2020绵阳二诊理科数学试题及答案

年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．的算术平方根是（）A．2 B．4 C．±2 D．±42．如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于（）A．112 B．136 C．124 D．843．光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500 000 000 000km，这个数据用科学记数法表示是（）A．0.95×1013km B．9.5×1012kmC．95×1011km D．9.5×1011km4．已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．（﹣3）5．下列不等式变形正确的是（）A．由a＜b，得a﹣2＞b﹣2 B．由a＜b，得3a＜3bC．由a＜b，得﹣2a＜﹣2b D．由a＜b，得|a|＜|b|6．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）A．10 B．9 C．8 D．77．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则另一个根为（）A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝38．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm9．无人机在A处测得正前方河流两岸B、C的俯角分别为α＝70°、β＝40°，此时无人机的高度是h，则河流的宽度BC为（）A．h（tan50°﹣tan20°）B．h（tan50°+tan20°）C．D．10．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③④11．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′，点B′恰好落在BC边土，B′C′和CD交于点P，则∠B′PD的度数是（）A．105°B．120°C．130°D．135°12．如图，每个图形都是由一些黑点按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有3个黑点，第②个图形中有14个黑点，第③个图形中有33个黑点，按此规律，则第⑦个图中黑点的个数是（）A．189 B．190 C．245 D．246二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．多项式x2﹣4x+m分解因式的结果是（x+3）（x﹣n），则＝．14．将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若∠1＝40°，则∠2＝．15．袋中装有一个红球和二个黄球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率是．16．在平面直角坐标系中，点A（2，3）绕原点O逆时针旋转90°的对应点的坐标为．17．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是BD上一点，∠AEF＝60°．DE＝1，BF＝，则菱形的边长为．18．如图，AB是半圆的直径，E是弦AC上一点，过点E作EF⊥EB，交AB于点F，过点A 作AD∥EF，交半圆于点D．若C是的中点，＝，则的值为．三．解答题（共7小题，满分86分）19．（16分）（1）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°+（π﹣2016）0﹣．（2）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x＝﹣2．20．（11分）某超市对今年“元旦”期间销售A、B、C三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：（1）该超市“元旦”期间共销售个绿色鸡蛋，A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是度；（2）补全条形统计图；（3）如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋的个数？21．（11分）某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在15天内完成．已知每件产品的售价为65元，工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：y＝（1）工人甲第几天生产的产品数量为80件？（2）设第x天（0≤x≤15）生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图，工人甲第x天创造的利润为W元．①求P与x的函数关系式；②求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？22．（11分）如图1，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y 轴，垂足为D．（1）求k的值；（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．23．（11分）如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求sin∠AED的值；（3）如果BD＝10，求半径CD的长．24．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）E是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．25．（14分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．2．【分析】由三视图可知该几何体是一个三棱柱，先根据勾股定理得到主视图三角形等边的长，再根据三棱柱的全面积＝2个底面积+3个侧面积，列式计算即可求解．【解答】解：如图：由勾股定理＝3，3×2＝6，6×4÷2×2+5×7×2+6×7＝24+70+42＝136．故选：B．【点评】考查了由三视图判断几何体，由三视图求几何体的表面积，关键是由三视图得到数据的对应量．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：9500 000 000 000km用科学记数法表示是9.5×1012km，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值4．