高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课件北师大版必修4

1 1.5 正弦函数的图像与性质

5分钟训练(预习类训练，可用于课前)

1.函数y=1-sinx,x∈［0,2π］的大致图像是（ ）

图1-4-2

解析：对于本题可按如下程序进行思考：

首先作出（或想象出）y=sinx,x∈［0,2π］的图像，如下图所示：

然后作出（或想象出）y=-sinx,x∈［0，2π］的图像（请同学自己画出）；最后作出（或想象出）y=-sinx+1的图像（请同学自己画出).

易得图像应为B.

本题亦可验证（0，1）、（2，0）两点.

答案：B

2.在［0，2π］上画出函数y=sinx-1的简图.

解析：（1）第一步：按五个关键点列表；

x 0 2 π 23 2π

sinx 0 1 0 -1 0

sinx-1 -1 0 -1 -2 -1

第二步：描点；

第三步：画图，即用光滑的曲线将五个点连结起来.

3.分析y=sinx-1及y=2sinx的图像与y=sinx的图像在［0，2π］上的位置关系.

解：（1）在同一坐标系中画出y=sinx-1与y=sinx的图像.

2 通过图像比较，y=sinx-1的图像是将y=sinx的图像整个向下平行移动了1个单位得到的.

（2）在同一坐标系中，画出y=2sinx与y=sinx的图像.

通过图像很容易看出，将y=sinx的图像上所有的点的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的2倍，就可以得到y=2sinx的图像.

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.函数y=sin（-x），x∈［0，2π］的简图是（ ）

图1-4-3

解析：y=f(x)的图像与y=f(-x)的图像关于y轴对称，先作出y=sinx的图像，再作此图像关于y轴的对称图像即得y=sin(-x)的图像.

答案：B

2.函数y=4sinx的图像（ ）

A.关于y轴对称 B.关于直线x=6对称

C.关于原点对称 D.关于直线x=π对称

1 1.6 余弦函数的图像与性质

整体设计

教学分析

1.上两节刚刚学习了正弦函数的图像与性质,对于本节的学习,有两个内容:一是余弦函数的图像,二是余弦函数的性质.我们可以完全类比正弦函数,只是作余弦函数图像时可通过平移的方法得到,这也是类比思想、数形结合思想、图像变换思想方法的应用.

2.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么我们就会完全清楚它在整个定义域内的性质.教材要求我们研究三角函数性质“就是要研究这类函数性质具有的共同特点”,这是对数学思考方向的一种引导.

3.余弦函数性质的难点,在于函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易;单调性只要求由图像观察,不要求证明.而余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.

三维目标

1.通过类比正弦函数图像的作图方法,会用几何法画出余弦函数的图像;通过诱导公式能用图像平移的方法得到余弦函数的图像.

2.观察函数y=cosx,x∈［0,2π］的图像上,哪些点起着关键作用,并会用关键点画出函数y=cosx在x∈［0,2π］上的简图.

3.通过类比、知识迁移的学习方法,提高探究新知的能力,并通过正弦函数和余弦函数的图像与性质的对比,理解两种函数的区别及内在联系.

重点难点

教学重点:会通过平移得到余弦函数的图像,并会用五点法画出余弦函数的图像;余弦函数的性质.

教学难点:结合图像,余弦函数性质的灵活运用是本节的一个难点.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(直接导入)我们在研究了正弦函数的图像,你能类比正弦函数图像的作法作出余弦函数的图像吗？从学生画图像、观察图像入手,由此展开余弦函数性质的探究.

思路2.(复习导入)研究函数就是要讨论一些性质,y＝cosx是函数,我们当然也要探讨它的一些属性.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值)?然后逐一进行探究.

sin±cos的符号规律及应用

由三角函数的定义，sin＝yr，cos＝xr，则极易得到sin±cos的符号，即sin±cos＝yxr，故符号由y±x决定，易得以下规律．

一、符号规律

①＞0(或＜0)的终边在直线的上(或下)方；

②＞0(或＜0)的终边在直线的上(或下)方．

③＝0的终边在直线上；

④＝0的终边在直线上．

以上四条规律，可利用图1表示．

二、应用举例

例1在(0，2)内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围为（ ）

(A) (4，2)∪(，54) (B) (4，)

(C) (4，54) (D) (4，)∪(54，32)

分析：移项，化为sinx－cosx＞0，利用符号规律②即可解决．

解：由sinx＞cosx，即sinx－cosx＞0，故x应在直线y－x＝0上方的区域，故选(C)．

评注：利用符号规律来解，体现了数形结合法思想．本题还可用特殊值法排除．

例2已知点P(sin－cos，tan)在第一象限，则在)20[，内的取值是 ( )

(A) (432，)∪(45，) (B) (24，)∪(45，)

(C) (432，)∪(2345，) (D) (24，)∪(，43)

分析：由点P在第一象限，则可转化为三角不等式组sincos0

tan0 ，解此不等式即可． xyo 1图yxyx

解：由题意，得sincos0 ①tan0 ②，由①得应在直线x－y＝0上方，由②知应在第一、三象限，所以∈(24，)∪(45，)，而选(B)．

评注：本题应注意限制条件)20[，内，同时解不等式组应取①②交集，但其结果是并集形式．

例3 若，则取值范围是（ ）

1 1.6 余弦函数

5分钟训练(预习类训练，可用于课前)

1.135°角的正弦和余弦为（ ）

A.22,22 B.22,22

C.22,22 D.22,22

解析：设135°角的终边与单位圆交于点P，则 P点坐标为（22，22）.

∴sin135°=22，cos135°=22.

答案：B

2.（1）已知角α的终边经过点P（3，4），求角α的正弦和余弦;

（2）已知角α的终边经过点P（3t，4t），t≠0，求角α的正弦和余弦.

解：（1）由x=3，y=4，得|OP|=r=2243=5.

∴sinα=54ry，cosα=53rx.

（2）由x=3t，y=4t，得r=22)4()3(tt=5|t|.

当t>0时，r=5t.

因此sinα=54，cosα=53.

当t<0时，r=-5t.因此sinα=54，

cosα=53.

3.已知角α的终边与函数y=x23的图像重合，求sinα、cosα.

解：由题意可知α的终边在第一或第三象限.

若α终边在第一象限，则在终边上任取点P（2，3）.

此时x=2，y=3，r=13.

∴sinα=13133133ry,cosα=13132132rx.

若α终边在第三象限，则在终边上任取点P（-2，-3）.

此时x=-2，y=-3，r=13. 2 ∴sinα=13133133ry,cosα=13132132rx.

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.若cosα=0，则角α等于（ ）

A.kπ（k∈Z） B.2+kπ（k∈Z）

C.2+2kπ（k∈Z） D.2+2kπ（k∈Z）

解析：根据余弦函数的定义，cosα=rx=0.所以x=0.所以α的终边落在x轴上.所以α=2