苏科版九年级数学上册 《弧长及扇形的面积》课时练习【含答案】

2.7弧长及扇形面积同步能力提高训练一、选择题（共9小题）.1．已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（）A．πB．3πC．5πD．15π2．如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（）A．16π﹣12B．16π﹣24C．20π﹣12D．20π﹣244．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O 的半径为5，AB＝4，则的长是（）A．B．C．D．4π5．如图，BC为⊙O直径，若∠A＝80°，BC＝6，则图中灰色区域的面积为（）A．2πB．3πC．4πD．5π6．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且的长为π，点D在OA上，连接BD，CD，若点C，O关于直线BD对称，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．7．如图，点C为圆O上一个动点，连接AC，BC，若OA＝1，则阴影部分面积的最小值为（）A．﹣B．﹣﹣C．﹣D．﹣8．如图，已知所在圆的半径为5，所对弦AB长为8，点P是的中点，将绕点A逆时针旋转90°后得到，则在该旋转过程中，线段PB扫过的面积是（）A．8πB．9πC．10πD．11π9．如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为3的⊙O的圆心重合，延长AB，BC分别交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．9π﹣4D．9π﹣2二、填空题10．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是．11．如图，在△OAC中，OA＝4，AC＝2，把△OAC绕点A按顺时针方向转到△O'AC'，已知点O'的坐标是（2，2），则在旋转过程中线段OC扫过的阴影部分面积为．12．如图，⊙O中，若直径AB＝4，C，D为⊙O上两点，且分别位于直径AB的两侧，C 为弧AB的中点，∠BCD＝15°，则图中阴影部分的周长为.（结果保留根号或π）．13．扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为150°．AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为cm2．三、解答题14．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB 的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．（1）EM与BE的数量关系是；（2）求证：＝；（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．（1）求证：BD＝BE；（2）已知AC＝1cm，BC＝cm．①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；②求图中阴影部分面积．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．（1）若∠B＝28°，求的度数；（2）若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积；（3）若AC＝，求AD•AB的值．17．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接OC、AC、BD．（1）求证：∠ACO＝∠CDB；（2）若CD＝6，BE＝，求弧AD的长；18．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝2cm，求图中阴影部分的面积．19．已知在⊙O中，点C为上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）如图1，连接AB，求证：AE是⊙O的直径；（2）如图2，连接EC，若AC＝4，DE＝10，求阴影部分的面积之和．20．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G，OA＝3．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，求劣弧的长．（结果保留π）参考答案1．解：扇形面积＝，故选：D．2．解：连接AD，如图所示：∵D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，∴AD＝，∴阴影部分的面积＝＝．故选：C．3．解：连接AD，OE∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠CDF＝90°，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∴∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠CDF＝∠DAC，∵∠CDF＝15°，∴∠DAC＝15°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°，∴∠AOE＝120°，作OH⊥AE于H，在Rt△AOH中，OA＝4，∴OH＝2，AH＝6，∴AE＝2AH＝12，∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝＝16．故选：A．4．解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD＝＝．又OB＝5，∴OD＝＝＝，∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD，∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形．∵CF⊥AB，∴AF＝DF＝＝，又四边形ODFE为矩形且OD＝DF＝，∴四边形ODFE为正方形．∴，∴CE＝＝＝2，∴CF＝CE+EF＝3＝BF，故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°，∴所对的圆心角为90°，∴＝＝．故选：A．5．解：∵∠A＝80°，∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，∵OB＝OD，OE＝OC，∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，∴∠ODB+∠OEC＝100°，∴∠DOB+∠EOC＝160°，∴图中灰色区域的面积＝＝4π，故选：C．6．解：连接BC，OC，OC交BD于W，∵点C，O关于直线BD对称，∴∠DWO＝90°，OW＝CW，BC＝OB，∵OC＝OB，∴OC＝BC＝OB，即△OCB是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵的长为π，∴＝π，解得：OB＝3，即OC＝OB＝3，∴OW ＝CW ＝1.5，∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC ＝30°，∴OD ＝2DW ，由勾股定理得：OD 2＝DW 2+OW 2，即（2DW ）2＝DW 2+1.52，解得：DW ＝（负数舍去），∴阴影部分的面积S ＝S 扇形AOC ﹣S △DOC ＝﹣＝， 故选：A ．7．解：连接AB ，OC '，AC '，BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足△ABC 的面积最大即可，从而可得当点C 位于弧AB 的中点C ′时，△ABC 的面积最大，连接OC '，则OC '⊥AB 于D ，∴OD ＝AB ＝＝， ∴DC '＝OC '﹣OD ＝1﹣，∴S 四边形AOBC ′＝S △AOB +S △ABC ′＝×1×1+××（1﹣）＝， ∵扇形AOB 的面积＝＝， ∴阴影部分面积的最小值＝﹣，故选：C ．8．解：设所在圆的圆心为O ，连接OP 、OA 、AP 、AP ′、AB ′， ∵点P 是的中点，∴OP ⊥AB ，AM ＝BM ＝AB ＝4，∴OM ＝＝3， ∴PM ＝5﹣3＝2，∴PA ＝＝＝2，∴线段PB 扫过的面积＝S 扇形ABB ′﹣S 扇形APP ′＝﹣＝16π﹣5π＝11π，故选：D ．9．解：延长CD ，DA 交⊙O 于E ，F ，由对称性可知，图中阴影部分的面积＝×（S 圆O ﹣S 正方形ABCD ）＝×（9π﹣4）＝π﹣1，故选：B ．10．解，连接OD ，过D 作DE ⊥BC 于E ，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，AC ＝4，∴∠C ＝30°，∴∠DOB ＝60°，∵OD ＝BC ＝，∴DE ＝， ∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，故答案为：﹣．11．解：过O ′作O ′M ⊥OA 于M ，则∠O ′MA ＝90°， ∵点O ′的坐标是（2，2）， ∴O ′M ＝2，OM ＝2， ∵AO ＝4，∴AM ＝4﹣2＝2，∴∠O ′AM ＝60°，即旋转角为60°，∴∠CAC ′＝∠OAO ′＝60°，∵把△OAC 绕点A 按顺时针方向旋转到△O ′AC ′， ∴S △OAC ＝S △O ′AC ′，∴阴影部分的面积S ＝S扇形OAO ′+S △O ′AC ′﹣S △OAC ﹣S 扇形CAC ′＝S 扇形OAO ′﹣S 扇形CAC ′＝﹣＝2π，故答案为2π．12．解：作直径CE ，连接DE 、OD ，如图，∵C 为弧AB 的中点，∴∠BOC ＝∠AOC ＝90°，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴BC ＝OB ＝2，∠OCB ＝45°，∵∠BCD ＝15°，∴∠DCE ＝45°﹣15°＝30°，∵CE 为直径，∴∠CDE ＝90°，∴DE ＝CE ＝2，∴CD ＝DE ＝2，∵∠BOD ＝2∠BCD ＝30°， ∴的长度＝＝π， ∴图中阴影部分的周长为π+2+2． 故答案为π+2+2．13．解：∵AB ＝30cm ，BD ＝20cm ，∴AD ＝10cm ，∵∠BAC ＝150°，∴扇面的面积＝S 扇形BAC ﹣S 扇形DAE ＝﹣ ＝π（cm 2）． 故答案为π．14．解：（1）∵AC 为⊙O 的直径，点E 是的中点， ∴∠ABE ＝45°，∵AB ⊥EN ，∴△BME 是等腰直角三角形，∴BE ＝EM ，故答案为BE ＝EM ； （2）连接EO ，AC 是⊙O 的直径，E 是的中点，∴∠AOE ＝90°，∴∠ABE ＝∠AOE ＝45°，∵EN ⊥AB ，垂足为点M ，∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°，∴＝，∵点E是的中点，∴＝，∴＝，∴﹣＝﹣，∴＝；（3）连接AE，OB，ON，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠AME＝∠EMB＝90°，∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，∴EM＝BM＝1，又∵BE＝EM，∴BE＝，∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，∴∠EAB＝30°，∵∠EAB＝∠EOB，∴∠EOB＝60°，又∵OE＝OB，∴△EOB是等边三角形，∴OE＝BE＝，又∵＝，∴BE＝CN，∴△OEB≌△OCN（SSS），∴CN＝BE＝又∵S扇形OCN ＝＝，S△OCN＝CN•CN＝×＝，∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．15．（1）证明：∵AO＝AC，∴∠ACO＝∠AOC，∵∠D＝∠OCB，∠BOD＝∠AOC，∴∠ACO+∠OCB＝∠BOD+∠D，∵∠ACB＝90°，∴∠BOD+∠D＝90°，∴OB⊥DE，∴BD＝BE；（2）解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1cm，BC＝cm．∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∠A＝60°，∵OA＝AC，∴△AOC为等边三角形，∴OC＝AC＝1cm，∠AOC＝60°，∴∠D＝∠OCB＝30°，OB＝AB﹣OA＝1，∴OD＝2OB＝2，∴CD＝OD+OC＝3，∵∠D＝∠OCB，∴BD＝BC，∵BD＝BE，∴BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，∴∠D+∠BEC＝∠DCE＝90°，∵BF⊥CE，∴BF∥CD，∵BD＝BE，∴BF＝CD＝；②解：连接OE，∵OD ＝2、OB ＝1，∴BD ＝，则DE ＝2BD ＝2， ∵OD ＝OE ，∴∠D ＝∠OED ＝30°，∴∠DOE ＝120°，S 阴影＝S 扇形ODE ﹣S △ODE ＝﹣×2×1＝π﹣．16．解：（1）连接CD ，如图，∵∠ACB ＝90°，∠B ＝28°，∴∠BAC ＝90°﹣28°＝62°，∵CA ＝CD ，∴∠CDA ＝∠CAD ＝62°，∴∠ACD ＝180°﹣62°﹣62°＝56°， ∴的度数为56°；（2）∵D 是AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴CD ＝AD ＝BD ＝AB ＝1，∵CD ＝CA ，∴△ACD 为等边三角形，∴∠ACD ＝60°，∴阴影部分的面积＝S 扇形ACD ﹣S △ACD ＝﹣×12 ＝π﹣； （4）过点C 作CH ⊥AD 于H ，∴AH ＝DH ＝AD ，∵∠ACB＝90°，CH⊥AB，∴∠ACB＝∠AHC，∵∠A＝∠A，∴AC2＝AH•AB，即（）2＝AD•AB，∴AD•AB＝6．17．（1）证明：∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∵∠A＝∠CDB，∴∠ACO＝∠CDB；（2）解：连接OD，设⊙O的半径为r，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，CD＝6，∴DE＝CD＝3，AB⊥CD，在Rt△OED中，OD2＝OE2+DE2，即r2＝（r﹣）2+32，解得，r＝2，∴∠DOE＝60°，∴∠AOD＝120°，∴弧AD的长＝＝π．18．解：（1）连接OB，∵BC⊥OA，∴BE＝CE，，又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB，∴∠AOC＝60°．（2）∵，∴，∵∠AOC＝60°，∴∠C＝30°，设OE＝x，OC＝2x，∵OE2+EC2＝OC2，∴OE＝x＝1，OC＝2x＝2，∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝＝（π﹣）（cm2）．19．（1）证明：如图1，连接CB，CE，∵点C为劣弧AB上的中点，∴CB＝CA，又∵CD＝CA，∴AC＝CD＝BC，∴∠D＝∠CBD，∵∠CBD＝∠EAD，∴∠D＝∠EAD，∴EA＝ED，∵CD＝CA，∴EC⊥AD，∴∠ACE＝90°，∴AE是⊙O的直径；（2）解：如图2，∵AE＝ED＝10，AC＝4，EC⊥AD，∴根据勾股定理得：CE＝2，∴S阴影＝S半圆﹣S△ACE＝12.5π﹣×4×2＝12.5π﹣4．20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝90°，∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBG＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，在△ABE和△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA）．（2）解：连接OF，∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，∵OA＝3，∴的长＝＝．。

