>-+-+=0,00,))(1(),(s s st t s r r t t s C 当10≤≤r 时，⎪⎩⎪⎨⎧=>+--++-=0,00,)1)(1()1(),(s s st t r r rt st r t s C在这些模糊合取运算中，0C 到5C 都是-t 范数（其中1C 到4C 还是Archimedean 范数），而且有543210C C C C C C ≤≤≤≤≤且对任意-t 范数T ，有50C T C ≤≤最后三种模糊合取运算都不满足交换律，因而它们都不是-t 范数.直接由定义可知，如果C 是一个模糊合取，则对任意的]1,0[∈s ，均有0),0()0,(==s C s C .引理1.1 设C 是一个Archimedean 范数，则存在常数)1,0[∈a ，单调递增函数]1,[]1,0[:a f →，a f =)0(，使得))]()(),0([m ax (),(1t f s f f f t s C -=，]1,0[,∈t s如果存在常数)1,0[∈b ，且]1,[]1,0[:b g →是也单调递增函数，b g =)0(，则))]()(),0([m ax (),(1t g s g g g t s C -=，]1,0[,∈t s当且仅当存在0>k ，对任意]1,0[∈s ，有k s g s f )()(=.引理表明，任意Archimedean 范数均可以唯一由一个递增函数表示，常称f 为C 的生成函数.定义1.2 模糊析取D 是从2]1,0[到]1,0[的函数，满足（1）单调性：D 关于两个变量均是非降的；（2）边界条件：0)0,0(=D ，1)1,1()0,1()1,0(===D D D .若模糊析取D 还满足（3）]1,0[,)0,(),0(∈==s s s D s D则称D 为一个三角共轭半范（或称-s 半范）. 满足（4）交换律：]1,0[,),,(),(∈=t s s t D t s D ；（5）结合律：]1,0[,,),),,(()),(,(∈=r t s r t s D D r t D s D的三角共轭半范D 被称之为一个三角共轭范数（-t 共轭范数，或-s 范数）.定义 1.3 设ν是]1,0[上的一个递减函数，满足1)0(=ν，0)1(=ν，且ν是对合的（s s =)(2ν，]1,0[∈s ），则称ν是]1,0[上的一个“负”.值得注意的是，“负”是不唯一的. s s -=1)(ν是]1,0[上的一个典型的“负”，通常称之为“自然负”. 除此之外，在]1,0[上还存在许多“负”，例如ww w s s s 111)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=λν，]1,0[∈s ，1->λ，0>w 就是其中一类“负”.性质1.1 设ν是]1,0[上的一个负，则ν是一个严格递减的连续函数. 而且还有)(sup )inf (i J i i J i t t νν∈∈=，)(inf )sup (i Ji i J i t t νν∈∈= 其中J 为任意指标集，]1,0[}{⊆∈J i i t .证明 如果ν不是严格递减的，则存在]1,0[,∈t s ，t s <，使得)()(t s νν≤. 由ν的对合性有，))(())((s t νννν≤，即s t ≤，矛盾.如果ν在]1,0[上不连续，设]1,0[0∈s 为ν的一个不连续点. 若)1,0(0∈s ，则]1,0[)(lim 10∈=-→t s s s ν，]1,0[)(lim 20∈=+→t s s s ν，且12t t <. 从而存在),(12t t t ∈，使对任意]1,0[∈s ，t s ≠)(ν. 然而t t =))((νν，]1,0[)(∈t ν，矛盾. 如果}1,0{0∈s ，证明是容易的.易知，)inf ()(sup i J i i J i t t ∈∈≤νν，)(inf )sup (i J i i J i t t νν∈∈≤. 如果)inf ()(sup i Ji i J i t t ∈∈<νν，则i Ji i J i i J i i J i t t t t ∈∈∈∈=≤<inf )(inf ))(sup (inf 2ννν，这是不可能的. 因此得到 )(sup )inf (i Ji i J i t t νν∈∈= 同理可以证明)(inf )sup (i Ji i J i t t νν∈∈= ■性质1.2 设f 是从]1,0[到]1,0[上的一个严格递增函数，0)0(=f ，则))]}()1((,1m in[,0m ax {)(1s f f f s -=-ν是]1,0[上的一个负.