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．【解答】解：∵点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，解得：a＝3，b＝﹣4，则（a+b）的值为：1．故选：C．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．5．【分析】根据不等式的3个性质找到变形正确的选项即可．【解答】解：A、由a＜b，得a﹣2＜b﹣2，错误；B、由a＜b，得3a＜3b，正确；C、由a＜b，得﹣2a＞﹣2b，错误；D、由a＜b，|a|与|b|不能确定大小，错误；故选：B．【点评】考查不等式性质的应用；用到的知识点为：不等式的两边加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；乘以或除以同一个不为0的正数，不等号的方向不变；乘以或除以同一个不为0的负数，不等号的方向改变．6．【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．【解答】解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．7．【分析】把x＝3代入可求得k的值，再解方程即可．【解答】∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，∴32﹣3k﹣6＝0，解得k＝1，∴x2﹣x﹣6＝0，解得x＝3或x＝﹣2，故选：A．【点评】本题主要考查方程根的定义，由方程根的定义求得k的值是解题的关键．8．【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，在Rt△OEB中，OE2+BE2＝OB2，即OE2+42＝（OE+2）2解得：OE＝3，∴OB＝3+2＝5，∴EC＝5+3＝8，在Rt△EBC中，BC＝，∵OF⊥BC，∴∠OFC＝∠CEB＝90°，∵∠C＝∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF＝，故选：D．【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．9．【分析】利用角的三角函数定义求出CD，BD，从而可得BC．【解答】解：过A作CB延长线的高，垂足为D，由题意可知∠ABD＝α，∠ACB＝β，AD＝h，∴BD＝h•tan20°，CD＝h•tan50°，∴BC＝CD﹣BD＝h（tan50°﹣tan20°）．故选：A．【点评】本题考查了解三角形的应用，关键是利用角的三角函数定义求出CD，BD．10．【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）对①进行判断；根据对称轴方程为x ＝﹣＝﹣1对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），由此对③进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方，得到c ＜0，而a+b+c＝0，则a﹣2b+c＝﹣3b，由b＞0，于是可对④进行判断．【解答】解：∵x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，所以①正确；∵x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，所以②错误；∵点（1，0）关于直线x＝﹣1对称的点的坐标为（﹣3，0），∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，所以③正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，而a+b+c＝0，b＝2a，∴c＝﹣3a，∴a﹣2b+c＝﹣3b，∵b＞0，∴﹣3b＜0，所以④错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．11．【分析】根据旋转的性质得出AB＝AB′，∠BAB′＝30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度数，然后根据三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），∴AB＝AB′，∠BAB′＝30°，∴∠B＝∠AB′B＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠AB′C′＝∠B＝75°，∠C＝180°﹣75°＝105°．∴∠PB′C＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠B′PD＝∠PB′C+∠C＝135°，故选：D．【点评】主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B＝∠AB′B＝75°是解题关键．12．【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑点的个数为3n+（2n﹣1）2﹣1，据此求解可得．【解答】解：∵第①个图形中黑点的个数3＝3×1+12﹣1，第②个图形中黑点的个数14＝3×2+32﹣1，第③个图形中黑点的个数33＝3×3+52﹣1，……∴第⑦个图形中黑点的个数为3×7+132﹣1＝189，故选：A．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中黑点的个数为3n+（2n﹣1）2﹣1．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．【分析】根据题意列出等式，利用多项式相等的条件求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：x2﹣4x+m＝（x+3）（x﹣n）＝x2+（3﹣n）x﹣3n，∴3﹣n＝﹣4，m＝﹣3n，解得：m＝﹣21，n＝7，则原式＝﹣3，故答案为：﹣3【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．【分析】直接利用三角形外角的性质结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠1＝40°，∠4＝45°，∴∠3＝∠1+∠4＝85°，∵矩形对边平行，∴∠2＝∠3＝85°．故答案为：85°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．