浙江省湖州市2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
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2017-2018学年浙江省湖州市高二（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设P是椭圆+=1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
2．已知向量，则与的夹角为（ ）
A．0° B．45° C．90° D．180°
3．圆 C1：（x+2）2+（y﹣2）2=4和圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，“点M的坐标满足方程4+y=0”是“点M在曲线y2=16x上”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
6．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是（ ）
A．[1﹣，1+] B．[1﹣，3] C．[1﹣2，3] D．[﹣1，1+]
7．在平面直角坐标系中，方程+|x﹣y|=1所表示的曲线为（ ）
A．三角形 B．正方形
C．非正方形的长方形 D．非正方形的菱形
8．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF2=∠BF2F1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A．（3，+∞） B．（1，2+） C．（3，2+） D．（1，3）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，则x= ；若∥，则x+y= ．
10．已知圆M：x2+y2+4x﹣2y+3=0，直线l过点P（﹣3，0），圆M的圆心坐标是
；若直线l与圆M相切，则切线在y轴上的截距是
．
11．已知抛物线x2=4y的焦点F的坐标为 ，若M是抛物线上一点，|MF|=4，O为坐标原点，则∠MFO= ．
12．过点（1，3）且渐近线为y=±x的双曲线方程是 ，其实轴长是 ．
13．在平面直角坐标系xOy中已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M．若OA=OM，则直线AB的斜率为 ．
14．已知斜率为1的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于位于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为K1，K2，则K1+K2的取值范围是 ．
15．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的点），且满足|PB|+|PD1|=2，则点P的个数为 ．
三、解答题：本大题共5小题．共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”，它的否命题为Q．
（Ⅰ）写出命题Q；
（Ⅱ）判断命题Q的真假，并证明你的结论．
17．已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）
求：（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；
（2）若向量a分别与向量垂直，且|a|=，求向量a的坐标．
18．已知圆C与x轴相切，圆心C在射线3x﹣y=0（x＞0）上，直线x﹣y=0被圆C截得的弦长为2
（1）求圆C标准方程；
（2）若点Q在直线l1：x+y+1=0上，经过点Q直线l2与圆C相切于p点，求|QP|的最小值．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA⊥底面ABCD，E、F分别是PA、PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面FBD；
（Ⅱ）若PA=1，在棱PC上是否存在一点M使得二面角E﹣BD﹣M的大小为60°．若存在，求出PM的长，不存在请说明理由．
20．已知椭圆E：，不经过原点O的直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆E相交于不同的两点A、B，直线OA，AB，OB的斜率依次构成等比数列．
（Ⅰ）求a，b，k的关系式；
（Ⅱ）若离心率且，当m为何值时，椭圆的焦距取得最小值？
2016-2017学年浙江省湖州市高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设P是椭圆+=1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a，进而求得答案．
【解答】解：由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，
故选D．
2．已知向量，则与的夹角为（ ）
A．0° B．45° C．90° D．180°
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】设则与的夹角为θ由向量夹角的定义可得， 0°≤θ≤180°可得θ=90°
【解答】解：设则与的夹角为θ
由向量夹角的定义可得，
∵0°≤θ≤180°
∴θ=90°
故选C
3．圆 C1：（x+2）2+（y﹣2）2=4和圆C2：（x﹣2）2+（y﹣5）2=16的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】由条件求得两圆的圆心距 C1 C2 =5，大于半径之差而小于半径之和，从而得到两个圆相交．
【解答】解：两个圆的圆心分别为 C1（﹣2，2）、C2：（2，5），半径分别为2、4，
两圆的圆心距 C1 C2 ==5，大于半径之差而小于半径之和，
故两个圆相交，
故选：B．
4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
【解答】解：如图，将EF平移到AC，连结B1C，
则∠B1AC为异面直线AB1与EF所成的角，
∵三角形B1AC为等边三角形，
∴故异面直线AB1与EF所成的角60°，
∴cos∠B1AC=．
故选A．
5．在平面直角坐标系中，“点M的坐标满足方程4+y=0”是“点M在曲线y2=16x上”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】点M的坐标满足方程4+y=0可得：点M在曲线y2=16x上；反之不成立，例如取x=4，y=8．即可判断出结论．
【解答】解：点M的坐标满足方程4+y=0，化为：y2=16x，（y≤0），
∴点M的坐标满足方程4+y=0”是“点M在曲线y2=16x上”的充分非必要条件．
故选：A．
6．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有公共点，则b的取值范围是（ ）
A．[1﹣，1+] B．[1﹣，3] C．[1﹣2，3] D．[﹣1，1+]
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】曲线即 （x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得 b=1+2，b=1﹣2．结合图象可得b的范围．
【解答】解：如图所示：曲线y=33﹣，
即 （x﹣2）2+（y﹣3）2=4（ 1≤y≤3，0≤x≤4），
表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．
由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，
可得=2，
∴b=1+2，或b=1﹣2．
结合图象可得1﹣2≤b≤3，
故选C．
7．在平面直角坐标系中，方程+|x﹣y|=1所表示的曲线为（ ）
A．三角形 B．正方形
C．非正方形的长方形 D．非正方形的菱形
【考点】曲线与方程．
【分析】利用绝对值的几何意义，分类讨论方程，即可求得结论．
【解答】解：利用绝对值的几何意义，分类讨论方程可得，
当x+y≥0，x﹣y≥0时， x﹣y=1；
当x+y≤0，x﹣y≤0时， x﹣y=﹣1；
当x+y≥0，x﹣y≤0时， y+x=1；
当x+y≤0，x﹣y≥0时， y+x=﹣1．
∴方程+|x﹣y|=1所代表的曲线是非正方形的菱形．
故选D．
8．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF2=∠BF2F1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A．（3，+∞） B．（1，2+） C．（3，2+） D．（1，3）
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由三角形相似的判断可得△BAF2∽△BF2F1，即有==，运用双曲线的定义和最值的性质，结合离心率公式，即可得到所求范围．
【解答】解：在△BAF2和△BF2F1中，
由∠BAF2=∠BF2F1，∠ABF2=∠F2BF1，
可得△BAF2∽△BF2F1，
即有==，
即为==，
==e＞1，
可得AF2=e（BF2﹣BA）＞c+a，即有BF2＞BA，
又BA＞2a，
即BF2＞2a，
BF2取最小值c﹣a时，BF2也要大于BA，
可得2a＜c﹣a，即c＞3a，
即有e=＞3．
当AF1与x轴重合，即有=，
e=，可得e2﹣4e﹣1=0，解得e=2+，
即有3＜e＜2+．
故选：C．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
9．已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，则x= ±4 ；若∥，则x+y= 6 ．
【考点】共线向量与共面向量．
