下载文档原格式
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算【教学目标】1、知识与技能理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法，理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。
2、过程与方法在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化。
3、情感、态度与价值观让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美。
【教学重点】平面向量的坐标运算。
【教学难点】理解向量坐标化的意义。
【教学过程】〖创设情境 导入新课〗【导语】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受到 斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生 斜面的压力2F ，也就是说，重力G 的效果等价于1F 和2F 的 力的效果，即：12G F F =+,12G F F =+叫做把重力G 。
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量11e λ和22e λ，使1122a e e λλ=+。
而在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究向量问题带来很大的方面。
在代数中我们经常把向量放在平面直角坐标系中进行研究，而在平面直角坐标系中我们可以在x 轴和y 轴上分别取两个 向量i 和j ，则i j ⊥，且{},i j 可以作为一个基底。
由平面向量基本定理可知，我们就可以把平面上的任意一个向量a 在基底{},i j 下进行分解，从而对向量作进一步的研究。
既然我们现在是在平面直角坐标系中选取了两个单位向量作为基向量来对向量进行分解和研究，而看到平面直角坐标系我们很自然就想到了坐标，那么要在直角坐标系中研究向量，就应该想到，在平面直角坐标系中，向量又是否有坐标呢？我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一个点都可用一个有序实数对(),x y 来表示，这个有序实数对就叫做这个点的坐标，并且每一个点都可与其坐标可以建立 对应关系。
《6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》教案【教材分析】本节内容是平面向量一种新的表示方：向量的坐标表示，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.数学学科素养1.数学抽象：平面向量的坐标表示；2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决.【教学重点和难点】重点：向量的坐标表示；难点：向量的坐标表示的理解.【教学过程】一、情景导入问题：由平面向量基本定理，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察，研探.二、预习课本，引入新课阅读课本27-29页，思考并完成以下问题1、怎样分解一个向量才为正交分解？2、平面向量怎样用坐标表示？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 (1)1 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作 (2)2 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．.特别地，，，.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定. 设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.四、典例分析、举一反三 题型一 向量的减法运算例1 如图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________，________，__________.x y i j a x y yj xi a +=),(y x a ),(y x a =x a x y a y a ),(y x )0,1(=i )1,0(=j )0,0(0=a OA =A a yj xi OA +=OA ),(y x A A ),(y x OA【答案】a ＝(－4,0)； b ＝(0,6)；c ＝(－2，－5)．【解析】将各向量分别向基底i ，j 所在直线分解，则a ＝－4i ＋0·j ，∴a ＝(－4,0)；b ＝0·i ＋6j ，∴b ＝(0,6)；c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．例2 如图所示，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标．【答案】B ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 【解析】由题知B ，D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由三角函数的定义，得x 1＝cos30°＝32，y 1＝sin30°＝12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. x 2＝cos120°＝－12，y 2＝sin120°＝32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. ∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.解题技巧（求点和向量坐标的方法）(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．跟踪训练一1．已知e 1＝(1,2)，e 2＝(－2,3)，a ＝(－1,2)，试以e 1，e 2为基底，将a 分解成λ1e 1＋λ2e 2的形式为____________．【答案】a ＝17e 1＋47e 2.【解析】设a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ1－2λ2，2＝2λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝17，λ2＝47.∴a ＝17e 1＋47e 2.2. 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，(1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．