15．【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次都摸到红球的概率是，故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．16．【分析】利用旋转的性质画出旋转前后的图形，然后写出A′点的坐标，则可判断点A′在平面直角坐标系中的位置．【解答】解：如图，线段OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标为（﹣3，2），点A′在第二象限．故答案为（﹣3，2）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．17．【分析】根据菱形性质得出AD＝AB，推出△ADB是等边三角形，推出AD＝AB＝BD，∠ADE＝∠ABE＝60°，设AD＝BD＝x，求出∠DAE＝∠FEB，证△ADE∽△EBF，推出＝，代入取出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴AD＝AB＝BD，∠ADE＝∠ABE＝60°，设AD＝BD＝x，∵∠AEF＝60°，∴∠DAE+∠DEA＝180°﹣60°＝120°，∠DEA+∠FEB＝180°﹣60°＝120°，∴∠DAE＝∠FEB，∵∠ADE＝∠EBF，∴△ADE∽△EBF，∴＝，∴＝，x＝3，故答案为3．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定，菱形的性质等知识点的综合运用，关键是推出△ADE∽△EBF．18．【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据，设AF＝a，AE＝4a，根据圆周角定理得：∠DAC＝∠BAC，由平行线的性质和等腰三角形三线合一的性质得：AG＝EG＝2a，由勾股定理得：FG＝a，证明△ADE∽△AGF，计算AD＝，可得结论．【解答】解：延长BE交AD于A'，∵AD∥EF，EF⊥BE，∴AA'⊥BA'，∴∠AA'B＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴D与A'重合，∵，∴设AF＝a，AE＝4a，过F作FG⊥AE于G，∵C是的中点，∴，∴∠DAC＝∠BAC，∵AD∥EF，∴∠BFE＝∠DAB＝2∠BAC＝∠BAC+∠AEF，∴∠BAC＝∠AEF，∴AF＝EF，∴AG＝EG＝2a，由勾股定理得：FG＝a，∵∠DAE＝∠GAF，∠ADE＝∠AGF＝90°，∴△ADE∽△AGF，∴，∴＝，AD＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了圆周角定理、平行线的性质，也考查了相似三角形的判定与性质，延长BE，证得D、E、B共线是关键．三．解答题（共7小题，满分86分）19．【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：（1）原式＝3+﹣1﹣2×+1﹣2＝3+﹣1﹣+1﹣2＝1；（2）原式＝（﹣）÷＝•＝•＝，当x＝﹣2时，原式＝＝＝2﹣1．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握实数与分式的混合运算顺序和运算法则．20．【分析】（1）用C品牌的数量除以所占的百分比，计算机求出鸡蛋的总量，再用A品牌的百分比乘以360°计算即可求出圆心角的度数；（2）求出B品牌鸡蛋的数量，然后条形补全统计图即可；（3）用B品牌所占的百分比乘以1500，计算即可得解．【解答】解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200÷50%＝2400个，A品牌所占的圆心角：×360°＝60°；故答案为：2400，60；（2）B品牌鸡蛋的数量为：2400﹣400﹣1200＝800个，补全统计图如图；（3）分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋为：×1500＝500个．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．【分析】（1）根据y＝80求得x即可；（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．【解答】解：（1）根据题意，得：∵若8x＝80，得：x＝10＞5，不符合题意；若5x+10＝80，解得：x＝14．答：工人甲第14天生产的产品数量为80件；（2）①由图象知：当0≤x≤5时，P＝40；当5＜x≤15时，设P＝kx+b，将（5，40），（15，50）代入得：，∴，∴P＝x+35，综上，P与x的函数关系式为：P＝；②当0≤x≤5时，W＝（65﹣40）×8x＝200x，当5＜x≤15时，W＝（65﹣x﹣35）（5x+10）＝﹣5x2+140x+300，综上，W与x的函数关系式为：W＝；当0≤x≤5时，W＝200x，∵200＞0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝5时，W最大为1000元；当5＜x≤15时，W＝﹣5（x﹣14）2+1280，当x＝14时，W最大值为1280元，综上，第14天时，利润最大，最大利润为1280元．【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，记住利润＝售价﹣成本，学会利用函数的性质解决最值问题．22．【分析】（1）由点A在反比例函数图象上，用待定系数法确定反比例函数的解析式；（2）由反比例函数解析式先求出点B的坐标，过B作BE⊥AD于E，可得到AE、BE间的长度关系，从而得到∠BAE的度数，再根据∠BAC的度数求出∠DAC，从而得到tan∠DAC 的值，根据tan∠DAC的值及线段的和差关系，求得点C的坐标，从而确定一次函数AC 的解析式；（3）设M的横坐标为m，可知道M、N点的坐标，利用三角形的面积公式得到关于m的二次函数，利用二次函数的性质，得到△MNC的最大面积．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1）∴＝1，∴k＝2；（2）∵k＝2，所以反比例函数解析式为y＝∵点B（1，a）在反比例函数y＝的图象上，∴a＝＝2，∴点B（1，2）过B作BE⊥AD于E，则AE＝BE＝2﹣1．