浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案
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2016学年第一学期期中考试高二数学试卷
本试题卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间为120分钟.
第 I 卷（选择题 共40分）
注意事项：用钢笔或圆珠笔将题目做在答题卷上，做在试题卷上无效
一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
2 2
X y
1.设P是椭圆25+ 16= 1上的点，若F1, F2是椭圆的两个焦点，贝y |PF| + | PF2|等于
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
2.已知向量a = (0,2,1)，b =(-1,1-2)， 则a与b的夹角为
A . 0 ° B . 45 ° C. 90 ° D. 180°
2 2 2 2
3•圆 Ci ：(x 2) (y-2) =4和圆 C2：(X-2) (y-5) =16的位置关系是
A.外离 B.相交 C内切 D. 外切
4 .在正方体 ABCD - A|B1C1D1 中，E、 F分别为AB、 BC中点, 则异面直线 EF
AB所成角的余弦值为
A 1 D 3 A. B. 2 2 C. 2
2 D.
3
5.在平面直角坐标系中， 点M的坐标满足方程 4 X • y = 0 "是 点M在曲线y2 =16x
上”的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件C.充要条件
6 .若直线y =x b与曲线y=3-4x-x有公共点，贝U b的取值范围是
B. [—2,3] C. [1 -2、2,3] D. [-1,1 ..2]
注意事项：将卷n的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效
二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
9. 已知向量 a = (2,4, x), b = (2,y,2),若| a|=6，则 x二一▲；若
a//b,则 x + y =
▲.
10. 已知圆M :x2 • y2 • 4x-2y • 3 =0，直线l过点P(-3,0)，圆M的圆心坐标是
▲ ;若直线丨与圆M相切，则切线在 y轴上的截距是 ▲ •
11 •抛物线x^4y的焦点F的坐标为 ▲ ,若M是抛物线上一点，|MF |=4 , O为 A. [1 - 21 .2]
7.在平面直角坐标系中，方程比L!
2
-y =1所表示的曲线为
A.三角形 B.正方形 C.非正方形的长方形 D.非正方形的菱形
2
亠 x
8.已知F1 , F2分别为双曲线C ：二
a 2
爲=1的左、右焦点， 若存在过F1的直线分别交双曲
b
线C的左、右支于 B两点，使得.BAF2 - BF2F1，则双曲线C的离心率的取值范
A. (3,咼)
C.(3,2 + 7「e
卷(非选择题 共110分)
围是
x
8题图 坐标原点，贝U 一/MFO二 ▲ .
1
12. 过点(1,3)且渐近线为y x的双曲线方程是 ▲,其实轴长是 ▲ • 2
13. 已知圆C：x2 (y-1)2 =5,点A为圆C与x轴负半轴 的交点，过A作圆C的弦AB,记线段
AB的中点为M,若OA=OM,则直线AB的斜率是 ▲ .
2
14. 已知斜率为1的直线丨与抛物线y = 2px( p 0)交于位于x轴上方的不同两点 代B，记
直线OA,OB的斜率分别为k1,k2，则k, k2的取值范围是 ▲ .
15. 在棱长为1的正方体ABCD - A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点(不包括棱的
点)，且满足PB| TPD1 =2，则点P的个数为 ▲ .
三、解答题：本大题共 5小题•共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16.(本题满分14分)已知命题P: “若ac _0,则二次方程ax2 bx 0没有实根”， 它的否命题为Q .
—(I )写出命题Q ;
(n)判断命题Q的真假，并证明你的结论
17.(本题满分 15 分)已知空间三点 A(0,2,3),B( — 2,1,6),C(1, — 1,5).
(I )求以向量AB, AC为一组邻边的平行四边形的面积 S；
(n )若向量a分别与向量AB, AC垂直，且|才|= “、3，求向量a的坐标•
18.(本题满分15分)已知圆C与x轴相切，圆心 C在射线3x — y=0(x . 0)上，直线
X—y=：O被圆C截得的弦长为2.7.
(I )求圆C标准方程；
(n )若点Q在直线11 : x y • 1 - 0上，经过点Q直线a与圆C相切于P点，求 QP
的最小值.
19.(本题满分15分)如图，在四棱锥 P_ABCD中，底面 ABCD是边长为1的菱形,
侧棱PA!底面 ABCD E、F分别是PA PC的中点.
