人教版九年级数学考点与题型归纳第26章反比例函数 26.2实际问题反比例函数讲义

反比例函数26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①xky =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数xky =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。

（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

26.3知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k 的几何意义如图1，设点P （a ，b ）是双曲线上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为．图 1图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．26.4知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数xky =（0k ≠）k 的符号0k > 0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

专题26.2反比例函数应用（五大考点）【考点1 行程与工程应用】【考点2 物理学中的应用】【考点3 经济学的应用】【考点4 生活中其他的应用】【考点5 反比例函数的综合】【考点1 行程与工程应用】1．有一段平直的公路AB，A与B间的距离是50m．现要在该路段安装一个测速仪，当车辆经过A和B处时分别用光照射，并将这两次光照的时间差t(s)输入程序后，随即输出此车在AB段的平均速度v km，则v与t间的关系式为（）A．v=50t B．v=180tC．v=1259tD．v=360t2．已知甲、乙两地相距40千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时），关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（）A．t=40v B．t=40v C．t=v40D．v=40t3．小丽要把一篇文章录入电脑，如图是录入时间y（分钟）与录字速度x（字/分钟）成反比例函数的图象，该图象经过点(150,10)．根据图象可知，下列说法不正确的是（）A．这篇文章一共1500字．B．当小丽的录字速度为75字/分钟时，录入时间为20分钟．C．小丽在19:20开始录入，要求完成录入时不超过19:35，则小丽每分钟至少应录入90字．D．小丽原计划每分钟录入125字，实际录入速度比原计划提高了20%，则小丽会比原计划提前2分钟完成任务．4．多选题长春市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室．储存室的底面积S(m2)与其深度H（m）成反比例，S关于H的函数图象如图所示．公司原计划把储存室的底面积S 定为400m2，当施工队按计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度减少10m，相应地，储存室的底面积应（）A．减少100m2B．增加100m2C．减少200m2D．增加200m25．甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是x km/h，到达B地所用的时间为y h．(1)写出y关于x的函数表达式；(2)公路规定：行驶速度不得超过80km/h，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间；(3)若乙车的速度是甲车的1.2倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度．答：乙车的速度为90km/h．6．某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量V m3h与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系如图所示．(1)求V与t的函数表达式；(2)若每小时排水量不超过2000m3，则排完水池中的水至少需要______h；(3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2h排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少m3？7．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温y（单位：℃）与通电时间x（单位：min）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y与通电时间x之间的关系如图所示．(1)在降温过程中，求y关于x的函数解析式，并求出自变量的取值范围．(2)在一个加热周期内，求水温不低于40℃的时间．【考点2 物理学中的应用】9．（2023•大同模拟）远视眼镜的镜片是凸透镜，镜片的度数y（度）（y＞0）是关于镜片焦距x（m）（x＞0）的反比例函数，当y＝200时，x＝0.5．下列说法中，错误的是（ ）A．y与x的函数关系式为y＝（x＞0）B．y随x的增大而减小C．当远视眼镜的镜片焦距是0.2时，该镜片是500度D．若一副远视眼镜的度数不大于400度，则焦距不大于0.25m【答案】D【解答】解：∵镜片的度数y（度）（y＞0）是关于镜片焦距x（m）（x＞0）的反比例函数，当y＝200时，x＝0.5，∴k＝0.5×200＝100，∴y与x的函数关系式为y＝（x＞0），故A不符合题意；∵k＝100＞0，x＞0，∴y随着x增大而减小，故B不符合题意；当x＝0.2时，y＝＝500，故C不符合题意；∵一副远视眼镜的度数不大于400度，y随着x增大而减小，∴焦距不小于0.25m，故D符合题意，故选：D．10．（2023•裕华区二模）已知闭合电路的电压为定值，电流I（A）与电路的电阻R（Ω）是反比例函数关系，根据下表判断以下选项正确的是（ ）I（A）5…a………b……R（Ω）2030405060708090100A．B．a＝25C．a＜bD．当2＜I＜a时，40＜R＜50【答案】D【解答】解：∵闭合电路的电压为定值，∴U＝IR＝5×20＝100，∴I＝（R＞0），故A错误，不符合题意；当R＝40时，I＝a＝＝2.5，故B错误，不符合题意；当R＝80时，I＝b＝＝1.25，∴a＞b，故C错误，不符合题意；当I＝2时，R＝＝50，当I＝a＝2.5时，R＝＝40，∴当2＜I＜a时，40＜R＜50，故D正确，符合题意；故选：D．