∴∠ABE＝∠BAE＝45°又∵∠BAC＝75°，∴∠DAC＝30°∴tan∠DAC＝tan30°＝∴DC＝AD＝＝2，∴OC＝2﹣1＝1，∴C（0，﹣1）设直线AC的解析式为y＝kx+b∴，解得∴直线AC的解析式为y＝x﹣1（3）设M（m，）（0＜m＜2），则N（m， m﹣1）则MN＝﹣（m﹣1）＝﹣m+1∴S△CMN＝（﹣m+1）•m＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+当m＝时，△CMN的面积有最大值，最大值为【点评】本题考查了待定系数法确定反比例函数、一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二次函数的最大值等知识点．综合性比较强．掌握待定系数法及二次函数最大值的求法是关键．做BE⊥AD得到等腰三角形难点．23．【分析】（1）由AD是△ABC的角平分线，∠B＝∠CAE，易证得∠ADE＝∠DAE，即可得ED＝EA，又由ED是直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得EF⊥AD，由三线合一的知识，即可判定点F是AD的中点；（2）首先连接DM，设EF＝4k，DF＝3k，然后由勾股定理求得ED的长，继而求得DM与ME的长，由正弦函数的定义，即可求得答案；（3）易证得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得方程：（5k）2＝k •（10+5k），解此方程即可求得答案．【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2，∵∠ADE＝∠1+∠B，∠DAE＝∠2+∠3，且∠B＝∠3，∴∠ADE＝∠DAE，∴ED＝EA，∵ED为⊙C直径，∴∠DFE＝90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点；（2）解：连接DM，设EF＝4k，DF＝3k，则ED＝＝5k，∵AD•EF＝AE•DM，∴DM＝＝k，∴ME＝＝k，∴sin∠AED＝＝；（3）解：∵∠B＝∠3，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AE：BE＝CE：AE，∴AE2＝CE•BE，∴（5k）2＝k•（10+5k），整理得：25k2＝50k，∵k＞0，∴k＝2，∴CD＝k＝5．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．24．【分析】（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）讨论：当以AB为对角线，利用EA＝EB和四边形AFBE为平行四边形得到四边形AFBE 为菱形，则点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，所以F点坐标为（﹣1，﹣4）；当以AB为边时，根据平行四边形的性质得到EF＝AB＝4，则可确定F的横坐标，然后代入抛物线解析式得到F点的纵坐标．【解答】解：（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c中，得：，解得：．故抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，把点B（3，0）代入y＝kx+3中，得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．∵MN∥y轴，∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为x＝2，∴点（1，0）在抛物线的图象上，∴1＜m＜3．∵线段MN＝﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，线段MN取最大值，最大值为．（3）存在．点F的坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．当以AB为对角线，如图1，∵四边形AFBE为平行四边形，EA＝EB，∴四边形AFBE为菱形，∴点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，∴F点坐标为（2，﹣1）；当以AB为边时，如图2，∵四边形AFBE为平行四边形，∴EF＝AB＝2，即F2E＝2，F1E＝2，∴F1的横坐标为0，F2的横坐标为4，对于y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝16﹣16+3＝3，∴F点坐标为（0，3）或（4，3）．综上所述，F点坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）注意分类思想的运用．25．【分析】（1）由比例中项知＝，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠AEM＝∠DCE可得答案；（2）先证∠ANE＝∠EAC，结合∠ANE＝∠DCE得∠DCE＝∠EAC，从而知＝，据此求得AE＝8﹣＝，由（1）得∠AEM＝∠DCE，据此知＝，求得AM＝，由＝求得MN＝；（3）分∠ENM＝∠EAC和∠ENM＝∠ECA两种情况分别求解可得．【解答】解：（1）∵AE是AM和AN的比例中项∴＝，∵∠A＝∠A，∴△AME∽△AEN，∴∠AEM＝∠ANE，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∵EM⊥BC，∴∠AEM+∠DEC＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∴∠ANE＝∠DCE；（2）∵AC与NE互相垂直，∴∠EAC+∠AEN＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ANE+∠AEN＝90°，∴∠ANE＝∠EAC，由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠DCE＝∠EAC，∴tan∠DCE＝tan∠DAC，∴＝，∵DC＝AB＝6，AD＝8，∴DE＝，∴AE＝8﹣＝，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴tan∠AEM＝tan∠DCE，∴＝，∴AM＝，∵＝，∴AN＝，∴MN＝；（3）∵∠NME＝∠MAE+∠AEM，∠AEC＝∠D+∠DCE，又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴∠AEC＝∠NME，当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时①∠ENM＝∠EAC，如图2，∴∠ANE＝∠EAC，由（2）得：DE＝；②∠ENM＝∠ECA，如图3，过点E作EH⊥AC，垂足为点H，由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠ECA＝∠DCE，∴HE＝DE，又tan∠HAE＝＝＝，设DE＝3x，则HE＝3x，AH＝4x，AE＝5x，又AE+DE＝AD，∴5x+3x＝8，解得x＝1，∴DE＝3x＝3，综上所述，DE的长分别为或3．【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点．。