证明 仅需证明ν满足单调性，边界条件（1)0(=ν，0)1(=ν）和对合性. 直接验证即可. ■一个模糊合取C 和一个模糊析取D 被称为关于给定的负ν是互为对偶的，如果C 和D 满足]1,0[,))),(),(((),(∈=t s t s C t s D ννν事实上，任意给定一个模糊合取C 和一个负ν，)))(),(((),(t s C t s D ννν=是一个模糊析取. 并且，这样的C 和D 是互为对偶的. 根据前面所列-t 范数和模糊合取，给定一个负，容易得到与之对偶的-s 范数和模糊析取.定义1.4 模糊蕴涵I 是从2]1,0[到]1,0[的函数，满足（1）I 关于第一个变量是非增的，而关于第二个变量是非降的；（2）1)1,1()1,0()0,0(===I I I ，0)0,1(=I .如果I 是一个模糊蕴涵，则对任意]1,0[∈s ，有1),0()1,(==s I s I .设g 是]1,0[上的一个函数，ν是]1,0[上的一个负，称函数ννg g =*为函数g的负函数，简称*g 为g 的负. 事实上，在对偶意义下，*g 与g 是互为负函数的. 特别地，给定一个负ν，一个模糊合取C 和一个模糊蕴涵I ，分别称)))(,((),(*t s C t s C νν=，)))(,((),(*t s I t s I νν=，]1,0[,∈t s为运算C 和I 的负.定理1.1 设ν是]1,0[上的一个负，]1,0[]1,0[:2→C ，]1,0[]1,0[:2→I ，则（1）C 是]1,0[上的一个模糊合取当且仅当*C 是]1,0[上的一个模糊蕴涵；（2）I 是]1,0[上的一个模糊蕴涵当且仅当*I 是]1,0[上的一个模糊合取. 证明 直接验证即可证明. ■设ν是一个负，C 是一个模糊合取，则*C 是一个模糊蕴涵，通常称之为模糊合取C 关于负ν的模糊-ν蕴涵，记为νI .定义 1.5给定]1,0[上的一个模糊合取C ，如果存在]1,0(∈a ，使得0),1(=a C ，则称a 为C 的一个零因子.换句话说，如果对任意的]1,0(∈s ，0),1(>s C ，则C 没有零因子. 定义1.6 给定]1,0[上的一个模糊合取C ，令}),(|]1,0[sup{),(t r s C r t s I ≤∈=，]1,0[,∈t s （2-1） 称I 为模糊合取C 的剩余.需要指出的是，由（2-1）定义的I 并不一定是模糊蕴涵. 可以证明，如果C 没有零因子，则这样的I 是一个模糊蕴涵，称之为模糊合取C 的剩余蕴涵，记为R I .任给一个没有零因子的模糊合取，利用（2-1），可以很容易地计算出其剩余蕴涵. 直接计算表明，当取负s s -=1)(ν时，Brouwer del o G -&&合取运算的负（-ν蕴涵）是Dienes Kleene -合取运算的剩余蕴涵；Dienes Kleene -合取运算的负（-ν蕴涵）是Brouwer del o G -&&合取运算的剩余蕴涵. h Reichenbac 合取运算的负（-ν蕴涵）是概率积合取运算st t s C =),(的剩余蕴涵；概率积合取运算的负（-ν蕴涵）则是h Reichenbac 合取运算的剩余蕴涵. 而z Lukasiewic 合取运算和Hamacher 族合取运算的负分别为它们对应的剩余蕴涵运算，也就是说，这两种运算的-ν蕴涵和-R 蕴涵是一致的.一般地，给定一个模糊蕴涵I ，)0,()(s I s N =不一定是负，因为N 并不一定满足对合律. 但是，当C 满足s s C =)1,(，]1,0[∈s 时，)0,()(s I s N ν=是一个负，而且)()(s s N ν=.定理1.2 设C 是]1,0[上的一个Archimedean 范数，则)0,()(s I s N R =是]1,0[上的一个负.证明 由R I 的定义及单调性知，ν是递减的，且1)0,0()0(==R I N ，0)0,1()1(==R I N由C 是一个Archimedean 范数，则存在常数)1,0[∈a ，单调递增函数]1,[]1,0[:a f →，a f =)0(，使得))]()(),0([m ax (),(1t f s f f f t s C -=，]1,0[,∈t s对任意]1,0(∈s ，}0),(|]1,0[sup{)0,()(≤∈==r s C r s I s N R)}0()]()(),0(max[|]1,0[sup{f r f s f f r ≤∈=)}0()()(|]1,0[sup{f r f s f r ≤∈=)}(/)0()(|]1,0[sup{s f f r f r ≤∈=)]}(/)0([|]1,0[sup{1s f f f r r -≤∈=)](/)0([1s f f f -=s s f f s f f f f f f s I I s N R R ====---))(()))](/)0(((/)0([)0),0,(()(1112 当0=s 时，s s N =)(2是显然的.