弧长及扇形的面积姓名_____________班级____________学号____________分数_____________一、选择题1 ．在半径为6cm 的圆中,长为2 cm 的弧所对的圆周角的度数为( )A.30°B.100C.120°D.130°2 ．一个扇形的圆心角是120°,它的面积为3πcm 2,那么这个扇形的半径是( ).A.3 cmB.3cmC.6cmD.9cm 3 ．钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是 ( )A 、103cm πB 、203cm πC 、253cm πD 、503cm π 4 ．已知一个扇形的弧长为10πcm,圆心角是150º,则它的半径长为( )A.12cmB. 10cmC. 8cmD.6cm5 ．如图,已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上,AD //BC ,AC 平分BCD ∠,120ADC =∠,四边形ABCD 的周长为10cm.图中阴影部分的面积为( )A. 3B. 3C. 23D. 436 ．如图,等腰直角三角形AOB 的面积为S 1,以点O 为圆心,OA 为半径的弧与以AB为直径的半圆围成的图形的面积为S 2,则S 1与S 2的关系是( )(A)S 1>S 2 (B)S 1<S 2 (C)S 1=S 2 (D)S 1≥S 2二、填空题7 ．在半径为18的圆中,120°的圆心角所对的弧长是____________A D B8 ．⊙O 的半径为2,点A 、B 、C 在⊙O 上,∠ABC =60°,则∠ABC 所对的弧长为________.9 ．兰州市某中学的铅球场如图10所示,已知扇形AOB 的面积是36米2,弧AB 的长度为9米,那么半径OA =______米.10．已知扇形的圆心角为150°,弧长为20πcm,则扇形的面积为_________｡ 11．如图,小正方形方格的边长为1cm,则AB ⌒ 的长为___________cm.12．如图8,•已知一扇形的半径为3,•圆心角为60 °, 则图中阴影部分的面积为________.13．如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB 、AC 的夹角为120°,AB 长为30cm,贴纸部分BD 长为20cm,贴纸部分面积为________cm 2. (结果保留 ) A O BDCBA14．如图,△ABC中,∠ACB=90°, ∠B =30°,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于D点,若AC=6,则AD的长为 ________.15．如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心,1为半径的扇形,并且所有多边形的每条边长都大于2,则第n个多边形中,所有扇形面积之和是_______________(结果保留π).……第1个第2个第3个三、解答题16．如图,已知菱形ABCD的边长为1.5cm,B C，两点在扇形AEF的EF上, 求BC的长度及扇形ABC的面积.(第15题)17．如图,墙OA、OB的夹角AOB=120º,一根9米长的绳子一端栓在墙角O处,另一端栓着一只小狗,则小狗可活动的区域的面积是多少米2｡(结果保留π)｡18．如图8,圆心角都是90º的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起,连结AC,BD.(1)求证:AC=BD;(2)若图中阴影部分的面积是243cmπ,OA=2cm,求OC的长.5.8弧长及扇形的面积参考答案一、选择题1 ．A解:如答图所示,设⊙O的半径R=6cm, 2,ABl cmπ=图8B CDAE F∵180AB n R l π=,∴62180n ππ⨯=, ∴n=60(度),即∠AOB=60°, ∴∠APB=30°.点拨:本题是弧长公式与圆周角定理的综合应用,学生易将圆周角性质与圆心角性质、弧所对的圆周角与弧所含的圆周角发生混淆.P A BO2 ．B3 ．B4 ．A5 ．B6 ．C.二、填空题7 ．12;8 ．4π39 ．810．240πcm 2;112π. 12．39324π13．800/3π 14．2π15．2n π 三、解答题 16．解:四边形ABCD 是菱形且边长为1.5, 1.5AB BC ∴==.又B C 、两点在扇形AEF 的EF 上,1.5AB BC AC ∴===, ABC ∴△是等边三角形. 60BAC ∴∠=°.BC 的长60π1.5π1802==(cm) 211π31.5π(cm )2228ABC S lR ===扇形 17．解:27πm 2;18．解:(1)证明:BDAC BODAOC DO CO BO AB BOD AOC AODBOD AOD AOC COD AOB =⇒∆≅∆⇒⎪⎭⎪⎬⎫==∠=∠⇒∠+∠=∠+∠⇒∠∠ 900＝＝ (2)根据题意得:360)(9036090360902222OC OA OC OA S -=-=πππ阴影; ∴360)2(904322OC -=ππ解得:OC=1cm.。