四川省绵阳市中考数学二诊试卷一、选择题（每小题3分,共36分,每小题只有一项是符合题目要求的）1．﹣6的绝对值是（）A．﹣6 B．﹣ C．D．62．在过去的2015年北上广深等一线城市楼市火爆,其中仅北京的新房总成交额就达到2500亿元,若用科学记数法表示该数据应是（）A．2.5×1011元 B．25×1010元C．2.5×1012元 D．0.25×1011元3．下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．“双十一”购物节后,小明对班上同学中的12位进行抽样调查并用数字1﹣12对每位被调查者进行编号,统计每位同学在购物节中的消费金额,结果如表所示：编号123456789101112消费金额（元）300200400500400300600300400800300300根据上表统计结果,被调查的同学在“双十一”购物节中消费金额的平均数和众数分别为（）A．400,300 B．300,400 C．400,400 D．300,3005．如图是某几何体的三视图,则该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥6．如图,在⊙O中,直径AB⊥弦CD于点H,E是⊙O上的点,若∠BEC=25°,则∠BAD 的度数为（）A．65°B．50°C．25°D．12.5°7．如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,标杆BE高1.5m,测得AB=2cm,BC=14m,则楼高CD为（）m．A．10.5 B．12 C．13 D．158．下面关于四边形的说法中,错误的是（）A．菱形的四条边都相等B．一组邻边垂直的平行四边形是矩形C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D．矩形是特殊的平行四边形,正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形9．如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点E、F分别在边AB,CD上,且∠FEA=60°,连接EF,将∠BEF对折,点B落在直线EF上的点B′处,得折痕EM；将∠AEF对折,点A落在直线EF上的点A′处,得折痕EN,当M,N分别在边BC,AD上时．若令△A′B′M的面积为y,AE的长度为x,则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣x2+6x﹣8B．y=﹣2x2﹣12x+16C．y=2x2+12x﹣16D．y=﹣x2+2x﹣10．已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1,x2）,若x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根,则下列四种说法中错误的是（）A．必有b≠0B．必有m2﹣b2=8C．线段OA的长度必定大于2D．除A点外y=与y=x+b图象必定还有一个交点,且两交点位于同一象限11．如图△ABC中,tan∠C=,DE⊥AC,若CE=5,DE=1,且△BEC的面积是△ADE面积的10倍,则BE的长度是（）A．B．C．D．12．如图,⊙O是以原点为圆心,半径为2的圆,点A（6,2）,点P是⊙O上一动点,以线段PA为斜边构造直角△PAM,且cos∠MPA=,现已知当点P在⊙O上运动时,保持∠MPA的大小不变,点M随着点P运动而运动且运动路径也形成一个圆,则该圆的半径是（）A．B．C．D．1二、填空题（本大题共6个小题,每小题3分,共18分,将答案填写在答题卡相应的横线上）13．化简：（2a2）3=．14．如图,m∥n,点A在直线m上,B、C两点在直线n上,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,则∠1=．15．如图,已知点A、B、C、D、E、F是边长为1的正六边形的顶点,连接任意两点均可得到一条线段,在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取得长度为的线段的概率为．16．如图,在直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,分别以AB、AC为直径作圆,则图中阴影部分的面积是．17．若规定f（x）是正整数x所唯一对应的实数,且对于任意的正整数a、b都有f（a+b）=f（a）•f（b）,如f（5）=f（3+2）=f（3）•f（2）,现已知f（1）=．给出下列结论：①f（2）=2．②若a＞b,则必有f（a）＞f（b）．③当a＞b时,存在符合条件的a、b,使得2f（a）=f（a﹣b）+f（a+b）成立．④当a＞b时,必有f（2a）=f（a﹣b）•f（a+b）成立．其中正确的结论是（写出你认为正确的所有结论的序号）．18．在平面直角坐标系xOy中,点P在由直线y=x+2,直线y=﹣x+2和直线y=4所围成的区域内或其边界上,点M在x轴上,若点N的坐标为（5,1）,当MN+MP最小时,点P坐标是．三、解答题（本大题共7个小题,共86分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算+|（）0﹣2sin45°|+2﹣1（2）解方程：﹣2=．20．光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”,为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查,每名学生都选了一项．根据收集到的数据,绘制成如下统计图（不完整）：根据统计图表中的信息,解答下列问题：（1）在本次随机调查中,女生最喜欢“踢毽子”项目的有人,男生最喜欢“乒乓球”项目的有人；（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有男生400人,女生450人,请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．21．如图,D、E是以AB为直径的⊙O上两点,且∠AED=45°．（1）过点D作DC∥AB,求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为3,sin∠ADE=,求AE的长．