11．（2023春•海陵区期末）在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度ρ（kg/m3）与体积V（m3）的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解答】解：根据题意，ρV的值即为该气体的质量，∵描述乙、丁两该气体的质量的点恰好在同一个反比例函数的图象上，∴乙、丁两该气体的质量相同，∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面，∴丙该气体的质量值最大，甲气体的质量的值最小．故选：A．12．（2023•鹿城区校级模拟）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I 与电阻R是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）A．函数表达式为I＝B．蓄电池的电压是18VC．当R＝3.6Ω时，I＝4A D．当I≤10A时，R≥3.6Ω【答案】D【解答】解：设I＝，∵图象过（4，9），∴k＝36，∴I＝，故选项A错误，不符合题意；∴蓄电池的电压是36V，故选项B错误，不符合题意；当R＝3.6Ω时，I＝＝10（A），故选项C错误，不符合题意；当I＝10A时，R＝3.6Ω，由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω，故选项D正确，符合题意；故选：D．13．（2023•修武县一模）如图①，电源两端电压U（单位：V）保持不变，电流强度I与总电阻R成反比，在实验课上，调节滑动变阻器的电阻，改变灯泡的亮度，测得电路中总电阻R和通过的电流强度I之间的关系如图②所示（温整提示：总电阻R＝灯泡电阻+滑动变阻器电阻），下列说法错误的是（ ）A．电流强度I随着总电阻R的增大而减小B．调节滑动变阻器，当总电阻R为8Ω时，电流强度I为0.75AC．当灯泡电阻为4Ω，电路中电流为0.3A时，滑动变阻器的阻值为16ΩD．当经过灯泡的电流为0.2A时，电路中的总电阻为20Ω【答案】D【解答】解：∵电源两端电压U（单位：V）保持不变，电流强度I与总电阻R 成反比，∴可设I＝，将（6，1）代入，得U＝6×1＝6，∴电流强度I与总电阻R之间的函数解析式为I＝，∴电流强度I随着总电阻R的增大而减小，故选项A说法正确，不符合题意；当R＝8Ω时，I＝＝0.75（A），故选项B说法正确，不符合题意；当I＝0.3A时，R＝＝20（Ω），∴滑动变阻器电阻＝总电阻R﹣灯泡电阻＝20﹣4＝16（Ω），故选项C说法正确，不符合题意；当I＝0.2A时，R＝＝30（Ω），故选项D说法错误，符合题意．故选：D．14．（2023•兴宁区校级模拟）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，若400度的近视眼镜的镜片焦距为0.6米，则200度的近视眼镜的镜片焦距为　1.2　米．【答案】1.2．【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝，由于点（0.6，400）在此函数解析式上，∴k＝0.6×400＝240，∴y＝，当y＝200时，x＝＝1.2，∴200度的近视眼镜的镜片焦距为1.2米，故答案为：1.2．15．（2023春•晋江市期末）如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（蜡烛到小孔的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝5时，y＝1.6．则y关于x的函数表达式是　y＝　．【答案】y＝．【解答】解：设解析式为（k≠0），把x＝5，y＝1.6代入，得：1.6＝，解得k＝8，∴函数解析式为y＝，故答案为：y＝．16．（2023•定海区模拟）小海利用杠杆平衡原理称药品质量（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂）：如图1，小海发现天平平衡时左盘药品为m 克，右盘砝码重20克；如图2，仍旧利用此杠杆，小海将砝码放在左盘，药品放在右盘，此时天平仍旧平衡，测得砝码重5克，右盘药品为n克．则m 与n满足的关系式为　mn＝100　．【答案】100．【解答】解：根据“杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂”，由图1得m•OA＝20•OB，∴m＝，由图2得5•OA＝n•OB，∴n＝，∴mn＝100，故答案为：mn＝100．17．（2023秋•天长市月考）由物理学知识知道，在力F的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s，力所做的功W＝Fs．当W为定值时，F与s之间的函数关系图象如图所示．（1）试确定F、s之间的函数解析式．（2）当力F为30N时，发生位移多少米？【答案】（1）F＝；（2）0.25m．【解答】解：（1）把s＝1，F＝7.5，代入公式W＝Fs＝1×7.5＝7.5，即力F 所做的功是7.5J；∵W＝7.5为定值，故Fs＝7.5，∴F＝；（2）当F＝30N时，代入Fs＝7.5中，得s＝＝0.25m．18．（2023•宜都市一模）古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂（如图）．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和1m．（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为2米时，撬动石头至少需要多大的力？（2）若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？【答案】（1）动力F与动力臂l的函数关系为，动力臂为2米时，撬动石头至少需要500N的力；（2）动力臂至少要加长2m．【解答】解：（1）由题意可得：1000×1＝Fl，则，当动力臂为2米时，则撬动石头至少需要：，答：动力F与动力臂l的函数关系为，动力臂为2米时，撬动石头至少需要500N的力；（2）当动力F不超过题（1）中所用力的一半，即F≤250，则，解得：l≥4，即动力臂至少要加长4﹣2＝2（m），答：动力臂至少要加长2m．19．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．（1）求y关于x的函数解析式．（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【答案】（1）y＝；（2）4cm．