(整理)范德蒙行列式及其应用

2020.36科学技术创新范德蒙行列式在多项式和线性变换中的应用韩荣梅(内蒙古科技大学包头师范学院数学科学学院,内蒙古包头014000)1范德蒙行列式在多项式中的应用分析多项式中求根类的题目时,范德蒙行列式和一些特殊的性质能提升解决问题的效率,亦能间接的帮助我们解出问题的结果,让解题过程更清晰,易懂。

例1:假设f (x )=b 0+b 1x 1+b 2x 2…+b n x n ,若f (x )至少有n+1个不同的根,则f (x )=0。

证明:取x 1,x 2,…,x n+1为f (x )的n+1个根,且各不相同。

代入得:(1)其中b 1,b 2,…,b n 做未知量。

其中的系数行列式中x i ≠x j (i≠j )。

该式又为范德蒙行列式,故而:所以方程组(1)只有零解。

从而b 0=b 1=b 2=…=b n =0,即f (x )=0。

例2:在数域F 中,设b 1,b 2,…,b n 为互不相同的数,而c 1,c 2,…,c n 为数域F 中的任意一列不全为零的确定的数。

则存在唯一的数域F 上的次数小于n 的多项式f (x ),使f (b i )=c i (i =1,2,…,n )证明:设f (x )=d 0+d 1x+…d n-1x n-1由题f (b i )=c i (i =1,2,…,n )可知:(2)由题可知b 1,b 2,…,b n 之间都是不同的,这样它就变成了一个范德蒙行列式。

那么其结果就为:故而有唯一的解,且解为次数小于n 的多项式,f (x )=d 0+d 1x+…d n-1x n-1,能让f (b i )=c i (i =1,2,…,n )不难发现,范德蒙行列式在多项式中的应用方法很便捷,可以通过创建向量组等方法,亦或者通过取不同的根引入多项式中,将系数看作未知量。

得到一个系数行列式。

就构造了新的范德蒙行列式。

然后通过范德蒙行列式,直接得到结果或一些性质或者是证明结果。

2范德蒙行列式在线性变换中的应用线性变换是高等代数中的一个难点。

范德蒙矩阵从行列式开始范德蒙行列式是长这个样子滴：然后呢，它的转置也叫做范德蒙行列式：为什么呢？因为矩阵转置，行列式的值不会变这里我就不推导了，直接给出范德蒙行列式的值：这是什么意思呢？假设有如下的范德蒙方阵：那么它的行列式等于：(3-2)*(5-2)*(5-3)=6假设4阶范德蒙行列式中有四个数2，3，5，7那么就等于(3-2)(5-2)(7-2)(5-3)(7-3)(7-5)=240 考试中经常出现与范德蒙行列式类似的结构，它们就差了那么一点点，我们需要做的就是将之转化为标准的范德蒙行列式便于计算。

这里我举一个例子。

上面这个行列式长得太像范德蒙矩阵了，只是没有三次项，我们给它补上。

这里除了补上三次项，还有未知数x，为什么呢？当然首先是只有方阵才有行列式。

这样整个行列式的值为：我们仅看x^3 项的系数（负的原行列式的值）就是答案：怎么理解呢？原因就是代数余子式按列展开等于行列式的值。

（1,x,x^2,x^3,x^4）^T按列展开一次得到对应级次的系数，我们这里只取x^3的系数就是对应上上个矩阵行列式的值了。

性质范德蒙矩阵的性质不多，有两条值得说一下：范德蒙矩阵与多项式的最小二乘拟合最后我想谈一谈范德蒙矩阵在多项式的最小二乘拟合中的应用用一个多项式去拟合若干个点：假设有n个采样点，拟合次数为k次，那么方差可以表示为：为求得方差的极小值，对a0,...ak依次求偏导为0。

移项看起来很乱，写成矩阵形式试试：em...这就是个什么矩阵，看起来好复杂滴哈哈，我们观察变形一下：上面的矩阵可以写成范德蒙矩阵相乘的形式哦！我们简记上面的矩阵为：X是竖着的范德蒙矩阵。

