材料力学实验、仿真与理论(阚前华,张旭 主编)思维导图

B1
r3 1 - 3 2 4 2
xB1
B1
M
2 m
ax
W2
4WMPn22
34
r3 1 - 3 2 4 2
r3
M
2 y
M
2 z
M
2 n
W
M
2 m
ax
W2
4WMPn22
M
2 y
M
2 z
M
2 n
W
r4
1 2
1 - 2 2
2
- 3 2
3
- 1 2
23 2
M
三、材料的破坏形式：⑴ 屈服； ⑵ 断裂 。 1、伽利略播下了第一强度理论的种子； 2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的 萌芽； 3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论；
4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximum distortion energy theory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。
1
例
解: 拉剪应力状态时有:
x 2 0 xy -
根据应力分析有:
1 3
2
2 2
2
2 0
由第三强度理论: r3 1 - 3 2 4 2
由第四强度理论:
r4
1 2
1
- 2 2
2
- 3 2
3
-1 2
2 3 2
例 薄壁圆筒受最大内压时, 测得x=1.8810-4 y=7.3710-4, 用第三强度理论校核其强度 ( E = 210GPa, [] = 170MPa, = 0.3 )
如图示的承压薄壁圆筒，假定厚度为 ，平均直
径为：D

x
切应变（角应变）
M点处沿x方向的应变： M点在xy平面内的切应变为：
x
lim
x0
s x
g lim ( LM N)
MN0 2
ML0
类似地，可以定义 y , z ,g 均为无量纲的量。
目录
§1.5 变形与应变
例 1.2
c
已知：薄板的两条边
4、稳定性：
在载荷 作用下，构 件保持原有 平衡状态的 能力。
强度、刚度、稳定性是衡量构件承载能力 的三个方面，材料力学就是研究构件承载能力 的一门科学。
目录
§1.1 材料力学的任务
三、材料力学的任务
材料力学的任务就是在满足强度、刚度 和稳定性的要求下，为设计既经济又安全的构 件，提供必要的理论基础和计算方法。
目录
§1.3 外力及其分类
按外力与时间的关系分类
静载： 载荷缓慢地由零增加到某一定值后，就保持不变或变动很不显著， 称为静载。
动载： 载荷随时间而变化。
如交变载荷和冲击载荷
交变载荷
冲击载荷
目录
§1.4 内力、截面法和应力的概念
内力：外力作用引起构件内部的附加相互作用力。 求内力的方法 — 截面法
传统具有柱、梁、檩、椽的木 制房屋结构
建于隋代（605年）的河北赵州桥桥 长64.4米，跨径37.02米，用石2800 吨
目录
§1.1 材料力学的任务
古代建筑结构
建于辽代（1056年）的山西应县佛宫寺释迦塔 塔高9层共67.31米，用木材7400吨 900多年来历经数次地震不倒，现存唯一木塔
目录
§1.1 材料力学的任务
架的变形略去不计。计算得到很大的简
化。
C
δ1

第3章 轴向载荷作用下材料的力学性能
应力—应变曲线
脆性材料拉伸时的 应力-应变曲线
第3章 轴向载荷作用下材料的力学性能
应力—应变曲线
韧性金属材料拉 伸时的应力-应变
曲线
第3章 轴向载荷作用下材料的力学性能
应力—应变曲线
工程塑料拉伸时的 应力-应变曲线
第3章 轴向载荷作用下材料的力学性能
弹性力学性能
第3章 轴向载荷作用下材料的力学性能
极限应力值——强度指标
对于脆性材料，从开始加载直至试样被拉断， 试样的变形都很小。而且，在大多数脆性材料拉 伸的应力-应变曲线上，都没有明显的直线段，几 乎没有塑性变形，也不会出现屈服和颈缩现象， 因而只有断裂时的应力值——强度极限。
第3章 轴向载荷作用下材料的力学性能
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第3章 轴向载荷作用下材料的力学性能
弹性力学性能
弹性模量
应力-应变曲线上的初始 阶段通常都有一直线段，称 为线性弹性区，在这一区段 内应力与应变成正比关系， 其比例常数，即直线的斜率 称为材料的弹性模量（杨氏 模 量 ， modulus of elasticity
or Young modulus ） ， 用 E
第3章 轴向载荷作用下材料的力学性能
极限应力值——强度指标
强度极 限
第3章 轴向载荷作用下材料的力学性能
极限应力值——强度指标
颈缩与断裂
某些韧性材料(例如低 碳钢和铜)，应力超过强度 极限以后，试样开始发生局 部变形，局部变形区域内横 截面尺寸急剧缩小，这种现 象称为颈缩(neck)。出现颈 缩之后，试样变形所需拉力 相应减小，应力-应变曲线 出现下降阶段，直至试样被 拉断。
这表明这一阶段内的变形都是 弹性变形，因而包括线性弹性阶段 在内，统称为弹性阶段。弹性阶段 的 应 力 最 高 限 称 为 弹 性 极 限 (elastic limit)，用σe表示。