因此，)0,()(s I s N R =是]1,0[上的一个负. ■1.2 模糊集合的包含度设)(,U P B A ∈，则有下列等价结论：B y A y U y B A ∈∈∍∈∃⇔∅≠&,I1))(),((,=∈∃⇔y F y F C U y B A （2-2） 及B y A y U y B A ∈⇒∈∈∀⇔⊆,)()(,y F y F U y B A →∈∀⇔1))(),((,=∈∀⇔y F y F I U y B A （2-3） 这里，C 和I 分别表示Boolean 逻辑运算中的合取),min(),(b a b a C =和蕴涵b a b a I →=),(.用B A ⇑代表∅≠B A I ，表示集合A “撞击”B . 我们扩展这种关系以及两个集合的包含关系到模糊集合上.定义1.7 设)(,U G F ℘∈，用sup 取代（2-2）中的∃（存在），定义模糊集合G “撞击”模糊集F 的程度（F 与G 相交的程度）为||F G ⇑，))(),((sup |:|y F y G C F G Uy ∈=⇑同样，以inf 取代（2-3）中的∀（任意），定义模糊集合G 包含于模糊集合F 中的程度为||F G ⊆，))(),((inf |:|y F y G I F G Uy ∈=⊆ 这里，C 和I 分别表示某种给定的模糊合取和模糊蕴涵运算.下列性质是容易验证的.性质1.3 设)(,U G F ℘∈，则有1||≤⇑F G ，1||≤⊆F G如果)(,U G F ℘∈均是分明集合，则1||=⇑⇔∅≠F G G F I ，1||=⊆⇔⊆F G F G值得注意的是，对模糊集)(,U G F ℘∈，若按)()(x F x G F G ≤⇔⊆，x U ∈定义模糊集的包含关系，则1||=⊆⇔⊆F G F G 一般是不成立的. 但是，我们有性质1.4 设模糊蕴涵I 满足t s t s I ≤⇔=1),(，则1||=⊆⇔⊆F G F G证明 ⇒：对任意U x ∈，由)()(x F x G F G ≤⇔⊆，知1))(),((=x F x G I ，因而1))(),((||=∧=⊆∈x F x G I F G Ux ⇐：由1||=⊆F G ，对任意U x ∈，有1))(),((=x F x G I ，从而F G ⊆. ■ 容易验证，如果没有零因子的模糊合取C 满足s s C =)1,(，]1,0[∈s ，I 为C的剩余蕴涵，则性质 1.4成立. 特别地，如果取I 为Brouwer del o G -&&模糊合取min =C 的剩余蕴涵，则该定理自然成立.性质1.5 设)(,U G F ℘∈，则有（1）||||2121F G F G G G ⇑≤⇑⇒⊆，||||2121F G F G F F ⇑≤⇑⇒⊆；（2）||||1221F G F G G G ⊆≤⊆⇒⊆，||||2121F G F G F F ⊆≤⊆⇒⊆；（3） 对任意0x U ∈，||||00F G F G x x ⇑=⇑，||||00F G F G x x ⊆=⊆，其中0x G ,0x F 分别表示F ,G 沿点0x 的平移模糊集，)()(00x x G x G x -=，)()(00x x F x F x -=，x U ∈.证明 由模糊蕴涵C 和模糊合取I 的单调性，（1），（2）的证明是容易的. 下面证明（3）.))(),((sup ||0000y F y G C F G x x Uy x x ∈=⇑ ))(),((sup 00x y F x y G C Uy --=∈))'(),'((sup 0'y F y G C Ux y ∈+=||))'(),'((sup 'F G y F y G C Uy ⇑==∈))(),((inf ||0000y F y G I F G x x Uy x x ∈=⊆ ))(),((inf 00x y F x y G I Uy --=∈ ))'(),'((inf 0'y F y G I Ux y ∈+= ||))'(),'((inf 'F G y F y G I U y ⊆==∈ ■性质1.6 设1J ，2J 为两个任意指标集，1}{J i i F ∈，)(}{2U G