弧长及扇形的面积1．如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的_________。

2．扇形的面积是它所在圆的面积的32，这个扇形的圆心角的度数是_________°。

3．扇形的面积是S ，它的半径是r ，这个扇形的弧长是_____________。

4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF =CD =16厘米，则球的半径为 厘米。

5．如图，⊙A.⊙B.⊙C.⊙D 相互外离，它们的半径是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD ，则图中四个扇形的面积和是多少？6．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B 点从开始至结束所走过的路径长度是多少？7．圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．8. 如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置上，设BC ＝1，ACA 运动到A 2的位置时，点A 经过的路线有多长？点A 经过的路线与直线l 所围成的图形的面积有多大？9．如图，扇形OAB 的圆心角是90°，分别以OA.OB 为直径在扇形内作半圆，则12S S 、两部分图形面积的大小关系是什么？中考链接1.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以点C为圆心，CD为半径的弧与BC交于点E，四边形ABED是平行四边形，AB=3，则扇形CDE（阴影部分）的面积是（）A．32π B．2πC．π D．3π2.如图（1）（2）…（n）是边长均大于1cm的三角形、四边形、… n边形。

分别以它们的顶点为圆心，以0.5cm为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧、… n条弧。

（图1）（图2）（图3）（1）根据要求画出这些弧;（2）图（1）中3条弧的弧长的和为____________;图（2）中4条弧的弧长的和为____________;（3）求第n个图中的n条弧的弧长的和（用含n的代数式表示）。

24.4弧长和扇形面积(第1课时)【学习目标】了解扇形的概念，理解 n?°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．【学习重点】n°的圆心角所对的弧长 L= n R，扇形面积S扇= n R2及其它们的应用．180360【学习过程】（教师寄语：勤动脑，多动手，体验收获！）自主探究（教师寄语：学会独立思考，自主学习是最重要的！）一、任务一：探究弧长公式1、圆的周长公式是什么？什么叫弧长？2、圆的周长可以看作 ______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是 _______； 2°的圆心角所对的弧长是 _______；4°的圆心角所对的弧长是 _______；n°的圆心角所对的弧长是 _______。

任务二：探究扇形面积公式3、圆的面积公式是什么？什么叫扇形？4、圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积；设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形 =_______； 2°的圆心角所对的扇形面积 S 扇形=_______； 5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______；n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形 =_______。

5、比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？二、合作学习（教师寄语：学会与别人合作是一种能力！）例 1、（教材 121 页例 1）例 2：如图，已知扇形 AOB的半径为 10，∠ AOB=60°，求AB的长（ ?结果精确到 0．1）和扇形 AOB的面积结果精确到 0．1）三、课时小结（教师寄语：及时总结能使人不断进步！）四、自我测评（教师寄语：细心思考，必定成功！）1、已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）．A ． 3B ． 4C ． 5D ． 62、如图所示，把边长为 2 的正方形 ABCD的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕点 D 旋转到如图的位置，则点 B 运动到点 B′所经过的路线长度为（）A．1B．C．2D．2B C(A')B'AlD C'A BCO（第 2 题图）（第 3 题图）（第 4 题图）（第 6 题图）3、如图所示， OA=30B，则AD的长是BC的长的 _____倍．4、如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中AOB 为120，OC 长为8cm， CA 长为12cm，则阴影部分的面积为。