22．如图,O为坐标原点,点C在x轴的正半轴上,四边形OABC是平行四边形,∠AOC=45°,OA=2,反比例函数y=在第一现象内的图象经过点A,与BC交于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D的纵坐标为,求直线AD的解析式．23．一工厂共有6条生产线生产某种机器设备,每条生产线每月可生产500台,该厂计划从今年1月开始对6条生产线各进行一次改造升级,每月改造升级1条生产线,这条生产线当月停产,并于次月再投入生产,每条生产线改造升级后,每月产量将比原来提高20%．已知每条生产线改造升级的费用为30万元,将今年1月份作为第1个月开始往后算,该厂第x（x是正整数）个月的产量设为y台．（1）求该厂第3个月的产量；（2）请求出y关于x的函数解析式；（3）如果每生产一台机器可盈利400元,至少要到第几个月,这期间该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额将超过同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额？24．在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E为AC上点,且CE=CB,F为BE上点,M为BC上点,且MF⊥BE,并与OB相交于点N．（1）求证：△BOE∽△MFB；（2）若BD=AC,BF=a,求MN的长．（结果用a表示）25．如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（﹣6,0）、B（0,8）．已知点C（4,m）在抛物线上,过点C作CD⊥y轴,垂足为D,AC与y轴交于点E．（1）请给出抛物线解析式；（2）若令∠BAO=α,请求tan的值；（注：要求运用课本所学知识结合题中几何关系进行推导求值）．（3）如图2,点P为线段CD上一动点（不与C、D重合）,延长PE与x轴交于点M,点N′为AB上点,且∠PMN=∠BAO,若点P横坐标记为x,AN长度记为y,请求出y 关于x的函数解析式,并求出AN长度取值范围．四川省绵阳市中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分,共36分,每小题只有一项是符合题目要求的）1．﹣6的绝对值是（）A．﹣6 B．﹣ C．D．6【考点】绝对值．【分析】根据绝对值的定义求解．【解答】解：|﹣6|=6．故选D．2．在过去的2015年北上广深等一线城市楼市火爆,其中仅北京的新房总成交额就达到2500亿元,若用科学记数法表示该数据应是（）A．2.5×1011元 B．25×1010元C．2.5×1012元 D．0.25×1011元【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n为整数．确定n的值是易错点,由于2500亿有12位,所以可以确定n=12﹣1=11．【解答】解：2500亿=2.5×1011．故选A．3．下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误；B、是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项正确；C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误；D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误；故选：B．4．“双十一”购物节后,小明对班上同学中的12位进行抽样调查并用数字1﹣12对每位被调查者进行编号,统计每位同学在购物节中的消费金额,结果如表所示：编号123456789101112消费金额（元）300200400500400300600300400800300300根据上表统计结果,被调查的同学在“双十一”购物节中消费金额的平均数和众数分别为（）A．400,300 B．300,400 C．400,400 D．300,300【考点】众数；算术平均数．【分析】根据众数的定义找出出现次数最多的数,再根据平均数的计算公式求出平均数即可．【解答】解：∵300出现了5次,出现的次数最多,∴众数是300；这组数据的平均数是：÷12=400；故选：A．5．如图是某几何体的三视图,则该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥【考点】由三视图判断几何体．【分析】根据一个空间几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形,可判断该几何体是柱体,进而根据俯视图的形状,可判断柱体侧面形状,得到答案．【解答】解：由几何体的正视图和左视图都是宽度相等的长方形,故该几何体是一个柱体,又∵俯视图是一个圆,∴该几何体是一个圆柱．故选：B．6．如图,在⊙O中,直径AB⊥弦CD于点H,E是⊙O上的点,若∠BEC=25°,则∠BAD 的度数为（）A．65°B．50°C．25°D．12.5°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】连接AC,根据直径AB⊥弦CD于点H,利用垂径定理得到,从而利用等弧所对的圆周角相等得到∠CAB=∠DAB,利用圆周角定理得到∠BAD=∠BAC=25°．【解答】解：连接AC,∵直径AB⊥弦CD于点H,∴∠CAB=∠DAB∵∠BAC=∠BEC=25°,∴∠BAD=∠BAC=25°．故选C．7．如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,标杆BE高1.5m,测得AB=2cm,BC=14m,则楼高CD为（）m．A．10.5 B．12 C．13 D．15【考点】相似三角形的应用．【分析】先根据题意得出△ABE∽△ACD,再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．【解答】解：∵EB⊥AC,DC⊥AC,∴EB∥DC,∴△ABE∽△ACD,∴=,∵BE=1.5,AB=2,BC=14,∴AC=16,∴=,故选B．8．下面关于四边形的说法中,错误的是（）A．菱形的四条边都相等B．一组邻边垂直的平行四边形是矩形C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形D．矩形是特殊的平行四边形,正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定．【分析】根据菱形的性质判断A；根据矩形的判定判断B；根据正方形的判定判断C；根据矩形与正方形的性质判断D．【解答】解：A、菱形的四条边都相等,正确．B、一组邻边垂直的平行四边形是矩形,正确．