这样向量a等于：这里有个很关键的点，范德蒙矩阵不一定是个方阵，即采样点多于拟合多项式的最高次数，不是方阵就没有逆，但是只要不存在相同的两个采样点，那么一定是存在逆矩阵的，多项式的系数向量a也可表示出来了。

这就是基于最小二乘法的多项式拟合原理！。

范德蒙的行列式范德蒙的行列式是线性代数中的重要概念之一，它广泛应用于数学、工程、物理等领域。

它的发现与发展不仅推动了行列式理论的进步，也为解决实际问题提供了强有力的工具。

首先，让我们来了解一下行列式的基本概念。

标准的范德蒙行列式是一个n阶矩阵，其中每个元素都是从一个给定的集合中（通常是实数或复数）选择的。

它的特点是具有一定的排列规律，这些排列规律决定了行列式的计算方式。

行列式的排列规律由范德蒙命名，他是17世纪时期的法国数学家。

行列式的计算结果是一个标量，它可以用于描述矩阵的性质和变换的特性。

行列式的计算涉及到元素的排列和符号的确定。

对于一个n阶行列式，它包含n个元素，首先需要将这些元素进行全排列，然后根据排列的奇偶性来确定每个排列的符号。

具体而言，如果排列的逆序数为偶数，则符号为正；如果逆序数为奇数，则符号为负。

逆序数是指在一个排列中，逆序对的数量。

逆序对是指在一个排列中，如果一个数的序号比它右边的数的序号小，则称这两个数构成一个逆序对。

通过计算每个排列的符号，并将每个排列的元素按照一定的规则进行相乘，最后将所有结果相加，就得到了行列式的值。

行列式的值不仅能够揭示矩阵的性质，还能帮助我们解决方程组、计算面积和体积等实际问题。

例如，在线性代数中，如果一个n阶矩阵的行列式的值为零，那么这个矩阵是奇异的，意味着它不可逆。

这对于解决方程组的存在唯一性以及求逆矩阵等问题非常重要。

此外，行列式的值还可以用来计算多边形的面积和体积。

对于二维平面上的多边形，只需要取多边形的顶点坐标，利用范德蒙的行列式公式，就能够计算出多边形的面积。

对于三维空间中的物体，只需要取物体的顶点坐标，同样可以使用范德蒙的行列式公式计算出物体的体积。

了解了行列式的基本概念和计算方法后，我们不难发现行列式在数学、工程、物理等领域的应用广泛而深入。

在数学领域，行列式是线性代数的基础，它广泛应用于矩阵理论、线性方程组的解法以及向量空间的推导等方面。

范德姆行列式范德蒙德行列式（Vandermonde determinant）是一个非常重要的行列式，它在数学和工程领域具有广泛的应用。

它是由18世纪的法国数学家亚历山大·范德蒙德（Alexandre-Théophile Vandermonde）首次引入和研究的。

范德蒙德行列式的定义相对简单，但其推理和性质却十分复杂。

在深入研究范德蒙德行列式之前，我们首先需要了解行列式的基本概念。

一个$n$阶方阵$A$的行列式（denoted by $|A|$）是一个数值，它代表了该矩阵$n$个行（或$n$个列）之间的线性相关性。

行列式可以通过不同方法计算，其中最常用的方法是利用矩阵的行列式定义。

对于$n$阶方阵$A$，它的行列式可以由下式计算：\[ |A| = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \cdota_{1\sigma(1)} \cdot a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \]其中$S_n$表示所有$n$个元素的排列集合，$\sigma$是其中的一个排列，$\text{sgn}(\sigma)$表示排列$\sigma$的符号，$a_{ij}$表示矩阵$A$的第$i$行、第$j$列的元素。

范德蒙德行列式是一个特定形式的行列式，它的元素由一组互不相同的实数$x_1, x_2, \cdots, x_n$构成，且$n$为正整数。

它的定义如下：\[ V_n = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} \]范德蒙德行列式具有以下性质：1. 对任意$i \neq j$，存在常数$r$，使得$x_i^r = x_j^r$。