【答案】（1）OA →＝(23，6)．(2)BA →＝ (3，7)．【解析】(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos60°＝23，y ＝43sin60°＝6，即A (23，6)，OA →＝(23，6)．(2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本37页习题6.3的15题. 【教学反思】本节内容是平面向量定理的一种延伸，比较简单，学生掌握起来较容易.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.《6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》导学案【学习目标】 知识目标1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.核心素养1.数学抽象：平面向量的坐标表示；2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决. 【学习重点】：向量的坐标表示； 【学习难点】：向量的坐标表示的理解. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本27-29页，填写。
§6.3.2向量的正交分解及坐标表示一、内容和内容解析内容：向量的正交分解及坐标表示．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第二课时的内容．平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养．（2）掌握平面向量的坐标表示,提升数学运算的核心素养．目标解析：（1）平面向量正交分解是以平面向量基本定理为基础，平面上给定两个不共线的向量，则任意向量均可分解为分别与它们共线得两个向量，如果这两个不同线的向量互相垂直，就得到向量的正交分解的概念．（2）类比平面直角坐标系中点的坐标的表示，思考直角坐标平面内向量的表示方法，由正交分解和单位向量做基底，由此给出向量坐标的概念.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在向量的正交分解及坐标表示的教学中，从平面向量基本定理归纳推理概括正交分解和坐标表示是进行数学抽象教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：掌握向量的坐标表示．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：如何进行向量的正交分解是本节课的第一个教学问题．解决方案：通过回顾平面向量基本定理，借助重力沿互相垂直的两个方向分解的例子说明．2．教学问题二：如何进行坐标表示是本节课的第二个教学问题．这是本节课的重点类．解决方案：类比平面直角坐标系中点的坐标的表示，借助图形观察发现向量的坐标和点的坐标之间的联系．基于上述情况，本节课的教学难点定为：了解平面向量的正交分解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到向量的正交分解及坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中利用问题串的形式引导学生思考，讨论，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视向量的正交分解及坐标表示，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图回顾前知[问题1]什么是平面向量基本定理？[问题2]如图,向量i,j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i,j为基底,向量a如何表示?教师1：提出问题1．学生1：如果12,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e eλλ=+.我们把不共线向量12,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.教师2：提出问题2．学生2：因为向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,所以OA=23，OB=2，于是a=23i+2j.通过复习平面向量基本定理引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.问题探究形成概念[问题3]在平面中,垂直的两个非零向量a,b能否作为平面内所有向量的一组基底?[问题4]在平面内,e1,e2是两个互相垂直的非零向量,这个平面内的任一向量是否都能用这两个向量来表示?表示是否唯一?[问题5]平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,任作一向量OA,根据平面向量基本定理, OA=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗?如果向量OA也用(x,y)表示,教师3：提出问题3．学生4：能,平面内任何两个不共线的向量都可以作为一组基底.教师4：提出问题4．学生4：由平面向量基本定理可知,平面内的任一向量都可以用e1,e2来表示,且表示方法是唯一的.教师5：提出问题5．学生5：相同，一一对应.教师6：1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．若a＝xi＋yj,则a＝(x，y).通过探究让学生理解平面向量的正交分解与坐标表示，培养数学抽象的核心素养.那么这种向量OA与实数对(x,y)之间是否一一对应?[问题6]点的坐标与向量坐标有何区别？2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA＝(x，y).教师7：提出问题6学生6：(1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y).典型例题，巩固落实1.平面向量的正交分解及坐标表示例1.如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j作为基底，分别用i、j表示,,OA OB AB，并求出它们的坐标．2.向量的坐标的应用例2.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，教师8：完成例1．学生7：OA＝6i＋2j，OB＝2i＋4j，AB＝－4i＋2j，它们的坐标表示为OA＝(6,2)，OB＝(2,4)，AB＝(－4,2)．教师9：完成例2学生8：如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，通过例题巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量,AB AC 的坐标．