范德蒙行列式的历史回顾与应用

范德蒙行列式及其应用摘要:在高等代数中，行列式无疑是一个重点和难点。

它主要应用于高等代数理论，作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式不仅具有特殊的形式，而且有非常广泛的应用.本文主要探讨范德蒙行列式在向量空间理论，线性变化理论，多项式理论中以及行列式计算中的应用.关键词:范德蒙行列式；多项式；线性变换一． 范德蒙行列式定义及性质1.范德蒙行列式的定义定义1 关于变元1x ,2x n x 的n 阶行列式122221211112111n n n n n n nx x x D x x x x x x ---=(1)叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式，记作n V （1x ,2x ,…n x ）.2.我们用定理证明范德蒙德行列式已知在错误！未找到引用源。

级行列式中，第错误！未找到引用源。

行（或第错误！未找到引用源。

列）的元素除错误！未找到引用源。

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与它的代数余子式错误！未找到引用源。

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中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的错误！未找到引用源。

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根据上述定理错误！未找到引用源。

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提出每一列的公因子后得错误！未找到引用源。

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阶范德蒙行列式，用错误！未找到引用源。

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是一个n-2阶范德蒙行列式，如此继续下去，最后得错误！未找到引用源。

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前言在线性代数中，行列式是一个重要的分支，同时在数学的各个领域和其他学科中行列式都有着广泛普遍的应用。

行列式本身有着悠久的历史。

行列式理论产生于十七世纪末，到十九世纪末，它的理论体系已基本形成了。

早在1545年卡当就给出了两个一元方程组的算法，但是未明确提出行列式这个概念。

1683年，日本数学家关孝和首次引进了行列式的概念。

同年，德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数[]1。

莱布尼茨这种解决方程组的方法为行列式理论的进一步发展奠定了坚实的基础。

1771年，范德蒙德不仅把行列式应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，他是行列式的奠基者。

范德蒙德以拉格朗日著作中的预解式、置换理论等为理论基础，为群的概念研究奠定了基础。

范德蒙德行列式就是由他研究并总结得出的。

范德蒙德开创了将方程组与行列式分离开来的先河，他是第一个对行列式进行单独阐述的数学家。

他给出了二阶子式及其余子式的概念，并且给出了用二阶子式和它的余子式对行列式进行展开，从而得出其结果的法则，同时他也给出了专门记录行列式的符号。

1772年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在他的论文中给出了子式的概念，他的思想就是基于范德蒙德著作中将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法。

自此时起，便是人们对行列式单独研究的开端。

19世纪才是人们对行列式理论深入研究的新的开始。

第一个给出行列式系统理论的是伟大数学家柯西。

他给出了行列式的乘法定理，双重组标记法等。

1832至1833年间卡尔·雅可得出了关于行列式计算的特殊结果，在此基础之上，1839年，卡塔兰发现了雅可比行列式。

1841年，雅可比发表了一篇关于函数的线性相关性与雅可比行列式的关系的论文。

而范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果，所以范德蒙德行列式不仅在数学领域中占据着重要地位，而且在各个领域中也有着广泛的应用，比如在进行行列式计算或变换时，如果我们能适当的变形化成范德蒙德行列式的形式，就能起到简化解题过程或者是减少计算量的效果。

范德蒙行列式及应用论文范德蒙行列式，又称范德蒙行列，是数学中的一个重要概念，它在线性代数、向量空间、微积分等领域有着广泛的应用。

范德蒙行列式由荷兰数学家范德蒙（Vandermonde）首先提出，它的定义和性质在很多数学分支中都发挥了重要的作用，特别是在矩阵理论、数论、代数学等领域，范德蒙行列式都有着深远的影响。

范德蒙行列式的定义是：对于给定的n个不同的数a1,a2,...,an，范德蒙行列式定义为：a1 a2 ... ana1^2 a2^2 ... an^2a1^3 a2^3 ... an^3... ... ... ...a1^n a2^n ... an^n即为由这些数按照一定顺序排列而成的矩阵行列式，其中ai^k表示ai的k次幂。