2020年人教版九年级数学上册 24.4《弧长和扇形面积》随堂练习第1课时 弧长和扇形面积基础题知识点1 弧长公式及应用1．(岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为( ) A.π2 B ．π C.π6 D.π3 2．(衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为( )A ．6B ．9C ．18D ．36 3．一个扇形的半径为8 cm ，弧长为163π cm ，则扇形的圆心角为( )A ．60°B ．120°C ．150°D ．180° 4．如图，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( )A ．π cmB ．2π cmC ．3π cmD ．5π cm5．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC ︵的长等于( )A.2π3B.π3C.23π3D.3π3知识点2 扇形的面积公式及应用6．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( ) A ．3π B ．6π C ．9π D ．12π7．一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm 2，那么这个扇形的半径是( ) A ．1 cm B ．3 cm C ．6 cm D ．9 cm8．已知扇形的半径为6 cm ，面积为10π cm 2，则该扇形的弧长等于 cm ．9．一个扇形的半径为3 cm ，面积为π cm 2，则此扇形的圆心角为 度．10．如图，△ABC 是⊙O 内接正三角形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分面积是 ．11．如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且BC=6 cm ，AC=8 cm ，∠ABD=45°. (1)求BD 的长；(2)求图中阴影部分的面积．易错点 忽视题中条件12．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 cm 2.中档题13．如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB=12，∠C=60°，则FE ︵的长为( )A.π3B.π2 C ．Π D ．2π14．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(C)A ．(10π－923)米2B ．(π－923)米2C ．(6π－923)米2D ．(6π－93)米15．如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 是BC 边上的高，AB=4 cm ，分别以B ，C为圆心，以BD ，CD 为半径画弧，交边AB ，AC 于点E ，F ，则图中阴影部分面积是 cm 2.16．图1是以AB 为直径的半圆形纸片，AB=6 cm ，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 方向平移至扇形O ′A ′C ′，如图2，其中O ′是OB 的中点，O ′C ′交BC ︵于点F ，则BF ︵的长为 cm.17．如图1，正方形ABCD 是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD 中点处的光点P 按图2的程序移动． (1)请在图1中画出光点P 经过的路径； (2)求光点P 经过的路径总长(结果保留π)．18．如图，已知PA为⊙O的切线，A为切点，B为⊙O上一点，∠AOB=120°，过点B作BC ⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB，AD.(1)求证：OD平分∠AOB；(2)若OA=2 cm，求阴影部分的面积．综合题19．“莱洛三角形”是一种等宽曲线，在游标卡尺上，它在任何方向上的宽度都相等，其构造方法是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形，如图1.莱洛三角形在日常生活中有广泛的应用，如汽车发动机就有莱洛三角形，如图2，若图1中等边三角形的边长是2，则该莱洛三角形的周长是2π．第2课时 圆锥的侧面积和全面积基础题知识点1 圆柱的侧面积与全面积1．圆柱形水桶底面周长为3.2π m ，高为0.6 m ，它的侧面积是( )A ．1.536π m 2B ．1.92π m 2C ．0.96π m 2D ．2.56π m 22．一个圆柱的底面直径为6 cm ，高为10 cm ，则这个圆柱全面积是 cm 2(结果保留π)． 知识点2 圆锥的侧面积与全面积3．已知圆锥的底面半径为4 cm ，母线长为6 cm ，则它的侧面展开图的面积等于( )A ．24 cm 2B ．48 cm 2C ．24π cm 2D ．12π cm 24．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥母线长为2，则圆锥底面半径是( ) A.12 B ．1 C. 2 D.325．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为( ) A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．36．如图，圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是( )A ．12πB ．15πC ．24πD ．30π7．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( ) A ．120° B ．180° C ．240° D ．300° 8．若一个圆锥的底面圆半径为3 cm ，其侧面展开图圆心角为120°，则圆锥母线长是 cm. 9．如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形AOC ，已知圆锥的高h 为12 cm ，OA=13 cm ，则扇形AOC 中AC ︵的长是 cm.(结果保留π)10．如图，已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥侧面积为 ．11．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm，弧长为12π cm的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．易错点考虑不全面导致漏解12．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为．中档题13．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1，把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则( )A．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶2B．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶2C．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶4D．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶414．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8 cm，圆柱体部分的高BC=6 cm，圆锥体部分的高CD=3 cm，则这个陀螺的表面积是( )A．68π cm2 B．74π cm2 C．84π cm2 D．100π cm215．如图，从一张腰长为60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为( )A．10 cm B．15 cmC．10 3 cm D．20 2 cm16．一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为 cm2.17．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC.若用扇形OAC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为 (结果保留π)．19．如图，有一直径是1米的圆形铁皮，圆心为O，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC，求：(1)被剪掉阴影部分的面积；(2)若用所留的扇形ABC铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？综合题20．如图1，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的邻边(即腰AB 或AC)与对边(即底边BC)的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)=∠A 的对边（底边）∠A 的邻边（腰）=BCAC，当∠A=60°时，如T(60°)=1. (1)理解巩固：T(90°)= ，T(120°)= ，T(A)的取值范围是 ；(2)学以致用：如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长．(精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66)参考答案基础题知识点1 弧长公式及应用1．(岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D) A.π2 B ．π C.π6 D.π3 2．(衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为(C)A ．6B ．9C ．18D ．36 3．(自贡中考)一个扇形的半径为8 cm ，弧长为163π cm ，则扇形的圆心角为(B)A ．60°B ．120°C ．150°D ．180° 4．(兰州中考)如图，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C) A ．π cm B ．2π cm C ．3π cm D ．5π cm5．(南宁中考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC ︵的长等于(A) A.2π3 B.π3 C.23π3 D.3π3知识点2 扇形的面积公式及应用6．(宜宾中考)半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是(D) A ．3π B ．6π C ．9π D ．12π7．(维吾尔中考)一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm 2，那么这个扇形的半径是(B) A ．1 cm B ．3 cm C ．6 cm D ．9 cm8．(怀化中考)已知扇形的半径为6 cm ，面积为10π cm 2，则该扇形的弧长等于10π3__cm ． 9．(广西中考)一个扇形的半径为3 cm ，面积为π cm 2，则此扇形的圆心角为40度．10．(常德中考)如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分的面积是3π． 11．(无锡中考)如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且BC=6 cm ，AC=8 cm ，∠ABD=45°. (1)求BD 的长；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠C=90°，∠BDA=90°. ∵BC=6 cm ，AC=8 cm ， ∴AB=62＋82=10(cm)． ∵∠ABD=45°.∴△ABD 是等腰直角三角形． ∴BD=AD=22AB=5 2 cm. (2)连接DO ，∵△ABD 是等腰直角三角形，OB=OA ， ∴∠BOD=90°. ∵AB=10 cm ， ∴OB=OD=5 cm.∴S 阴影=S 扇形OBD －S △BOD =90π×52360－12×52=(25π4－252)cm 2.易错点 忽视题中条件12．(教材P116习题T8变式)如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm 2. 02 中档题13．(山西中考)如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB=12，∠C=60°，则FE ︵的长为(C)A.π3B.π2C ．ΠD ．2π14．(山西中考)如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(C)A ．(10π－923)米2B ．(π－923)米2 C ．(6π－923)米2 D ．(6π－93)米15．(盘锦中考)如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 是BC 边上的高，AB=4 cm ，分别以B ，C 为圆心，以BD ，CD 为半径画弧，交边AB ，AC 于点E ，F ，则图中阴影部分的面积是(23＋2－32π) cm 2.16．(山西中考)图1是以AB 为直径的半圆形纸片，AB=6 cm ，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 方向平移至扇形O ′A ′C ′，如图2，其中O ′是OB 的中点，O ′C ′交BC ︵于点F ，则BF ︵的长为π cm.17．如图1，正方形ABCD 是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD 中点处的光点P 按图2的程序移动．(1)请在图1中画出光点P 经过的路径；(2)求光点P 经过的路径总长(结果保留π)．解：(1)如图．(2)光点P 经过的路径总长为4×90π×3180=6π.18．(山西中考适应性考试)如图，已知PA 为⊙O 的切线，A 为切点，B 为⊙O 上一点，∠AOB=120°，过点B 作BC ⊥PA 于点C ，BC 交⊙O 于点D ，连接AB ，AD.(1)求证：OD 平分∠AOB ；(2)若OA=2 cm ，求阴影部分的面积．解：(1)证明：∵PA 为⊙O 的切线，∴OA ⊥PA.∵BC ⊥PA ，∴∠OAP=∠BCA=90°.∴OA ∥BC.∴∠AOB ＋OBC=180°.∵∠AOB=120°，∴∠OBC=60°.∵OB=OD ，∴△OBD 是等边三角形．∴∠BOD=60°.∴∠AOD=∠BOD=60°.∴OD 平分∠AOB.(2)∵OA ∥BC ，∴点O 和点A 到BD 的距离相等．∴S △ABD =S △OBD .∴S 阴影=S 扇形OBD .∴S 阴影=60π×4360=23π(cm 2)．03 综合题19．(山西中考命题专家原创)“莱洛三角形”是一种等宽曲线，在游标卡尺上，它在任何方向上的宽度都相等，其构造方法是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形，如图1.莱洛三角形在日常生活中有广泛的应用，如汽车发动机就有莱洛三角形，如图2，若图1中等边三角形的边长是2，则该莱洛三角形的周长是2π．第2课时 圆锥的侧面积和全面积01 基础题知识点1 圆柱的侧面积与全面积1．圆柱形水桶底面周长为3.2π m ，高为0.6 m ，它的侧面积是(B)A ．1.536π m 2B ．1.92π m 2C ．0.96π m 2D ．2.56π m 22．(来宾中考)一个圆柱的底面直径为6 cm ，高为10 cm ，则这个圆柱的全面积是78πcm 2(结果保留π)．知识点2 圆锥的侧面积与全面积3．(无锡中考)已知圆锥的底面半径为4 cm ，母线长为6 cm ，则它的侧面展开图的面积等于(C)A ．24 cm 2B ．48 cm 2C ．24π cm 2D ．12π cm 24．(德阳中考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥母线长为2，则圆锥的底面半径是(B)A.12B ．1 C. 2 D.325．(嘉兴中考)一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为(D)A ．1.5B ．2C ．2.5D ．36．(宁夏中考)如图，圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是(B)A ．12πB ．15πC ．24πD ．30π7．(齐齐哈尔中考)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是(A) A ．120° B ．180°C ．240°D ．300°8．(孝感中考)若一个圆锥的底面圆半径为3 cm ，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是9cm.9．(广东中考)如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形AOC ，已知圆锥的高h 为12 cm ，OA=13 cm ，则扇形AOC 中AC ︵的长是10πcm.(结果保留π)10．(聊城中考)如图，已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为2π．11．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm ，弧长为12π cm 的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．解：侧面积为：12×12×12π=72π(cm 2)． 设底面半径为r ，则有2πr=12π，∴r=6 cm.由于高、母线、底面半径恰好构成直角三角形，根据勾股定理可得，高为122－62=63(cm)．易错点 考虑不全面导致漏解12．(黄冈中考)已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为π或4π．02 中档题13．(杭州中考)如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=2，BC=1，把△ABC 分别绕直线AB 和BC 旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l 1，l 2，侧面积分别记作S 1，S 2，则(A)A ．l 1∶l 2=1∶2，S 1∶S 2=1∶2B ．l 1∶l 2=1∶4，S 1∶S 2=1∶2C ．l 1∶l 2=1∶2，S 1∶S 2=1∶4D ．l 1∶l 2=1∶4，S 1∶S 2=1∶414．(绵阳中考)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8 cm ，圆柱体部分的高BC=6 cm ，圆锥体部分的高CD=3 cm ，则这个陀螺的表面积是(C)A ．68π cm 2B ．74π cm 2C ．84π cm 2D ．100π cm 215．(十堰中考)如图，从一张腰长为60 cm ，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为(D)A ．10 cmB ．15 cmC ．10 3 cmD ．20 2 cm16．(恩施中考)一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为15πcm 2.17．(苏州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC.若用扇形OAC 围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是12．18．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=22，若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为82π(结果保留π)．19．如图，有一直径是1米的圆形铁皮，圆心为O ，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC ，求：(1)被剪掉阴影部分的面积；(2)若用所留的扇形ABC 铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？解：(1)连接OA ，OB.由∠BAC=120°，可知AB=12米，点O 在扇形ABC 的BC ︵上． ∴扇形ABC 的面积为120360π×(12)2=π12(平方米)． ∴被剪掉阴影部分的面积为π×(12)2－π12=π6(平方米)． (2)由2πr=120180π×12，得r=16. 即圆锥底面圆的半径是16米． 03 综合题20．如图1，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的邻边(即腰AB 或AC)与对边(即底边BC)的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)=∠A 的对边（底边）∠A 的邻边（腰）=BC AC，当∠A=60°时，如T(60°)=1. (1)理解巩固：T(90°)=2，T(120°)=3，T(A)的取值范围是0＜T(A)＜2；(2)学以致用：如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长．(精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66)解：∵圆锥的底面直径PQ=14，∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π.设扇形的圆心角为n°，则n×π×18180=14π，解得n=140.∵T(70°)≈0.87，∴蚂蚁爬行的最短路径长为0.87×18≈15.7.。

