【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学人教A版必修五 第一章解三角形 学业分层测评2 Word版含答案

第一章 1.2 应用举例第二课时 高度、角度问题课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1.如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m解析：选C 根据题图，由题意知CM ＝DM . ∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°，∴CM ＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30°×10≈37.3(m)，故选C. 2．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( )A ．14.5 km/hB ．15.6 km/hC ．13.5 km/hD ．11.3 km/h解析：选C 由物理学知识，画出示意图如图．AB ＝15，AD＝4，∠BAD ＝120°.在▱ABCD 中，D ＝60°.在△ADC 中，由余弦定理，得AC ＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝16＋225－4×15＝181≈13.5(km/h)．故选C.3．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．12米解析：选C如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ， 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理，得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去)．4．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A.1507 minB ．157 hC ．21.5 minD ．2.15 h 解析：选A 设经过x 小时时距离为s ，则在△BPQ 中，由余弦定理知PQ 2＝B P 2＋BQ 2－2BP ·BQ ·cos 120°，即s 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28x 2－20x ＋100，∴当x ＝514 h 时，s 2最小，即当航行时间为514 h ＝1507 min 时，s 最小．5.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 m解析：选D 设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h，① cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h.② ∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°，∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.6．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角为30°，量得AB ＝AC ＝10 m 树根部为C (A 、B 、C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝ .解析：如图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10.∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝103， cos ∠ACB ＝102＋(103)2－1022×10×103＝32， ∴∠ACB ＝30°.答案：30°7.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.解析：根据题图所示，AC ＝100 2.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3.在△AMN 中，MN AM ＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)．答案：1508．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正以每小时90海里的速度向它靠近，此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过 分钟，海盗船到达商船．解析：如图，设观测站、商船、分别位于A，B处，开始时，海盗船位于C处，20分钟后，海盗船到达D处．在△ADC中，AC＝107，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC2 2AD·CD＝400＋900－7002×20×30＝12，则∠ADC＝60°.在△ABD中，由已知，得∠ABD＝30°，∠BAD＝60°－30°＝30°，所以BD＝AD＝20，2090×60＝403(分)．答案：40 39.在社会实践中，小明观察一棵桃树．他在点A处发现桃树顶端点C的仰角大小为45°，往正前方走4米后，在点B处发现桃树顶端点C的仰角大小为75°.(1)求BC的长；(2)若小明身高为1.70米，求这棵桃树顶端点C离地面的高度(精确到0.01米，其中3≈1.732)．解：(1)∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，则∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4，由正弦定理得BCsin 45°＝4sin 30°，解得BC＝42(米)，即BC的长为4 2 米．(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝42，∴DC＝42sin 75°.∵sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝6＋24，则DC ＝2＋23，∴CE ＝ED ＋DC ＝1.70＋2＋23≈3.70＋3.464≈7.16(米)，即这棵桃树顶端点C 离地面的高度约为7.16米．