范德蒙行列式的值可以通过列主元化简为非零值，从而成为一个n阶矩阵行列式。

范德蒙行列式的应用非常广泛，下面我们来谈谈范德蒙行列式在数学中的一些重要应用。

首先，在线性代数中，范德蒙行列式是矩阵的一个重要特征，它可以用来描述矩阵的性质和结构。

通过范德蒙行列式，我们可以判断矩阵的秩、可逆性、行列式值等信息，进而用于解线性方程组、矩阵变换、特征值特征向量的求解等问题。

其次，在微积分中，范德蒙行列式也有着重要的应用。

在多元函数的求导、积分、微分方程的求解过程中，常常需要用到雅可比行列式，而雅可比行列式与范德蒙行列式有着密切的关系。

通过范德蒙行列式，我们可以求解多元函数的偏导数、雅可比行列式的值，从而解决相关的微分方程和积分问题。

另外，在数论中，范德蒙行列式也有着重要的应用。

由于范德蒙行列式的特殊性质，它经常出现在数论中的不同问题中，例如组合数学、数列求和、多项式插值等方面。

通过范德蒙行列式，我们可以推导出一些数学定理和结论，解决一些数论问题。

除了以上提到的领域外，范德蒙行列式还在代数学、几何学、概率论、信号处理、图论等领域有着重要的应用。

它不仅是数学理论研究的基础，还是许多工程技术问题的解决工具。

范德蒙德行列式的研究与应用给定n个数$x_1,x_2,...,x_n$，范德蒙德行列式定义为：$$\begin{vmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{vmatrix}$$1.行列式的值只与$x_1,x_2,...,x_n$有关，而与n无关。

2.当$x_1,x_2,...,x_n$中存在两个数相同时，行列式的值为0。

3.当$x_1,x_2,...,x_n$中的数互不相同时，行列式的值为：$$\prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$$其中$\prod$表示乘积。

1.插值多项式：给定n个互不相同的点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$，根据这些点来构造一个插值多项式可以使用范德蒙德行列式。

具体而言，可以通过以下公式计算出多项式的系数：$$\begin{bmatrix}x_1^0 & x_1^1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\x_2^0 & x_2^1 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\x_n^0 & x_n^1 & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\\vdots \\a_{n-1}\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\\vdots \\y_n\\\end{bmatrix}$$其中，$a_0,a_1,...,a_{n-1}$为待求的多项式系数。

范德姆行列式范德蒙德行列式（Vandermonde determinant）是一个非常重要的行列式，它在数学和工程领域具有广泛的应用。

它是由18世纪的法国数学家亚历山大·范德蒙德（Alexandre-Théophile Vandermonde）首次引入和研究的。

范德蒙德行列式的定义相对简单，但其推理和性质却十分复杂。

在深入研究范德蒙德行列式之前，我们首先需要了解行列式的基本概念。

一个$n$阶方阵$A$的行列式（denoted by $|A|$）是一个数值，它代表了该矩阵$n$个行（或$n$个列）之间的线性相关性。

行列式可以通过不同方法计算，其中最常用的方法是利用矩阵的行列式定义。

对于$n$阶方阵$A$，它的行列式可以由下式计算：\[ |A| = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \cdota_{1\sigma(1)} \cdot a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \]其中$S_n$表示所有$n$个元素的排列集合，$\sigma$是其中的一个排列，$\text{sgn}(\sigma)$表示排列$\sigma$的符号，$a_{ij}$表示矩阵$A$的第$i$行、第$j$列的元素。

范德蒙德行列式是一个特定形式的行列式，它的元素由一组互不相同的实数$x_1, x_2, \cdots, x_n$构成，且$n$为正整数。

它的定义如下：\[ V_n = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} \]范德蒙德行列式具有以下性质：1. 对任意$i \neq j$，存在常数$r$，使得$x_i^r = x_j^r$。

行列式的发展史及应用行列式理论产生于17世纪末，到19世纪末，其理论体系已基本形成。

1693年，德国数学家莱布尼茨（leibnie，1646—1716）解方程组时将系数分离出来用以表示未知量，得到行列式原始概念。

当时，莱布尼兹并没有正式提出行列式这一术语。

1729年，英国数学家马克劳林 (maclaurin，1698—1746)以行列式为工具解含有2、3、4个末知量的线性方程组。

在1748年发表的马克劳林遗作中，给出了比菜布尼兹更明确的行列式概念。

1750年，瑞士数学家克拉默 (gramer，1704—1752)更完整地叙述了行列式的展开法则并将它用于解线性方程组。

即产生了克拉默法则。

1772年。

法国数学家范德蒙 (vandermonde，1735—1796)专门对行列式作了理论上的研究，建立了行列式展开法则，用子式和代数余子式表示一个行列式。

1172年，法国数学家拉普拉斯 (laplace。

1749梷1827)推广了范德蒙展开行列式的方法。

得到我们熟知的拉普拉斯展开定理。

1813一1815年，法国数学家柯西 (cauchy，1789—1857，对行列式做了系统的代数处理，对行列式中的元素加上双下标排成有序的行和列，使行列式的记法成为今天的形式。