九上2.7弧长及扇形面积暑假辅导巩固训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是()A. 10πB. 15πC. 20πD. 30π2.如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2√2，则AB⌢的长是()A. πB. 32πC. 2πD. 12π3.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC⏜的长为()A. 103π B. 109π C. 59π D. 518π4.如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB=120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为()A. 6πm2B. 3πm2C. 2πm2D. πm25.已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，则该扇形的面积为()A. 18πB. 27πC. 36πD. 54π6.如图，AB是⊙O的直径，且AB=6，D，C为⊙O上两点，∠D=30°，则扇形AOC的面积为()B. 3πC. 4.5πD. 6π7.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和BC⌢的长分别为()．A. 2，π3B. 2√3，π C. √3，2π3D. 2√3，4π3二、填空题8.若扇形的面积为3π，半径等于3，则它的圆心角等于______．9.已知一扇形的圆心角是60∘，扇形的半径为9，则这个扇形的弧长是________．10.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OA=6，∠B=30°，则图中阴影部分的面积为__________11.如图，将半径为6的半圆，绕点A逆时针旋转75°，使点B落到点B′处，则图中阴影部分的面积是____．12.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是____(结果保留π)13.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D，连接A′B，则图中阴影部分的面积为________(结果保留π)．14.如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧DE⏜的长为______．三、解答题15.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，OC//AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若AE=2√10，CE=4.求图中阴影部分的面积．16.如图，在▵ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，且点E是BC的中点，BF交AC的延长线于点F，且∠BAC=2∠CBF．(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)若∠BAC=60∘，且⊙O的直径为4，求图中阴影部分的面积．17.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．(1)求证：DF为⊙O的切线；(2)若AE=4√2，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．18.如图，ΔAOB的三个顶点都在网格的格点上，网格中的每个小正方形的边长均为一个长度单位，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，若ΔAOB绕点O逆时针旋转90º后，得到△A1OB1(A和A1是对应点)(1)画出△A1OB1，写出点A1，B1的坐标；(2)求旋转过程中边OB扫过的面积(结果保留π)。