[课堂练习]1.设,i j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若42OA i j =+，34OB i j =+则2OA ＋OB的坐标是( )A.(1,2)-B.(7,6)C.(5,0)D.(11,8)[课堂练习]2.设i j ，是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则AB 可以表示为( )A ．2+3i jB ．4+2i jC ．2i j -D ．2+i j -∴C (1，3)，D ⎝⎛⎭⎫12，32，∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3).教师10：布置课堂练习1、2． 学生9：完成课堂练习，并核对答案． 答案：D,C.课堂 小结[问题7]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.判断(正确的打“√”，错误的教师11：提出问题7． 学生10：学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习． 答案：师生共同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学升华 认知打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( )2.如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OD →=________.3.如图，已知在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标．1. (1)× (2)√ (3)× (4)×2. OB →＝(1，－1)，OD →＝(－1，1)． 3. AB →＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD →＝⎝⎛⎭⎫－12，32.核心素养．课后练习:巩固定理，对本节知识有更深化的认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
高中数学_《平面向量的正交分解及坐标表示,坐标运算》教学设计学情分析教材分析课后反思《平面向量的正交分解及坐标表示，坐标运算》教学设计一、教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书?数学4》（人教A版）第二章第三节的第二课时（2.3.2）《平面向量的正交分解及坐标表示》1.教材内容地位本节课内容包括“向量的正交分解及坐标表示”及“平面向量的坐标运算”两部分，其中向量的正交分解具有承上启下的作用，与上一节平面向量基本定理内容紧密关联。
本节课引出的向量的坐标表示，与坐标运算，实际上是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化。
这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想．这将为后面三角函数学习，及之后的几何学习与代数紧密联系起来。
2.教学目标(1)了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示的定义：①能够写出给定向量的坐标。
②给出坐标能够画出表示向量的有向线段。
(2)掌握两个向量和（差）及向量数乘的坐标的运算法则：①知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标。
②一个向量坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
二、学科核心素养本节课主要涉及以下三大类共六项，我将从以下几个方面设计本节课内容。
1、数学的一般特性(1)数学抽象：从物理方面的重力分解出发，舍去其相关物理属性，引出向量的正交分解，并在坐标系中用坐标表示出对应向量。
(2)直观想象：利用图、形结合的方式，展示向量在坐标系中的运算，以及向量与有向线段的关系。
2、数学思维的严谨性(1)逻辑推理：以i 、j为基底，根据向量的可以任意平移的特性，推导出向量的坐标表示。
(2)数学运算：通过向量线性运算的结合律和分配律，严谨的推导出向量的坐标运算，以及运用已有的向量加减的知识推导出，向量的坐标与表示此向量的有向线段的坐标的关系。
3、数学的实用性(1)数学建模：将向量与力与位移等矢量结合起来，通过坐标运算位移大小与力的大小等内容。
平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D 1=(2， 2) 当平行四边形为A CDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0)例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标. 解：由题设1F +2F +3F = 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5，1) 四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2BC = .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。
39 平面向量的正交分解与坐标运算教材分析这节课通过建立直角坐标系，结合平面向量基本定理，给出了向量的另一种表示———坐标表示，这样使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应关系，然后导出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为利用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，更突出也更简化了向量的应用．所以，一定要让学生重点掌握向量的坐标运算，以利于掌握坐标形式下的向量的一些关系式及运用．教学难点是让学生建立起平面向量的坐标概念．教学目标1. 理解平面向量坐标概念，领会它的引入过程，进一步体会一一对应的思想意识．2. 理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，并能应用坐标运算解决一些问题．3. 增强数形结合意识，领会“没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限”的说法．任务分析1. 有了平面向量的基本定理，就不难有平面向量的正交分解，有了坐标系下点与坐标的一一对应关系，也就容易有在直角坐标平面内的向量与坐标的一一对应．2. 