C、对角线相等且互相垂直的四边形可能是等腰梯形,可能是正方形,错误．D、矩形是特殊的平行四边形,正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形,正确．故选C．9．如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点E、F分别在边AB,CD上,且∠FEA=60°,连接EF,将∠BEF对折,点B落在直线EF上的点B′处,得折痕EM；将∠AEF对折,点A落在直线EF上的点A′处,得折痕EN,当M,N分别在边BC,AD上时．若令△A′B′M的面积为y,AE的长度为x,则y关于x的函数解析式是（）A．y=﹣x2+6x﹣8B．y=﹣2x2﹣12x+16C．y=2x2+12x﹣16D．y=﹣x2+2x﹣【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】由折叠性质可得AE=A′E=x、∠BEM=∠B′EM=60°、∠B=∠EB′M=90°、BE=B′E=4﹣x,继而可得BM=BM′=BEtan∠BEM=（4﹣x）、A′B′=A′E﹣B′E=2x﹣4,根据三角形面积公式即可得．【解答】解：∵∠AEF=60°,∴∠BEF=120°,由题意知,∠BEM=∠B′EM=60°,∠B=∠EB′M=90°,BE=B′E=4﹣x,∴BM=BM′=BEtan∠BEM=（4﹣x）,又∵AE=A′E=x,∴A′B′=A′E﹣B′E=x﹣（4﹣x）=2x﹣4,=×A′B′×B′M,∵S△A′B′M∴y=（2x﹣4）[（4﹣x）]=﹣x2+6x﹣8,故选：A．10．已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1,x2）,若x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根,则下列四种说法中错误的是（）A．必有b≠0B．必有m2﹣b2=8C．线段OA的长度必定大于2D．除A点外y=与y=x+b图象必定还有一个交点,且两交点位于同一象限【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】根据x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根即可判断A；根据一次函数图象上点的坐标特征和根与系数的关系即可求得m2﹣b2=8,即可判断B；根据勾股定理和m2﹣b2=8得出OA=,即可判断C；根据根与系数的关系求得k,判定反比例函数的位置,然后根据直线所处的位置即可判断D．【解答】解：A、∴反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1,x2）,∴x2=x1+b,∴b=x2﹣x1,∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根,∴b=x2﹣x1≠0,故正确；B、∵x2=x1+b,∴x2﹣x1=b,∴（x1+x2）2﹣4x1x2=b2,∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根,∴x1x2=2,x1+x2=﹣m,∴m2﹣4×2=b2,∴m2﹣b2=8,故正确；C、∵点A（x1,x2）,∴OA===,∵m2﹣b2=8,∴m2=,m2﹣b2=8∴OA=,∵b≠0,∴b2+4＞4,∴OA=＞2,故正确；D、∵反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象相交于点A（x1,x2）,∴x1x2=k,∵x1、x2是关于x的方程x2+mx+2=0的不相等的两实数根,∴x1x2=2,∴k=2,∴反比例函数在一三象限,∵一次函数y=x+b的图象一定经过一、三象限,∴y=与y=x+b图象的交点分别在第一、第三象限,故错误；故选D．11．如图△ABC中,tan∠C=,DE⊥AC,若CE=5,DE=1,且△BEC的面积是△ADE面积的10倍,则BE的长度是（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】作辅助线BF⊥AC,根据题目中的数据利用三角形相似和勾股定理可以分别求得BF、EF、BE的长度,本题得以解决．【解答】解：作BF⊥AC于点F,如右图所示,∵CE=5,DE=1,且△BEC的面积是△ADE面积的10倍,DE⊥AC,∴,即,解得,BF=2AE,设AE=a,则BF=2a,∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴△ADE∽△ABF,∴,即,得AF=2a2,∴EF=2a2﹣a,∵tan∠C=,tanC=,BF=2a,解得,CF=4a,∵CE=CF+EF,CE=5,即5=4a+2a2﹣a,解得,a=1或a=﹣2.5（舍去）,∴BF=2,EF=1,∴BE=,故选C．12．如图,⊙O是以原点为圆心,半径为2的圆,点A（6,2）,点P是⊙O上一动点,以线段PA为斜边构造直角△PAM,且cos∠MPA=,现已知当点P在⊙O上运动时,保持∠MPA的大小不变,点M随着点P运动而运动且运动路径也形成一个圆,则该圆的半径是（）A．B．C．D．1【考点】圆的综合题．【分析】如图,作直线AO交⊙O于P1,P2,点P在⊙O上运动,所以PA的最小值就是AP1的长,PA的最大值就是PA2的长,求出相应的AM的最小值、最大值即可解决问题．【解答】解：如图,作直线AO交⊙O于P1,P2．∵点P在⊙O上运动,∴PA的最小值就是AP1的长,PA的最大值就是PA2的长,∵∠AP1M1=∠AP2M2,∴P1M1∥P2M2,∵∠AM1P1=∠AM2P2=90°,∴A、M1、M2共线,∵OA==2,∴AP1=2﹣2,AP2=2+2,∵cos∠AP1M1=,∴sin∠AP1M1=,∴AM1=PA1•=（2﹣2）,AM2=（2+2）,∴M1M2=,由图象可知M1M2就是点M随着点P运动而运动且运动路径形成的圆的直径,∴该圆的半径是．故答案为C．二、填空题（本大题共6个小题,每小题3分,共18分,将答案填写在答题卡相应的横线上）13．化简：（2a2）3=8a6．【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据幂的乘方与积的乘方计算即可．【解答】解：（2a2）3=23•a2×3=8a6．14．如图,m∥n,点A在直线m上,B、C两点在直线n上,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,则∠1=45°．【考点】平行线的性质．【分析】先根据△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°求出∠B的度数,再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴∠B=45°．