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空间中的平面与空间向量【学习目标】1．通过本节知识的学习，培养数学抽象素养．2．借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养．【学习重难点】1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．（重点）2．会用平面的法向量证明平行与垂直．（重点）3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．（难点）【学习过程】一、新知初探1．平面的法向量（1）如果α是空间中的一个平面，n 是空间中的一个非零向量，且表示n 的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n 为平面α的一个法向量，此时也称n 与平面α垂直，记作n ⊥α．（2）平面的法向量的性质①如果直线l 垂直于平面α，则直线l 的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量． ②如果n 是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn 也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行．③如果n 为平面α的一个法向量，A 为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B ，向量AB →一定与向量n 垂直，即n ·AB →＝0，从而可知平面α的位置可由n 和A 唯一确定．（3）如果v 是直线l 的一个方向向量，n 是平面α的一个法向量，则n ∥v ⇔l ⊥α，n ⊥v ⇔l ∥α，或l ⊂α．（4）如果n 1是平面α1的一个法向量，n 2是平面α2的一个法向量，则n 1⊥n 2⇔α1⊥α2，n 1∥n 2⇔α1∥α2或α1与α2重合．2．三垂线定理及其逆定理（1）三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．（2）三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．二、初试身手1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量．（）（2）若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，则l与m垂直．（）（3）一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．（）2．若直线l的方向向量为a＝（1,0,2），平面α的法向量为u＝（－2,0，－4），则（）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交3．平面α的一个法向量为（1,2,0），平面β的一个法向量为（2，－1,0），则平面α与平面β的位置关系为（）A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定4．设平面α的法向量的坐标为（1,2，－2），平面β的法向量的坐标为（－2，－4，k），若α∥β，则k等于________．三、合作探究类型1：求平面的法向量【例1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．类型2：利用法向量证明空间中的位置关系【例2】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证明：（1）C1M∥平面ADE；（2）平面ADE⊥平面A1D1F．类型3：三垂线定理及逆定理的应用【例3】如图，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C．【学习小结】1．三垂线定理以及逆定理是证明线线垂直、线面垂直的有力工具，应用时要分清定理和逆定理的关系线射垂直线斜垂直2．利用向量法来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到证明的结果．【精炼反馈】1．若直线l的方向向量a＝（1,2，－1），平面α的一个法向量m＝（－2，－4，k），若l ⊥α，则实数k＝（）A．2B．－10C．－2D．102．已知平面α的法向量为a＝（1,2，－2），平面β的法向量为b＝（－2，－4，k），若α⊥β，则k＝（）A ．4B ．－4C ．5D ．－53．若两个向量AB →＝（1,2,3），AC →＝（3,2,1），则平面ABC 的一个法向量为（ ）A ．（－1,2，－1）B ．（1,2,1）C ．（1,2，－1）D ．（－1,2,1）4．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量u ＝（1，－3，z ），向量v ＝（3，－2,1）与平面α平行，则z ＝________．5．如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是CC 1中点，求证：AB 1⊥A 1M ．。
1.4 空间向量的应用第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示一、 单项选择题1．若a ＝(2，－1,3)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0,2，－6)B ．(4,2，－6)C ．(6，－3,9)D ．(－1,2,3)2．已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，那么下列点中，在平面α内的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－4,4)3．在空间直角坐标系内，平面α经过三点A (1,0,2)，B (0,1,0)，C (－2,1,1)，若向量n ＝(1，λ，μ)是平面α的法向量，则λ－μ等于( )A ．3B ．－5C ．5D ．－34．若两个向量AB →＝(1,2,3)，AC →＝(3,2,1)，则平面ABC 的一个法向量为( )A ．(－1,2，－1)B ．(1,2,1)C ．(1,2，－1)D ．(－1,2,1)二、 多项选择题5．如图，若四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，则( )(第5题)A ．直线DD 1的一个方向向量为(1,0,1)B ．直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1) C ．平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)D ．平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)6．已知A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)，那么下列说法中正确的是( ) A ．向量a ＝(1,1,1)是平面ABC 的一个法向量 B ．向量b ＝(4,2，－6)是向量AB →的一个方向向量 C ．向量d ＝(2,1，－3)平行于平面ABC 的一个法向量 D ．向量c ＝(3，－4,1)垂直于平面ABC 的一个法向量7．已知直线l 过点P (1,0，－1)，且与向量a ＝(2,1,1)平行，平面α过直线l 与点M (1,2,3)，那么平面α的法向量可能是( )A ．(1，－4,2)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1，－12D ．(0，－1,1)三、 填空题8．若直线a ，b 是异面直线，其方向向量分别是(1,1,1)和(2，－3，－2)，则直线a 和b 的公垂线的一个方向向量是________．9．已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，那么平面ABC 的单位法向量是________． 10．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，E ，F 分别是BC ，CD 的中点．若以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点B 1的坐标是________，平面D 1EF 的一个法向量是________．(第10题)四、 解答题11．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，建立如图所示的空间直角坐标系，已知AB ＝3，BC ＝4，AA 1 ＝2.(1) 求平面B 1CD 1的一个法向量；(2) 设M (x ，y ，z )是平面B 1CD 1内的任意一点，求x ，y ，z 满足的关系式．(第11题)12．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB ＝1，AC＝2，AA1＝3，点E在侧棱BB1上，且BB1＝9BE.建立适当的空间直角坐标系，解答以下问题．(1) 求直线AE的一个方向向量a；(2) 设D是B1C1的中点，求平面AED的一个法向量．(第12题)13．一个质点从点A(1,0,1)出发，做匀速直线运动，每秒的速度向量v＝(0,1,1)，求该质点在运动1 s,2 s,5 s后所在位置的坐标．。
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AB n⋅典例解析考点一：空间中的点线例1．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3,1,5),(4,3,1)A B -，点P 为线段AB 的中点，则点P 的位置向量的坐标是（ ） A ．7,1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,2,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．(12,3,5)-D ．14,,233⎛⎫- ⎪⎝⎭变式1．若(1,0,1),(1,4,7)A B -在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为（ ） A ．(1,2,3) B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)变式2．已知点(4,1,3),(2,5,1),A B C -为线段AB 上一点且||13||AC AB =，则点C 的坐标为（ ） A ．715,,222⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．107,1,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．573,,222⎛⎫-⎪⎝⎭例2．已知在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BB 1，DC 的中点，则异面直线AE 与D 1F 的夹角为( ) A.6πB.3π C.4πD.2π变式1：把正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，O 是正方形的中心，则折起后，直线OE 与OF 的夹角的大小是( ) A.3πB.2π C.32πD.65π变式2:如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA 1=3, 120BAD ∠=︒.求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；PABCDE例3．如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，PAD ABCD ⊥,AD BC //，CD ⊥AD ，AD=2DC=2CB ，E 为PD 的中点． （1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．变式1：如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=12AD ，E 为边AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°.（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；（2）若二面角P-CD-A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.变式2：正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面夹角的正弦值等于( )A.46B.410C.22D.23EDCBPA例4．在四棱锥S ABCD —中，底面ABCD 为矩形，SD ABCD ⊥平面，2AD =,2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上，=60ABM ∠。