英国数学家凯菜 (cayley，于1841年对数字方阵两边加上两条竖线。

柯西证明了行列式乘法定理:。

1841年，德国数学家雅可比(jacobi)发表的《论行列式的形成与性质》一文，总结了行列式的发展。

同年，他还发表了关于函数行列式的研究文章，给出函数行列式求导公式及乘积定理。

到19世纪末，行列式的研究成果仍在发表，但行列式的基本理论体系已经形成。

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用我们知道，n 阶范德蒙德行列式()2111121222121111n n n ijj i nn nnnx x x x x x V x x x x x --<-==-∏≤≤，当这些i x 两两互异时，0n V ≠．这个事实有助于我们理解不少结果．例1 证明一个n 次多项式之多有n 个互异根． 证 设()2012n n f x a a x a x a x =++++有1n +个互异的零点121,,,n x x x +，则有()20120n i i i n i f x a a x a x a x =++++=，1 1i n +≤≤．即这个关于01,,,n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式()211122221121111101nn ijj i n n n n n x x x x x x x x x x x <++++=-≠∏≤≤，因此0120n a a a a =====．这个矛盾表明()f x 至多有n 个互异根． 例2 设12,,,n a a a 是n 个两两互异的数．证明对任意n 个数12,,,n b b b ，存在惟一的次数小于n 的多项式()L x ：()1nj i i j ii jx a L x b a a =≠-=-∑∏，使得()i i L a b =，1 i n ≤≤．证 从定义容易看出()L x 的次数小于n ，且()i i L a b =，故只需证明唯一性即可． 设()210121n n f x c c x c x c x --=++++满足()i i f a b =，1 i n ≤≤，即这个关于0121,,,,n c c c c -的线性方程组的系数行列式()21111212221211101n n ijj i nn nnna a a a a a a a a a a --<-=-≠∏≤≤，故0121,,,,n c c c c -是唯一的，必须()()f x L x =．这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．例3 设()()()121,,,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足 ()()()121211|n n n n n n x x f x xf x x f x ---++++++，证明()()()1211110n f f f -====．证 设()()()()()211211n n n n n n f x xf x x f x p x x x ---+++=+++，取22cossini n nππω=+，分别以21,,,n x ωωω-=代入，可得这个关于()()()1211,1,,1n f f f -的齐次线性方程组的系数行列式()()()22221211101n n n n n ωωωωωω-----≠，因此()()()1211110n f f f -====．例4 设n 是奇数，()()()121,,,n f x f x f x -是1n -个复系数多项式，满足()()()123221211|n n n n n n n n x x x f x xf x x f x -------+-++++，证明()()()1211110n f f f --=-==-=．证 注意到当n 是奇数时，()()123111n n n n x x x x x ---+=+-+-+，可按照例3的思路完成证明．例5 设A 是个n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关．证 设12,,,r λλλ是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,,r ααα适合i i i A αλα=，1 i r ≤≤，假设11220r r x x x ααα+++=，那么有()11220j r r A x x x ααα+++=，1 1j r -≤≤．即()1110r r rjjj i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑，注意到()0j ir rλ⨯≠，必须11220r r x x x ααα====，于是120r x x x ====，这证明了12,,,r ααα线性无关．例6 计算行列式()()()()()()()()()111212122211121111n n n n n n n x x x x x x D x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---=，其中()11kk k k nk x x a xa ϕ-=+++．解 注意到下面的等式： 即得()1n ijj i nD x x <=-∏≤≤．例7 计算行列式1212111111111n n n x x x D x x x n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中()()11!x x x x k k k --+⎛⎫= ⎪⎝⎭．解 直接利用例6可得()()111!2!1!n ijj i nD x x n <=--∏≤≤． 例8 设12,,,n a a a 是正整数，证明n 阶行列式。

目录摘要及关键词 (1)一、范德蒙行列式 (1)(一)范德蒙行列式定义 (1)(二)范德蒙行列式的推广 (4)二、范德蒙行列式的相关应用 (8)(一) 范德蒙行列式在行列式计算中的应用 (8)(二) 范德蒙行列式在微积分中的应用 (14)(三) 范德蒙行列式在多项式理论中的应用 (19)(四) 范德蒙行列式推广的应用 (21)三、结束语 (22)四、参考文献 (23)范德蒙行列式及其应用摘要：在北大版高等代数的教科书中，行列式是一个重点也是一个难点，它是学习线性方程组、矩阵、向量空间和线性变换的基础，起着重要作用。

而行列式的计算具有一定的规律性和技巧性，同时可以应用在很多领域。

本文将通过对n阶范德蒙行列式的计算、推广及其证明，讨论它在行列式计算,微积分和多项式理论中的相关应用，然后主要研究一些与范德蒙行列式有关的例子，从中掌握行列式计算的某些方法和技巧，这将有助于我们更好的应用范德蒙行列式解决问题。