10．碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B 处．现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．解：如图，设经过t 小时，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D 处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD .根据题意，知在△ADC 中，AC ＝8t ，AD ＝20－10t ，∠CAD＝60°.由余弦定理，知CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD cos 60°＝(8t )2＋(20－10t )2－2×8t ×(20－10t )×cos 60°＝244t 2－560t ＋400＝244⎝ ⎛⎭⎪⎫t －70612＋400－244×⎝ ⎛⎭⎪⎫70612， ∴当t ＝7061时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．‖层级二‖|应试能力达标|1．在一座20 m 高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为( )A ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33m B ．20(1＋3)m C ．10(6＋2)m D ．20(6＋2)m解析：选B 如图所示，AB 为观测台，CD 为水塔，AM 为水平线．依题意得AB ＝20，∠DAM ＝45°，∠CAM ＝60°，从而可知MD ＝20，AM ＝20，CM ＝203， ∴CD ＝20(1＋3)(m)． 2．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )A.π4B ．π3 C.π6 D ．512π解析：选C 设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π6.故选C. 3.某工程中要将一长为100 m 倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( )A ．100 2 mB ．100 3 mC ．50(2＋6)mD ．200 m解析：选A ∠BAC ＝75°－30°＝45°.在△ABC 中，AC ＝100 m ，由正弦定理，得BC sin ∠BAC＝AC sin B ，∴BC ＝AC sin ∠BAC sin B ＝100×sin 45°sin 30°＝1002(m)．故选A.4．如图，在O 点测量到远处有一物体做匀速直线运动，开始时物体位于P 点，1分钟后，其位置在Q 点，且∠POQ ＝90°，再过1分钟，该物体位于R 点，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ 的值为( )A.12 B ．22 C.32 D ．3解析：选C 由题意知，PQ ＝QR ，设其长为1，则PR ＝2.在△OPR 中，由正弦定理，得2sin 120°＝OP sin R .在△OQR 中，由正弦定理，得1sin 30°＝OQ sin R ，则tan ∠OPQ ＝OQ OP ＝sin 120°2sin 30°＝32.故选C.5．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.解析：设两条船所在位置分别为A ，B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30(m)．答案：306．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船 (填“有”或“无”)触礁的危险．解析：如图所示，暗礁位于C 处，开始时，轮船在A 处，航行30海里后，轮船在B 处．由题意在△ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，则∠ACB ＝15°.由正弦定理，得BC＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin 30°sin 15°＝156－24＝15(6＋2)． 在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38.所以，此船无触礁的危险．答案：无7．如图，小明同学在山顶A 处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从C 点到B 点历时14 s ，则这辆汽车的速度为 m/s(精确到0.1，参数数据：2≈1.414，5≈2.236)．解析：由题意，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ，在△ABC 中，由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22≈ 316．17 m ，这辆汽车的速度为316.17÷14≈22.6 m/s.答案：22.68.如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B点相距20 3 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意，知AB＝5(3＋3)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得BDsin∠DAB ＝ABsin∠ADB，即BD＝AB sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)sin 45°sin 105°＝5(3＋3)sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝10 3 n mile.又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝20 3 n mile，∴在△DBC中，由余弦定理，得CD＝BD2＋BC2－2BD·BC cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×1 2＝30 n mile，则救援船到达D点需要的时间为3030＝1 (h)．。

