下载文档原格式
小五奥数：数阵图经典练习
思维热身：
一个人在银行开了一个账号，要设定一个密码。
密码为4位，前两位是字母，需要从26个字母中选择。
后两位是数字，需从0~9十个数字中选择。
请问：他的密码有多少种可能性？
1.将1~6分别填人下面的小圆圈内,使每个大圆上4个数字之和为16。
2.将1~9这九个数分别填入如图的小方格里,使横行和竖列上五个数
之和相等。
(至少找出两种本质上不同的填法)
3.将1~11这十一个数分别填入如图的○里,使每条直线上的三个数之和相等,并且尽可能大。
4.将1~8填入右图的八个○中,使得每条直线上的四个数之和与每个
圆周上的四个之和都相等。
5..将1-8填入下图的○内,要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内。
6.把1~8填入图中,使每条线及正方形四个顶点上的数的和相等。
10
6
7.图中有五个圆,它们相交相互分成9个区域,现在两个区域里已经填上10与6,请在另外七个区域里分别填进2,3,4,5,6,7,9七个数,使每圆内的和都等于15。
8.把1~16填入下图中,使每条边上4个数的和相等，两个八边形上8个数的和也相等。
9.将1~8这八个数字分别填入正方体的八个顶点上的○内,使每一个面(共有6个面)上四个数之和都相等。
10.将1~8分别填入图中,使每个圆圈上五个数之和分别为21。
11.把1~7分别填入下图中的七个空块里,使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
c d
b
a。
数阵图(一)一、考点、热点回顾1、在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
2、那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
二、典型例题例1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。
例2 、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
第23讲数阵图知识与方法数阵图问题千变万化，需要综合运用各种数学知识来解决问题，而往往同学们喜欢毫无顺序的“瞎试”，本讲要介绍一些通用的方法。
所以，一般是先用公式法分析出重复数，再用尝试法进行试填。
方法一：尝试法：所给的是一个等差数列，并且每条线上的数是奇数个时，中间数只能填最大数、最小数或中间数，因此可以依据这个规律进行尝试。
方法二：公式法：线和×线数＝数字和＋重复数×重复次数初级挑战1将1～7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。
思维点拨：观察发现，每条线上的三个数之和相等，而这三条线相交刚好重复了一个数，我们叫做重复数。
除去重复数，三条线上其他两数之和应相等。
1～7中，找出三组和相等的六个数即可，剩下的一个数填中间。
答案：（答案不唯一）能力探索1把1～11分别填入下图的○内，使每条线段上3个○内数的和相等。
答案：中间重复数为1或6或11。
给出一种填法：（答案不唯一）初级挑战2将数字1～8填入图中，使横行方框中的数之和与竖列方框中的数之和相等且为19。
思维点拨：本题的关键在于先确定中间重复数。
横行和竖列的和为19×2＝38，而实际上所有方框中的数之和为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，38－36＝2，多出来的2正好是中间重复的数。
答案：（答案不唯一）能力探索2将2～8填入下图的方框中，使横行、竖列的和相等且为20。
答案：中间重复数：20×2－（2＋3＋4＋…＋8）＝5。
（答案不唯一）中级挑战1将1～10这十个自然数填入下图的○中，使每个圆上六个数的和为29。
思维点拨：两个大圆圈的和为29×2＝58，而圆圈上所有的数之和为：1＋2＋3＋…＋10＝55，因此中间两个圆圈数（重复数）的和为58－55＝3，而3＝1＋2，由此可先填出中间的两个圆圈数分别为1和2，再两两配对填出其它数即可。
答案：（答案不唯一）能力探索3把数字1～8分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数的和都等于20。
第六讲数阵图(二)
例1：将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
例2：将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
例3：将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
例4：将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。
例5：把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
练习:
1. 把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
2. 把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等。
3. 将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15。
4.将1～8填入右上图的八个○中，使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
5.将1～7填入右图的七个○，使得每条直线上的各数之和都相等。
6. 把1，3，5，7，9，11，13分别填入左图中的七个空块中，使得每个圆内的四个数之和都等于34。
--------数阵图(★★★★★)
1.学习简单的数阵图；
2.学习解决简单的数学问题。
知识结构
我们在以前已经学习过辐射型和封闭型数阵，其解题的关键在于“重叠数”。
本讲和下一讲，我们学习三阶方阵，就是将九个数按照某种要求排列成三行三列的数阵图，解题的关键仍然是“重叠数”。
我们先从一道典型的例题开始。
(★★★★★)把20以内的质数分别填入下图的一个○中，使得图
中用箭头连接起来的四个数之和都相等。
分析与解：由上图看出，三组数都包括左、右两端的数，所以每组数的中间两数之和必然相等。
20以内共有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数，两两之和相等的有
5＋19＝7＋17＝11＋13，
于是得到下图的填法。
(★★★★★)在右图的每个方格中填
入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。
分析与解：如左下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图。
(★★★★★)将1～8填入左下图的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线连接的相邻的两个○内。
分析与解：因为中间的两个○各自只与一个○不相邻，而2～7中的任何一个数都与两个数相邻，所以这两个○内只能填1和8。
2只能填在与1不相邻的○内，7只能填在与8不相邻的○内。
其余数的填法见右上图。
(★★★★★)在右图的六个○内各填
入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等。
分析与解：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字之和为20÷2＝10。
10分为三个质数之和只能是2＋3＋5，由此得到右图的填法。
(★★★★★)在右图所示立方体的八
个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除。
分析与解：设未被标出的数为a，则被标出的八个数之和为1＋2＋…＋9-a＝45-a。
由于每个顶点都属于三个面，所以六个面的所有顶点数字之和为6k＝3×（45-a），
2k＝45-a。
2k是偶数，45－a也应是偶数，所以a必为奇数。
若a＝1，则k＝22；
若a＝3，则k＝21；
若a＝5，则k＝20；
若a＝7，则k＝19；
若a＝9，则k＝18。
因为k不能被a整除，所以只有a＝7，k＝19符合条件。
由于每个面上四个顶点上的数字之和等于19，所以与9在一个面上的另外三个顶点数之和应等于10。
在1，2，3，4，5，6，8中，三个数之和等于10的有三组：
10＝1＋3＋6
＝1＋4＋5
＝2＋3＋5，
将这三组数填入9所在的三个面上，可得右图的填法。
说明：本部分为专题测试，学生做完后教师进行评分。
1.将1～6这六个数分别填入下图中的六个○内，使得三条直线上的数字的和都相等。
2.将1～8这八个数分别填入下图中的八个方格内，使上面四格、下面四格、左边四格、右边四格、中间四格及四角四格内四个数相加的和都是18。
3.在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数都是1，2，3，4。
4.将1～8填入右上图的八个空格中，使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数都不是相邻的两个自然数。
5.20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数。
将这八个奇数填入右图的八个○中（其中3已填好），使得用箭头连接起来的四个数之和都相等。
6.在下图的七个○内各填入一个质数，使每个小三角形（共6个）的三个顶点数之和都相等，且为尽量小的质数。
7.从1～13中选出12个自然数填入下图的空格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等。
练习答案
1.有下面四个基本解。
【说明】：本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。
先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。
教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。
方法回顾和教师寄语的图标各选一个
教师：本专题你有哪些收获和感悟？
说明：本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。
教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。