【解答】解：（1）由题意设：y＝，把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，∴y关于x的函数解析式为：y＝；（2）把y＝3代入y＝，得，x＝4，∴小孔到蜡烛的距离为4cm【考点3 经济学的应用】20．（2023春•大连月考）某种商品上市之初进行了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y 与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件．（1）求该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的函数解析式；（2）当上市的天数为多少时，日销售量为80件？【答案】（1）当0＜x≤20时，y＝10x；当x≥20时，y＝；（2）当上市的天数为8天或50天时，日销售量为80件．【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y＝k1x，把（20，200）代入得k1＝10，∴y＝10x；当x≥20时，设y＝，把（20，200）代入得k2＝4000，∴y＝；（2）当y＝80时，80＝10x，解得：x＝8，当y＝80时，80＝，解得：x＝50，故当上市的天数为8天或50天时，日销售量为80件．21．（2023•未央区校级三模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y 与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件．（1）写出该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的表达式．（2）当上市的天数为多少时，日销售量为100件？【答案】（1）y＝10x；y＝；（2）10天或40天．【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y＝k1x，把（20，200）代入得k1＝10，∴y＝10x；当x≥20时，设y＝，把（20，200）代入得k2＝4000，∴y＝；（2）当y＝100时，100＝10x，解得：x＝10，当y＝100时，100＝，解得：x＝40，故当上市的天数为10天或40天时，日销售量为100件．22．（2022秋•阜平县期末）某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件．商品的月销量Q（件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工（元/件）（x≤10）成反比例，且可以得到如下信息：售价x（元/件）58商品的销售量Q（件）580400（1）求Q与x的函数关系式．（2）若生产出的商品正好销完，求售价x．（3）求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？【答案】（1）；（2）4.8元/件；（3）当x＝10时，月销售额最大，最大值为3400元．【解答】解：（1）设，依题意得：，解得：，∴；（2）当Q＝600时有：，解得：x＝4.8，∴售价为4.8元．（3）依题意得：月销售额＝，∵100＞0，∴Q随x的增大而增大，则当x＝10时，月销售额最大，最大值为3400元．23．（2023•沂源县一模）在新型冠状肺炎疫情期间，某农业合作社决定对一种特色水果开展线上销售，考虑到实际情况，一共开展了30次线上销售，综合考虑各种因素，该种水果的成本价为每吨2万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息：信息1：设第x次线上销售水果y（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售量减少1吨；信息2：该水果的销售单价p（万元/吨）均由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1次线上销售至第15次线上销售的浮动价与销售场次x成正比，第16次线上销售至第30次线上销售的浮动价与销售场次x成反比；信息3：x（次）2824p（万元） 2.2 2.83请根据以上信息，解决下列问题．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若p＝3.2（万元/吨），求x的值；（3）在这30次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y与x之间的函数关系式为：y＝40﹣x；（2）12或20；（3）在这30次线上销售中，第15次线上销售获得利润最大，最大利润37.5万元．【解答】解：（1）设第x次线上销售水果y（吨），∵第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售量减少1吨；∴y与x之间的函数关系式为：y＝40﹣x；（2）设第1场～第15场时p与x的函数关系式为p＝ax+b；第16场～第30场时p与x的函数关系式为，依题意得，解这个方程组得，，∴，又当x＝24时，有，解之得，m＝24，∴，当1≤x≤15时，，解之得，x＝12当16≤x≤30时，，解之得，x＝20（3）设每场获得的利润为W（万元），则有当1≤x≤15时，，所以当x＝15时，W最大，最大为37.5万元；当16≤x≤30时，，当x＝16时，W最大，最大为36万元，所以在这30次线上销售中，第15次线上销售获得利润最大，最大利润37.5万元【考点4 生活中其他的应用】24．（2023•中山区模拟）小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的函数关系如图．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）小明在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，小明每分钟至少应录入多少个字？【答案】（1）y与x的函数表达式为y＝；（2）小明每分钟至少录入100个字．【解答】解：（1）设y＝，把（150，10）代入y＝得，10＝，∴k＝1500，∴y与x的函数表达式为y＝；（2）∵当y＝35﹣20＝15时，x＝100，∵k＞0，在第一象限内，y随x的增大而减小，∴小明录入文字的速度至少为100字/分，答：小明每分钟至少录入100个字25．（2023春•姑苏区校级期中）某商场销售一批散装坚果，进价为30元每斤，在销售时售货员发现坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，且价格调整为每斤50元时，当日销量为80斤，那么每日该坚果的销量y（单位：斤）与每斤价格x（单位：元）之间的函数表达式为　y＝　．