高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质课件2北师大版必修4

1 1.5.2 正弦函数的性质

备课资料

一、近几年三角函数知识的变动情况

三角函数一直是高中固定的传统内容,但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日,国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容,其中的调整意见第(7)条为:“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式,不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中,已尽可能减少了这8个公式的出现次数,在仅有的一次应用中,还将公式印在试卷上,以供查阅.而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效),这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了.但是,如果认为这次调整的仅仅是8个公式,仅仅是降低了对8公式的要求,那就太表面、太肤浅了.

我们知道,三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一,相当部分的三角题都是围绕它们而设计的,它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力.现在要求降低了,有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了.这样一来,三角部分还要我们教些什么呢?又该怎样教?立刻成了部分教师心头的一大困惑.有鉴于此,我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系,理清新的教学思路,以便真正落实这次调整的意见,实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担,有利于深化普通高中的课程改革,有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标.

1.是“三角”还是“函数”

应当说,三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的.三角本是几何学的衍生物,起始于古希腊的希帕克,经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科,历史上的很长一段时期,只有《三角学》盛行于世,却无“三角函数”之名.“三角函数”概念的出现,自然是在有了函数概念之后,从时间上看距今不过300余年.但是,此概念一经引入,立刻极大地改变了三角学的面貌,特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作,致使三角函数可以完全独立于三角形之外,而成为分析学的一个分支,其中的角也不限于正角,而是任意实数了.有的学者甚至认为可将它更名为角函数,这是有见地的,所以,作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在.现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局,将三角并入了代数内容.这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重.

1 1.5 正弦函数的图像与性质

5分钟训练(预习类训练，可用于课前)

1.函数y=1-sinx,x∈［0,2π］的大致图像是（ ）

图1-4-2

解析：对于本题可按如下程序进行思考：

首先作出（或想象出）y=sinx,x∈［0,2π］的图像，如下图所示：

然后作出（或想象出）y=-sinx,x∈［0，2π］的图像（请同学自己画出）；最后作出（或想象出）y=-sinx+1的图像（请同学自己画出).

易得图像应为B.

本题亦可验证（0，1）、（2，0）两点.

答案：B

2.在［0，2π］上画出函数y=sinx-1的简图.

解析：（1）第一步：按五个关键点列表；

x 0 2 π 23 2π

sinx 0 1 0 -1 0

sinx-1 -1 0 -1 -2 -1

第二步：描点；

第三步：画图，即用光滑的曲线将五个点连结起来.

3.分析y=sinx-1及y=2sinx的图像与y=sinx的图像在［0，2π］上的位置关系.

解：（1）在同一坐标系中画出y=sinx-1与y=sinx的图像.

2 通过图像比较，y=sinx-1的图像是将y=sinx的图像整个向下平行移动了1个单位得到的.

（2）在同一坐标系中，画出y=2sinx与y=sinx的图像.

通过图像很容易看出，将y=sinx的图像上所有的点的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的2倍，就可以得到y=2sinx的图像.

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.函数y=sin（-x），x∈［0，2π］的简图是（ ）

图1-4-3

解析：y=f(x)的图像与y=f(-x)的图像关于y轴对称，先作出y=sinx的图像，再作此图像关于y轴的对称图像即得y=sin(-x)的图像.

答案：B

2.函数y=4sinx的图像（ ）

A.关于y轴对称 B.关于直线x=6对称

C.关于原点对称 D.关于直线x=π对称

1 1.6 余弦函数

5分钟训练(预习类训练，可用于课前)

1.135°角的正弦和余弦为（ ）

A.22,22 B.22,22

C.22,22 D.22,22

解析：设135°角的终边与单位圆交于点P，则 P点坐标为（22，22）.

∴sin135°=22，cos135°=22.

答案：B

2.（1）已知角α的终边经过点P（3，4），求角α的正弦和余弦;

（2）已知角α的终边经过点P（3t，4t），t≠0，求角α的正弦和余弦.

解：（1）由x=3，y=4，得|OP|=r=2243=5.

∴sinα=54ry，cosα=53rx.

（2）由x=3t，y=4t，得r=22)4()3(tt=5|t|.

当t>0时，r=5t.

因此sinα=54，cosα=53.

当t<0时，r=-5t.因此sinα=54，

cosα=53.

3.已知角α的终边与函数y=x23的图像重合，求sinα、cosα.

解：由题意可知α的终边在第一或第三象限.

若α终边在第一象限，则在终边上任取点P（2，3）.

此时x=2，y=3，r=13.

∴sinα=13133133ry,cosα=13132132rx.

若α终边在第三象限，则在终边上任取点P（-2，-3）.

此时x=-2，y=-3，r=13. 2 ∴sinα=13133133ry,cosα=13132132rx.

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.若cosα=0，则角α等于（ ）

A.kπ（k∈Z） B.2+kπ（k∈Z）

C.2+2kπ（k∈Z） D.2+2kπ（k∈Z）

解析：根据余弦函数的定义，cosα=rx=0.所以x=0.所以α的终边落在x轴上.所以α=2

1 5．1 正弦函数的图像

内容要求 1.能用“五点法”画正弦函数在[0,2π]上的图像(重点).2.理解正弦曲线的意义(难点)．

知识点1 正弦线

如图所示，设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O相交于点P(x，y)，过P点作x轴的垂线，垂足为M.

我们称MP为角α的正弦线，P叫正弦线的终点．

【预习评价】

(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在正弦线的定义中MP也可以写成PM的形式．(×)

(2)正弦线是一条有方向的有向线段．(√)

知识点2 正弦函数图像的画法

(1)几何法

利用几何法作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像的过程如下：

①作直角坐标系，并在直角坐标系y轴的左侧画单位圆，如图所示．

②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图像越精确)．过单位圆上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线．

③找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份．

④平移：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合．

⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y＝

sin x，x∈[0,2π]的图像． 2

(2)“五点法”

在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像上，起关键作用的点有以下五个：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．事实上，找出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就可以得到函数的简图．这种方法称为“五点法”．

【预习评价】

1．函数y＝sin x在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．

答案 [π2，3π2] 1

2．利用五点法作函数y＝Asin x(A＞0)的图像时，选取的五个关键点是什么？