可以从两个角度来理解平面向量的坐标表示：（1）设i，j为x，y轴方向上的单位向量，则任一向量ａ可唯一地表示为xi＋yj，即唯一对应数对（x，y），所以可以说a＝（x，y）．（2）任一向量ａ可平移成，一一对应点A（x，y），从而可说a＝（x，y）．3. 在接触过xOy平面内一点到它的坐标的这种形、数过渡的基础上，容易接受由向量到坐标的这种代数化的过渡．教学设计一、问题情景1. 光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F1和木块产生的垂直于斜面的压力F2（如图）．一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．2. 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？二、建立模型1. 如图，在直角坐标系中，先分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面上一个向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一对实数x，y使ａ＝xi＋yj，这样平面内任一向量a都可由x，y 唯一确定，（x，y）叫a的坐标，记作a＝（x，y）．显然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）．若把ａ的起点平移到坐标原点，即ａ＝，则点A的位置由ａ唯一确定．设＝xi＋yj，则的坐标就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x，y）也就是的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数（即坐标）唯一表示．2. 学生思考讨论已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b，λa的坐标吗？∵ａ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），∴ａ＝x1ｉ＋y1ｊ，b＝x2ｉ＋y2ｊ．∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j，∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2，y1＋y2）．同理ａ＋ｂ＝（x1－x2，y1－y2），λａ＝（λx1，λy1）．上述结论可表述为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．三、解释应用［例题］1. 已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB→的坐标．解：如图39-3，AB→＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）．总结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．思考：能在图中标出坐标为（x2－x1，y2－y1）的P点吗？平移到，则P（x2－x1，y2－y1）．2. 已知A（－2，1），B（－1，3），C（3，4）．（1）求－的坐标．（2）求ABCD中D点的坐标．放开思考，展开讨论，看学生们有哪些不同方法．（1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3），∴－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）．解法2：－＝＝（－4，－1）．（2）解法1：设D（x，y），＝，即（1，2）＝（3－x，4－y），∴x＝y＝2，D（2，2）．思考：你能比较出对（2）的两种解法在思想方法上的异同点吗？（解法1是间接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想）3. 在直角坐标系xOy中，已知点A（3，2），点B（－2，4），求向量＋的方向和长度．解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）．设＝＋，则＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）．由两点的距离公式，得设相对x轴正向的转角为α，则查表或使用计算器，得α＝80°32′．答：向量的方向偏离ｘ轴正向约为80°32′，长度等于，向量的方向偏离x轴正向约为116°34′，长度等于2．［练习］1. 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求3a＋4b的坐标．2. 设a＋b＝（－4，－3），a－b＝（2，1），求a，b．解法1：∵2a＝（－4，－3）＋（2，1）＝（－2，－2），2b＝（－4，－3）－（2，1）＝（－6，－4），∴a＝（－1，－1），b＝（－3，－2）．解法2：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则3. 已知ａ＝（1，1），ｂ＝（1，－1），ｃ＝（－1，2），试以ａ，ｂ为基底来表示ｃ．解：设c＝k1a＋k2a，即（－1，2）＝k1（1，1）＋k2（1，－1），即（－1，2）＝（k1＋k2，k1－k2），四、拓展延伸1. 在直角坐标系xOy中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求线段AB中点的坐标．解：设点M（x，y）是线段AB的中点（如图39-5），则＝（＋）．将上式换为向量的坐标，得（x，y）＝［（x1，y1）＋（x2，y2）］．即.这里得到的公式叫作线段中点的坐标计算公式，简称中点公式．2. 对于向量a，b，c，若存在不全为0的实数k1，k2，k3，使k1a＋k2b＋k3c＝0，则称a，b，c三个向量线性相关，试研究三个向量＝（3，5），＝（0，－1），＝（－3，－4）是否线性相关．解法1：显然有＋＋＝0，∴三者线性相关．解法2：由k1＋k2＋k3＝0，即k1（3，5）＋k2（0，－1）＋k3（－3，－4）＝0，即（3k1－3k3，5k1－k2－4k3）＝（0，0），取k1＝k2＝k3＝1，则＋＋＝0，故三个向量线性相关．点评这篇案例设计完整，思路自然．由斜边上物体所受重力的分解，联想到向量应有常见的正交分解；由点的坐标表示，结合平面向量基本定理联想到向量也有坐标形式．这为锻炼学生的类比联想能力，增强数学地提出问题、解决问题的能力提供了平台．向量用坐标表示即把向量代数化，增强了学生数形结合的意识，也增强了一一对应的意识，为提高学生的数学素质打下了良好的基础．。