【答案】y＝．【解答】解：∵坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，∴y与（x﹣30）成反比例关系，设y＝（k＞0），∵x＝50时，y＝80，∴＝80，解得，k＝1600，∴y与x之间的函数表达式为：y＝，故答案为：y＝．26．（2023•乾安县一模）李老师把油箱加满油后驾驶汽车从县城到省城接客人，油箱加满后，汽车行驶的总路程y（单位：km）与平均耗油量x（单位：L/km）之间的关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式．（2）当平均耗油量为0.16L/km时，汽车行驶的总路程为多少km？【答案】（1）；（2）当平均耗油量为0.16L/km时，汽车行驶的总路程为437.5km．【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为，将点（0.1，700）代入，得k＝0.1×700＝70，∴y与x的函数表达式为．（2）当x＝0.16时，，∴当平均耗油量为0.16L/km时，汽车行驶的总路程为437.5km．27．（2022•普宁市一模）通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（后简称指标）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加，中间一段时间，指标保持平稳状态，随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是反比例函数的一部分．（1）请求出当0≤x＜10和20≤x＜40时，所对应的函数表达式；（2）杨老师想在一节课上进行某项运动的教学需要18分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于48才能达到较好的效果，他的教学设计能实现吗？请说明理由．【答案】（1）y＝2x+40，；（2）杨老师的教学设计能实现，理由见解析．【解答】解：（1）设0﹣10分钟的函数解析式为y＝kx+b，20﹣40分钟的函数解析式为，∴，，∴，k＝1200，∴0﹣10分钟的函数解析式为y＝2x+40，20﹣40分钟的函数解析式为；（2）杨老师的教学设计能实现，理由：将y＝48代入y＝2x+40中，得x＝4，将y＝48代入中，得x＝25，∵25﹣4＝21＞18，∴杨老师的教学设计能实现．28．（2023•驿城区二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；（2）解释线段BC的实际意义；（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【答案】（1）y＝，，（2）线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；（3）10小时．【解答】解：（1）设线段AB解析式为y＝kx+b（k≠0）∵线段AB过点（0，10），（3，15），∴，解得，∴线段AB的解析式为：y＝x+10（0≤x＜6），∵B在线段AB上当x＝6时，y＝20，∴B坐标为（6，20），∴线段BC的解析式为：y＝20（6≤x＜10），设双曲线CD解析式为：，∵C（10，20），∴m＝200，∴双曲线CD的解析式为：，∴y关于x的函数解析式为：y＝，（2）线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；（3）把y＝10代入中，解得：x＝20，∴20﹣10＝10（小时），∴恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．29．（2023•孟津县一模）西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的函数关系如图所示，其中当x＜6时，y是x的正比例函数，当x≥6时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求当x≥6时，y与x的函数关系式；（2）药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于1.5mg的时间超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝（x≥6）；（2）超过30分钟，故是有效消毒．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝（k≠0），将（15，4）代入，得15＝．∴k＝4×15＝60，∴y与x的函数关系式为y＝（x≥6）；（2）当x＝6时y＝＝10，∴点A的坐标为（6，10）；由A点（6，10）可得OA所在直线表达式为y＝x＝x，将y＝1.5代入y＝x，得x＝1.5，∴x＝0.9，将y＝1.5代入y＝，得＝1.5，∴x＝40，∴40﹣0.9＝39.1（分钟），超过30分钟，故是有效消毒．30．（2022秋•铁锋区期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x （分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1∴k1＝，设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（k2＞0），∵经过点（8，6），∴6＝，∴k2＝48，∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝x（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x 的函数关系式为y＝（x＞8）；（2）结合实际，令y＝中y≤1.6得x≥30，答：即从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室；（3）把y＝3代入y＝x，得：x＝4，把y＝3代入y＝，得：x＝16，∵16﹣4＝12＞10，所以这次消毒是有效的．31．（2022秋•陵城区期末）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x （min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）停止加热时，设y＝，由题意得：50＝，解得：k＝900，∴y＝，当y＝100时，解得：x＝9，∴C点坐标为（9，100），∴B点坐标为（8，100），当加热烧水时，设y＝ax+20，由题意得：100＝8a+20，解得：a＝10，∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20（0≤x≤8）；当停止加热，得y与x的函数关系式为（1）y＝100（8＜x≤9）；y＝（9＜x≤45）；（2）把y＝90代入y＝，得x＝10，因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．