章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，若sin A ＋cos A ＝712，则这个三角形是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】 若A ≤90°，则sin A ＋cos A ≥1>712，∴A >90°. 【答案】 A2．在△ABC 中，内角A 满足sin A ＋cos A >0，且tan A －sin A <0，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4【解析】 由sin A ＋cos A >0得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4>0.∵A 是△ABC 的内角，∴0<A <3π4. ① 又tan A <sin A ，∴π2<A <π. ②由①②得，π2<A <3π4.【答案】 C3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a ，那么a 的取值范围为( ) 【导学号：05920080】A ．(8,10)B ．(22，10)C ．(22，10)D ．(10，8)【解析】 设1,3，a 所对的角分别为∠C 、∠B 、∠A ，由余弦定理知a 2＝12＋32－2×3cos A <12＋32＝10，32＝1＋a 2－2×a cos B <1＋a 2， ∴22<a <10. 【答案】 B4．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D ．22【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝8， ∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2. 【答案】 C5．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2 D ．2π3【解析】 p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C .∴C ＝π3. 【答案】 B6．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下面等式一定成立的是( ) A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C【解析】 由sin B sin C ＝cos 2A2＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒cos(B－C )－cos(B ＋C )＝1＋cos A .又cos(B ＋C )＝－cos A ⇒cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 【答案】 C7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB 是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC ＝90 mm ，BC ＝150 mm ，则DE 的长等于( )图1A ．210 mmB ．200 mmC ．198 mmD ．171 mm【解析】 ∠ACB ＝70°＋50°＝120°，在△ABC 中应用余弦定理可以求出AB 的长，即为DE 的长．【答案】 A8．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332 D ．3 3【解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 【答案】 C9．(2015·山东省实验中学期末考试)已知在△ABC 中，sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B )，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形【解析】 由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22ac ，即2a 2b＋2ab 2＝ab 2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3，∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2，∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，故选D.【答案】 D10．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 由已知得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又0°<A <180°，∴A ＝120°. 【答案】 C11．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分，则cos A 等于( )A.13B.12C.34 D ．0【解析】 ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等．∴△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等． ∵S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴AC BC ＝32. 由正弦定理sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ， ∴sin 2A sin A ＝32，即2sin A cos A sin A ＝32，∴cos A ＝34. 【答案】 C12.如图2，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ()图2A．23＋1 B．23－1C.3－1 D．3＋1【解析】在△ABC中，BC＝AB sin∠BAC sin∠ACB＝100sin 15°sin(45°－15°)＝50(6－2)，在△BCD中，sin∠BDC＝BC sin∠CBDCD＝50(6－2)sin 45°50＝3－1，又∵cos θ＝sin∠BDC，∴cos θ＝3－1.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2015·黄冈高级中学高二期中测试)△ABC为钝角三角形，且∠C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为．【解析】∵cos C＝a2＋b2－c22ab，且∠C为钝角．∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0.故a2＋b2<c2.【答案】a2＋b2<c214．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝.【解析】由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.【答案】 2π315．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于 ，AC 的取值范围为 ．【解析】 设A ＝θ⇒B ＝2θ. 由正弦定理得AC sin 2θ＝BCsin θ， ∴AC 2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC 得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°. 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°， 故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32， ∴AC ＝2cos θ∈(2，3)． 【答案】 2 (2，3)16．(2014·全国卷Ⅰ)如图3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝ m.图3【解析】 根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m. 在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°， ∴MN ＝1003×32＝150(m)． 【答案】 150三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【解】 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2， 得cos B ＝(1＋3)a2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝12，又cos B >0， 故cos B ＝22，所以B ＝45°.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 【解】 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4， ∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17. 19．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)在△ABC 中，∠A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长．【解】 设△ABC 的内角∠BAC ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310. 又由正弦定理得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010， 由题设知0<B <π4， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010. 在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B ，故由正弦定理得AD ＝AB ·sin B sin (π－2B )＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B ＝10.20．(本小题满分12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?【解】 如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314. 在△ACD 中，21sin 60°＝AD sin α， ∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)． 所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)(2016·洛阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值. 【导学号：05920081】【解】 (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0，∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，即(2cos C ＋1)2＝0，∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ， ∴sin A ＝15sin C ＝1010.∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ， ∴12ab sin C ＝22sin A sin B ，∴absin A sin B sin C ＝2，由正弦定理得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1. 22．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m >0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)若△ABC 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积．【解】 (1)由题意，f (x )的最大值为m 2＋2，所以m 2＋2＝2.又m >0，所以m ＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．所以f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得2R ＝c sin C ＝3sin 60°＝2 3.化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ， 得sin A ＋sin B ＝26sin A sin B .由正弦定理，得2R (a ＋b )＝26ab ，a ＋b ＝2ab .① 由余弦定理，得a 2＋b 2－ab ＝9，即(a ＋b )2－3ab －9＝0.②将①式代入②，得2(ab )2－3ab －9＝0，解得ab ＝3或ab ＝－32(舍去)，故S △ABC ＝12ab sin C ＝334.。

