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-可编辑修改- 第9章 线性系统的状态空间分析与综合
重点与难点
一、基本概念
1．线性系统的状态空间描述
（1）状态空间概念
状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。
状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。
状态向量 以状态变量为元素构成的向量。
状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。
状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。
输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。
状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示：
DuCxyBuAxx (9.1)
（2）状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。
（3）状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性变换的目的在于使系统矩阵A规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性变换不改变系统的固有特性。
根据矩阵A的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。
（4）线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵)(t（即矩阵指数Ate）及其性质： 。
-可编辑修改- i． I)0(
ii．AttAt)()()(
iii. )()()()()(122121tttttt
基于不变子空间的状态空间实现特征的分析
研 究 生 课 程 论 文
(2012-2013学年第一学期)
基于不变子空间的状态空间实现的特征分析
研究生： 史 涛 201220113468
赵松涛 201220113451
邓高湘 201220113437
提交日期： 2013年 1 月 3 日 研究生签名：
学 号
学 院
自动化科学与工程学院
课程编号
课程名称
线性系统理论与设计
学位类别
硕士
任课教师
苏为洲 教授
教师评语：
成绩评定： 分 任课教师签名： 年 月 日
基于不变子空间的状态空间实现特征的分析
基于不变子空间的状态空间实现特征的分析
摘要：本文通过研究不变子空间和线性系统能控性、能观性以及最小实现的概念和性质，
建立了不变子空间与状态空间实现及其特征的联系，并通过不变子空间直观地分析了实
现和最小实现的能控性、能观测性、等价性等特征，进而讨论了同一传递函数的所有不
同实现的内在联系，探索出了一种基于不变子空间的从非最小实现中分离最小实现模态
的方法。本文得出了最小实现是能控能观的实现，同一传递函数的所有最小实现是等价
的结论。
关键词：不变子空间；最小实现；左特征向量；能控性；能观测性。
基于不变子空间的状态空间实现特征的分析
目录
1 引言
........................................................................................................................................ 1
2 理论分析
................................................................................................................................ 2
广西大学实验报告纸
序号 学号 姓名 贡献排名 实验报告分数
1(组长)： 1302120 1
2(组员)： 130212 2
实验项目 线性系统状态空间分析与运动解
【实验时间】2015年11月12日
【实验地点】课外(宿舍)
【实验目的】
1、学会利用MATLAB实现离散系统传递函数模型的生成
2、学会利用MATLAB将连续系统离散化
【实验设备与软件】
1、MATLAB/Simulink数值分析软件
2、计算机一台
【实验原理】
1、求矩阵特征值和特征向量命令格式[V J]=eig（A）
Cv=eig(A)
说明：V特征向量，J是Jordan型，cv是特征值列向量
2、求运动的方法
（1）利用Laplace逆变换----适合于连续/离散线性系统
采用ilaplace/iztrans对传递函数求逆，这种方法一般是零输入情况下求响应。
（2）用连续（离散）状态转移矩阵表示系统解析解----适合于线性定常系统
对连续定常系统有：
假设初始时刻为零，LTI系统的解析解为dtBueexetxtAtAtAt0)()0()(。若u（t）是单位阶跃输入，则上述解可写成dtBueexetxtAtAtAt0)()0()(。进一步简化为： 广西大学实验报告纸
BuABuAxetxAt11))0(()(
对离散线性定常系统有：
11)()0()(kikkiHuGxGkx
（3）状态方程的数值分析方法----适合于连续线性系统和非线性系统
采用直接数值积分很容易的处理各种定常/时变和线性/非线性系统。有很多数值积分方法，其中有一类预测-修正数值积分方法+自适应步长调整的算法比较有效。在MATLAB/Simulink中包含的多种有效的、适用于不同类型的ODE求解算法，典型的是Runge-Ktuta算法，其通常使用如下的函数格式：
[t,x]=ode45(odefun,[ti,tf],x0,options)----采用四阶、五阶Runge-Ktuta算法
1
《控制系统状态空间分析的MATLAB设计》
摘要
线性系统理论主要研究线性系统状态的运动规律和改变这些规律的可能性
与实施方法；它包含系统的能控性、能观测性、稳定性分析、状态反馈、状态
估计及补偿器的理论和设计方法。本文说明，线性变换不改变系统的传递函
数，基于状态空间的极点配置不需要附加矫正装置，是改变系统指标的简单可
行的重要技术措施；全维状态观测器与降维观测器不影响系统的输出响应。
关键词
：状态反馈、极点配置、全维状态观测器、降维观测器
前言
线性系统理论是现代控制理论的基础，主要研究线性系统状态的运动规律
和改变这些规律的可能性与实施方法；建立和揭示系统结构、参数、行为和性
能之间的关系。它包含系统的能控性、能观测性、稳定性分析、状态反馈、状
态估计及补偿器的理论和设计方法。
该报告结合以线性定常系统作为研究对象，分析控制系统动态方程，系统
可控标准型，线性变换传递函数及其不变性，系统可控性与可观测性。系统状
态观测器及降维观测器对系统的阶跃响应的影响，并分别绘制模型，及其系统
阶跃响应的仿真。
正文
1. 已知系统动态方程:
𝑥̇=[−0.40−0.01
100
−1.49.8−0.02]𝑥+[6.3
0
9.8]𝑢
𝑦=[
0 01]
𝑥
2. 设计内容及要求： 2
验证线性变换传递函数不变性，适当配置闭环适当配置系统闭环极点，使
σ%<15%、t
s <4s，以及当系统闭环极点为λ
1,2=-3±j4时设计系统的降维状态观
测器也使σ%<15%、t
s <4s，并绘制带反馈增益矩阵K的降维状态观测器及其系
统仿真。
3. 系统设计：
1）求系统可控标准型动态方程；
>> A1=[-0.4 0 -0.01;1 0 0;-1.4 9.8 -0.02];
>> B1=[6.3;0;9.8];
>> C1=[0 0 1];
>> D1=0;
>> G1=ss(A1,B1,C1,D1);
>> n=size(G1.a);