关键词：范德蒙行列式、行列式The Determinant of Vandermonde and Its ApplicationYuping- Xiao(Department of Mathematics Bohai University Jinzhou 121000 China) Abstract: Higher algebra textbook edition in Beijing University,the determinant is not only animportant point but also a difficult point,it is a foundation of learning linear equations,matrices,vector space and linear transformation,it plays an important role.And the calculation of determinant has a certain regularity and skills,it can be applied in many areas at the same time. This paper will be through the calculation,expansion and prove of a n band Vandermonde determinant,and discuss the calculation of determinant,the relevant application in the calculus and multinomial theory, then study some examples about the determinant of Vandermonde,and acquire some methods and skills of determinant calculation,This will help us better use the determinant of Vandermonde to solve the problems.Key words: the Vandermonder determinant; determinant一、范德蒙行列式(一)范德蒙行列式定义定义1[1]关于变元x,2x n x的n阶行列式1122221211112111n n nn n n nx x x D x x x x x x ---= (1) 叫做1x ，2x n x 的n 阶范德蒙行列式。

浅析Vandermonde行列式的性质与应用摘要：在线性代数与高等代数的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，且其计算具有一定的规律性和技巧性.而Vandermonde行列式是一类很重要的行列式,它构造独特、形式优美、性质特殊，是行列式中的一颗璀璨明珠.为了使我们对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，同时开阔数学视野、培养发散思维能力，以便更好地为我们的科研和生活服务，本文主要阐述了Vandermonde行列式的证法及其相关性质,并用例举法介绍及总结了如何利用Vandermonde行列式计算某些特殊的行列式与其在多项式、向量空间等中的简单应用.关键词：行列式 Vandermonde Vandermonde行列式宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文Analysis of Vandermonde determinant Properties and ApplicationsAbstract:Linear algebra and advanced algebra learning, the determinant is undoubtedly a key and difficult points, it is the follow-up course matrix, the basis of vector spaces and linear transformations, and its calculation with a certain regularity and skill. Vandermonde determinant is a very important determinant, it constructs a unique, beautiful form of special nature, is a shining pearl in the determinant. To enable us to further deepen the understanding and application of the Vandermonde determinant, and at the same time broaden their mathematical horizons, develop divergent thinking ability in order to better serve our research and living services, the paper mainly expounds the Vandermonde determinant permit law and its related properties, and introduced with examples of France and summarizes how to use the Vandermonde determinant for the calculation of some of the special determinant of the Vandermonde determinant polynomial, the vect or space.Keywords: Determinant Vandermonde Vandermonde determinant宁夏师范学院2012届本科毕业生毕业论文目录1 引言 (1)2 VANDERMONDE行列式的定义与证法 (2)2.1V ANDERMONDE行列式的定义 (2)2.2V ANDERMONDE行列式的证法 (2)3 VANDERMONDE行列式的性质 (4)3.1V ANDERMONDE行列式的翻转与变形 (4)3.2V ANDERMONDE行列式为0的充分必要条件 (5)3.3V ANDERMONDE行列式推广的性质定理 (5)4 VANDERMONDE行列式的应用 (7)4.1V ANDERMONDE行列式在行列式计算中的应用 (7)4.1.1 计算准Vandermonde行列式 (7)4.1.2 计算特殊的行列式 (7)4.2V ANDERMONDE行列式在多项式与向量空间中的应用 (10)4.2.1 Vandermonde行列式在多项式中的应用 (10)4.2.2 Vandermonde行列式在向量空间中的应用 (13)5 小结 (15)参考文献 (16)谢辞 (17)1 引言行列式最早出现在17世纪关于线性方程组的求解问题中，由日本数学家关孝和德国数学家莱布尼茨分别发明，而法国数学家范德蒙德(A-T.Vander- monde，1735-1796)对行列式理论做出了连贯的、逻辑的阐述，并命名了著名的Vandermonde 行列式.后许多数学家如柯西、雅可比、泰勒等对其不断发展完善，做了进一步的解析与应用，使得19世纪中期行列式与向量、矩阵完美融合.时至今日，行列式成为了线性代数与高等代数的主要内容与重点内容之一，是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，而vandermonde行列式在多项式、向量空间、线性方程组、线性变换、矩阵的特征值与特征向量、微积分等理论中都有大量应用，例如对Cramer法则的补充、Lagrange插值公式的推导、向量空间基的证明、与Taylor公式结合求微积分问题等起了重要的作用[1]，而其在简化行列式计算方面，更是灵活巧妙，成为了广大学生的有力工具.出于对n阶vandermonde行列式其独特的构造、优美的形式、特殊的性质的好奇与喜爱，我查阅了大量的参考文献后，决定就Vandermonde行列式的证法与相关性质，浅谈其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用，使得对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，培养自身的科研素养.