范德蒙行列式经典例题范德蒙行列式是19世纪的数学家哈勒•范德蒙提出的一种数学思想，它可以用来解决许多数学问题。

范德蒙行列式的经典应用是用来解决二元一次方程，而这样就给出了许多可以用来练习的例题。

下面将介绍列出几个范德蒙行列式经典例题：一、解决一元二次方程题目：2x2+7x+1=0解：通过范德蒙行列式，可得：|2 7||1 0|令左边矩阵的行列式D = 2*0-7*1 = -7则根据范德蒙行列式，可求出：x1= D/2= -7/2x2= (-7+-√49)/4即根为x1=-3.5，x2=-1.5二、解决多元一次方程题目：2x+y+6z=17 , 5x-y-3z=2 , 4x+3y-2z=1解：通过范德蒙行列式，可得：|2 1 6||5 -1 -3||4 3 -2|令左边矩阵的行列式D = (2*(-1)*(-2)-1*5*(-3)+6*3*4) = 28 则根据范德蒙行列式，可求出：x1= (17*(-2)*(-3)-2*(-1)*6+1*5*4)/D= 6x2= (17*(-1)*4-2*3*6+1*(-3)*5)/D= 4x3= (17*2*3-2*(-1)*(-3)+1*(-1)*(-2))/D= 3三、应用范德蒙行列式进行微积分题目：求∫sin2(x)dx解：利用范德蒙行列式，可得：| sin 2x -1 || cos 2x 0 |令左边矩阵的行列式D = sin2x * 0 - (-1) * cos2x = cos2x则根据范德蒙行列式，则可求得∫sin2(x)dx= sin2x + c,其中c为常数。

四、直角梯形面积计算题目：梯形ABCD的对角线AB和CD的长分别为2 cm 和4 cm，且∠BAC=45°，求梯形ABCD的面积S。

解：通过范德蒙行列式，可得：|2 tan45°||4 0 |令左边矩阵的行列式D = (2 * 0 - tan45° * 4) = -2因此面积S = D / 2 = -1由此可看出，梯形ABCD的面积为1平方厘米。

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用我们知道，n 阶范德蒙德行列式()2111121222121111n n n ijj i nn nnnx x x x x x V x x x x x --<-==-∏≤≤，当这些i x 两两互异时，0n V ≠．这个事实有助于我们理解不少结果．例1 证明一个n 次多项式之多有n 个互异根． 证 设()2012n n f x a a x a x a x =++++有1n +个互异的零点121,,,n x x x +，则有()20120n i i i n i f x a a x a x a x =++++=，1 1i n +≤≤．即这个关于01,,,n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式()211122221121111101nn ijj i n n n n n x x x x x x x x x x x <++++=-≠∏≤≤，因此0120n a a a a =====．这个矛盾表明()f x 至多有n 个互异根． 例2 设12,,,n a a a 是n 个两两互异的数．证明对任意n 个数12,,,n b b b ，存在惟一的次数小于n 的多项式()L x ：()1nj i i j ii jx a L x b a a =≠-=-∑∏，使得()i i L a b =，1 i n ≤≤．证 从定义容易看出()L x 的次数小于n ，且()i i L a b =，故只需证明唯一性即可． 设()210121n n f x c c x c x c x --=++++满足()i i f a b =，1 i n ≤≤，即这个关于0121,,,,n c c c c -的线性方程组的系数行列式()21111212221211101n n ijj i nn nnna a a a a a a a a a a --<-=-≠∏≤≤，故0121,,,,n c c c c -是唯一的，必须()()f x L x =．这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．例3 设()()()121,,,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足 ()()()121211|n n n n n n x x f x xf x x f x ---++++++，证明()()()1211110n f f f -====．证 设()()()()()211211n n n n n n f x xf x x f x p x x x ---+++=+++，取22cossini n nππω=+，分别以21,,,n x ωωω-=代入，可得这个关于()()()1211,1,,1n f f f -的齐次线性方程组的系数行列式()()()22221211101n n n n n ωωωωωω-----≠，因此()()()1211110n f f f -====．例4 设n 是奇数，()()()121,,,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足()()()123221211|n n n n n n n n x x x f x xf x x f x -------+-++++，证明()()()1211110n f f f --=-==-=．证 注意到当n 是奇数时，()()123111n n n n x x x x x ---+=+-+-+，可按照例3的思路完成证明．例5 设A 是个n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关．证 设12,,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,,r ααα适合i i i A αλα=，1 i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=，那么有()11220j r r A x x x ααα+++=，1 1j r -≤≤．即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑，注意到()0j ir rλ⨯≠，必须11220r r x x x ααα====，于是120r x x x ====，这证明了12,,,r ααα线性无关．例6 计算行列式()()()()()()()()()111212122211121111n n n n n n n x x x x x x D x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---=，其中()11kk k k nk x x a xa ϕ-=+++．解 注意到下面的等式： 即得()1n ijj i nD x x <=-∏≤≤．例7 计算行列式1212111111111n n n x x x D x x x n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中()()11!x x x x k k k --+⎛⎫= ⎪⎝⎭．解 直接利用例6可得()()111!2!1!n ijj i nD x x n <=--∏≤≤． 例8 设12,,,n a a a 是正整数，证明n 阶行列式。

