量子力学考研试题及答案

量子力学试题（一）及答案

一. （20分）质量为m的粒子，在一维无限深势阱中

axxaxxV,0 ,0 ,0

中运动，若0t时，粒子处于

xxxx3212131210,

状态上，其中，xn为粒子能量的第n个本征态。

（1） 求0t时能量的可测值与相应的取值几率；

（2） 求0t时的波函数tx,及能量的可测值与相应的取值几率

解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为

xanaxnnmaEnnsin2,3,2,1 ,22222

（1） 首先，将0,x归一化。由

12131212222c

可知，归一化常数为

1312c

于是，归一化后的波函数为

xxxx3211331341360,

能量的取值几率为

133 ;134 ;136321EWEWEW

能量取其它值的几率皆为零。

（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0t时的波函数为 tExtExtExtx332211iexp133iexp134iexp136,

（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0t时的取值几率与0t时相同。

二. （20分）质量为m的粒子在一维势阱

axaxVxxV ,00 ,0 .0

2012年复旦大学 量子力学（回忆版）

第一题为必做，第二至第七题选作五道

一、1）写出量子力学五个基本假设

2）分别写出在动量表象和坐标表象下的薛定谔方程

3）动量和坐标的某种对易关系（具体记不清了）

4）求σx的本征值和本征态

5）求Lz的本征值和本征函数

二、计算波函数的某个算符的平均值

三、t<0时，电子处于磁场B=B0e1中，并处于自旋向上态。t>0时，加进了磁感B’=e2B1*sin2ω0t+e3B2*cos2ω0t。(其中ei为方向矢量)

1）求t>0时电子的波函数

2）画出Sz随时间的变化

3）（忘了）

四、H=d2/dx2+μω2x2/2 +qex,其中H’=qex，计算各能级的二级近似能量。

五、两个自旋为1/2的粒子，磁距分别为μ1,μ2。两粒子的距离为a=A*z(z为矢量)，两粒子受磁距相互作用，

H=μ1*μ2 +（μ1*a）（μ2*a）

1） 以S1，S2表示H

2） 在（S2,Sz）表象中表示H

3） 求哈密顿H的本征值

六、碱金属原子处于势场)(r1rba中

1）求其所有能级，并与氢原子能级比较

2）（忘了）

七、中心力场V(r)=gδ(r-a)中高能散射振幅及微分截面。

湖北大学2019—2020学年度第2学期课程考试A试题纸

第1页共2页课程考试试题纸

课程名称：量子力学（A卷）

考试方式：（闭卷）印刷份数：

学院：物理与电子科学学院任课教师：王明浩、李根

专业年级：18级电科、电产、微电、微产

题

号一二三四五六七八总分阅卷

教师

得

分

……………………………………………………………………………………………………

一、填空题（每小题2分，共20分）

1、量子力学是一门研究运动的学科。

2、Plank-Einstein关系式:和。

3、微观粒子既具有粒子的性质，同时也具有波动的性质，是所谓的_____________性。

4、量子力学中，体系状态用_________描述

5、pdtpctpdW

2

),(),(

表示：。

6、在坐标表象下，动量算符的本征函数)(r

p



，其正

交归一化可以表示为：。

7、),,(r

为归一化波函数，粒子在），（

方向、立体角d

内出现的几率

为；在半径r

、厚度为dr

的球壳内粒子出现的几率为。

8、已知力学量F

算符满足条件：IFˆˆ

2



，则Fˆ

的本征值为。

9、若力学量算符Fˆ

和Gˆ

满足条件0]ˆ

,ˆ

[GF

，则其物理含义为。

10、]ˆ,ˆ[

xpx

，]ˆ

,ˆ

[

yxLL

。得

分

***********学号：姓名：***********

**********************

***********学院：专业年级：***********

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*** 湖北大学2019—2020学年度第2学期课程考试A试题纸

第2页共2页

二、简答题（每小题10分，共20分）

1、简述什么是态叠加原理。

2、写出含时薛定谔方程和定态薛定谔方程。

三、计算题（每小题20分，共20分）

1、线性谐振子在初始时刻处于下面归一化状态：

)()(

21

)(

51

)(

5520xCxxx

，0

5C

，式中)(x

n

表示谐振子第n

量子力学

第 1 页 共 3 页 陕西师范大学远程教育学院（网络教育）课程考试

《量子力学》试题

注 意： 1、所有答案必须写在答题纸上，否则无效。

2、务必将装订线内相关信息填写完整，否则成绩无效。

3、答卷时必须字迹工整，标明题号,否则无效。

一、填空题（本题10道小题,每小题2分,满分20分）

1、历史上第一个完全肯定光除了波动性之外还具有粒子性的科学家是 。按照光子假，频率为ν、波长为λ的电磁辐射其光子的能量E=

，动量P= ．

2、按照德布罗意假说，能量为E、动量为P的自由粒子，其相应的物质波可表示为Ψ= ，粒子的速度远小于光速时，其德布罗意波长λ= =

．

3、按玻恩对波函数的统计解释，归一化的波函数ψ(x,y,z,t)应满足的条件是

，描写同一状态的两个归一化的波函数其差别是 ．

4、若单粒子体系的哈密顿为Hˆ, 则体系的薛定格方程为

；当Hˆ不显含时间t时, 体系的定态波函数为

.薛定格方程的一般解是

．

5、体系的角量子数l=2，则角动量的大小L=

，角动量的z分量zL的可能值是

, ,

.

6、动量算符的本征函数为rpiCrpexp.若C=321，则归一化表达式为 ．若C=31L，则归一化表达式是 ；

7、力学量Q具有连续分布的本征值q, 相应的本征函数为xuq.则任意力学量F在Q表象中的矩阵元qqF .按这个公式计算出在坐标表象中F的矩阵元xxF＝ .

8、体系的哈密顿为tHHtHˆˆˆ0,0ˆH与时间无关, 只有tHˆ含时间t.若体系的薛定格方程为tHtiˆ.该方程在能量表象中的表示形式为 ,该方程的一级近似解为 .