当然我相信，随着科技的进步与更多数学家的进一步研究，Vandermonde行列式这颗璀璨明珠，将会在各领域绽放更耀眼的光芒.2 Vandermonde 行列式的定义与证法 2.1 Vandermonde 行列式的定义我们把型如 n V =121111211...1..................nn n n na a a a a a ---的行列式叫做Vandermonde 行列式，其值为1()i j j i na a ≤<≤-∏，即n V =121111211...1..................nn n n na a a a a a ---=1()i j j i na a ≤<≤-∏其中1()i j j i na a ≤<≤-∏表示12,,...n a a a 这n 个数的所有可能的差i j a a -（1j i n ≤<≤）的乘积（2n ≥）[2].2.2 Vandermonde 行列式的证法方法一：消元法（降阶法）[3]证明 从第n 行开始，每一行加上前一行的1a -倍，根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有n V =)()(...)(0)()(...)(0............... (01)1...111211211222131131123211112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n n n n n -------------------- 再按行列式首项展开得：n V =1·)()(...)()()(...)(......... (121121)1222131131123211112a a aa a aa a aa a a a a a a a a a a a a a a n n nn n n n n n n n n n n n n --------------------各列提公因式得：n V =21111()...()()n n a a a a a a ----·2313333231222223111...11........................n nn n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a ----------- 注意到行列式2313333231222223111...11........................n nn n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a -----------是1n -阶Vandermonde 行列式1-n V ，即已经将n V 用1-n V 表示出来,降了一阶，并且少了一元1a .重复用上述方法对1-n V 再进行求解，经过有限步则可以得到：1n V -=（(21a a -)…111()()n n a a a a ---）·(()32122()...()n n a a a a a a ----)…(1n n a a --) =1()i j j i na a ≤<≤-∏即证.方法二：数学归纳法[4] 证明 （1）当2n =时, 221121 1 V a a a a ==-成立.（2）假设对于1n -阶成立，则对于n 阶，首先构造一个辅助的n 阶行列式： 11-n 112112212221121)(11 1 1------=n n n n n n x xa a a xa a a xa a a V显然，n aV V n =)(，将)(x V 按第n 列展开，得：1)(=x V ·n A 1x +·n A 22x +·13-++n n x A ·nn A其中),,2,1(n i A in =是行列式)(x V 中元素),,2,1(1n i x a i in ==-的代数余子式，且不含x ，因此可知)(x V 是一个n-1次的多项式，它的最高次1-n x 的系数是nn A ，按定义知11)1(--+=-=n n n n nn V V A .另一方面，根据行列式的性质知121,,-n a a a 是)(x V 的n-1个根，根据多项式的理论，得：)())((1211)(-----=n n x a x a x a x V V取n a x =代入，得：)())((1211)(-----=n n n n n x a a a a a a V V即 )())((1211-----=n n n n n n a a a a a a V V根据归纳假设，1-n V =11()i j j i n a a ≤<≤--∏，因此n V =1()i j j i na a ≤<≤-∏.由（1）（2）结论得证.3 Vandermonde 行列式的性质3.1 Vandermonde 行列式的翻转与变形n V =121111211...1..................n n n n nx x x x x x ---(1)将Vandermonde 行列式逆时针旋转90，得11(1)11211111(1)1n nn n n n n n n n x x x x V x x ------=-.(2)将Vandermonde 行列式顺时针旋转90，得1111(1)222111(1)1n n n n n n nn x x x x V x x ----=-.(3)将Vandermonde 行列式旋转180，得1111111111n n n n n n n x x x V x x x -----=.3.2 Vandermonde 行列式为0的充分必要条件一个Vandermonde 行列式121111211...1..................nn n n na a a a a a ---为0的充分必要条件是：12,,,n a a a 这n 个数中至少有两个相等.3.3 Vandermonde 行列式推广的性质定理行列式()n k V =122221211112111121211...1.......................................nnk k k n k k k nnn n nx x x x x x x x x x x x x x x ---+++=1212......n k n kp p p p p p x x x --∑·V (k=0,1,2…n -1)其中符号“()n k V ”中的下标“n ”表示n 阶行列式，“(k)”表示仅缺少的k 次方幂元素行；12,...n k p p p -是1,2,...n 中（n k -）个数的一个正序排列；12...n kp p p -∑表示对所有（n k -）阶排列求和；1(x -x )i j j i nV ≤<≤=∏[5].证明 （i ）在行列式()1,2(...)n k n V x x x 中增补第（1k +）行和（1n +）列相应的元素，考虑（1n +）阶Vandermonde 行列式1211111212121111121211...11.....................()(,...,)........................n k k k k nn k k k k nk k k k nnn n nnx x x x x x x x f x V x x x x x x x x x x x x x x x x ----++++===213111()()()()n x x x x x x x x ----·))(()(2223x x x x x x n --- ·… … … … ))((11----n n n x x x x · ()n x x -=12()()...()n x x x x x x ---·1()i j j i nx x ≤<≤-∏(ii)由上式的两端分别计算多项式k x 中项的系数.在上式左端，由行列式 计算k x 的系数为：行列式中该元素对应的代数余子式(1)k n +-·()n k V ，在上式右端，由多项式计算知12,,...,n x x x 为()0f x =的n 个不同根，根据根与系数的关系，k x 项的系数为：(1)n k n k a --=-·1212,......n k n kp p p p p p x x x --∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏(k=0,1,2…n -1)其中12,...n k p p p -是1，2…n 中（n k -）个数的一个正序排列，12,...n kp p p -∑表示对所有（n k -）阶排列求和.（iii ）比较)(x f 中k x 项的系数，计算行列式)(k n V .