环节二 平面向量的正交分解及坐标表示【引入新课】情境：回顾平面向量基本定理，为学习向量的坐标表示作铺垫．问题1：回顾所学习过的平面向量基本定理，回答下列问题：（1）什么是平面向量基本定理？（2）已知向量1e ，2e （如下图所示），分别作出向量a 在1e ，2e 方向上的分解．【课堂探究】情境：动画演示，重力G 分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力，帮助学生理解正交分解的概念．1．正交分解问题2：阅读教科书6.3.2节第一、第二段，回答问题：（1）什么是正交分解？（2）举一个正交分解的例子．答案：（1）正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量．（2）如图6.3-8，重力G 可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力1F ，垂直于斜面的压力2F ．（重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．）2．坐标表示情境：类比在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，思考直角坐标平面内的一个向量的表示方法．问题3：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？答案：如图6.3-9，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=x i+y j．3．提炼概念：向量a的坐标表示平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y）．①其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做向量a的坐标表示．追问1：你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？答案： i =(1，0)，j =(0，1)，0=(0，0)．情境：课堂展示讲解，理解向量的坐标与点的坐标之间的联系．问题4：向量的坐标与点的坐标之间有何区别与联系？答案：（1）设=+OA xi yj ，则向量OA 的坐标(,)x y 就是终点A 的坐标；（2）反过来，终点A 的坐标(,)x y 也就是向量OA 的坐标；（3）因为=OA a ，所以终点A 的坐标(,)x y 就是向量a 的坐标．（4）若向量的起点不是原点，则终点A 的坐标（x ，y ）就不是向量a 的坐标． 注意：实数对“（2，3）”如果不作说明，可以表示区间，点，也可以表示向量．【知识应用】情境：结合实例，加深对向量的坐标表示的理解．例3：如图6.3-11，分别用基底{i ，j }表示向量a ，b ，c ，d ，你能求出它们的坐标吗？解：由图6.3-11可知，a ＝12AA AA +＝2i ＋3j ，所以a ＝（2，3）．同理，b ＝－2i ＋3j ＝（－2，3），c ＝－2i －3j ＝（－2，－3），d ＝2i －3j ＝（2，－3）．【归纳小结】问题5：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．总结要点如下：（1）内容：正交分解，平面向量的坐标表示．➢类比重力在斜坡的分解，理解向量的正交分解．➢对给定的向量，写出其坐标表示．➢向量的坐标表示与点的坐标的区别与联系．（2）思想方法：以数的运算处理形的思想方法．。
《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教案一、教学目标1、使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程；掌握平面向量的坐标表示及其运算；2、通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；3、在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。
二、教学重难点重点：平面向量的坐标表示及坐标运算；难点：对平面向量的坐标表示生成过程的理解。
三、教具多媒体课件四、教学过程设计一、复习回顾 问题情境 【回顾】平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e【情境】光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F 1和木块产生的垂直于斜面的压力F 2（如图）．一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．【问题】 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？二、理解概念 加深认识如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 a xi yj =+ …………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y = …………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示。
结合定义，指导学生求出向量i 、j 、0 的坐标。
（多媒体演示）如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a = ，则点A 的位置由a 唯一确定。
设yj xi +=，则向量的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标。
第 周 本章节计划 课时 共 课时的第 课时 备课时间 年 月 日 上课时间 月 日星期 第 节 教学目标 1． 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示2． 会用坐标表示平面向量重 点 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示难 点 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示课 型 新授课 主要教法 合作探究 教学用具 班班通教 学 过 程环节一 创设情境，引出问题给定平面内两个不共线的向量1e ，2e ，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量a ，均可分解为两个向量11e λ，22e λ，即a +=11e λ22e λ，其中向量11e λ与1e 共线，向量22e λ与2e 共线．不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形．环节二 抽象概括，形成概念1．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．2．平面向量的坐标表示（1）基底在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为向量i ，j ，取{i ，j }作为基底．