量子力学考研试题及答案

量子力学试题（一）及答案

一. （20分）质量为m的粒子，在一维无限深势阱中

axxaxxV,0 ,0 ,0

中运动，若0t时，粒子处于

xxxx3212131210,

状态上，其中，xn为粒子能量的第n个本征态。

（1） 求0t时能量的可测值与相应的取值几率；

（2） 求0t时的波函数tx,及能量的可测值与相应的取值几率

解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为

xanaxnnmaEnnsin2,3,2,1 ,22222

（1） 首先，将0,x归一化。由

12131212222c

可知，归一化常数为

1312c

于是，归一化后的波函数为

xxxx3211331341360,

能量的取值几率为

133 ;134 ;136321EWEWEW

能量取其它值的几率皆为零。

（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0t时的波函数为 tExtExtExtx332211iexp133iexp134iexp136,

（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0t时的取值几率与0t时相同。

二. （20分）质量为m的粒子在一维势阱

axaxVxxV ,00 ,0 .0

第一章思考题

1．下说法是否正确：

（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；

（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于=可以忽略的体系。 =

答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典

力学体系。

（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量

子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。 =

2．什么是黑体？

（1）黑颜色的物体。

（2）完全吸收任何波长的外来辐射而无反射的物体。

（3）完全吸收任何波长的外来辐射而无任何辐射的物体。

（4）吸收比为1的物体。

（5）在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。

答：（4），（5）正确。吸收比α（λ，T）=1蕴含了任何温度下，对入射的

任何波长的辐射α（λ，T）均为1。

（2）是常见的黑体定义，显然，应加上“在任何温度下”才完整。

3．康普顿效应中入射光子的能量只有部分被电子吸收，这是否意味着光子在相

互作用过程中是可分的？

答：光电效应中，一个电子同时吸收两个光电子的概率非常小，一个电子只

吸收一个光子。另外，实测中光电发射没有可分辨出的时间延迟，这说明，电

子没有能量的积累过程，即电子吸收一个光子后再吸收一个光子的概率也是非

常小的。因而，截止频率的限制是必需的。

4．德布罗意关系式是仅适用与基本粒子如电子、中子之类还是同样适用于具有

内部结构的复合体系？

答：德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映而

与物质具体结构无关。因此，不仅适用于基本粒子也适用于具有内部结构的复

杂体系。

5．粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短？二者之间是否有必然联

系？

答：由基本假设 λ=ph，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联

系。

6．在电子衍射实验中，单个电子的落点是无规律的，而大量电子的散落则形成

了衍射图样，这是否意味着单个粒子呈现粒子性，大量粒子集合呈现波动性？ 答：为了验证是否大量粒子集合才呈现波动性，1949年比尔曼（苏）等曾做

2012年复旦大学 量子力学（回忆版）

第一题为必做，第二至第七题选作五道

一、1）写出量子力学五个基本假设

2）分别写出在动量表象和坐标表象下的薛定谔方程

3）动量和坐标的某种对易关系（具体记不清了）

4）求σx的本征值和本征态

5）求Lz的本征值和本征函数

二、计算波函数的某个算符的平均值

三、t<0时，电子处于磁场B=B0e1中，并处于自旋向上态。t>0时，加进了磁感B’=e2B1*sin2ω0t+e3B2*cos2ω0t。(其中ei为方向矢量)

1）求t>0时电子的波函数

2）画出Sz随时间的变化

3）（忘了）

四、H=d2/dx2+μω2x2/2 +qex,其中H’=qex，计算各能级的二级近似能量。

五、两个自旋为1/2的粒子，磁距分别为μ1,μ2。两粒子的距离为a=A*z(z为矢量)，两粒子受磁距相互作用，

H=μ1*μ2 +（μ1*a）（μ2*a）

1） 以S1，S2表示H

2） 在（S2,Sz）表象中表示H

3） 求哈密顿H的本征值

六、碱金属原子处于势场)(r1rba中

1）求其所有能级，并与氢原子能级比较

2）（忘了）

七、中心力场V(r)=gδ(r-a)中高能散射振幅及微分截面。

湖北大学2019—2020学年度第2学期课程考试A试题纸

第1页共2页课程考试试题纸

课程名称：量子力学（A卷）

考试方式：（闭卷）印刷份数：

学院：物理与电子科学学院任课教师：王明浩、李根

专业年级：18级电科、电产、微电、微产

题

号一二三四五六七八总分阅卷

教师

得

分

……………………………………………………………………………………………………

一、填空题（每小题2分，共20分）

1、量子力学是一门研究运动的学科。

2、Plank-Einstein关系式:和。

3、微观粒子既具有粒子的性质，同时也具有波动的性质，是所谓的_____________性。

4、量子力学中，体系状态用_________描述

5、pdtpctpdW

2

),(),(

表示：。

6、在坐标表象下，动量算符的本征函数)(r

p



，其正

交归一化可以表示为：。

7、),,(r

为归一化波函数，粒子在），（

方向、立体角d

内出现的几率

为；在半径r

、厚度为dr

的球壳内粒子出现的几率为。

8、已知力学量F

算符满足条件：IFˆˆ

2



，则Fˆ

的本征值为。

9、若力学量算符Fˆ

和Gˆ

满足条件0]ˆ

,ˆ

[GF

，则其物理含义为。

10、]ˆ,ˆ[

xpx

，]ˆ

,ˆ

[

yxLL

。得

分

***********学号：姓名：***********

**********************

***********学院：专业年级：***********

********************************************

*** 湖北大学2019—2020学年度第2学期课程考试A试题纸

第2页共2页

二、简答题（每小题10分，共20分）

1、简述什么是态叠加原理。

2、写出含时薛定谔方程和定态薛定谔方程。

三、计算题（每小题20分，共20分）

1、线性谐振子在初始时刻处于下面归一化状态：

)()(

21

)(

51

)(

5520xCxxx

，0

5C

，式中)(x

n

表示谐振子第n