人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》同步练习含答案人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》1、选择题1、如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条夹角为，的长为，贴纸部分的长为，则贴纸部分的面积为（）A．B．C．D．2、如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值等于（）A．2π4 B．4π8 C．D．3、如图所示，在扇形BAD中，点C在上，且∠BDC=30°，AB=2，∠BAD=105°，过点C作CE⊥AD，则图中阴影部分的面积为（）A．π2 B．π1 C．2π2 D．2π+14、如图，在?ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．5、如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．π B．π C．π D．π6、如图,把直角△ABC的斜边AC放在定直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A运动到点A2的位置时，点A所经过的路线为( )sA、（+）πB、（+）π/C、2πD、π27、一圆锥的底面直径为4cm，高为cm，则此圆锥的侧面积为（）A．20πcm2 B．10πcm2 C．4πcm2 D．4πcm28、圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（）A．3cm B．6cmC．9cm D．12cm二、填空题9、半径为3，弧长为4的扇形面积为．10、.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为11、如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是．12、小丽在手工制作课上，想用扇形卡纸制作一个圣诞帽，卡纸的半径为30cm，面积为300πcm2，则这个圣诞帽的底面半径为cm．13、如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧OC、弧OA所围成的面积是_______cm2．14、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，将△ABC 绕点A逆时针旋转60°后得到△ADE，若AC＝1，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是___(结果保留π)．15、如图，正方形ABCD的边长为1cm，以CD为直径在正方形内画半圆，再以C为圆心，1cm长为半径画弧BD，则图中阴影部分的面积为．16、如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为．17、如图，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的长为．18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以点A 为圆心，AC的长为半径作交AB于点E，以点B 为圆心，BC的长为半径作交AB于点D，则阴影部分的面积为．三、简答题19、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．(1)求证：BE与⊙O相切；(2)设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=，求阴影部分的面积．20、如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．21、如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OB，垂足为M，DE=4，连接AD，过E作AD平行线交AB延长线于点C．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB交于点N，当∠DNB=30°时，求图中阴影部分的面积．。