（2）坐标对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x ，y ，使得j y i x a +=，则有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．（3）坐标表示：a =(x ，y )．（4）特殊向量的坐标：i =1(，)0，j =0(，)1，0=0(，)0环节三 例题练习，巩固概念【例1】如图，分别用基底{i ，j }表示意向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标．【解析】由图可知，j i AA AA a 3221+=+=，所以2(=a ，)3因为j i b 32+-=，所以2(-=b ，)3，因为j i c 32--=，所以2(-=c ，)3-，因为j i d 32-=，所以2(=d ，)3-．【例2】在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且2||=a ，3||=b ，4||=c ，分别计算出它们的坐标．【解析】设1(a a =，)2a ，1(b b =，)2b ，1(c c =，)2c ，则222245cos ||1=⨯=︒=a a ， 222245sin ||2=⨯=︒=a a ， 23)21(3120cos ||1-=-⨯=︒=b b ，233233120sin ||2=⨯=︒=b b ， 32234)30cos(||1=⨯=︒-=c c ，2)21(4)30sin(||2-=-⨯=︒-=c c ， 所以2(=a ，)2，23(-=b ，)233，32(=c ，)2-环节四 小结提升，形成结构求点和向量坐标的常用方法（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．（2）求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．环节五 目标检测，检验效果【练1】如图，已知在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成︒30角．求点B 和点D 的坐标以及AB 与AD 的坐标．【解析】由题意知B ，D 分别是︒30，︒120角的终边与以点O 为圆心的单位圆的交点．设1(x B ，)1y ，2(x D ，)2y ．由三角函数的定义，得2330cos 11=︒⨯=x ，2130sin 11=︒⨯=y ， 所以23(B ，)21． 21120cos 12-=︒⨯=x ，23120sin 12=︒⨯=y ， 所以21(-D ，)23． 所以23(=AB ，)21，21(-=AD ，)23．环节六 分层作业，应用迁移《课时作业》第195页；预习教材第29~30页；完成《学法大视野》第22~23页题型二、三．课后记：。
教学设计课题名称平面向量的正交分解及坐标表示课时计划：课时第课时授课日期：教学目标1．借助于平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．2．理解向量坐标的概念，会用坐标表示平面向量的加法和减法运算．重点难点重点：掌握向量和、差运算法则．难点：理解向量坐标的概念.教学方法教师讲授、师生互动、学生主导科组模式板书设计作业布置课后反思教学设计教学环节教师活动(可附带学生活动)一、平面向量的正交分解及坐标表示板书设计1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．2．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．3．坐标表示：a＝(x，y)．4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．注意点：(1)点的坐标表示与向量的坐标表示不同，A(x，y)，a＝(x，y)．(2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同．一、平面向量的坐标表示例1如图，设{},i j为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．a b c d，并求出它们的坐标跟踪训练1如图，分别用基底{},i j表示向量,,,二、平面向量的坐标运算例2 如图，已知()1,3A -，()1,3B -，()4,1C ，()3,4D ，求向量OA ，OB ，AO ，CD 的坐标．跟踪训练2 已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4)B.(7，4)C.(－1，4)D.(1，4)三、平面向量的坐标应用例3 在平面直角坐标系xOy 中，点()1,2A -，()4,3B ，()3,6C ，()AP AB R AC λλ=+∈. （1）试求实数λ为何值时，点P 在第二、四象限的角平分线上；（2）若点P 在第三象限内，求实数λ的取值范围.跟踪训练3 已知点A (2，3)，B (5，4)，AC →＝(5λ，7λ).若AP →＝AB →＋AC →(λ∈R )，试求λ为何值时：(1)点P 在第一、三象限的角平分线上？(2)点P 在第三象限内？1．知识清单：(1)平面向量的正交分解及坐标表示．(2)平面向量加、减运算的坐标表示．(3)平面向量坐标运算的应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：已知A ，B 两点求AB →的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标．。
39 平面向量的正交分解与坐标运算
教材分析
这节课通过建立直角坐标系，结合平面向量基本定理，给出了向量的另一种表示———坐标表示，这样使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应关系，然后导出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为利用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，更突出也更简化了向量的应用．所以，一定要让学生重点掌握向量的坐标运算，以利于掌握坐标形式下的向量的一些关系式及运用．教学难点是让学生建立起平面向量的坐标概念．
教学目标
1. 理解平面向量坐标概念，领会它的引入过程，进一步体会一一对应的思想意识．
2. 理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，并能应用坐标运算解决一些问题．
3. 增强数形结合意识，领会“没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限”的说法．
任务分析
1. 有了平面向量的基本定理，就不难有平面向量的正交分解，有了坐标系下点与坐标的一一对应关系，也就容易有在直角坐标平面内的向量与坐标的一一对应．