模块综合测评(二)(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.数列1,3,7,15,…的通项a n 可能是( ) A.2n B.2n ＋1 C.2n －1D.2n －1【试题解析】 取n ＝1时,a 1＝1,排除A 、B,取n ＝2时,a 2＝3,排除D. 【参考答案】 C2.不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( ) A.{x |x ≤－1或x ≥5} B.{x |x <－1或x >5} C.{x |1<x <5} D.{x |－1≤x ≤5}【试题解析】 不等式化为x 2－4x －5>0,所以(x －5)(x ＋1)>0,所以x <－1或x >5. 【参考答案】 B3.在正项等比数列{a n }中,a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根,则a 8·a 10·a 12等于( )A.16B.32C.64D.256【试题解析】 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 210(a n >0),∴a 8·a 10·a 12＝a 310＝64.【参考答案】 C4.下列不等式一定成立的是( ) A.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x2＋1>1(x∈R)【试题解析】5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,ac＝3,且a＝3b sin A,则△ABC的面积等于()A.12 B.32C.1D.3 4【试题解析】∵a＝3b sin A,∴由正弦定理得sin A＝3sin B sin A,∴sin B＝1 3.∵ac＝3,∴△ABC的面积S＝12ac sin B＝12×3×13＝12,故选A.【参考答案】 A6.等比数列{a n}前n项的积为T n,若a3a6a18是一个确定的常数,那么数列T10,T13,T17,T25中也是常数的项是()A.T10B.T13C.T17D.T25【试题解析】由等比数列的性质得a3a6a18＝a6a10a11＝a8a9a10＝a39,而T17＝a179,故T17为常数.【参考答案】 C7.已知不等式x2－2x－3<0的解集为A,不等式x2＋x－6<0的解集为B,不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ,那么a ＋b 等于( )A.－3B.1C.－1D.3【试题解析】 由题意：A ＝{x |－1<x <3},B ＝{x |－3<x <2},A ∩B ＝{x |－1<x <2},由根与系数的关系可知：a ＝－1,b ＝－2,∴a ＋b ＝－3. 【参考答案】 A8.古诗云：远望巍巍塔七层,红光点点倍加增.共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？( )A.2B.3C.4D.5【试题解析】 远望巍巍塔七层,说明该数列共有7项,即n ＝7.红光点点倍加增,说明该数列是公比为2的等比数列.共灯三百八十一,说明7项之和S 7＝381.请问尖头几盏灯,就是求塔顶几盏灯,即求首项a 1. 代入公式S n ＝a 1(1－q n )1－q ,即381＝a 1(1－27)1－2,∴a 1＝381127＝3. ∴此塔顶有3盏灯. 【参考答案】 B9.若实数x ,y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx 的取值范围是( )A.(0,1)B.(0,1]C.(1,＋∞)D.[1,＋∞)【试题解析】 实数x ,y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x >0的相关区域如图中的阴影部分所示. y x 表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知,y x 的取值范围为(1,＋∞).【参考答案】 C10.在△ABC 中,若c ＝2b cos A ,则此三角形必是( ) A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形D.有一角为30°的直角三角形【试题解析】 由正弦定理得sin C ＝2cos A sin B , ∴sin (A ＋B )＝2cos A sin B ,即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos A sin B , 即sin A cos B －cos A sin B ＝0, 所以sin (A －B )＝0. 又因为－π<A －B <π, 所以A －B ＝0, 即A ＝B . 【参考答案】 A11.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A.23＋2B.23－2C.2 3D.2【试题解析】 ∵x >1, ∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2 ≥23＋2. 【参考答案】 A12.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2,BC →·BA →＝12,则tan B 等于( )A.32B.3－1C.2D.2－ 3【试题解析】 由BC →·BA→＝12,得ac cos B ＝12,∴2ac cos B ＝1.又由余弦定理,得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－1, ∴a 2－b 2＋c 2＝1, ∴tan B ＝2－31＝2－ 3. 【参考答案】 D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上) 13.已知点P (1,－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x ＋by ＋1>0表示的平面区域内,则b 的取值范围是______. 【导学号：05920089】【试题解析】 点P (1,－2)关于原点的对称点为点P ′(－1,2). 由题意知⎩⎨⎧2×1－2b ＋1>0，－2＋2b ＋1>0，解得12<b <32.【参考答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3214.(2015·江苏高考)设数列{}a n 满足a 1＝1,且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *),则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________.【试题解析】 由题意有a 2－a 1＝2,a 3－a 2＝3,…,a n －a n －1＝n (n ≥2).以上各式相加,得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1, ∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2). ∵当n ＝1时也满足此式, ∴a n ＝n 2＋n2(n ∈N *). ∴1a n ＝2n 2＋n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.【参考答案】 201115.已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a ＝2,且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ,则△ABC 面积的最大值为________.【试题解析】 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ,a ＝2, 又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c , ∴a 2－b 2＝c 2－bc , ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A , ∴A ＝60°.