范德蒙行列式在多项式插值中的应用在多项式插值中，范德蒙行列式是一种非常重要的工具。

它可以用来求解多项式插值系数，并且具有良好的数值特性和稳定性。

在本文中，我们将分步骤地介绍范德蒙行列式在多项式插值中的应用。

第一步：了解范德蒙行列式范德蒙行列式是一种在线性代数和多项式插值中非常重要的矩阵。

它的形式为：$$D_n(x) = \begin{vmatrix}1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^{n-1} \\1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & \cdots & x_{n-1}^{n-1}\end{vmatrix}$$其中， $x_0, x_1, \dots, x_{n-1}$ 是给定的 $n$ 个数。

范德蒙行列式的值可以通过公式计算，也可以用高斯消元法求解。

第二步：求解多项式插值系数给定 $n+1$ 个不同的点 $(x_0,y_0), (x_1,y_1), \dots,(x_n,y_n)$，我们希望找到一条经过这些点的 $n$ 次多项式：$$p_n(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_{n-1}x^{n-1}$$这个问题可以通过范德蒙行列式求解。

具体来说，我们可以构造一个向量$$\mathbf{y} = \begin{bmatrix}y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}$$和一个矩阵$$\mathbf{V} = \begin{bmatrix}1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^{n-1} \\1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}\end{bmatrix}$$那么，我们就可以用范德蒙行列式求解系数向量 $\mathbf{a}$：$$\mathbf{a} = \frac{1}{D_n(x)} \begin{bmatrix}D_0(x) & -D_1(x) & D_2(x) & \cdots & (-1)^n D_n(x) \\-D_1(x) & D_2(x) & -D_3(x) & \cdots & (-1)^{n+1} D_{n+1}(x)\\D_2(x) & -D_3(x) & D_4(x) & \cdots & (-1)^{n+2} D_{n+2}(x) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\(-1)^{n} D_{n}(x) & (-1)^{n+1} D_{n+1}(x) & (-1)^{n+2}D_{n+2}(x) & \cdots & D_{2n}(x)\end{bmatrix} \cdot \mathbf{y}$$其中，$D_i(x)$ 是范德蒙行列式中第 $i$ 列的值。