(I )证明：PA//平面FBD;
(n)若PA =1,在棱PC上是否存在一点 M使得
二面角E -BD -M的大小为60 .若存在,
求出PM的长,不存在请说明理由.
(第19题图)
l : ^kx m(k - 0)与椭圆E相交于不同的两点 A、B ,直线OA, AB,OB的斜率依次构 成等比数列.
(I )求a,b,k的关系式; .BAD=60 ,
20.(本题满分15分)已知椭圆 2 2
E :負古％ b °)，不经过原点
O的直线
(n)若离心率e =1且|AB = J7 2 ,当m为何值时，椭圆的焦距取得最小值? P
E D M
'F
C 第一学期期中考试高二数学参考答案
、选择题(每小题 5分，共50分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B A A C D C
二、 填空题(多空题 6分，单空题4分，共36分)
9. ±4,6 10. (-2,1); - 3 11. ( 0，1)，—
3
4 2 2 _
12 4_^ =1，^35 13. 2 14. (4,址) 15. 6
35 35
三、 解答题：本大题共 5小题•共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
16.(本题满分14分)已知命题P :“若ac _ 0,则二次方程ax2 bx • c = 0没有实根”，
它的否命题为Q.
(I )写出命题Q ； (n)判断命题Q的真假,并证明你的结论.
解：(I )命题P的否命题为：“若ac ::: 0,则二次方程ax2 bx • c = 0有实根”. .......... 6分
(n)命题P的否命题 是真命题.证明如下：
— 2 — 2
ac :: 0,. -ac 0,= ： - b - 4ac 0,= 二次方程 ax bx c 二 0 有实根.
•••该命题是真命题. ......... 14分
17 •(本题满分 15 分)已知空间三点 A(0,2,3),B( — 2,1,6),C(1, — 1,5).
(I )求以向量 AB, AC为一组邻边的平行四边形的面积 S；
(n)若向量a分别与向量 AB AC垂直，且|a = .3, 求向量a的坐标.
解：(I). AB =1「2,-1,3 , AC = ：1,-3,2 ......................................... 2 分
|AB|= 14,| AC|= 14 , cos BAC 二 丄， BAC = 60 ........6 分
| AB | -| AC | 2
S=| AB| | AC|si n BAC = 7 • 3 .............................................. 7 分
(n )设向量 a = (x, y, z)，则由 a AB =0,a AC 二 0,| a |=、3 得 ............... 10 分
_2x「y 3z = 0
* x—3y+2z=0 x = 1,y=1,z = 1或x =—1, y =—1, z =-1……14 分
2 2 2 - x + y +z =3
■I T a =(1,1,1)或 a =(-1,一1,一1) ............................................... 15 分
18.(本题满分15分)已知圆C与x轴相切，圆心 C在射线3x — y = 0(x . 0)上，直线
x - y = 0被圆C截得的弦长为2 7 .
(I )求圆C标准方程；
(n )若点Q在直线11 : x y= 0上，经过点Q直线12与圆C相切于P点，求 QP
的最小值.
解：(I )因为圆心C在射线3x - y = 0(x . 0)上，设圆心坐标为 (a,3a),且
............................................................................................................. 1 分
_ 2a —
圆心(a,3a)到-直线x—y=0的距离为d=^^=J2a ，又圆C与x轴相切，所以
V2
半径r =3a，设弦AB的中点为M，贝U AM = J7 ，在RUAMC中，得
(.2a)2 (..7)2 =(3a)2，解得 a =1, ........................................... ..................... 5 分
故所求的圆的方程是(x — 1)2 • (y-3)2 =9 ............................................... 6分
(n )在 RtAQPC 中，QP| = J(QC|)2 _(|CP|)2 = J(|QC|)2 _9，
所以，当QC最小时，QP有最小值； ............................... 9分
21. (本题满分15分)如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是边长为1的菱形,
-BAD=60， 侧棱P从底面ABCD, E、F分别是PA PC的中点.
(I )证明：PA//平面FBD;
(n )若PA =1,在棱PC上是否存在一点 M使得二面角E - BD - M的大小为60°. 所以QC _h于Q点时,
.15分
13 1
2 QC min
所以QP . min