2. 可以从两个角度来理解平面向量的坐标表示：
（1）设i，j为x，y轴方向上的单位向量，则任一向量ａ可唯一地表示为xi＋yj，即唯一对应数对（x，y），所以可以说a＝（x，y）．
（2）任一向量ａ可平移成，一一对应点A（x，y），从而可说a＝（x，y）．
3. 在接触过xOy平面内一点到它的坐标的这种形、数过渡的基础上，容易接受由向量到坐标的这种代数化的过渡．
教学设计
一、问题情景
1. 光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F1和木块产生的垂直于斜面的压力F2（如图）．
一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．
2. 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？
二、建立模型
1. 如图，在直角坐标系中，先分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面上一个向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一对实数x，y使ａ＝xi＋yj，这样平面内任一向量a都可由x，y唯一确定，（x，y）叫a的坐标，记作a＝（x，y）．
显然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）．
若把ａ的起点平移到坐标原点，即ａ＝，则点A的位置由ａ唯一确定．设＝xi＋yj，则
的坐标就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x，y）也就是的坐标．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数（即坐标）唯一表示．
2. 学生思考讨论
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b，λa的坐标吗？
∵ａ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
∴ａ＝x1ｉ＋y1ｊ，b＝x2ｉ＋y2ｊ．
∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j，
∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2，y1＋y2）．
同理ａ＋ｂ＝（x1－x2，y1－y2），λａ＝（λx1，λy1）．
上述结论可表述为：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
三、解释应用
［例题］
1. 已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB→的坐标．
解：如图39-3，AB→＝－＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）．
总结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
思考：能在图中标出坐标为（x2－x1，y2－y1）的P点吗？
平移到，则P（x2－x1，y2－y1）．
2. 已知A（－2，1），B（－1，3），C（3，4）．
（1）求－的坐标．（2）求ABCD中D点的坐标．
放开思考，展开讨论，看学生们有哪些不同方法．
（1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3），
∴－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）．
解法2：－＝＝（－4，－1）．
（2）解法1：设D（x，y），＝，即（1，2）＝（3－x，4－y），
∴x＝y＝2，D（2，2）．
思考：你能比较出对（2）的两种解法在思想方法上的异同点吗？
（解法1是间接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想）
3. 在直角坐标系xOy中，已知点A（3，2），点B（－2，4），求向量＋的方向和长度．解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）．
设＝＋，则＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）．
由两点的距离公式，得
设相对x轴正向的转角为α，则
查表或使用计算器，得α＝80°32′．
答：向量的方向偏离ｘ轴正向约为80°32′，长度等于，向量的方向偏离x轴正向约为116°34′，长度等于2．
［练习］
1. 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求3a＋4b的坐标．
2. 设a＋b＝（－4，－3），a－b＝（2，1），求a，b．
解法1：∵2a＝（－4，－3）＋（2，1）＝（－2，－2），
2b＝（－4，－3）－（2，1）＝（－6，－4），
∴a＝（－1，－1），b＝（－3，－2）．
解法2：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
3. 已知ａ＝（1，1），ｂ＝（1，－1），ｃ＝（－1，2），试以ａ，ｂ为基底来表示ｃ．
解：设c＝k1a＋k2a，即（－1，2）＝k1（1，1）＋k2（1，－1），即（－1，2）＝（k1＋k2，k1－k2），
四、拓展延伸
1. 在直角坐标系xOy中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求线段AB中点的坐标．
解：设点M（x，y）是线段AB的中点（如图39-5），则＝（＋）．
将上式换为向量的坐标，得
（x，y）＝［（x1，y1）＋（x2，y2）］．
即.
这里得到的公式叫作线段中点的坐标计算公式，简称中点公式．
2. 对于向量a，b，c，若存在不全为0的实数k1，k2，k3，使k1a＋k2b＋k3c＝0，则称a，b，c三个向量线性相关，试研究三个向量＝（3，5），＝（0，－1），＝（－3，－4）是否线性相关．
解法1：显然有＋＋＝0，∴三者线性相关．
解法2：由k1＋k2＋k3＝0，
即k1（3，5）＋k2（0，－1）＋k3（－3，－4）＝0，
即（3k1－3k3，5k1－k2－4k3）＝（0，0），
取k1＝k2＝k3＝1，则＋＋＝0，故三个向量线性相关．
点评
这篇案例设计完整，思路自然．由斜边上物体所受重力的分解，联想到向量应有常见的正交分解；由点的坐标表示，结合平面向量基本定理联想到向量也有坐标形式．这为锻炼学生的类比联想能力，增强数学地提出问题、解决问题的能力提供了平台．向量用坐标表示即把向量代数化，增强了学生数形结合的意识，也增强了一一对应的意识，为提高学生的数学素质打下了良好的基础．。
