第一章：矢量分析法

1 矢量与张量

为什么学习张量

1. 物理量： 标量 矢量 张量

2. 客观性： 客观规律与坐标系（观察者）无关

第一章：矢量

矢量：1.方向性

2.合成结果与顺序无关

不符合这两点要求的不是矢量。转动具有大小和方向

但由于不满足交换律（第2要素），因而不是矢量。

基本运算：

1. 点积 abcosab

a与b在a上的投影之积。

分配律：abcabac

证明：

bc的投影等于b的投影与c的投影之和

推论：

① abcdacadbcbd

② 111223311bbbbbeeeee

③ 333iijjiii1i1i1abababee

2.叉积 absinabn b+c

a c

b 2 有方向的平行四边形面积

3混合积 ()uvw

六面体体积

改变六面体底、高顺序 可证：

()()()uvwvwuwuv

推论：

① 叉积分配律：abcabac

证明：

vabcbcvabvacvavabac

上式对任何矢量v都成立，所以

abcabac

② abcdacadbcbd

③ 112233112233aaabbbabeeeeee

123231312123123231312123aaaaaaaaabbbbbbbbbeeeeee

④ abc231312123231312aaaaaacccbbbbbb

123123123cccaaabbb

⑤ 21232123123uuuvvvwwwuvw w u v 3 T123123123123123123uuuuuuvvvvvvwwwwwwuuuvuwvuvvvwwuwvww

1 第一章 矢量分析

（说明：本章为07电本英语讲义的中译本）

电磁场是矢量场，矢量分析是学习电磁场性质的基本数学工具之一。本章中，我们主要介绍矢量场理论基本知识：矢量运算，标量场的梯度，矢量场的散度和旋度,以及对于矢量场运算有重要作用的称为戴尔（或那布拉）算符的运算规则。稍后，将介绍狄拉克δ函数及一些重要的矢量场定理，它对我们今后学习电磁场理论有重要作用。

1-1 矢量运算

我们在电磁场中遇到的大多数量可分为两类：标量和矢量。

仅有大小的量称为标量。具有大小和方向的量称为矢量。一矢量A可写成

AAAe

其中A是矢量A的大小，eA是与A同方向上的单位矢量。矢量的大小称为矢量的模，单位矢量的模为1。矢量A方向上的单位矢量可以这样表示：

AAAe

矢量将用黑斜体字母表示，单位矢量用e来表示。

作图时，我们用一有长度和方向的箭头表示矢量，如图1-1-1所示。如果两矢量A和B具有同样的大小和方向，它们是相等的。如果两矢量A和B具有同样的物理的或几何的意义，则它们具有同样的量纲，我们可以对矢量进行比较。如果一个矢量的大小为零，我们称为零矢量或空矢量。这是唯一一个不能用箭头表示的矢量。

我们也可以定义面积矢量。如果有一面积为s的平面，则面积矢量s的大小为s，它的方向按右手螺旋规则确定，如图1-1-2所示。

1-1-1 矢量加和减

两矢量A和B可彼此相加，其结果给出另一矢量C，C = A + B。矢量三角形或矢量四边形给出了两矢量A和B相加的规则，如图1-1-3所示。

由此我们可得出：矢量加法服从加法交换律和加法结合律。

交换律： A + B = B + A (1-1-1)

结合律：(A + B) + C = A + (B + C) (1-1-2) A

图1-1-1 矢量A s

图1-1-2 面积矢量s s 2

由C = A + B，其也意味着一个矢量C可以由两个矢量A和B来表示，即矢量C可分解为两个分矢量A和B（分量）。也可说，一个矢量可以分解为几个分矢量。

电磁场与电磁波

摘要:电磁场与电磁波课程与电气专业息息相关，是我们电气专业学生必须学习的，这学期我们进行了电磁场与电磁波的学习。主要讲解了矢量分析，电磁场的基本定律，时变电磁场，简述了静态电磁场极其边值问题的解。第一章:矢量分析是研究电磁场在空间分布和变化规律的基本数学工具之一。第二章以大学物理（电磁学）为基础，介绍电磁场的基本物理量和基本规律，第三章分别介绍了静电场、恒定电场和恒定磁场的分析方法。第四章主要讨论时变电磁场的普遍规律。

一、矢量分析

电磁场是是分布在三维空间的矢量场，矢量分析是研究电磁场在空间的分布和变化规律的基本教学工具之一。

1：标量和矢量

(1) 标量：一个只用大小描述的物理量。矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量一旦被赋予“物理单位”，则成为一个具有物理意义的矢量，如：电场强度矢量E、磁场强度矢量H、作用力矢量F、速度矢量v等。

(2) 两个矢量A与B相加，其和是另一个矢量D。矢量D=A+B可按平行四边形法则得到：从同一点画出矢量A与B，构成一个平行四边形，其对角线矢量即为矢量D。两个矢量A与B的点积是一个标量，定义为矢量A与B的与它们之间较小的夹角的余弦之积。

(3) 两个矢量A与B的叉积是一个矢量，它垂直于包含矢量A和B的平面，大小定义为矢量A与B的与它们之间较小的夹角的正弦之积，方向为当右手四个手指从矢量A到B旋转时大拇指的方向。

2：标量场的梯度

（1）等值面: 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面，形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。对任意给定的常数C，方程Czyxu),,(就是等值方程。

（2）梯度的概念：标量场u在点M 处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量u变化率最大的方向，大小等于其最大变化率，并记作grad u,即 grad u= el|max直角坐标系中梯度的表达式为grad u=,标量场u的梯度可用哈密顿算符表示为grad u=()．u =

序章 基本背景知识

1.量子力学的基本要素是：「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」

（简单解说：粒子在任一时刻都具有一个「状态」，粒子具有的某些可测量的性质（位置、动量、角动量、自旋，etc）称为「可观测量」，而测量粒子的这些性质的过程就是「观测行为」，俗称“做实验”）

2.初等量子力学的任务是：

（1）预测「对一个系统（“态”）进行实验（“观测”）得到的实验结果（观测结果）」

（2）寻找“态”随时间的「演化」规律

3.从旧量子论到现代量子力学：

（1）普朗克能量量子化假设（1900年） （2）爱因斯坦光量子假说（1905年）

（3）光的波粒二象性（1909年） （4）玻尔模型（1913年）

（5）斯特恩-盖拉赫实验（1922年）

（6）德布罗意假设：物质波假说，粒子动量kp（1924年）

（7）乌伦贝克-古兹米特自旋假说；泡利不相容原理；海森堡-矩阵力学（1925年）

（8）薛定谔-波动力学（1926年）

波函数统计诠释：2是概率密度函数， 12dx（1926年）

（9）海森堡不确定性原理；玻尔的互补原理：观测影响状态（1927年）

（10）态叠加原理；《量子力学原理》（狄拉克，1930年）

4.量子力学与经典力学的比较：

量子力学 经典力学

研究对象在

t时刻的位置 无法确定

只能确定在dxxx~的出现概率 可以确定

t时刻的

动量和速度 无法确定，速度无意义

只能确定具有dppp~的概率

且不可同时确定位置和动量 位置、动量和速度

同时确定

研究对象的

状态的描述 波函数Ψ(?,t)（复函数）

或态矢量（复矢量） tptr,（实矢量函数）

状态的

演化方程 薛定谔方程（复系数方程） 牛顿第二定律（实系数方程）

观测行为 会影响对象

（只有时间测量不影响） 不会影响对象

测量精度 受不确定性原理限制

且“某些”量无法同时测定 可达到任意高