思考：为何在F1，F2，F3作用点的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
§1-3 轴向拉伸和压缩的的应力
一、问题的提出
F
A1
FF
A2
F
相同受力时，A2>A1,谁先断裂?
结论 ：杆件的强度不仅与轴力的大小有关，还与杆件横
截面面积有关。
不能只看轴力，要看单位面积上的内力—— 应力(内力集
D(b)
E
B(s上)
s
e
A
p
A’
B’(s下)

弹性阶段 屈服阶段 强化阶段
局部变

弹性变形区
塑性变形区
形阶段
低碳钢拉伸时的力学性能
σp：比例极限 σs：屈服极限
σb：强度极限
伸长率/延伸率
n

l1
-l0 l0
100%
断面收缩率
A0 -A1 10% 0
A0
屈服极限和强度极限是反映材料强度的两个性能指标。
0
两个塑性指标:
断后伸长率 l1 -l0 100% 断面收缩率 A0 -A110% 0
l0
A0
5%为塑性材料 5%为脆性材料
低碳钢的 2— 03% 0 60% 为塑性材料
其他材料拉伸时的力学性能
对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限 σ0.2来表示。
其他材料拉伸时的力学性能
强化阶段最高点所对应的应力。
强度极限b
又称为名义应力 或工程应力

弹性阶段 屈服阶段 强化阶段

弹性变形
加工硬化或冷作硬化
材料塑性变形后卸载，重新加载，材料的比例极限提高， 塑性变形和伸长率降低的现象。

据变位图,几何方程为: Dl1=Dl3cosa (b)
物理方程为:
l1
N1l1 E1 A1
l3
N3l3 E3 A3
(c) 将式(c)代入式(b),得补充方程:
N1l1 N3l3 cos E1A1 E3 A3
联立求解式(a)和(d),并注意到l1cosa =l3得:
N3
2 E1A1
P (E3 A3 cos2 l1
和实践证明:无论超静定次数为多少，总能
找到相应数量的补充方程来求解 。
• （比较：流体基本方程的非封闭性）。
4
§２－8 拉、压超静定问题
例 图(a)所示为两端固定的Ⅰ超静定问题及其解法
钢杆,已知l1=1.0m,l2=0.5m, A=20cm2,P=300kN,E=200GPa。
试求钢杆各段应力和变形。
解1,列静力平衡方程
以整根杆为研究对象,画出受力 图如图(b),静力平衡方程为
RA+RB=P (a)
2,建立补充方程
(杆受力后,C截面下移至C1截面,结果AC段伸长D l1,而CB段缩短D l2,杆两端固定
总长不变,即 D l＝0 。因此,有: D l1＝|D l2|
这就是本例的几何方程。
变形和内力有关。用截面法求得两段内力分别为:
系起来，得到以内力为未知量的变形几何方程——补充方
程,然后与静力学平衡方程一起求解，即可求出结构的所有
未知力。
3
§２－8 拉、压超静定问题
Ⅰ超静定问题及其解法
• 思路：
•静力+变形几何+物理关系
• 物理关系即本构关系(Constitutive Relation)
•
理论（弹性力学中方程的封闭性和解的唯一性定理）

D
以杆未受力时位置来考虑力的平衡方程，垂直方向力是
无法平衡的。对于大变形情形，只能按变形后位置来考
虑力的平衡。
由平衡方程得

Fx 0, FN2 cos FN1 cos 0 Fy 0, (FN1 FN2 ) sin F 0
解得
FN1

FN2 , FN1
C 30° l l
A
l
D
30°
2
3
4
5
30° 30°
B (a)