∵在△ABC 中,4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得), ∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3. 【参考答案】316.若1a <1b <0,已知下列不等式： ①a ＋b <ab ;②|a |>|b |;③a <b ;④b a ＋ab >2; ⑤a 2>b 2;⑥2a >2b .其中正确的不等式的序号为______. 【试题解析】 ∵1a <1b <0, ∴b <a <0,故③错;又b <a <0,可得|a |<|b |,a 2<b 2, 故②⑤错,可证①④⑥正确. 【参考答案】 ①④⑥三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3＝12,且S 12>0,S 13<0.(1)求公差d 的取值范围;(2)问前几项的和最大,并说明理由. 【解】 (1)∵a 3＝12,∴a 1＝12－2d , ∵S 12>0,S 13<0, ∴⎩⎨⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0， 即⎩⎨⎧24＋7d >0，3＋d <0， ∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0,S 13<0, ∴⎩⎨⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0， ∴⎩⎨⎧a 6＋a 7>0，a 7<0， ∴a 6>0,又由(1)知d <0.∴数列前6项为正,从第7项起为负. ∴数列前6项和最大.18.(本小题满分12分)已知α,β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根,且α∈[0,1],β∈[1,2],a ,b ∈R ,求b －3a －1的最大值和最小值.【解】 ∵⎩⎨⎧α＋β＝－a ，αβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－(α＋β)，b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2, ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2. ∴⎩⎨⎧－3≤a ≤－1，0≤b ≤1，建立平面直角坐标系aOb ,则上述不等式组表示的平面区域如下图所示.令k ＝b －3a －1,可以看成动点P (a ,b )与定点A (1,3)的连线的斜率. 取B (－1,0),C (－3,1), 则k AB ＝32,k AC ＝12, ∴12≤b －3a －1≤32.故b －3a －1的最大值是32,最小值是12. 19.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0.(1)求角A 的大小;(2)若a ＝3,试求当△ABC 的面积取最大值时,△ABC 的形状. 【导学号：05920090】【解】 (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0,由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0, 整理得b 2＋c 2－a 2＝bc , ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12, ∵0<A <π, ∴A ＝π3.(2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3. 当且仅当b ＝c ＝3时取等号. ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334. 从而当△ABC 的面积最大时,a ＝b ＝c ＝ 3.∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形.20.(本小题满分12分)已知函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式x 2－x －a 2＋a <0.【解】 (1)∵函数y ＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ,∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立. ①当a ＝0时,1≥0,不等式恒成立; ②当a ≠0时,则⎩⎨⎧a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0， 解得0<a ≤1.综上可知,a 的取值范围是[0,1].(2)由x 2－x －a 2＋a <0,得(x －a )[x －(1－a )]<0. ∵0≤a ≤1, ∴①当1－a >a , 即0≤a <12时,a <x <1－a ;②当1－a ＝a ,即a ＝12时,⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122<0,不等式无解;③当1－a <a ,即12<a ≤1时, 1－a <x <a .综上,当0≤a <12时,原不等式的解集为(a,1－a ); 当a ＝12时,原不等式的解集为∅; 当12<a ≤1时,原不等式的解集为(1－a ,a ).21.(本小题满分12分)若数列{a n }满足a 2n ＋1－a 2n ＝d ,其中d 为常数,则称数列{a n }为等方差数列.已知等方差数列{a n }满足a n >0,a 1＝1,a 5＝3.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和. 【解】 (1)由a 21＝1,a 25＝9, 得a 25－a 21＝4d ,∴d ＝2.a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1, ∵a n >0, ∴a n ＝2n －1.数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝(2n －1)12n ,设S n ＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n －1)·12n ,① 12S n ＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n －1)· 12n ＋1,② ①－②,得12S n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋…＋12n －(2n －1)·12n ＋1＝12＋2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)·12n ＋1, 即S n ＝3－2n ＋32n ,即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 的前n 项和为3－2n ＋32n .22.(本小题满分12分)如图1所示,某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处,12时20分时测得该轮船在海岛北偏西60°的B 处,12时40分该轮船到达位于海岛正西方且距海岛5千米的E 港口,如果轮船始终匀速直线航行,则船速是多少？(结果保留根号)图1【解】 轮船从点C 到点B 用时80分钟,从点B 到点E 用时20分钟,而船始终匀速航行,由此可见,BC ＝4EB .设EB ＝x ,则BC ＝4x ,由已知得∠BAE ＝30°,在△AEC 中,由正弦定理得EC sin ∠EAC ＝AE sin C, 即sin C ＝AE sin ∠EAC EC＝5sin 150°5x ＝12x , 在△ABC 中,由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AB sin C , 即AB ＝BC sin C sin 120°＝4x ×12x sin 120°＝43＝433. 在△ABE 中,由余弦定理得BE2＝AE2＋AB2－2AE·AB cos 30°＝25＋163－2×5×433×32＝313,所以BE＝313(千米).故轮船的速度为v＝313÷2060＝93(千米/时).。