第2章 对称图形－圆（2.7弧长与扇形的面积)一、 选择题（每题3分，共24分）1．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在O 上．若55,6OCA AB ∠=︒=，则BC 的长为（ ）A ．113πB ．116πC ．114πD ．11π【解析】解：∵∠OCA =55°，OA =OC ，∴∠A =55°，∴∠BOC =2∠A =110°，∵AB =6，∴BO =3，∴BC 的长为：1103180π⨯=116π， 故选B ．2．如图，ABC 中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =，点P 从C 点出发，沿CB 运动到点B 停止，过点B 作射线AP 的垂线，垂足为Q ，点Q 运动的路径长为 （ ）A ．3B ．C ．3D ．2π3【解析】解：取AB 中点O ，连接CO 、OP ，∵Rt ABQ 和Rt ABC △中，122OQ OB OA OC AB =====， ∴Q 在以O 为圆心，AB 为直径的圆上，运动路径为BC ，30ACO OAC ∠=∠=︒， ∴60COB ∠=︒，∴点Q 运动路径长为60π22π1803⋅=． 故选：D ．3．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =2BC =，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点D ，交AC 于点C ，以点B 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积为 （ ）A ．8π-B ．4π-C ．24π- D ．14π- 【解析】∵90ACB ∠=︒，∴∠A +∠B =90°，∵AB =2BC =，∴AC ，∴S 阴影=S △ABC -S 扇形BEF -S 扇形ACD =12BC·AC -290360AC π⋅⋅ =12×1×2-90360π=1-4π，故选：D ．4．如图ABC 内接于⊙O ，∠A ＝60°，OD ⊥BC 于点D ，若OD ＝3，则BC 的弧长为（ ）A ．4πB ．103π C ．2π D ．π【解析】解：连接OB ，OC ，∵∠A ＝60°，∴∠BOC ＝2∠A ＝120°．∵OB ＝OC ，OD ⊥BC ，∴∠COD ＝12∠BOC ＝60°，∴∠OCD ＝30°，∵OD ＝3，∴OC ＝2DO ＝6，∴BC 的长为1206180π⋅⨯＝4π．故选：A ．5．如图所示，点A ，B ，C 对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点A '，则此时线段CA 扫过的图形的面积为（ ）A ．B ．6C ．43πD ．83π 【解析】解：由图可知：AC =A’C =4，BC =2，连接AA ’，∵A ’B 是AC 的垂直平分线，∴AA ’＝CA ’∴△AA ’C 是等边三角形∴'30,'60BA C BCA ，线段CA 扫过的图形为扇形，此扇形的半径为4CA =， ∴2'608=4=3603ACA S 扇形， 故选：D ．6．如图，ABCD 中，110A ∠=︒，2AD =，以AD 为直径的O 交DC 于点E ，则AE 的长为（ ）A ．19πB ．718πC ．79πD ．29π 【解析】连接OE ，如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，110A ∠=︒，∴∠OED ＝∠D ＝70°，∴∠AOE ＝2∠D＝140°，∴AE 的长=140171809ππ︒⨯=︒. 故选:C ．7．如图，一张扇形纸片OAB ，∠AOB ＝120°，OA ＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 重合，折痕为CD ，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为 （ ）A ．B ．12π-C ．D ．6π-【解析】 连接AD 、DO ，由折叠可知，AD OD S S =弓形弓形，DA DO =，∵OA OD =，∴AD OD OA ==，∴AOD △是等边三角形，∴60AOD ∠=︒，30DOB ∠=︒，∵6AD OD OA ===， ∴CD =∴26061663602ADOAD ADO S S S ππ=-=-⨯⨯=-△弓形扇形∴6OD S π=-弓形，∴阴影部分的面积=(26066360ODBDO S S ππ-=--=弓形扇形； 故答案选A ．8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，以点A 为圆心、AC 的长为半径作CE 交AB 于点E ，以点B 为圆心、BC 的长为半径作CD 交AB 于点D ，则阴影部分的面积为（ ）A ．π一2B ．2π﹣4C ．4π﹣8D ．2π﹣【解析】 解：∵∠ACB =90°，AC =BC =4，∴S △ABC =12×4×4=8， S 扇形BCD 24542360ππ⨯==， S 空白=2×(8-2π)=16-4π，S 阴影=S △ABC -S 空白=8-16+4π=4π-8，故选：C ．二、填空题（每题3分，共24分）9．如图，在33⨯的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 、O 是格点，则图中扇形OAB 中阴影部分的面积是___．【解析】解:在△ACO 和△ODB 中，AC OD ACO ODB CO DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACO ≌△ODB （SAS ），∴∠CAO ＝∠BOD ，∵∠ACO ＝90°，∴∠CAO +∠AOC ＝90°，∴∠BOD +∠AOC ＝90°，∴∠AOB ＝90°，由勾股定理得，OA ＝OB∴扇形OAB﹣1254π﹣52， 故答案为：5542π-．10．扇形的半径为5，圆心角等于120︒，则扇形的面积等于______．【解析】解：S 扇形21205253603ππ⨯==．故答案为：253π． 11．如图，以ABC 各个顶点为圆心，6cm 为半径画圆，则图中阴影部分的面积为____________．（结果保留π）【解析】∵三角形的内角和为180︒，又∵半径为6cm ，()22180618360cm ππ⋅⋅∴=， 故答案为：218cm π．12．一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是________．【解析】 扇形的弧长为12010180π︒⨯⨯︒=203π 故答案为：203π． 13．半径为5cm 的圆中，若扇形面积为225cm 3π，则它的圆心角为________________． 【解析】根据题意可知该扇形的半径为5cm ， ∴由扇形的面积公式可知，22553360n ππ⨯=， 解得：120n =︒．故答案为：120︒．14．如图，已知在扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，半径8OA OB ==．P 为弧AB 上的动点，过点P 作PM OA ⊥于点M ，PN OB ⊥于点N ，点M ，N 分别在半径,OA OB 上，连接MN ．点D 是PMN 的外心，则点D 运动的路径长为________．【解析】如图：连接,,,OD DP DM DN,PM OA PN OB ⊥⊥90,90PMO PNO ∴∠=︒∠=︒点D 是PMN 的外心∴,DM DP DP DN ==,PMD MPD PND NPD ∴∠=∠∠=∠90PMD DMO PMO ∠+∠=∠=︒90PND DNO PNO ∠+∠=∠=︒90POM MPO ∠+∠=︒90PON OPN ∠+∠=︒,DMO MOP PON DNO ∴∠=∠∠=∠,MD DO DO DN ==DM DN DO DP ∴===P O M N ∴、、、四点共圆90,90PMO PNO ∠=︒∠=︒∴OP 为圆的直径8OA =, ∴11=422OD OP OA == 120AOB ∠=︒设点D 运动的路径长为l ，∴ 120441801803n l r πππ==⨯= 故答案为：43π． 15．如图，已知半圆O 的直径6AB =，将半圆O 绕点A 逆时针旋转，使点B 落在点B '处，AB '与半圆O 交于点C ，若弧BC 的长为32π，则图中阴影部分的面积是_________．【解析】解：连接OC ，设∠BOC =n °，∵弧BC 的长为32π，半圆O 的直径6AB =， ∴331802n ππ⨯=，解得：n =90，即∠BOC =90°， ∴∠BAC =45°，∴根据旋转的性质得=O O BOB S S S S '+-阴影半圆半圆扇形= BOB S '扇形= 2456360π⨯=92π， 故答案为：92π．16．如图，矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝4，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，连接BD ，则阴影部分的面积为__．（结果保留π）【解析】解：连接OE 交BD 于F ，∵以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，∴OE ⊥BC ，∵四边形ABCD 为矩形，OA ＝OD ＝4，CD ＝4，∴四边形ODCE 和四边形ABEO 都是正方形，∴BE ＝4，∠DOE ＝∠BEO ＝90°，在△ODF 和△EBF 中，90DOF BEF OFD EFB DO BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ODF ≌△EBF （AAS ），∴S △ODF ＝S △EBF ， ∴阴影部分的面积2904===4360EOD S ππ⨯扇形， 故答案为：4π．