32．（2023春•淮安区期末）我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至20℃时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为20℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示．（1）a＝　8　，b＝　40　．（2）直接写出图中y关于x的函数表达式．（3）饮水机有多少时间能使水温保持在50℃及以上？（4）若某天上午7：00饮水机自动接通电源，开机温度正好是20℃，问学生上午第一节下课时（8：40）能喝到50℃以上的水吗？请说明理由．【答案】（1）8；40．（2）y＝．（3）学生在每次温度升降过程中能喝到50℃以上水的时间有16﹣3＝13分钟．（4）学生上午第一节下课时（8：40）不能喝到超过50℃的水．【解答】解：（1）∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从20℃到100℃需要8分钟，设一次函数关系式为：y＝k1x+b，将（0，20），（8，100）代入y＝k1x+b，得k1＝10，b＝20．∴y＝10x+20（0≤x≤8），设反比例函数关系式为：y＝，将（8，100）代入，得k＝800，∴y＝，当y＝20时，代入关系式可得x＝40；故答案为：8；40．（2）由（1）中计算可得，y＝．（3）在y＝10x+20（0≤x≤8）中，令y＝50，解得x＝3；反比例函数y＝中，令y＝50，解得：x＝16，∴学生在每次温度升降过程中能喝到50℃以上水的时间有16﹣3＝13分钟．（4）由题意可知，饮水机工作时40分钟为一个循环，上午七点到上午第一节下课时（8：40）的时间是100分钟，是2个40分钟多20分钟，∴＝40（℃），∴学生上午第一节下课时（8：40）不能喝到超过50℃的水．33．（2023春•东城区校级期末）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的函数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝　9x+15　；②下降阶段：当x＞5时，y　＝　．（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①上升阶段：当0≤x＜5时，为一次函数，设一次函数表达式为y＝kx+b，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以，解得：，所以y＝9x+15，②下降阶段：当x≥5时，为反比例函数，设函数关系式为：y＝，由于图象过点（5，60），所以m＝300．则y＝；故答案为：9x+15；＝（2）当0≤x＜5时，y＝9x+15＝30，得x＝，因为y随x的增大而增大，所以x＞，当x≥5时，y＝＝30，得x＝10，因为y随x的增大而减小，所以x＜10，10﹣＝，答：可加工min．【考点5 反比例函数的综合】34．（2023•赣榆区二模）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，Q两点，连接OP，△OAP的面积为．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当y2＞y1时，请你直接写出x的取值范围；（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+QC最小时，求△PQC的面积．【答案】（1）一次函数的解析式为：y1＝﹣x+，反比例函数的解析式为：y2＝；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B （0，）两点，∴，解得．∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．∵△OAP的面积为，∴•OA•y P＝，∴y P＝，∵点P在一次函数图象上，∴令﹣x+＝．解得x＝4，∴P（4，）．∵点P在反比例函数y2＝的图象上，∴k2＝4×＝2．∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+，反比例函数的解析式为：y2＝．（2）令﹣x+＝，解得x＝1或x＝4，∴K（1，2），由图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4；（3）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接QP′，线段QP′与x轴的交点即为点C，∵P（4，），∴P′（4，﹣），∴PP′＝1，∴直线QP′的解析式为：y＝﹣x+，令y＝0，解得x＝，∴C（，0），∴S＝•（x C﹣x Q）•PP′△PQC＝×（﹣1）×1＝，∴当PC+QC最小时，△PKC的面积为．35．（2022秋•城固县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴正半轴上，点C的坐标为（4，3），反比例函数的图象经过点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）在反比例函数的图象上是否存在点P，使得△OAP的面积等于菱形OABC 的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在；P（8，4）或P（﹣8，﹣4）．【解答】（1）解：延长BC交x轴于点D，∵四边形OABC是菱形，∴OA∥BC，OA＝OC＝BC＝AB，∴BD⊥x轴，∵C（4，3），∴OD＝4，CD＝3，，∴OA＝OC＝BC＝AB＝5，∴BD＝BC+CD＝OC+CD＝8，∴B（4，8），∵点B在双曲线上，∴k＝4×8＝32，∴反比例函数的表达式为：；（2）解：存在；设P点的横坐标为m，∵S＝BC⋅OD＝5×4＝20，菱形OABC∴，∴m＝±8，当m＝8时，，即：P（8，4），当m＝8时，，即：P（﹣8，﹣4）；综上，存在点P（8，4）或P（﹣8，﹣4），使△OAP的面积等于菱形OABC 的面积．36．（2023春•万州区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数在第一象限交于点C（1，a），。