学业分层测评(二) 余弦定理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形【解析】 由题意知a 2＋b 2－c 22ab <0，即cos C <0， ∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 C2．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19【解析】 由余弦定理的推论知 cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC→|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19. 【答案】 D3．(2015·广东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 3 【解析】 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，∴b ＝2.【答案】 C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sinC ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32， 又A 为三角形的内角，∴A ＝30°. 【答案】 A5．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π 【解析】 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac2ac＝(a －c )22ac ＋12≥12， ∵0<B <π，∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A.【答案】 A 二、填空题6．(2014·福建高考)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________. 【导学号：33300010】【解析】 ∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，即AB ＝1.【答案】 17．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是________． 【解析】 由正弦定理知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．设sin A ＝5k ，sin B ＝7k ，sin C ＝8k ，∴a ＝10Rk ，b ＝14Rk ，c ＝16Rk ，∴a∶b∶c＝5∶7∶8，∴cos B＝25＋64－492×5×8＝12，∴B＝π3.【答案】π38．(2014·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝14a,2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．【解析】由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c，即b＝32c.又b－c＝14a，∴12c＝14a，即a＝2c.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝94c2＋c2－4c22×32c2＝－34c23c2＝－14.【答案】－1 4三、解答题9．在△ABC中，(1)a＝3，b＝4，c＝37，求最大角．(2)b＝6，c＝2，B＝60°，求a. 【解】(1)显然角C最大，∴cos C＝a2＋b2－c22ab＝32＋42－372×3×4＝－12，∴C＝120°.(2)法一由正弦定理bsin B＝csin C，得sin C＝c sin Bb＝2sin 60°6＝36＝22，∴C＝45°或C＝135°.∵b>c，∴B>C，又∵B＝60°，∴C＝45°.∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－(60°＋45°)＝75°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A＝6＋4－46×cos 75°＝10－46×6－24＝4＋23，∴a ＝4＋23＝3＋1. 法二 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴6＝a 2＋4－4a cos 60°＝a 2＋4－2a . ∴a 2－2a －2＝0.解得a ＝1＋3或a ＝1－3(不合题意，舍去)， ∴a ＝1＋ 3.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1. 【导学号：33300011】(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．【解】 (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)， ∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴{ a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.[能力提升]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】 由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab 得， a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab2ab ＝－14<0，所以90°<C <180°，即三角形为钝角三角形，故选A.【答案】 A2．已知锐角三角形边长分别为2,3，x，则x的取值范围是()A．(5，5) B．(1, 5)C．(5，13) D．(13，5)【解析】三边需构成三角形，且保证3与x所对的角都为锐角，由余弦定理得{22＋32－x2>0，2＋x2－32>0，解得5<x<13.【答案】 C3．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin 2Asin C＝________.【解析】由正弦定理得sin Asin C＝ac，由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc，∵a＝4，b＝5，c＝6，∴sin 2Asin C＝2sin A cos Asin C＝2·sin Asin C·cos A＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.【答案】 14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝7 9.(1)求a，c的值；(2)求sin(A－B)的值．【解】(1)由b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，又b＝2，a＋c＝6，cos B＝7 9，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在△ABC中，sin B＝1－cos2B＝42 9，由正弦定理得sin A＝a sin Bb＝223.因为a＝c，所以A为锐角，所以cos A＝1－sin2A＝1 3.102因此sin(A－B)＝sin A cos B－cos A sin B＝27.。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第一章 解三角形 正弦定理(1)学业分层测评 苏教版必修5(建议历时：45分钟)学业达标]一、填空题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B 的值是________．【解析】 由正弦定理可知，sin A ∶sin B ＝a ∶b ＝5∶3.【答案】 5∶32．在△ABC 中，若A ＝75°，B ＝60°，c ＝2，则b ＝________.【解析】 在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝45°，∴b ＝c sin B sin C ＝2sin 60°sin 45°＝ 6. 【答案】 63．在△ABC 中，若sin A a ＝cos C c，则C 的值为________． 【解析】 由正弦定理可知，sin A a ＝sin C c， 又sin A a ＝cos C c， ∴sin C c ＝cos C c， 即tan C ＝1,0°<C <180°，∴C ＝45°.【答案】 45°⎝ ⎛⎭⎪⎫或π4 4．(2015·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________. 【解析】 在△ABC 中，按照正弦定理a sin A ＝bsin B ，有3sin 2π3＝6sin B ，可得sin B ＝22.因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4. 【答案】 π45．在△ABC 中，已知a ＝43，b ＝42，A ＝60°，则c ＝________.【导学号：】【解析】 由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a sin A ＝4243×32＝22. ∵b <a ，∴B ＝45°，C ＝180°－A －B ＝75°，∴c ＝a sin C sin A ＝43×sin 75°sin 60°＝2(2＋6)．【答案】 2(2＋6)6．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝16，A ＝150°，则知足条件的三角形有________个．【解析】 A ＝150°>90°，∵a >b ，∴知足条件的三角形有1个．【答案】 17．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的长为________．【解析】 易患A ＝75°，∴B 为最小角，即b 为最短边， ∴由c sin C ＝bsin B ，得b ＝63. 【答案】 63 8．(2016·苏州高二检测)在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝________.【解析】 由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，可知A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2. ∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1 ＝1∶3∶2.【答案】 1∶3∶2二、解答题9．在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，讨论当b 为何值时(或在什么范围内)，三角形有一解，有两解或无解？【解】 当a <b sin 30°，即b >43时， 无解；当a ≥b 或a ＝b sin A ，即b ≤23或b ＝43时，有一解；当b sin A <a <b ，即23<b <43时，有两解．