J j j ℘⊆∈，若定义)(sup ))((11x F x F i J i i J i ∈∈=Y ，)(inf ))((11x F x F i J i i J i ∈∈=I ，U x ∈，)(,U G F ℘∈，则有 i J i i J i F G F G ⇑≥⇑∈∈11sup Y ，F G F G j J j j J j ⇑≥⇑∈∈22sup Y i J i i J i F G F G ⇑≤⇑∈∈11inf I ，F G F G j J j j J j ⇑≤⇑∈∈22inf I i J i i J i F G F G ⊆≥⊆∈∈11sup Y ，F G F G j J j j J j ⊆≤⊆∈∈22inf Y i J i i J i F G F G ⊆≤⊆∈∈11inf I ，F G F G j J j j J j ⊆≥⊆∈∈22sup I 证明 利用||F G ⇑和||F G ⊆的定义，直接验证即可证明. ■1.3 模糊集的-C Minkowski 和扩张原理是将分明映射转化为模糊映射的重要桥梁，它在模糊集合论中具有重要的意义. 本节将利用扩张原理定义模糊集的-C Minkowski 和运算.扩张原理 设)(U ℘，)(V ℘分别为非空集U ，V 上的模糊集合全体，p 为一个非负整数，每一个从p U 到V 的p 元（点态）映射f 均可以以如下方式扩展为从p U )(℘到)(V ℘的p 元模糊映射)()(:V U f p ℘→℘. 对任意)(U F i ℘∈，p i ,,2,1K =，V y ∈，))(,,,(21y F F F f p K},),,,(|))(,),(),((sup{211111U x y x x x f x F x F x F C i p p p p p ∈==--K K若y x x x f p =),,,(21K 在p U 上无解，则规定0))(,,,(21=y F F F f p K ，其中的C 是]1,0[上一给定的满足结合律的模糊合取运算.例如，设C 为给定的某种模糊合取运算. 记*为U 上的某种分明运算（比如：加、减或乘运算），C *为对应运算*的模糊-C 扩张，则对U 上的两个模糊集)(,21U F F ℘∈，有)(21U F F C ℘∈*，},,|))(),((sup{))((2121112221U x x x x x x F x F C x F F C ∈*==*，U x ∈ 特别地，取+=*，定义模糊集1F 与2F 的模糊-C Minkowski 和为模糊集)(21U F F C ℘∈⊕，具体地，对任意U x ∈，))(),((sup ))(),((sup ))((1211222121y F y x F C x F x F C x F F Uy x x x C -==*∈+=如果1F 和2F 都是分明集，则21F F C *也是一个分明集，并且2121x x x F F x C *=⇔*∈，11F x ∈，22F x ∈在下一章中，我们将继续探讨模糊集的-C Minkowski 和运算及其性质.2 模糊逻辑运算间的伴随关系在以下的讨论中，一直记inf 和min 为∧，记sup 和max 为∨. 定义2.1 设C 和I 分别是]1,0[上的模糊合取和模糊蕴涵运算，如果对每个]1,0[∈a ，任意]1,0[,∈t s ，均有),(),(t a I s t s a C ≤⇔≤ （2-4） 则称),(⋅a I 和),(⋅a C 在]1,0[上满足伴随关系，也称模糊蕴涵I 和模糊合取C 在]1,0[上满足伴随关系.注意：]1,0[上满足伴随关系的两个二元函数I 和C 并不一定是模糊蕴涵和模糊合取.定理2.1 如果]1,0[上的模糊蕴涵I 和模糊合取C 满足伴随关系，则对任意的]1,0[,∈t s ，有（1）)),(,()),(,(t s C s I t t s I s C ≤≤；（2）}),(|]1,0[{),(t r s C r t s I ≤∈∨=；（3）)},(|]1,0[{),(r s I t r t s C ≤∈∧=；（4）s s I s s C =⇔=),1(),1(.证明 （1）：在（2-4）中，取),(r s I t =，则有r r s I s C ≤)),(,(；取),(t s C r =，则有)),(,(t s C s I t ≤. 从而)),(,()),(,(t s C s I t t s I s C ≤≤（2）：}),(|]1,0[{)},(|]1,0[{),(t r s C r t s I r r t s I ≤∈∨=≤∈∨=.