电磁场与电磁波
摘要:电磁场与电磁波课程与电气专业息息相关，是我们电气专业学生必须学习的，这学期我们进行了电磁场与电磁波的学习。主要讲解了矢量分析，电磁场的基本定律，时变电磁场，简述了静态电磁场极其边值问题的解。第一章:矢量分析是研究电磁场在空间分布和变化规律的基本数学工具之一。第二章以大学物理（电磁学）为基础，介绍电磁场的基本物理量和基本规律，第三章分别介绍了静电场、恒定电场和恒定磁场的分析方法。第四章主要讨论时变电磁场的普遍规律。
一、矢量分析
电磁场是是分布在三维空间的矢量场，矢量分析是研究电磁场在空间的分布和变化规律的基本教学工具之一。
1：标量和矢量
(1) 标量：一个只用大小描述的物理量。矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量一旦被赋予“物理单位”，则成为一个具有物理意义的矢量，如：电场强度矢量E、磁场强度矢量H、作用力矢量F、速度矢量v等。
(2) 两个矢量A与B相加，其和是另一个矢量D。矢量D=A+B可按平行四边形法则得到：从同一点画出矢量A与B，构成一个平行四边形，其对角线矢量即为矢量D。两个矢量A与B的点积是一个标量，定义为矢量A与B的与它们之间较小的夹角的余弦之积。
(3) 两个矢量A与B的叉积是一个矢量，它垂直于包含矢量A和B的平面，大小定义为矢量A与B的与它们之间较小的夹角的正弦之积，方向为当右手四个手指从矢量A到B旋转时大拇指的方向。
2：标量场的梯度
（1）等值面: 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面，形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。对任意给定的常数C，方程Czyxu),,(就是等值方程。
（2）梯度的概念：标量场u在点M 处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量u变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作grad u,即 grad u= el|max直角坐标系中梯度的表达式为grad u=,标量场u的梯度可用哈密顿算符表示为grad u=()．u =
梯度:
高斯定理: A dS， 电磁场与电磁波知识点要求
第一章矢量分析和场论基础
1理解标量场与矢量场的概念；
场是描述物理量在空间区域的分布和变化规律的函数。
2、理解矢量场的散度和旋度、标量场的梯度的概念，熟练掌握散度、旋度和梯度的计算公 式和方法(限直角坐标系)。
:u ；u ；u
ex ey ez，
-X ；y : z
物理意义：梯度的方向是标量 u随空间坐标变化最快的方向;
梯度的大小：表示标量 u的空间变化率的最大值。
散度：单位空间体积中的的通量源，有时也简称为源通量密度,
旋度：其数值为某点的环流量面密度的最大值， 其方向为取得环量密度最大值时面积元的法 线方向。
斯托克斯定理：
■ ■(S? A dS |L)A dl
数学恒等式：' Cu)=o,「c A)=o
3、理解亥姆霍兹定理的重要意义： a时，n =3600/ a , n为整数，则需镜像电荷
XY平面 , r r r. S(—x,y ,z)
-q ■严
S(-x , -y ,z) S(xFq R 1
q
S(x；-y ,z ) P(x,y,z) 若矢量场A在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则矢量场 由其散度和旋度唯一地确定，并且矢量场 A可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数
的旋度之和。A八 F u
第二、三、四章 电磁场基本理论
Q
1、理解静电场与电位的关系， u= .E dl，E(r)=-Vu(r)
P
2、理解静电场的通量和散度的意义 ，
「s D dS「V "vdV \ D=，V
E dl 二 0 ' ' E= 0
静电场是有散无旋场，电荷分布是静电场的散度源。
3、理解静电场边值问题的唯一性定理，能用平面镜像法解简单问题;
唯一性定理表明：对任意的静电场，当电荷分布和求解区域边界上的边界条件确定时， 空间
区域的场分布就唯一地确定的
镜像法：利用唯一性定理解静电场的间接方法。 关键在于在求解区域之外寻找虚拟电荷， 使
0 第一章 矢量分析
1.1．试证明下列三个矢量：
xyz11e9e18eA，xyz17e9e27eB，xyz4e6e5eC
在同一平面上。
1.2．给定三个矢量A，B和C如下：
xyze2e3eA，yz4eeB，xy5e2eC
求：1）Ae（Ae表示矢量A方向上的单位矢量）。
2）BA
3）AC
1.3．证明：如果CABA且ABAC，则BC。
1.4．如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，PAX而PAX，P和P已知，试求X。
1.5．设标量23uxyyz，矢量xyz2e2eeA，试求标量函数u在(2,1,1)处沿矢量A的方向上的方向导数。
1.6．设232(,,)3uxyzxyyz，求u在点(1,2,1)M处的梯度。
1.7．设23xyzee(3)eAxyzx，求A在点(1,0,1)M处的散度。
1.8．设324xyze2e2eAxzxyzyz，求A在点(1,1,1)M处的旋度。
1.9．求1()r。
1.10．设222rxyz为点(,,)Mxyz的矢径r的模，试证明：0rrrr。
1.11．计算：1）矢量r对一个球心在原点，半径为a的球表面的积分。
2）对球体积的积分。
1.12．求矢量22xyzeeeAxxyz沿,xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两个边分别与x轴和y轴相重合。再求A对此回路 1 所包围的表面积的积分，验证斯托克斯定理。
第一章 矢量分析与场论
实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。物理量数值的无穷集合称为场。如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。
本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。
1.1 矢量及其代数运算
一、标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar）和矢量(vector)。一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。实际上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢量A可以写成
AaA AAa （1-1-1）
其中A是矢量A的大小，a的大小等于1，代表矢量A的方向。
一个大小为零的矢量称为空矢（null vector）或零矢（zero vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector）。在直角坐标系中，用单位矢量xa、ya和za表征矢量分别沿x、y和z轴分量的方向。
空间的一点ZYXP,,能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。从原点指向点P的矢量r称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为
ZYXzyxaaar （1-1-2）
