w w
w .
z h
i n
a n
c h
e .c
习题版权属物理学院物理系
《大学物理AII 》作业No.08量子力学基础
班级________学号________姓名_________成绩_______
一、选择题：
1．如图所示，一束动量为p 的电子，通过缝宽为a 的狭缝。在距离狭缝为R 处放置一荧光屏，d 等于[](A)2a 2/R (B)2ha /p
(C)2ha /(Rp )(D)2Rh /(ap )
解：该电子波衍射等同于单缝衍射，则根据单缝衍射中央明纹线宽度公式f a
d
λ2=有屏上衍射图样中央最大的宽度ap Rh p
h
R a
R a d 222=××
=××=λ故选D
2．若α粒子（电荷为2e ）在磁感应强度大小为B 的均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道
运动，则α粒子的德布罗意波长是
[](A)eRB
h
2(B)
eRB
h (C)
eRB
21(D)
eRBh
1解：由洛仑兹力B v q F ���×=和向心力R
v m F n 2=有圆形轨道运动半径eB mv
qB mv R 2=
=所以α粒子的德布罗意波长eBR
h
mv h 2=
=λ故选A 3．关于不确定关系⎟
⎠⎞⎜⎝
⎛=≥∆⋅∆π2h p x x ℏℏ
有以下几种理解：(1)粒子的动量不可能确定(2)粒子的坐标不可能确定
(3)粒子的动量和坐标不可能同时确定
(4)不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子其中正确的是：[](A)(1)、(2)(B)(2)、(4)
(C)(3)、(4)(D)(4)、(1)解：由不确定关系式意义知(3)、(4)正确。
故选C
4．波长λ=5000Å的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量∆λ=10-3Å，则利用不确
定关系式h x p x ≥∆∆可得光子的x 坐标的不确定量至少为[](A)25cm (B)50cm
(C)250cm (D)500cm
w w
w .
z h
i n
a n
c h
e .c o m
解：根据德布罗意公式有p =h /λ
则
2
/λλ∆∆=h p x
代入不确定关系式
h p x x ≥∆⋅∆有λ
λ∆∆≥/2x 故光子的x 坐标的不确定量至少为min x ∆λλ∆=/2)
1010/()105000(103210−−−××==2.5m=250cm 故选C 5．已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：
()()
a x a a
x
a
x ≤≤−⋅=
23cos
1
πψ那么粒子在3/2a x =处出现的概率密度为[
]
(A)
a 21(B)
a 1(C)
a
21(D)
a
1解：由波函数物理意义有任意位置概率密度()a
x a x 23cos 12
2πψ=将3/2a x =代入，得3/2a x =处出现的概率密度
()a
a a a x 13223cos 122
=⋅=
πψ故选B
二、填空题：
1．在B =1.25×10-2T 的匀强磁场中沿半径为R =1.66cm 的圆轨道运动的α 粒子
的德布罗意波长是__________________。
(普朗克常量h =6.63×10-34J ·s ，基本电荷e =1.60×10-19C)
解：由B v q F ���×=和R
v m F n 2
=，有α粒子运动动量eBR
mv p 2==所以α粒子的德布罗意波长eBR
h
mv h 2=
=λnm 00.1A 100.0)m (10998.01066.11025.11060.121063.611
2
21934==×=×××××××=−−−−−�
2．热中子平均动能为
kT 2
3
。则当温度为K 003时，一个热中子的动能为J ，
相应的德布罗意波长为
。
(波尔兹曼常数123K J 10381−−⋅×=.k
，普朗克常量s J 1063.634⋅×=−h ，中子质量
kg 1067.127−×=m )
w w
w .
z h
i n
a n
c h
e .
c o m
解：一个热中子的动能为(J)1021.63001038.123
kT 232123−−×=×××==
k E 相应的德布罗意波长k
mE h
p h 2=
=λnm
6.14)m (1046.11021.6106
7.121063.61021
2734
=×=×××××=
−−−−3．静质量为e m 的电子，经电势差为12U 的静电场加速后，若不考虑相对论效应，电子的德布罗意波长λ＝
。
解：若不考虑相对论效应，电子的动能2122
1
v m eU E e k =
=故电子的动量122eU m v m p e e =
=其德布罗意波长为�
A
25.12nm 5.122212
1212U U eU m h p h e =≈==λ4．如果电子被限制在边界x 与x x ∆+之间，5.0=∆x Å则电子动量的x 分量的不确定量
近似地为
-1s m kg ⋅⋅。
(不确定关系式h p x x ≥∆⋅∆，普朗克常量s J 1063.634⋅×=−h )
解：由不确定关系式h p x x ≥∆⋅∆得电子动量的x 分量的不确定量近似地为
()12310
34
s m kg 1033.110
5.01063.6−−−−⋅⋅×=××=∆≥∆x h p x 5．设描述微观粒子运动的波函数为()t r ,�
ψ，则
*ψψ表示
；()t r ,�
ψ须满足的条件是
；其归一化条件是
。解：*ψψ表示微观粒子在t 时刻在空间(x ,y,z )处单位位体积内出现的概率；
()t r ,�
ψ须满足的条件是单值、有限、连续；其归一化条件是
1
d d d 2
=⋅∫∫∫∞
z y x ψ。