（3）：)},(|]1,0[{}),(|]1,0[{),(r s I t r r t s C r t s C ≤∈∧=≤∈∧=.（4）：由（2）、（3），直接可以得到（4）的结论. ■ 根据定理 2.1，给定一个模糊合取C 和模糊蕴涵I ，如果),(C I 满足伴随关系，则C 和I 可以相互确定. 下面的定理表明，这样的C 和I 相互之间还是唯一确定的.定理 2.2 设模糊蕴涵I 和模糊合取i C 分别都满足伴随关系，2,1=i ，则21C C =. 类似地，设模糊蕴涵i I 和模糊合取C 分别满足伴随关系，2,1=i ，则21I I =.证明 设),(1C I ，),(2C I 都满足伴随关系，则对任意]1,0[,,∈r t s ，有),(),(1r s I t r t s C ≤⇔≤，),(),(2r s I t r t s C ≤⇔≤从而有r t s C r t s C ≤⇔≤),(),(21因此，对任意的]1,0[,∈t s ，),(),(21t s C t s C =即21C C =.同理可以证明定理的第二部分. ■一般来讲，给定一个模糊合取C ，若通过（2-1）得到的I 为其剩余蕴涵， 那么，),(C I 并不一定满足伴随关系. 但是，我们有定理 2.3 模糊蕴涵I 和模糊合取C 满足伴随关系当且仅当I 是模糊合取C 的剩余蕴涵，并且C 关于第二个变量是下半连续的.证明 设),(C I 是一对伴随关系，则对任意]1,0[,,∈r t s ，有),(),(r s I t r t s C ≤⇔≤因而),()},(|]1,0[{}),(|]1,0[{r s I r s I z z r z s C z =≤∈∨=≤∈∨ 对任意的]1,0[,,∈i t r s ，J i ∈，),(),(r s I t r t s C i Ji i J i ≤∨⇔≤∨∈∈ J i r s I t i ∈∀≤⇔),,(J i r t s C i ∈∀≤⇔,),(r t s C i Ji ≤∨⇔∈),( 因而),(),(i Ji i J i t s C t s C ∈∈∨=∨ 即C 关于第二个变量是下半连续的.反之，对任意的]1,0[,,∈r t s ，设}),(|]1,0[{),(t z s C z t s I r ≤∈∨=≤，则 t t z s C z s C t z s C z s C r s C =≤∨=≤∈∨≤}),(|),({})),(|]1,0[{,(),( 如果t r s C ≤),(，由I 是C 的剩余，立即得),(t s I r ≤. 这就证明了),(C I 是一对伴随关系. ■定理 2.4 设无零因子的模糊合取C 关于第二个变量是下半连续的，则存在唯一一个模糊蕴涵I ，使得),(C I 满足伴随关系. 同样地，给定一个模糊蕴涵I ，如果I 关于第二个变量是上半连续的，且对任意)1,0[∈t ，均有1),1(<t I ，则存在唯一一个模糊合取C ，使得),(C I 满足伴随关系.证明 对任意]1,0[,,∈r t s ，令}),(|]1,0[{),(t z s C z t s I ≤∈∨=则由C 无零因子知，I 是一个模糊蕴涵.若r t s C ≤),(，则由I 的构造形式，直接有),(r s I t ≤. 若),(r s I t ≤，即}),(|]1,0[{r z s C z t ≤∈∨≤，由C 关于第二个变量是下半连续的及C 的单调性，有})),(|]1,0[{,(),(r z s C z s C t s C ≤∈∨≤r r z s C z z s C =≤∈∨=}),(],1,0[|),({因此，),(C I 满足伴随关系. I 的唯一性由定理2.2直接得到.定理的第二部分类似地可以证明. ■定理2.5如果模糊蕴涵I 和模糊合取C 满足伴随关系，则对每一个]1,0[∈s 和任意]1,0[}{⊆∈J i i t ，均有),(),(i J i i J i t s I t s I ∈∈∧=∧，),(),(i Ji i J i t s C t s C ∈∈∨=∨ 也就是说，对每一个]1,0[∈s ，),(⋅s I 是]1,0[上的一个上半连续函数，而),(⋅s C 是]1,0[上的一个下半连续函数.