10．在△ABC 中，b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求角A .【解】 按照正弦定理a sin A ＝b sin B ，把b ＝2a 代入得asin A ＝2a sin B， ∴sin B ＝2sin A .又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，展开得－32sin A ＋32cos A ＝0， ∴sin(A －30°)＝0，解得A ＝30°.能力提升]1．(2016·南通高二检测)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长别离为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于________．【解析】 由正弦定理可得，2a sin B ＝3b 可化为2sin A sin B ＝3sin B ，又sin B ≠0，即sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形，得A ＝π3. 【答案】 π32．(2014·广东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边别离为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________.【解析】 因为b cos C ＋c cos B ＝2b ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，故sin(B ＋C )＝2sin B .故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即a b＝2. 【答案】 23．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是____________.【导学号：】【解析】 因为三角形有两解，所以a sin B <b <a ， 即22x <2<x ，∴2<x <2 2. 【答案】 (2,22)4．在△ABC 中，a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，判断△ABC 的形状． 【解】 法一 ∵a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得a ·a 2R ＝b ·b2R， ∴a 2＝b 2，即a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形． 法二 ∵a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .由正弦定理可得2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B .∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去)故△ABC 为等腰三角形．。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.2正弦定理(2)学业分层测评 苏教版必修5(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知△ABC 的面积为3且b ＝2，c ＝2，则A ＝______. 【解析】 ∵S △ABC ＝12bc sin A ，b ＝2，c ＝2，∴12×2×2sin A ＝3， ∴sin A ＝32. 又A ∈(0，π)， ∴A ＝π3或2π3.【答案】π3或2π32．海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离是________ n mile.【解析】 如图所示，易知C ＝45°，由正弦定理得AB sin C ＝BCsin A ， ∴BC ＝AB sin Asin C＝5 6. 【答案】 5 63．(2016·苏州高二检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为________. 【导学号：91730006】【解析】 由正弦定理知，bsin B ＝c sin C ，结合条件得c ＝b sin Csin B＝2 2.又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝6＋24， 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3＋1.【答案】3＋14．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________.【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B，∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3， ∴1sin A ＝32sin A cos A. ∵A 为三角形的内角，∴sin A ≠0，∴cos A ＝32. 又0＜A ＜π，∴A ＝π6，∴B ＝2A ＝π3.∴C ＝π－A －B ＝π2，即△ABC 为直角三角形，由勾股定理得c ＝12＋32＝2.【答案】 25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为________．【解析】 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝72. 【答案】 726．(2016·泰州高二检测)在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是________三角形．【解析】 由a ＝2b cos C 可知 sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin(B －C )＝0， ∴B ＝C ，∴b ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形． 【答案】 等腰7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B ·cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝________. 【解析】 根据正弦定理将边化角后约去sin B ，得sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12，又a >b ，所以A >B ，所以B ＝π6. 【答案】π68．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________． 【解析】 设最小角为α，则最大角为120°－α， ∴－αsin α＝3＋12， ∴2sin(120°－α)＝(3＋1)sin α， ∴sin α＝cos α，∴α＝45°， ∴最大角为120°－45°＝75°. 【答案】 75° 二、解答题9．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，求这时船与灯塔的距离．【解】 如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∴∠ABC ＝45°，AC ＝60.根据正弦定理， 得BC ＝AC sin ∠BAC sin ∠ABC ＝60sin 30°sin 45°＝302(km)．10．在△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D ，用正弦定理证明：AB AC ＝BDDC. 【证明】 如图，由题意可知，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，在△ABD 中，由正弦定理得 AB sin ∠3＝BDsin ∠1，①在△ADC 中，由正弦定理得 AC sin ∠4＝DCsin ∠2，②又sin ∠1＝sin ∠2，sin ∠3＝sin ∠4， 故①②得AB AC ＝BD DC. 能力提升]1．在△ABC 中，a cos B ＝bcos A ，则△ABC 的形状一定是________．【解析】 在△ABC 中，∵a cos B ＝bcos A， ∴a cos A ＝b cos B ，由正弦定理， 得2R sin A cos A ＝2R sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°， ∴A ＝B 或A ＋B ＝90°.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 【答案】 等腰或直角三角形或等腰直角三角形2．(2016·南京高二检测)在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则ab的取值范围为________．【解析】 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 均小于90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)， 故a b的取值范围是(2，3)． 【答案】 (2，3)3．△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的周长为________(用B 表示).【导学号：91730007】【解析】 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π可知C ＝2π3－B .由正弦定理得3sin π3＝AB sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝ACsin B ， ∴AB ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ，AC ＝23sin B ，∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝23·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＋3＝3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6.【答案】 3＋6sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π64．(2016·如东高二检测)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．【解】 (1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A ，所以2sin A cos A sin A ＝263，故cos A ＝63. (2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又B ＝2A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539，所以c ＝a sin Csin A＝5.。