因为(*)式左右两端k x 项系数应该相等，所以(1)k n +-·)(k n V (1)n k -=-·1212,......n k n kp p p p p p x x x --∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏，则1212(),......n k n kn k p p p p p p V x x x --=∑·1(x -x )i j j i n≤<≤∏1212......n k n kp p p p p p x x x --=∑·V (k=0,1,2…n -1)定理得证.4 Vandermonde 行列式的应用4.1 Vandermonde 行列式在行列式计算中的应用4.1.1 计算准Vandermonde 行列式利用Vandermonde 行列式推广的性质定理可以计算各阶准Vandermonde 行列式（缺行的Vandermonde 行列式也叫做超Vandermonde 行列式或准Vandermon -de 行列式），简便易行[6].特别地，当k n =时，令0p =1，()n k V 即为Vandermonde 行列式n V .例1 计算准Vandermonde 行列式1234562222221234566(3)444444123456555555123456666666123456111111a a a a a a a a a a a a V a a a a a a a a a a a a a a a a a a =解 由定理，n =6,k =3,所以 1231236(3)p p p p p p V aa a =∑·∏≤<≤-61)(i j j ia a=123124456(...)a a a a a a a a a +++·∏≤<≤-61)(i j j ia a4.1.2 计算特殊的行列式Vandermonde 行列式在行列式计算中的应用，除了应用其推广的性质定理来计算各阶准Vandermonde 行列式之外，还可以用以下一些方法来计算某些类似Vandermonde 行列式的特殊的行列式.（1）法一: 所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与Vandermonde 行列式不完全相同，需利用行列的性质（如提取公因式，调换各行（列）的次序等）将其化为Vandermonde 行列式[7].例2 计算n 阶行列式n nn n n n D 22222111=解 n D 1212122211111!--=n n n n n n)1()13)(12(!---=n n ·)]1([)2()24)(23(-----n n n!n =·)!1(-n ·)!2(-n ·!2·!1（2）法二：利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的Vandermonde 行列式.例3 计算)1(+n 阶行列式n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn b b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a D 1111212111112122222221221111212111111+-+++-++-++------+=其中0≠i b ，0≠i a ，（1,,2,1+=n i ）解 提取1+n D 各行的公因式，得：n n n n n a a a D 211=+·11222211111)(1)(1)(1---n n n nnn n a b a b a b a b a b a b （Vandermonde 行列式）上式右端的行列式是以新元素112211,,,++n n a b a b a b 为列元素的1+n 阶Vandermonde 行列式，所以：1+n D =n nn n a a a 21·∏+≤<≤-11)(n i j j jii a b a b（3）法三：如n 阶行列式n D 的第i 行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含有相同分行（列），且n D 中含有n 个分行（列）组成的Vandermonde 行列式，那么将n D 的第i 行（列）乘以（1-）加到（1+i ）行（列），消除一些分行（列），即可化成Vandermonde 行列式[8].例4 计算行列式△4=434233322322213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++解 在△4的第2行中去掉与第一行成比例的分行，得到△4=434233322322213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新行列式的第4行中去掉与第3行成比例的分行，得:△4=4333232134********321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=∏≤<≤-41)sin (sin i j j i ϕϕ（4）法四：行列式中其他各行（列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）的元素不是相应元素的零次幂（即该行（列）元素都不是1），而是各行（列）元素的函数，利用行列式的性质将这一行（列）元素化为全是1的元素.例5 证明△3=ba a c cbc b a cb a +++222证明 将△3的第1行加到第3行上，得到△3=c b a c b a c b a c b a cba++++++222=222111)(c b a c b a c b a ++ ))()()((b c a c a b c b a ---++=4.2 Vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用在线性方程组中，Cramer 法则有着非常重要的作用，它给出了一类重要的线性方程组的解的存在唯一性.而在许多行列式的计算与证明中，Vandermonde 行列式又是一个十分重要的行列式.两个如此“重要”的数学元素相结合，其产生的作用将更重要.Vandermonde 行列式在多项式与向量空间中的应用，主要就是结合Cramer 法则来证明相关的问题[9].下面一起来看几个典型的例子. 4.2.1 Vandermonde 行列式在多项式中的应用例6 证明一个n 次多项式至多有n 个互异的根. 证明 用反证法.设n n x a x a x a a x f ++++= 2210)(有n+1个互异的根，分别为：121 , , ,+n x x x ，则有：0)(2210=++++=n i n i i i x a x a x a a x f （11+≤≤n i ）即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++000122111022221201221110n n n n n n nn na x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a这个关于n a a a , , ,10 的齐次线性方程组的系数行列式是一个Vandermonde 行列式:0)( 11 111121!22221211≠-=∏+≤<≤+++n i j j in n n n n nx xx x x x x x x x x则由Cramer法则知该方程组只有零解，即0210=====n a a a a ，而n 次多项式)(x f 的最高次项的系数n a 是不为零的.这个矛盾表明)(x f 至多有n 个互异的根.例7 设多项式n k n k k x a x a x a x f +++= 2121)(，0≠i a ， j i k k ≠，j i ≠，},,2,1{,n j i ∈，则)(x f 不可能有非零且重数大于1-n 的根.证明 用反证法.设0≠α是)(x f 的重数大于1-n 的根，则0)(,,0)(,0)()1('===-αααn ff f进而有0)(,,0)(,0)()1(1'===--αααααn n ff f即：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+--+++--++--=+++=+++0)2()1()2()1()2()1(0021212122221111221121n n n k n n nn k k k n n kk k n k k a n k k k a n k k k a n k k k a k a k a k a a a ααααααααα 把上式看作是以n k n k k a a a ααα，，， 2121为未知量的齐次线性方程组，则其系数行列式为：)2()1()2()1()2()1()1()1()1(111222111221121+--+--+-----n k k k n k k k n k k k k k k k k k k k k n n n n n n1121121111---=n nn n n k k k k k k∏≤<≤≠-=ni j j ik k10)(由Cramer 法则知上面的齐次线性方程组只有零解，从而),,2,1(,0n i a k i ==α因为0≠i a ，所以必须0=α，这与假设0≠α矛盾，故)(x f 没有非零且重数大于1-n 的根.