人教版九年级下册第26章反比例函数
知识点总结
一、定义和性质
- 反比例函数是指函数图象是一个直线通过原点，且函数关系
可以用等式 y = k/x 表示。

- 反比例函数的图象是一个双曲线的一个半支。

- 反比例函数的特点是当自变量x 取值越大时，函数值y 越小；反之，当自变量 x 取值越小时，函数值 y 越大。

二、图象和函数关系
- 反比例函数的图象在第一象限和第三象限中。

- 当自变量x 为正数时，函数值y 为负数，二者乘积恒为负数。

- 当自变量x 为负数时，函数值y 为正数，二者乘积恒为负数。

- 当自变量 x 为 0 时，函数值 y 不存在，因为分母不能为 0。

三、反比例函数的特殊情况
1. 当反比例函数的公式为 y = k，其中 k 为非零实数时，函数
图象为一条水平直线并通过 y 轴。

2. 当反比例函数的公式为 y = k/x，同时 k 的符号与 x 的符号相同，函数图象与 y 轴平行，且图象在第二象限和第四象限中。

四、解反比例函数的问题
- 解反比例函数的问题过程中，可以利用 x 和 y 的积恒为一个常数的关系来求解。

- 当已知 x1 和 y1，并且 x2 和 y2 满足 x1y1 = x2y2 时，可以求出反比例函数的公式 y = k/x，其中 k 为常数。

五、实际问题中的应用
- 反比例函数在实际问题中有广泛应用，例如比例尺、浓度稀释、油漆涂刷等问题均可以利用反比例函数来解决。

以上为人教版九年级下册第26章反比例函数的知识点总结。

参考资料：
- 人教版数学九年级下册教材。

九年级下册（人教版数学）知识点汇总目录反比例函数 (1)26.1反比例函数 (1)● 反比例函数的定义 (1)● 反比例函数的图像 (1)● 反比例函数图像的对称性 (1)● 反比例函数的性质 (2)● 反比例函数系数k的几何意义 (2)● 反比例函数图像上点的坐标特征 (2)● 待定系数法求反比例函数解析式 (2)● 反比例函数与一次函数的交点问题 (3)26.2实际问题与反比例函数 (3)● 根据实际问题列反比例函数关系式 (3)● 反比例函数的应用 (4)相似 (5)27.1图形的相似 (5)● 相似图形 (5)27.2相似三角形 (5)● 相似三角形的判定 (5)● 相似三角形的应用 (5)● 相似多边形的性质 (5)● 相似三角形的性质 (6)● 相似三角形的判定与性质 (6)● 作图--相似变换 (6)● 射影定理 (6)27.3位似 (7)● 位似变换 (7)● 作图-位似变换 (7)锐角三角函数 (8)28.1锐角三角函数 (8)● 锐角三角函数的定义 (8)● 锐角三角函数的增减性 (8)● 同角三角函数的关系 (8)● 互余两角三角函数的关系 (9)● 特殊角的三角函数值 (9)28.2解直角三角形及其应用 (9)● 解直角三角形 (9)● 解直角三角形的应用 (10)● 解直角三角形的应用--坡度坡角问题 (10)● 解直角三角形的应用--仰角俯角问题 (10)● 解直角三角形的应用--方向角问题 (10)投影与视图 (11)29.1投影 (11)● 平行投影 (11)● 中心投影 (11)● 视点、视角和盲区 (11)29.2三视图 (11)● 简单几何体的三视图 (11)● 简单组合体的三视图 (12)● 由三视图判定几何体 (12)● 作图--三视图 (12)29.3课题学习、制作立体模型 (12)● 课题学习制作立体模型 (12)反比例函数26.1反比例函数●反比例函数的定义【反比例函数的概念】形如的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数．【反比例函数的判断】判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或.●反比例函数的图像【反比例函数的图象】反比例函数的图象是由两条曲线组成的，这两条曲线通常称为双曲线当k>0时，两个分支分别位于第一、三象限内；当k<0时，两个分支分别位于第二、四象限①k>0②K<0●反比例函数图像的对称性【反比例函数图象的对称性】1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x ；一、三象限的角平分线y=x ；对称中心是：坐标原点．2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称；3、反比例函数与的图象关于x轴，y轴对称.●反比例函数的性质●反比例函数系数k的几何意义【反比例系数的几何意义】1.在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．2.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．●反比例函数图像上点的坐标特征【反比例函数图象上的点的坐标特征】1. 若点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足反比例函数解析式2. 若点在反比例函数图象上，则也一定在反比例函数图象上3. 若点A（x,y）在反比例函数的图像上，则xy=k●待定系数法求反比例函数解析式【待定系数求反比例函数解析式的一般步骤】(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式；(2)把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；(3)解方程，求出待定系数；(4)写出解析式．●反比例函数与一次函数的交点问题【反比例函数与一次函数的交点】1.(1)求反比例函数与一次函数的交点坐标时，先把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，方程组无解，则两者无交点；(2)已知反比例函数与一次函数的交点坐标，把点的坐标带入函数解析式可求得函数关系式或系数间的等量关系.2.判断正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：(1)当k1与k2同号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点；(2)当k1与k2异号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点．26.2实际问题与反比例函数●根据实际问题列反比例函数关系式【列反比例函数关系式的一般解题思路】根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式，或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．【根据实际问题列反比例函数的步骤】步骤1：审：审清题意,找出题目中的常量、变量,并理清常量与变量之间的关系。

人教版九年级数学下册：26.2 《实际问题与反比例函数》说课稿1一. 教材分析人教版九年级数学下册第26.2节《实际问题与反比例函数》是本册教材中的重要内容。

本节内容通过引入实际问题，让学生了解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，并能够运用反比例函数解决实际问题。

本节内容分为两个部分：一是反比例函数的定义及其性质；二是反比例函数在实际问题中的应用。

在第一部分中，学生需要理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，包括图像、单调性、奇偶性等。

在第二部分中，学生需要能够将实际问题转化为反比例函数问题，并运用反比例函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和性质，具备了一定的函数知识基础。

但是，对于反比例函数的理解和应用，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和实际问题，引导学生理解反比例函数的定义和性质，并能够运用反比例函数解决实际问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，包括图像、单调性、奇偶性等；学生能够将实际问题转化为反比例函数问题，并运用反比例函数解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过实际问题的引入和解决，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。

四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的定义及其性质，反比例函数在实际问题中的应用。

2.教学难点：反比例函数的性质的理解和应用，将实际问题转化为反比例函数问题的方法的掌握。

五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、引导法、讨论法、实例教学法等教学方法。

同时，利用多媒体教学手段，如PPT、教学软件等，展示反比例函数的图像和实际问题的数据，帮助学生更好地理解和掌握反比例函数的性质和应用。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考反比例函数的概念。