三、解答题（每题8分，共72分）17．如图，在平面直角坐标系中，点P (3，4)，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转90°得线段OP 1．(1)在图中作出线段OP 1，并写出P 1点的坐标；(2)求点P 在旋转过程中所绕过的路径长；(3)求线段OP 在旋转过程中所扫过的图形的面积．【解析】解：（1）如图所示，线段OP 1即为所求，P 1点的坐标为（﹣4，3）；（2）点P 在旋转过程中所绕过的路径长为：90551802ππ⨯⨯=； （3）线段OP 在旋转过程中所扫过的图形的面积为：2905253604ππ⨯⨯=． 18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，O 是边AC 上的点，以OC 为半径的圆分别交边BC 、AC 于点D 、E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F ．（1）求证：直线DF 是⊙O 的切线；（2）若OC ＝1，∠A ＝45°，求劣弧DE 的长．【解析】证明：如图，连结OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACB，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴∠ODF＝∠BFD＝90°，∵OD为半径，∴直线DF是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，∴劣弧DE的长为1353 1804ππ⨯=．19．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O 的半径为2，求阴影部分面积．【解析】解：（1）连接OE ．∵OA＝OE ，∴∠OAE＝∠OEA，又∵∠DAE＝∠OAE，∴∠OEA＝∠DAE，∴OE∥AD，∴∠ADC＝∠OEC，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，故∠OEC＝90°．∴OE⊥CD，∴CD 是⊙O 的切线；（2）∵∠C＝45°，∴△OCE 是等腰直角三角形，∴CE＝OE ＝2，∠COE＝45°，∴阴影部分面积＝S △OCE ﹣S 扇形OBE ＝12⨯2×2﹣2452360π⨯＝2﹣2π． 20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABO ∆的三个顶点分别为()()1,3,4,3,A B O --()0,0．（1）画出ABO ∆关于x 轴对称的11A BO ∆，并写出点1B 的坐标； （2）画出ABO ∆绕点O 顺时针旋转90︒后得到的22B O ∆A ，并写出点2B 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 所经过的路径长（结果保留π）．【解析】解：（1）如图所示：∴由图象可得()14,3B --；（2）如图所示：∴由图象可得()23,4B ；（3）由（2）的图象可得：点B 旋转到点2B 所经过的路径为圆弧，∵5OB =，∴点B 旋转到点2B 所经过的路径长为90551801802n r l πππ⨯===．21．如图，AB 是O 的直径，弦CD 垂直平分OB ，交OB 于点E ，CD =（1）求BD 的长．（2）求劣弧AC 的弧长．【解析】解：（1）设圆O 的半径为r ，∵CD 垂直平分OB ，∴CE =DE =OE =BE =12r ，∠OEC =∠BED =90°，∴△OEC ≌△BED （SAS ），∴BD =OC =r ，在△OCE 中，222OE CE OC +=，即(22212r r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：r =8或-8（舍），∴BD =OC =8；（2）∵cos∠COE =12OE OC =，∴∠COB =60°，∴∠AOC =120°，∴劣弧AC =8120180π⨯⨯=163π．22．如图，已知等边ABC 的边长为6，以AB 为直径的O 与边AC ，BC 分别交于D ，E 两点，连结OD ，OE ．（1）求DOE ∠的度数．（2）求劣弧DE 的长．【解析】解：（1）∵ABC 是等边三角形，∴=60A B C ∠=∠=∠︒，∵6AB =，∴3OA OB OE OD ====，∴△AOD 、△OBE 都为等边三角形，∴=60AOD EOB ∠=∠︒，∴=60DOE ∠︒；（2）由（1）及弧长计算公式可得：603180180n r l πππ⨯===． 23．如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝4，点C 是弧AB 上的一动点（不与A ，B 重合），过点B 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ．（1）若BD ＝8，求线段AC 的长度；（2）求证：EC 是⊙O 的切线；（3）当∠D ＝30°时，求图中阴影部分面积．【解析】解：（1）如图，连接BC ，∵BD 是⊙O 的切线，∴∠ABD＝90°，∵AB＝4，BD ＝8，∵AB 为⊙O 的直径，∴BC⊥AD，∴BC＝AB BDAD ⋅5，（2）连接OC ，OE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△BDC 中，∵BE＝ED ，∴DE＝EC ＝BE ，∵OC＝OB ，OE ＝OE ，∴△OCE≌△OBE（SSS ），∴∠OCE＝∠OBE，∵BD 是⊙O 的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∵OC 为半径，∴EC 是⊙O 的切线；（3）∵OA＝OB ，BE ＝DE ，∴AD∥OE，∴∠D＝∠OEB，∵∠D＝30°，∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°，∴∠BOC＝120°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴BE＝∴四边形OBEC 的面积为2S △OBE ＝2×12∴阴影部分面积为S 四边形OBEC ﹣S 扇形BOC ＝21202360π⋅⨯＝43π．24．如图，在ABC 中，AC BC BD ==，点O 在AC 边上，OC 为O 的半径，AB 是O 的切线，切点为点D ，2OC =，OA =（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）求阴影部分的面积．【解析】如图，连接OD ，∵AB 是O 的切线，切点为点D ，∴∠ODB =90°，在△OBC 和△OBD 中BC BDOC ODOB OB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OBC ≌△OBD ，∴∠OCB =∠ODB =90°，∵OC 为O 的半径，∴BC 是O 的切线．（2）∵∠OCB =90°，AC BC =，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠AOD =45°，∴∠COD =135°，∵△OBC ≌△OBD ，∴S △OBC =S △OBD ，∵2OC =，OA =∴2BC AC OC OA ==+=+∴S 阴影=2S △OBC -S 扇形COD =2×12OC ·BC -2135360OC π⋅=342π+． 25．如图，在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、D 三个点在⊙O 上，CD 与⊙O 交于点F ，连结BO 并延长交边AD 于点E ，点E 恰好是AD 的中点．（1）求证：BC 是⊙O 的切线．（2）若175AE BAD =∠=︒，，①求BE 的长．②求阴影部分的面积．【解析】（1）由题意，根据垂径定理BE AD ⊥， ∵四边形ABCD 平行四边形，∴//AD BC ，∴BE BC ⊥，∵OB 为半径，∴BC 是⊙O 的切线；（2）如图，连接AO ，∵//AD BC ，75BAD ∠=︒，∴105ABC ∠=︒，∵90OBC ∠=︒，∴1059015ABO ∠=︒-︒=︒，∵OA OB =，∴15BAO ABO ∠=∠=︒，∴751560OAE ∠=︒-︒=︒，∴在Rt AOE 中，30AOE ∠=︒，∴22AO AE ==，OE == ∴2BO AO ==，∴2BE BO OE =+=∴2BE =②如图，连接OD ，OF ，BF ， 由题意，105ADC ∠=︒，由①可知，60ODE ∠=︒，30DOE ∠=︒， ∴45ODF ∠=︒，∵OD OF =，∴45ODF OFD ∠=∠=︒，∴90DOF ∠=︒,ODF △为等腰直角三角形， ∴60BOF ∠=︒，∴DOE DOF BCDE BOF S S S S S =---阴影梯形扇形， 由①可知，1ED AE ==，2BC AD ==，∴()()(11·122322BCDE S ED BC BE =+=⨯+⨯=梯形，11122DOE S ED OE ==⨯=△， 1122222DOF S DO OF ==⨯⨯=△， 260223603BOF S ππ⨯==扇形，∴2232133S ππ=--=+阴影，∴阴影部分的面积213S π=+．。