例8 证明：对于平面上n 个点),(i i b a （n a a a n i , , , , 121 ≤≤互不相等），必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式)(x f 通过这n 个点， 即 i i b a f =)()(1 n i ≤≤.分析 要证明n 个等式成立，也就是要证明n 个方程组成的方程组有解，很自然地会想到Cramer 法则，再根据系数行列式的特点，考虑用Vandermonde 行列式的结论.证明 设n n n n c x c x c x c x f ++++=---12211)( ，要使)(1 )(n i b a f i i ≤≤=，即满足关于n c c c , , , 21 的线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---------n n n n n n n n n n n n n n n n bc c a c a c a b c c a c a c a b c c a c a c a 12211212222112111221111该方程组的系数行列式为Vandermonde 行列式：111212221212111n n n n n n n n n a a a a a a a a a------，当n a a a , , , 21 互不相等时，该行列式不为0，由Cramer 法则知方程组有唯一解，即对于平面上n 个点),(i i b a （n a a a n i , , , , 121 ≤≤互不相等），必存在唯一的一个次数不超过n-1的多项式)(x f 通过这n 个点. 4.2.2 Vandermonde 行列式在向量空间中的应用例9 设n t t t 21 ,是互不相同的实数，证明向量组（12, , ,1-n i i i t t t ）i=1,2,…n 是n 维向量空间n R 中的一个基.证明 只需证明12, , ,1-n i i i t t t 线性无关即可.令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---12122221121121 1 1 1 n m m m n n n t t t t t t t t t a a a A ， 因为n t t t 21 ,是互不相同的实数，所以 0)(1≠-==∑≤<≤ni j j iT t tA A ，故12, , ,1-n i i i t t t （i=1,2,…n ）线性无关，是n 维向量空间n R 中的一个基.例10 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}，证明 C[a,b]是R 上的向量空间.证明 我们知道，C[a,b]是R 上的无限维向量空间，要证该结论，只需对任意的正整数n ，可证得n x x x , , ,12线性无关即可.设R k k k k n ∈∃, , , , 210 ，使得02210=++++n n x k x k x k k取n+1个实数121, , , +n c c c ，使得b c c c a n ≤<<<≤+121 ，则由上式知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++00121211022222101212110n n n n n nn nn c k c k c k k c k c k c k k c k c k c k k 即A ·⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 10 n k k k ， 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++n n n n nn c c c c c c c c c A 121122221211 1 1 1 而0)(det 11≠-==∏+≤<≤n i j j i c c A A ，则A 可逆，用1-A 左乘A ·⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 00 10 n k k k 的两端，得：0210=====n k k k k ，所以n x x x , , ,12线性无关. 故C[a,b]是R 上的向量空间，且是R 上的无限维向量空间.例11 设0dim >=n V F （即V 的维数为n ），存在集合V S ⊆， 使S 含无穷多个向量，且S 中任意n 个不同的向量都是V 的一个基.证明 设n ααα, , , 21 是V 的一个基，令{}F k k k k S n n ∈+++==-|13221αααα ，n n k k k k ααααβ13221-++++= ，让n k k k , , , 21 互不相同，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---11211222212121 1 11), , , (), , , (21n n n n nn n k k k k k k k k k k k k n αααβββ由于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---112112222121 1 11n n n n nn k k k k k k k k k T ，其行列式是Vandermonde 行列式，即0)(det 1≠-==∏≤<≤ni j j ik kT T ，故), , , (21n k k k βββ 线性无关，是V 的一个基，且S 中含无穷多个向量.当然，Vandermonde 行列式与Cramer 法则相结合的应用远不仅此，二者还可用于求缺项)11( -≤≤n k x k 的多项式的表达式、Lagrange 插值公式的推导等，还可与泰勒公式相结合来证明有关高阶微积分的问题，因所需的专业 知识较深、综合性较强、推导计算等过程较复杂，这里不作研究.5 小结以上我们在回顾行列式相关知识的基础上，进一步比较系统地阐述了Vandermonde 行列式的一些重要性质与其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用等知识，使得我们对vandermonde 行列式进一步加深了解与应用.在本文的撰写中，我通过查阅大量文献，在各代数学家研究的理论基础上选择并总结了适合大学生学习与应用的部分，通过举例向大家具体呈现了Vandermonde 行列式的应用方法，同时开阔了自己的数学视野，培养了发散思维能力与科研素养，为今后继续对行列式及vandermonde 行列式更深层次、更复杂层次的相关研究做铺垫.对于第一次论文的撰写，难免有纰漏，望老师提出宝贵的意见，以便更好地为我们的学习、科研和生活服务.参考文献[1] 张贤科，许甫华.高等代数[M].北京:清华大学出版社,1998年4月:102.[2] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社.2003年6月:79-81.[3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].北京:高等教育出版社.2004年7月:95-96.[4] 张禾瑞，郝炳新. 高等代数[M].北京:高等教育出版社.1999年5月:119-120.[5] 黄玉蝉.多项式、线性方程组及Vandermonde行列式的相互应用[J].济南大学学报.1994(2):4-6.[6] 刘建中.范德蒙德行列式的一个性质的证明及其应用[J].河北大学学报（自然科学版）.2000(4):8-10.[7] 袁旭华，杨海文，赵耀峰.几种类Vandermonde行列式的计算[J].延安大学学报（自然科学版）.2006(1):7-9.[8] 王新长.Vandermonde行列式在高等代数中的应用[J].井冈山师范学院学报（自然科学版）.2002(3):3-5.[9] 宴林.范德蒙行列式的应用[J].文山师范高等专科学校学报.2001(2):10-13.谢辞在论文的选题及撰写过程中得到我的指导教师的悉心指导，在此表示衷心的感谢！李老师严谨治学的态度使我受益匪浅，在论文写作的这段时间里,她时刻关心着我的论文完成情况,并时常给我指出论文中的缺点和需要改进的地方,并指导我如何查找资料，使得我最后顺利完成论文.同时感谢其他所有帮助过我的老师、同学以及一起努力过的朋友.。

