专题五-牛顿第二定律中的临界和极值问题

牛顿第二定律应用之临界极值问题例1、用细绳拴着质量为m 的重物，从深为H 的井底提起重物并竖直向上做直线运动，重物到井口时速度恰为零，已知细绳的最大承受力为T ，则用此细绳子提升重物到井口的最短运动时间为多少？ 【解析】（1)由题意可知，“最大”承受力及“最短”作用时间均为本题的临界条件。

提重物的作用时间越短，要求重物被提的加速度越大，而细绳的“最大”承受力这一临界条件又对“最短”时间附加了制约条件。

显然这两个临界条件正是解题的突破口。

（2)重物上提时的位移一定，这是本题的隐含条件。

(3)开始阶段细绳以最大承受力T 上提重物，使其以最大加速度加速上升；紧接着使重物以最大加速度减速上升（绳子松驰，物体竖直上抛），当重物减速为零时恰好到达井口，重物这样运动所需时间为最短。

开始阶段，细绳以最大承受力T 上提重物，由牛顿第二定律得T 一mg ＝ma设该过程的时间为t 1，达到的速度为v ，上升的高度为h ，则v =at 1，h =21at 12此后物体以速度v 做竖直上抛运劝，设所用时间为t 2，则t 2=v / g ， H 一h =v 2/2g 总时间t =t 1＋t 2 解以上方程得 )(/2mg T g HT t -=评注：该题还可以借助速度—时间图线分析何种情况下用时最短。

一般而言，物体可经历加速上升、匀速上升和减速上升三个阶段到达井口，其v －t 图线如图中的图线①所示；若要时间最短，则应使加速上升和减速上升的加速度均为最大，其v －t 图线如图中②所示。

显然在图线与坐标轴围成面积一定的条件下，图线②所需时间最短。

针对训练：如图所示，已知两物体A 和B 的质量分别为M A ＝4kg ，M B ＝5kg ，连接两物体的细线能承受的最大拉力为80N ，滑轮的摩擦和绳子的重力均不计，要将物体B 提离地面，作用在绳上的拉力F 的取值范围如何？（g 取l0m/s 2）[N F N 14490≤≤]例2、如图所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量为2m 。

牛顿运动定律中的临界和极值问题牛顿运动定律中的临界和极值问题动力学中的典型临界问题包括接触与脱离的临界条件、相对静止或相对滑动的临界条件、绳子断裂与松弛的临界条件以及速度最大的临界条件。

对于接触与脱离的临界条件，当两物体相接触或脱离时，接触面间弹力FN等于0.对于相对静止或相对滑动的临界条件，当两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，此时相对静止或相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。

对于绳子断裂与松弛的临界条件，绳子断与不断的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是FT等于0.对于速度最大的临界条件，在变加速运动中，当加速度减小为零时，速度达到最大值。

解决临界极值问题常用方法有极限法、假设法和数学法。

极限法可以把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的。

假设法常用于临界问题存在多种可能时，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时。

数学法则将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件。

举例来说，对于接触与脱离类的临界问题，可以考虑以下几个例子：例1：在劲度系数为k的弹簧下端挂一质量为m的物体，物体下有一托盘，用托盘托着物体使弹簧恰好处于原长，然后使托盘以加速度a竖直向下做匀速直线运动（a<g），试求托盘向下运动多长时间能与物体脱离？例2：竖直固定的轻弹簧，其劲度系数为k=800N/m，上端与质量为3.0kg的物块B相连接。

另一个质量为1.0 ___的物块A放在B上。

先用竖直向下的力F=120N压A，使弹簧被压缩一定量后系统静止，突然撤去力F，A、B共同向上运动一段距离后将分离，分离后A上升最大高度为0.2m，取g＝10m/s，求刚撤去F时弹簧的弹性势能？例3：质量均为m的A、B两物体叠放在竖直轻质弹簧上并保持静止，用大小等于mg的恒力F向上拉A，当运动距离为h时A与B分离。