26.2实际问题与反比例函数 教案（共2课时）第1课时 反比例函数在实际生活中的应用教学目标1．通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力． 重点难点重点：从实际问题中建立反比例函数模型，运用反比例函数的意义和性质解决实际问题．难点：根据具体实际问题的情景建立反比例函数的模型．教学过程 导入你吃过拉面吗？知道在做拉面的过程中渗透着什么数学知识吗？(1)将体积为20 cm 3的面团做成拉面，面条的长度y (单位：cm)与面条的粗细(横截面面积)S (单位：mm 2)有怎样的函数关系？(2)某家面馆的师傅手艺精湛，她拉的面条粗1 mm 2，则面条总长是多少？探究新知探究点一 建立反比例函数模型【例1】某项工程需要沙石料2×106 m 3，阳光公司承担了该工程运送沙石料的任务．(1)在这项任务中，平均每天的工作量v (单位：m 3)与完成任务所需要的时间t (单位：天)之间成怎样的函数关系？写出这个函数的解析式；(2)阳光公司计划投入A 型卡车200辆，每天一共可以运送沙石料2×104 m 3，则完成全部运送任务需要多少天？如果工作了25天后，由于工程进度的需要，公司准备再投入A 型卡车120辆，那么在保持每辆车每天工作量不变的前提下，是否能提前28天完成任务？【解析】(1)根据题意，得这项任务中平均每天的工作量v (单位：m 3)与完成任务所需要的时间t (单位：天)之间的关系为v · t ＝2×106，成反比例函数关系；(2)用待定系数法可得反比例函数的解析式，再进一步求解可得答案．【解】(1)成反比例函数关系，v ＝2×106t.(2)把v ＝2×104代入函数解析式，得t ＝100， 即完成全部运送任务需要100天．根据题意，得(2×106－2×104×25)÷[(200＋120)×100]＝46.875. ∵100－25－46.875＝28.125＞28， ∴能提前28天完成任务． 【方法总结】现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答该类问题的关键是先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出函数解析式．探究点二 反比例函数在实际生活中的应用【例2】某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样就必须把1 200 m 3的生活垃圾运走．(1)假如每天能运x m 3，所需时间为y 天，写出y 与x 之间的函数解析式；(2)若每辆拖拉机一天能运12 m 3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完全部 垃圾？ (3)在(2)的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？【解析】(1)根据每天能运x m 3与所需时间y 天的积就是1 200 m 3，即可写出函数解析式；(2)把x ＝12×5＝60代入，即可求得天数；(3)首先算出8天以后剩余的数量，然后计算出6天运完所需的拖拉机数，即可求解．【解】(1)y ＝1 200x.(2)把x ＝12×5＝60代入函数解析式，得y ＝1 20060＝20.故5辆这样的拖拉机要用20天才能运完全部垃圾．(3)运了8天后剩余的垃圾是1 200－8×60＝720(m 3)．剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天至少运720÷6＝120(m 3)，则需要的拖拉机数是120÷12＝10(辆)，所以至少需要增加10－5＝5(辆)，才能按时完成任务．【方法总结】在解决反比例函数相关的实际问题中，若题目要求“至多”“至少”，可以利用反比例函数的增减性来解答．课堂训练1．矩形的面积是2 cm 2，设长为y cm ，宽为x cm ，则y 与x 之间的函数解析式为________． 2．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6 t 计算，一学期(按150天计算)刚好用完．若每天的用煤量为x t ，则这批煤能维持y 天．(1)y 与x 之间有怎样的函数关系？ (2)画出函数图象；(3)若每天节约0.1 t ，则这批煤能维持多少天？ 答案1．y ＝2x (x >0) 【解析】根据等量关系：长×宽＝矩形面积，得xy ＝2，∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝2x.根据x 的实际意义知x 应大于0.2．解：(1)煤的总量为0.6×150＝90(t). ∵x ·y ＝90，∴y ＝90x ，y 与x 之间有反比例函数关系.(2)函数的图象如图所示．(3)∵每天节约0.1 t 的煤，∴每天的用煤量为0.6－0.1＝0.5(t)，∴y ＝90x ＝900.5＝180，即每天节约0.1 t ，这批煤能维持180天板书设计第1课时 反比例函数在实际生活中的应用1．建立反比例函数模型常见的与实际相关的反比例：(1)面积一定时，矩形的长与宽成反比例；(2)面积一定时，三角形的一边长与这边上的高成反比例； (3)体积一定时，柱(锥)体的底面面积与底面上的高成反比例； (4)工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例； (5)总价一定时，商品单价与商品的件数成反比例； (6)溶质一定时，溶液的浓度与溶液的质量成反比例． 2．反比例函数在工程问题中的应用 3．利用反比例函数解决利润问题课堂小结本节课从实际问题中获取信息，转化为数学问题，建立反比例函数模型，利用反比例函数知识解决问题．其中根据题意写出函数解析式是解题的关键．教学反思本节课是用函数的观点处理实际问题．关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题．将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”，使学生逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，应充分利用函数的图象，联系数形结合的思想．