前言在线性代数中，行列式是一个重要的分支，同时在数学的各个领域和其他学科中行列式都有着广泛普遍的应用。

行列式本身有着悠久的历史。

行列式理论产生于十七世纪末，到十九世纪末，它的理论体系已基本形成了。

早在1545年卡当就给出了两个一元方程组的算法，但是未明确提出行列式这个概念。

1683年，日本数学家关孝和首次引进了行列式的概念。

同年，德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数[]1。

莱布尼茨这种解决方程组的方法为行列式理论的进一步发展奠定了坚实的基础。

1771年，范德蒙德不仅把行列式应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，他是行列式的奠基者。

范德蒙德以拉格朗日著作中的预解式、置换理论等为理论基础，为群的概念研究奠定了基础。

范德蒙德行列式就是由他研究并总结得出的。

范德蒙德开创了将方程组与行列式分离开来的先河，他是第一个对行列式进行单独阐述的数学家。

他给出了二阶子式及其余子式的概念，并且给出了用二阶子式和它的余子式对行列式进行展开，从而得出其结果的法则，同时他也给出了专门记录行列式的符号。

1772年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在他的论文中给出了子式的概念，他的思想就是基于范德蒙德著作中将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法。

自此时起，便是人们对行列式单独研究的开端。

19世纪才是人们对行列式理论深入研究的新的开始。

第一个给出行列式系统理论的是伟大数学家柯西。

他给出了行列式的乘法定理，双重组标记法等。

1832至1833年间卡尔·雅可得出了关于行列式计算的特殊结果，在此基础之上，1839年，卡塔兰发现了雅可比行列式。

1841年，雅可比发表了一篇关于函数的线性相关性与雅可比行列式的关系的论文。

而范德蒙德行列式是一类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果，所以范德蒙德行列式不仅在数学领域中占据着重要地位，而且在各个领域中也有着广泛的应用，比如在进行行列式计算或变换时，如果我们能适当的变形化成范德蒙德行列式的形式，就能起到简化解题过程或者是减少计算量的效果。