第三章测试
一、选择题
1．下列命题正确的是( ) A ．复数的模是正实数
B ．虚轴上的点与纯虚数一一对应
C ．实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数
D ．相等的向量对应着相等的复数 2.10i 2－i
＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．2＋4i
D ．2－4i
3．(2010·福建)i 是虚数单位，(1＋i 1－i )4
等于( )
A ．i
B ．－i
C ．1
D ．－1
4．复数z ＝a (a ＋2)
a －1＋(a 2＋2a －3)i(a ∈R)为纯虚数，则a 的值为
( )
A ．a ＝0
B ．a ＝0，且a ≠－1
C ．a ＝0，或a ＝－2
D ．a ≠1，或a ≠－3
5．复数(1＋2i )2
3－4i
的值是( )
A ．－1
B ．1
C ．－i
D ．i 6．已知z 是纯虚数，
z ＋2
1－i
是实数，那么z 等于( ) A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i
7．设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数
单位i ，α(i)＝( )
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
8．(2010·陕西)复数z ＝i
1＋i 在复平面上对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．复数3＋2i 2－3i －3－2i
2＋3i
＝( )
A ．0
B ．2
C ．－2i
D ．2i
10．定义运算⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪
⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( )
A ．3－i
B ．1＋3i
C ．3＋i
D ．1－3i
11．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是方程z 2＝－3＋4i 的一个根，则z 等于( )
A ．1±2i
B ．－1±2i
C ．1＋2i ，或－1－2i
D ．2＋i ，或－2－i
12．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A ．|z －z |＝2y
B ．z 2＝x 2＋y 2
C ．|z －z |≥2x
D ．|z |≤|x |＋|y |
二、填空题
13．复数2＋i
1＋i
的共轭复数是________．
14．若z 1＝1＋i ，z 1·z 2＝2，则z 2＝__________.
15．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部是________．
16．若复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，|z 1－z 2|＝22，则|z 1＋z 2|＝________.
三、解答题
17．要使复数z ＝a 2
－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4
i 为纯虚数，实数a 是否
存在？若存在求出a 的值；若不存在说明理由．
18．已知复数z 1满足(z 1－2)i ＝1＋i ，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2
为实数，求z 2.
19．(12分)复平面内关于原点对称的两点对应的复数为z 1，z 2，且满足3z 1＋(z 2－2)i ＝2z 2－(1＋z 1)i ，求z 1，z 2的值．
20．已知1＋i 是实系数方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根. (1)求a ，b 的值；
(2)试判断1－i 是否是方程的根．
21．(12分)设w＝－1
2＋
3
2i，
(1)求证：1＋w＋w2＝0；
(2)计算：(1＋w－w2)(1－w＋w2)．
22．设z1，z2∈C，
(1)求证：|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2；
(2)设|z1|＝3，|z2|＝5，|z1＋z2|＝6，求|z1－z2|.