第2课时 反比例函数在其他学科中的应用教学目标1．能根据与其他学科相关的公式确定反比例关系，并求出反比例函数的解析式． 2．能够根据实际问题情景建立反比例函数的模型，并解决与其他学科知识相关的 问题．3．通过探究与其他学科相关的实际问题，让学生体会数学建模思想的构建．教学重难点重点：利用反比例函数的知识解决跨学科问题．难点：根据实际问题情景建立反比例函数的数学模型．教学过程 导入某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地．为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成任务．问题思考：(1)请你解释他们这样做的道理；(2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S (单位：m 2)的变化，人和木板对湿地地面的压强p (单位：Pa)将如何变化？探究新知探究点一 反比例函数在力学中的应用【例1】某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S (单位：m 2)的变化，人和木板对湿地地面的压强p (单位：Pa)将如何变化？已知人和木板对湿地地面的压力合计600 N.(1)用含S 的代数式表示p ，p 是S 的反比例函数吗？为什么？ (2)当木板面积为0.2 m 2时，压强是多少？(3)如果要求压强不超过6 000 Pa ，木板面积至少要多大？ (4)画出相应的函数图象． 【解析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是具有一定的物理知识，明确压强、压力及受力面积之间的关系．(1)根据压强等于压力除以受力面积和反比例函数的定义即可解得；(2)将S ＝0.2代入函数解析式，计算压强即可；(3)令压强小于等于6 000 Pa ，求得面积即可；(4)根据函数解析式作出反比例函数的图象，注意其取值范围．【解】(1)由p ＝F S ，得p ＝600S，∴根据反比例函数的定义，可知p 是S 的反比例函数． (2)令S ＝0.2，则p ＝6000.2＝3 000，∴物体受到的压强为3 000 Pa. (3)∵p ≤6 000， ∴p ＝600S≤6 000，解得S ≥0.1.故压强不超过6 000 Pa ，木板面积至少要0.1 m 2. (4)函数图象如图所示．探究点二 反比例函数在电学中的应用【例2】在某一电路中，电源电压U 保持不变，电流I (单位：A)与电阻R (单位：Ω)之间的函数关系如图所示．(1)写出I 与R 之间的函数解析式；(2)结合图象回答：当电路中的电流不超过12 A 时，电路中的电阻R 的取值范围是什么？【解析】(1)根据图象可知I 与R 之间的关系，列出函数解析式I ＝UR ，可知U 保持不变，把图象所经过的点A (6，6)代入函数解析式，求出U 的值等于36；(2)当I ＝12时，R ＝3，∴求出R 的取值范围是R ≥3.【解】(1)电源电压U 保持不变，由图象可知，I 与R 的函数解析式为I ＝UR .将点A (6，6)代入，解得U ＝36， ∴I 与R 之间的函数解析式为I ＝36R .(2)∵I ＝36R，∴当I ＝12时，R ＝3，∴当电路中的电流不超过12 A 时，R ≥ 3Ω. 【方法总结】解决跨学科问题的一般步骤：(1)审题：弄清题意，分析问题中的等量关系；(2)建模：根据等量关系，将跨学科问题转化为数学问题，利用反比例函数知识建立数学模型；(3)解模：根据反比例函数的性质解决问题．课堂训练1．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p (单位：kPa)是气体体积V (单位：m 3)的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应 ( )A ．不大于54 m 3B ．大于54 m 3C ．不小于45 m 3D ．小于45m 32．某汽车的输出功率P 为一定值，汽车行驶时的速度v (单位：m/s)与它所受的牵引力F (单位：N)之间的函数关系如图所示．(1)求这辆汽车的功率，并写出v 与F 之间的函数解析式；(2)当它所受的牵引力为2 400 N 时，汽车的速度为多少？ (3)如果限定汽车的速度不超过30 m/s ，则F 在什么范围内？答案1．C 【解析】设气球内气体的气压p (单位：kPa)和气体体积V (单位：m 3)的解析式为p ＝k V .∵图象过点(1.6，60)，∴k ＝96，即p ＝96V .在第一象限内，p 随V 的增大而减小，∴当p ≤120时，V ＝96p ≥45.2．解：(1)设v 与F 之间的函数解析式为v ＝PF .把(3 000，20)代入v ＝PF，得P ＝60 000，∴这辆汽车的功率是60 000 W ，函数解析式为v ＝60 000F .(2)将F ＝2 400N 代入v ＝60 000F ，得v ＝60 0002 400＝25.故汽车的速度为25 m/s.(3)把v ≤30代入v ＝60 000F ，得60 000F ≤30，解得F ≥2 000.故F 不小于2 000 N板书设计第2课时 反比例函数在其他学科中的应用1．反比例函数在其他学科中的应用的解题思路 现实世界、其他学科在数学中的问题情境→抽象出公式→列出反比例函数→性质→应用解题2．反比例函数与其他学科的综合在利用反比例函数解决跨学科问题时，一定要注意y ＝kx (k ≠0，k 是常数)这一条件，结合图象说明其性质，根据性质大致画出图象及求函数的解析式．课堂小结本节课学生学习利用反比例函数解决跨学科问题时，要根据物理、化学等学科中的公式建立函数关系式，再根据需要进行变形或计算；还学到了转化思想及数学建模思想，如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系．课堂反思本节课是反比例函数在其他学科中的运用，强调用函数的观点来处理问题．在教学中，教师要注意改变学生的学习方式．教师给出问题后，让学生体会实际情景，经过小组交流、讨论得出结论，解释现象，使知识内化到学生原有的认知结构里，再给学生总结出应用反比例函数解决问题的思路：分析问题→找到反比例函数关系→建立模型→求解，以便让学生更加清晰解题的思路和方法，提高学习效率．。