证明 由),(C I 满足伴随关系，则对任意]1,0[,∈r s 和]1,0[}{⊆∈J i i t ，i Ji i J i t r s C t s I r ∈∈∧≤⇔∧≤),(),( J i t r s C i ∈∀≤⇔，),(J i t s I r i ∈∀≤⇔，),(),(i Ji t s I r ∈∧≤⇔ 因此),(),(i Ji i J i t s I t s I ∈∈∧=∧ 又),(),(r s I t r t s C i Ji i J i ≤∨⇔≤∨∈∈ J i r s I t i ∈∀≤⇔，),(J i r t s C i ∈∀≤⇔，),(r t s C i Ji ≤∨⇔∈),( 从而),(),(i Ji i J i t s C t s C ∈∈∨=∨ 定理成立. ■定理2.6 设),(C I 满足伴随关系，则对任意]1,0[∈t 和]1,0[}{⊆∈J i i s ，),(),(),(),(t s I t s I t s C t s C i Ji i J i i J i i J i ∈∈∈∈∧=∨⇔∨=∨ 证明 对任意]1,0[,∈t r 和]1,0[}{⊆∈J i i s ，⇒ ：t r s C t r s C t s I r i Ji i J i i J i ≤∨⇔≤∨⇔∨≤∈∈∈),(),(),( J i t r s C i ∈∀≤⇔,),( J i t s I r i ∈∀≤⇔，),(),(t s I r i Ji ∈∧≤⇔ 从而),(),(t s I t s I i Ji i J i ∈∈∧=∨ ⇐：),(),(),(t s I r t s I r t r s C i Ji i J i i J i ∈∈∈∧≤⇔∨≤⇔≤∨J i t s I r i ∈∀≤⇔),,( J i t r s C i ∈∀≤⇔，),(t r s C i Ji ≤∨⇔∈),( 因此),(),(t s C t s C i Ji i J i ∈∈∨=∨ ■ 如果),(C I 满足伴随关系，且C 可交换，则定理2.6自然成立. 定理2.7 设对任给的指标集J 及任意J i ∈，模糊蕴涵i I 和模糊合取i C 满足伴随关系，则i J i I ∈∧是一个模糊蕴涵，i J i C ∈∨是一个模糊合取，且),(i J i i J i C I ∈∈∨∧形成一对伴随关系.证明 直接验证可知，i J i I ∈∧是一个模糊蕴涵，而i J i C ∈∨是一个模糊合取. 对任意的]1,0[,,∈r t s ，J i r t s C r t s C i i J i ∈∀≤⇔≤∨∈,),(),(J i r s I t i ∈∀≤⇔),,(),(r s I t i Ji ∈∧≤⇔ 即),(i Ji i J i C I ∈∈∨∧满足伴随关系. ■ 定理2.8 设模糊蕴涵i I 和模糊合取i C （2,1=i ）满足伴随关系，令)),(,(),()),,(,(),(1221t s C s C t s C t s I s I t s I ==，]1,0[,∈t s 则I 是一个模糊蕴涵，C 是一个模糊合取，且),(C I 形成一对伴随关系.证明 类似于前一定理的证明，直接验证即可. ■ 定理 2.9 设模糊蕴涵I 和模糊合取C 满足伴随关系，]1,0[]1,0[:→σ是一个连续、递增映射，并满足0)0(=σ，1)1(=σ，且具有逆1-σ. 令))(),((),()),),(((),(1t s C t s C t s I t s I σσσσσσ==-则σI 是一个模糊蕴涵，σC 是一个模糊合取，且),(σσC I 形成一对伴随关系.证明 直接验证即可得到证明. ■定理2.10 设),(C I 是一对伴随关系，则对任意]1,0[,,∈r t s ，)),,(()),(,()),(,()),,((r t s C I r t I s I r s C t C r t s C C =⇔= 证明 ⇒：设对任意]1,0[,,∈q t s ，有)),(,()),,((q s C t C q t s C C =，则对每一个]1,0[∈r ，r q s C t C r q t s C C ≤⇔≤)),(,()),,((成立.又)),,(()),,((r t s C I q r q t s C C ≤⇔≤另一方面，)),(,(),(),()),(,(r t I s I q r t I q s C r q s C t C ≤⇔≤⇔≤因此，)IsrtI=.sItC((r),(,,,())⇐：完全类似地可以证明. ■定理2.11 设)I满足伴随关系，C满足交换律，则C满足结合律当且仅,(C当对任意]1,0[Cst(rIrI=.sIt,,s，)tr,∈,(),)),((证明利用定理2.10，结论容易得证. ■。
![2[1].5模糊逻辑与模糊推理](https://img.taocdn.com/s1/m/f9d34c2252ea551810a687fc.png)
