《电磁场理论》第一章 矢量分析1

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精选文档 《电磁场理论》知识点

第一章 矢量分析

一、基本概念、规律

矢量微分算子在不同坐标系中的表达，标量场的梯度、矢量场的散度和旋度在不同坐标系中的计算公式，常用的矢量恒等式（见附录一1.和2.)、矢量积分定理（高斯散度定理、斯托克斯旋度定理及亥姆霍兹定理）。

二、基本技能练习

1、已知位置矢量zyxezeyexrˆˆˆ，r是它的模。在直角坐标系中证明

（1）rrr （2）3•r （3）×0r （4）×(0)r （5）03•rr

2、已知矢量zyexyexeAzyx2ˆˆˆ，求出其散度和旋度。

3、在直角坐标系证明0Ar

4、已知矢量yxeeAˆ2ˆ，zxeeBˆ3ˆ，分别求出矢量A和B的大小及BA

5、证明位置矢量xyzrexeyezrrrr 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。

6、矢量函数zyxexeyexAˆˆˆ2，试求

（1）A

（2）若在xy平面上有一边长为2的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量A穿过此正方形的通量。

第二章 静电场

一、基本常数

真空中介电常数0

二、基本概念、规律

静电场、库仑定律、电场强度、电位及其微分方程、电荷密度、电偶极子模型、高斯定理、环路定理、极化强度矢量、电位移矢量、场方程（真空中和电介质中）、介质性能方程，边界条件，场能及场能密度。 .

精选文档 三、基本技能练习

1、设非均匀介质中的自由电荷密度为，试证明其中的束缚电荷密度为

)(00•Db。

2、证明极化介质中，极化电荷体密度b与自由电荷体密度的关系为：0b。

3、一半径为a 内部均匀分布着体密度为0的电荷的球体。求任意点的电场强度及电位。

4、设0z为两种媒质的分界面，0z为空气，其介电常数为01，0z为介电常数025的媒质2。已知空气中的电场强度为zxeeEˆˆ41，求（1）空气中的电位移矢量（2）媒质2中的电场强度。

第一章 矢量分析

1.1 3ˆ2ˆˆzyxeeeA，zyeeBˆ4ˆ，2ˆ5ˆyxeeC

求（1）ˆAe；（2）矢量A的方向余弦；（3）BA；（4）BA；

（5）验证BACACBCBA ；

（6）验证BACCABCBA。

1.2 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该未知矢量。设A为已知矢量，XAB和XAB已知，求X。

1.3 求标量场32yzxyu在点（2,-1,1）处的梯度以及沿矢量zyxeeelˆ2ˆ2ˆ

方向上的方向导数。

1.4 计算矢量3222224ˆˆˆzyxexyexeAzyx对中心原点的单位立方体表面的面积分，再计算A对此立方体的体积分，以验证散度定理。

1.5 计算矢量zyexexeAzyx22ˆˆˆ沿(0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2)，(0,0)正方形闭合回路的线积分，再计算A对此回路所包围的表面积的积分，以验证斯托克斯定理。

1.6 f为任意一个标量函数，求f。

1.7

A为任意一个矢量函数，求A。

1.8 证明：AfAfAf)(。

1.9 证明：AfAfAf)()()(。

1.10 证明：)()()(BAABBA。

1.11 证明：AAA2)(。

1.12 sincosˆ),,(32zeezA，试求A，A及A2。

1.13 cos1ˆsin1ˆsinˆ),,(2rerererAr，试求A，A及A2。

1.14 sin),,(zzf，试求f及f2。

第八章 电磁感应与电磁场

§8-1电磁感应定律

一、电磁感应现象

电磁感应现象可通过两类实验来说明：

1．实验

1）磁场不变而线圈运动

2）磁场随时变化线圈不动

2．感应电动势

由上两个实验可知：当通过一个闭合导体回路的磁通量变化时，不管这种变化的原因如何（如：线圈运动，变；或不变线圈运动），回路中就有电流产生，这种现象就是电磁感应现象，回路中电流称为感应电流。

3．电动势的数学定义式

定义：把单位正电荷绕闭合回路一周时非静电力做的功定义为该回路的电动势，即

lKldK：非静电力 （8-1）

说明：（1）由于非静电力只存在电源内部，电源电动势又可表示为

正极负极ldK 表明：电源电动势的大小等于把单位正电荷从负极经电源内部移到正极时，非静电力所做的功。

（2）闭合回路上处处有非静电力时，整个回路都是电源，这时电动势用普遍式表示：lKldK：非静电力

（3）电动势是标量，和电势一样，将它规定一个方向，把从负极经电源内部到正极的方向规定为电动势的方向。

二、电磁感应定律

1、定律表述

在一闭合回路上产生的感应电动势与通过回路所围面积的磁通量对时间的变化率成正比。数学表达式：

dtdki

在SI制中，1k，（StVWb:;:;:），有

dtdi （8-2）

上式中“-”号说明方向。

2、i方向的确定

为确定i，首先在回路上取一个绕行方向。规定回路绕行方向与回路所围面积的正法向满足右手旋不定关系。在此基础上求出通过回路上所围面积的磁通量，根据dtdi计算i。

,000idtd ,000idtd 沿回路绕行反方向沿回路绕行方向:0:0i

三、楞次定律

此外，感应电动势的方向也可用楞次定律来判断。

梯度:

高斯定理: A dS， 电磁场与电磁波知识点要求

第一章矢量分析和场论基础

1理解标量场与矢量场的概念；

场是描述物理量在空间区域的分布和变化规律的函数。

2、理解矢量场的散度和旋度、标量场的梯度的概念，熟练掌握散度、旋度和梯度的计算公 式和方法(限直角坐标系)。

:u ；u ；u

ex ey ez，

-X ；y : z

物理意义：梯度的方向是标量 u随空间坐标变化最快的方向;

梯度的大小：表示标量 u的空间变化率的最大值。

散度：单位空间体积中的的通量源，有时也简称为源通量密度,

旋度：其数值为某点的环流量面密度的最大值， 其方向为取得环量密度最大值时面积元的法 线方向。

斯托克斯定理：

■ ■(S? A dS |L)A dl

数学恒等式：' Cu)=o,「c A)=o

3、理解亥姆霍兹定理的重要意义： a时，n =3600/ a , n为整数，则需镜像电荷

XY平面 , r r r. S(—x,y ,z)

-q ■严

S(-x , -y ,z) S(xFq R 1

q

S(x；-y ,z ) P(x,y,z) 若矢量场A在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则矢量场 由其散度和旋度唯一地确定，并且矢量场 A可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数

的旋度之和。A八 F u

第二、三、四章 电磁场基本理论

Q

1、理解静电场与电位的关系， u= .E dl，E(r)=-Vu(r)

P

2、理解静电场的通量和散度的意义 ，

「s D dS「V "vdV \ D=，V

E dl 二 0 ' ' E= 0

静电场是有散无旋场，电荷分布是静电场的散度源。

3、理解静电场边值问题的唯一性定理，能用平面镜像法解简单问题;

唯一性定理表明：对任意的静电场，当电荷分布和求解区域边界上的边界条件确定时， 空间

区域的场分布就唯一地确定的

镜像法：利用唯一性定理解静电场的间接方法。 关键在于在求解区域之外寻找虚拟电荷， 使