海南师范大学目录第一章. 绪论1.1引言- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1.2范德蒙行列式的证明- - - - - - - - - - - - - - 11.2.1 用数学归纳法证明范德蒙行列式1.2.2 用定理证明范德蒙行列式1.3范德蒙行列式的性质- - - - - - - - - - - - - - 4 第二章. 范德蒙行列式的推广与应用- - - - - - - - - 52.1范德蒙行列式在行列式计算中的应用2.2范德蒙行列式在求解n阶k循环行列式中的应用2.3范德蒙行列式在解决多项式的求根问题中的应用2.4范德蒙行列式在解答整除问题中的应用2.5范德蒙行列式在等差数列拆项中的应用2.6范德蒙行列式在微积分中的应用参考文献致谢范德蒙行列式的若干应用作者：高亚南指导教师：黄晓芬博士摘要: 行列式是线性代数的主要内容之一,它是线性代数的决定因素，这是在矩阵，线性方程，向量空间和线性变换之后的的基础上，具有一个非常重要的作用。

该n阶行列式是Vandermonde行列式著名的线性代数，它构建了一个独特而美丽的外形，而且还因为它具有广泛的应用前景，因而成为一个众所周知的决定因素。

范德蒙行列式不仅仅是极为重要的行列式之一，而且也是近代线性代数的一个分支。

范德蒙行列式的应用十分广泛，不仅应用于一些行列式的计算当中，而且它还可以于证明行列式的一些问题，一些关于多项式的证明以及数列拆项等问题上。

本文将从线性代数、多项式理论，行列式向量空间理论等方面进行研究证明。

关键词: 行列式;范德蒙行列式;微积分；多项式理论；Vandermonde Determinant Of ApplicationsAuthor:Gao Yanan Tutor:Doctor Huang XiaofenAbstract:The determinant is one of the main content of linear algebra, it is a major determinant of linear algebra, this is in the matrix, linear equations, vector Spaces andlinear transformation, on the basis of has a very important role. The n order determinant is a famous Vandermonde determinant of linear algebra, it constructed aunique and beautiful appearance, but also because it has a broad application prospect,thus become a well known determinant. Vandermonde determinant, is a kind of extremely important determinant, at the same time is a branch of modern linear algebra. V andermonde determinant application is more extensive, not only applied tosome determinant calculation, and it can also prove that the determinant of someproblem and some certificates and some of the characteristics about the polynomialvector linear independence on such issues. This article will from linear algebra, theoryof polynomial, calculus, determinant, etc are studied.Key words: Determinant, vandermonde determinant, infinitesimal calculus,theoryof polynomial第一章.绪论1.1引言范德蒙行列式，是具有深刻研究价值的行列式，同时也是近代线性代数的一个分支。

f范德蒙行列式-回复范德蒙行列式（Vandermonde determinant）是离散数学和线性代数中一种重要的行列式形式。

它由18世纪法国数学家亚历山大·范德蒙（Alexandre-Théophile Vandermonde）首次提出。

范德蒙行列式在数值计算、概率统计、多项式插值等领域中有广泛的应用。

本文将详细介绍范德蒙行列式的定义、性质以及应用。

一、范德蒙行列式的定义范德蒙行列式是指形如下面这样的行列式：\[V_n(x) = \begin{vmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{vmatrix}\]其中，\(x_1, x_2, \ldots, x_n\)是n个实数或复数。

二、范德蒙行列式的性质范德蒙行列式具有以下几个重要的性质：1. 行互换性质：范德蒙行列式在交换任意两行（或列）的位置后，其值仍不变。

2. 行倍性性质：将范德蒙行列式的某一行（或列）乘以同一个数k后，其值变为原来的k倍。

3. 一阶行列式性质：当n=1时，范德蒙行列式为：\(V_1(x) = x_1\)。

4. 行列式的连乘性质：对于任意两个范德蒙行列式\(V_l(x_1, x_2, \ldots, x_l)\)和\(V_m(x_1, x_2, \ldots, x_m)\)，它们的连乘形式为：\[V_{l+m}(x_1, x_2, \ldots, x_l, x_{l+1}, \ldots, x_{l+m}) = V_l(x_1, x_2, \ldots, x_l) \cdot V_m(x_1, x_2, \ldots, x_m)\]三、范德蒙行列式的计算方法1. 当n=1时，\(V_1(x) = x_1\)。