F N1 F N4
F N2
A l1
A F N5
B l4 B
l4 (b)
剪切. 知识结构框图
剪切
单剪切
双剪切
剪切的实用计算
剪切面积 A 的判定
挤压的实用计算
挤压面 Abs 的确定，挤压与压缩的区别
接头（连接件与被连接件）的强度计算
max,1

T Wt1
max ，式中 Wt1

16
D131
，代入即得
D11

3
16T π max
3
16 2 103 π 98.5106

46.9 103 m
46.9 mm
2) 保持刚度不变。刚度不变即保持两轴的单位扭转角相等，即


T GI P1
180 π

2198 mm2
故
2
W W12

A A12

578 2198
0.263
即空心轴的重量仅为实心轴的 26.3%,明显减轻了重量。
3.3.8 如图 3-11 所示一空心圆管 A 套在实心圆杆 B 的一端，两杆的同一截面处各有一 直径相同的贯穿孔，两孔中心的夹角为β，首先在杆 B 上施加外力偶矩，使其扭转到两孔 对准的位置，并在孔中装销钉，试求在外力偶解除后两杆所受的扭矩。

*
垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress) 位于截面内的应力称为“切应力”(Shearing Stress) p M
4。应变
对于构件任一点的变形，只有线变形和角变形
两种基本变形，分别由线应变和角应变来度量
线应变
*
线应变 —— 即单位长度上的变形量，无量纲，其物 理意义是构件上一点沿某一方向变形量 的大小 2．角应变 切应变 —— 即一点单元体两棱角直角的改变量， 无量纲
*
河北赵州桥建于1400年前（隋朝）跨37.02米、宽 9米、拱高7.23米，隋允康教授的老师 钱令希 院士用弹 塑性理论计算，结果 ——压力线完全通过拱轴。
隋允康 教授指导博士生用他提出的结构拓扑优化 ICM （ Independent Continuous Mapping ）方法计算 的结果，完全类似赵州桥的构型。
弹簧系数的本质
于是得到
思考一下，有无道理？
下面是胡克与郑玄的假想对话
郑：这是讲测量弓力时，先将弓 的弦松开，另外用绳子松松 地穿过弓的两端，然后加重 物，测量。
胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力， 处于自然状态。
东汉经学家郑玄(127—200)对《考工记·弓人》中“量 其力，有三均”作了这样的注释：“假令弓力胜三石，引 之中三尺，弛其弦，以绳缓擐（huan）之，每加物一 石，则张一尺。” (见右图)
材 料 力 学 Mechanics of Materials
01
02
03
04
第一章 绪 论
材料力学的任务、作用和地位 基本假设 基本概念 变形的基本形式
内容
目的
对学科有一个初步的概念上的了解
*
1.1 材料力学的来龙去脉

p
F A
F cos cos A
将应力 pα 分解为两个分量：
沿截面法线方向的正应力 p cos cos2
2.符号的规定 （1）α 角
沿截面切线方向的切应力
p
sin
2
sin2
（2）正应力： 拉伸为正 压缩为负
（3）切应力 对研究对象任一点取矩
三、强度条件 杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力
A ，断口处的最小横截面积为 A1 .
l1 l 100%
伸长率
l
A A1 100%
断面收缩率
A
≧5%的材料，称作塑性材料
<5%的材料，称作脆性材料
§2-5 拉压杆的变形计算
*补充*
一、 纵向变形
1. 纵向变形 Δl l1 l
Δl 2. 纵向应变 l
姚小宝
二、横向变形
1. 横向变形 b b1 b
§1-3 力、应力、应变和位移的基本概念
一、 外力
体积力
1. 按作用方式分
表面力
集中力
分布力 静载荷 2. 按随时间变化分
交变载荷 动载荷
冲击载荷 二、 内力
1. 定义： 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间相互作用力（附加内力）。 2. 内力的求法 —— 截面法 步骤：
① 截开： 在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二. ②代替： 任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截 面上相应的内力（力或力偶）代替. ③平衡： 对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面 上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）.
§1-2 变形固体的基本假设 一、连续性假设： 物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。 二、均匀性假设： 物体内，各处的力学性质完全相同。 三、各向同性假设： 组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。 四、小变形假设： 材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