人教A版必修5《第1章解三角形》2017年单元测试组卷%1.选择题（共24小题）1. △ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a=^b, A=2B,则2cos B=（）A.四B.32. 在ZiABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c, S表示^ABC的面积，若acosB+bcosA二csinC, S=— (b2+c2 - a2),则匕B=( )4A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°3. （上海卷理18）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为工，1,则此人将（）13 11 5A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形4. 甲船在岛B的正南方A处，AB=10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60。

的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A. 迎分钟B.坦分钟C. 21、5分钟D. 2、15分钟7 7A.【B.史C・-X D. -&2 2 2 26. 已知ZiABC 中，ZA=45°, AB二&, BC=2,则ZC=( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 60°或120°7. Z\ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则acosC+ccosA的值为( )A. bB. cC. 2cosBD. 2sinB 8.如图，平行四边形ABCD中，AE： EB=1： 2, AAEF的面积为6,则^CDF的面积为（A. 54B. 24C. 18D. 129. 在^ABC 中，若sinA： sinB： sinC=3： 2： 4,则cosC 的值为（）A. B. 1 C. o, 14 4 3 310. 设三角形ABC的三边之比AB： BC： CA=3： 2： 4,已知顶点A的坐标是（0, 0）, B的坐标是（a, b）,则C的坐标是（）A（7a±V15b 7b±V15a） B （ 7a±V15b 7b±V15a）• T- 6 V- 6 • ~8"- 8 V- 8C （Ia+V15b 7b+妊，）口（典7b 主妊，）. ~6 ' ~6 * ~8 ' ~8 S-11. 在^ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c, HZA=2ZB,则旦也-等sin3B 于（）A. bB. 2 C・ b D. -2-c b a c12. 在左ABC 中，a, b, c 分别是角A, B, C 的对边，若a二2, C=60°, .ELAABC的周长为V3+3,则b, c的值分别为（）A. 1,如B.如，1C. 1, 2D. 2, 113. ABC 中，已知a=2, b=3, cM，则^ABC 的面积是（）A. 2B. 2扼C.巫D.四!■2 214. 若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30。

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1.3.2 圆内接四边形的性质与判定（建议用时：40分钟)[学业达标］一、选择题(每小题5分，共20分）1。

如图1。

3。

30，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1圆周上一点，分别连PA、PB并延长交⊙O2于D、C两点.若∠APB＝x，∠ABC＝y，则∠BCD＝（)图1.3。

30A.180°－yB.180°－x－yC。

180°＋x－y D.y－x【解析】∵∠APB＝x，∠ABC＝y，∴∠ABP＝180°－y，∴∠BAP＝180°－x－（180°－y)＝y－x，∴∠BCD＝∠BAP＝y－x。

【答案】D2。

如图1。

3­31，在⊙O中，弦AB的长等于半径，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数为( ）图1­ 3.31A.30°B.45°C.50°D。

60°【解析】连接OA，OB，∵∠BCD＝∠DAE＝80°，∠AOB＝60°，∴∠BCA＝错误!∠AOB＝30°,∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝80°－30°＝50°.【答案】C3。