∵m∥n,∴∠1=∠B=45°．故答案为：45°．15．如图,已知点A、B、C、D、E、F是边长为1的正六边形的顶点,连接任意两点均可得到一条线段,在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取得长度为的线段的概率为．【考点】几何概率．【分析】利用正六边形的性质以及勾股定理得出AE的长,进而利用概率公式求出即可．【解答】解：连接AF,EF,AE,过点F作FN⊥AE于点N,∵点A,B,C,D,E,F是边长为1的正六边形的顶点,∴AF=EF=1,∠AFE=120°,∴∠FAE=30°,∴AN=,∴AE=,同理可得：AC=,故从任意一点,连接两点所得的所有线段一共有15种,任取一条线段,取到长度为的线段有6种情况,则在连接两点所得的所有线段中任取一条线段,取到长度为的线段的概率为：．故答案为：．16．如图,在直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,分别以AB、AC为直径作圆,则图中阴影部分的面积是π﹣6．【考点】勾股定理．【分析】观察图形发现：阴影部分的面积=两个半圆的面积﹣直角三角形的面积,根据半圆面积公式和直角三角形面积公式求面积即可．【解答】解：π×（3÷2）2+π×（4÷2）2﹣4×3÷2=π+2π﹣6=π﹣6．故图中阴影部分的面积是π﹣6．故答案为：π﹣6．17．若规定f（x）是正整数x所唯一对应的实数,且对于任意的正整数a、b都有f（a+b）=f（a）•f（b）,如f（5）=f（3+2）=f（3）•f（2）,现已知f（1）=．给出下列结论：①f（2）=2．②若a＞b,则必有f（a）＞f（b）．③当a＞b时,存在符合条件的a、b,使得2f（a）=f（a﹣b）+f（a+b）成立．④当a＞b时,必有f（2a）=f（a﹣b）•f（a+b）成立．其中正确的结论是①②④（写出你认为正确的所有结论的序号）．【考点】实数的运算．【分析】①把2根据规定运算写成1+1代入即可得出结论正确；②由于a＞b,设a=b+n（n为整数）代入规定化简即可得出结论正确；③根据规定f（a﹣b）+f（a+b）=0,再判断出f（a）≥,即可得出结论不正确；④将f（a﹣b）•f（a+b）根据规定化简得出右边,即可判断出结论正确．【解答】解：①f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）==2,∴①正确；②设a=b+n,n为正整数,∴f（a）=f（b）+f（n）=f（b）+nf（1）=f（b）+n＞f（b）,∴②正确；③∵f（a﹣b）+f（a+b）=﹣f（a）•f（b）+f（a）•f（b）=0,由②知f（a）≥f（1）,∵f（1）=,∴f（a）≥≠0,∴③不正确；④∵f（a﹣b）•f（a+b）=f（a﹣b+a+b）=f（2a）,∴④正确；∴正确的有①②④故答案为①②④．18．在平面直角坐标系xOy中,点P在由直线y=x+2,直线y=﹣x+2和直线y=4所围成的区域内或其边界上,点M在x轴上,若点N的坐标为（5,1）,当MN+MP最小时,点P坐标是（1,3）．【考点】轴对称﹣最短路线问题．【分析】如图,作直线y=x+2关于x轴的对称的直线y=﹣x﹣2,过点N作直线y=﹣x﹣2的垂线垂足为E,交x轴于M,则点E坐标（1,﹣3）,点E关于x轴的对称点P 坐标（1,3）,可以证明点P就是所求的点．【解答】解：如图,作直线y=x+2关于x轴的对称的直线y=﹣x﹣2,过点N作直线y=﹣x﹣2的垂线垂足为E,交x轴于M,则点E坐标（1,﹣3）,点E关于x轴的对称点P坐标（1,3）,此时MN+MP最短,理由：∵MN+MP=MN+ME=NE,∴MN+MP最短（垂线段最短）．故点P坐标为（1,3）,故答案为（1,3）．三、解答题（本大题共7个小题,共86分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算+|（）0﹣2sin45°|+2﹣1（2）解方程：﹣2=．【考点】实数的运算；解分式方程；特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用二次根式性质,绝对值的代数意义,零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）分式去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式=2+﹣1+=3﹣；（2）去分母得：x2+2x﹣2x2﹣2x+4=2,即x2=2,解得：x=±,经检验x=±都为分式方程的解．20．光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”,为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查,每名学生都选了一项．根据收集到的数据,绘制成如下统计图（不完整）：根据统计图表中的信息,解答下列问题：（1）在本次随机调查中,女生最喜欢“踢毽子”项目的有10人,男生最喜欢“乒乓球”项目的有20人；（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有男生400人,女生450人,请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）总数减去喜欢跳绳、乒乓球、羽毛球、其他的人数,即可得出喜欢“踢毽子”项目的人数,先求出男生喜欢乒乓球的人数所占的百分比,继而可得出男生最喜欢“乒乓球”项目的人数；（2）由（1）的答案可补全统计图；（3）根据男生、女生喜欢乒乓球人数所占的百分比,即可得出计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．【解答】解：（1）女生最喜欢“踢毽子”项目的有：50﹣15﹣9﹣9﹣7=10人,男生最喜欢“乒乓球”项目的有：50×（1﹣8%﹣10%﹣14%﹣28%）=20人；（2）补充条形统计图如右图：．（3）400×28%+450×=193,答：该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数为193人．21．如图,D、E是以AB为直径的⊙O上两点,且∠AED=45°．（1）过点D作DC∥AB,求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为3,sin∠ADE=,求AE的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OD,则∠AOD=90°,由四边形ABCD是平行四边形,则AB∥DC．从而得出∠CDO=90°,即可证出答案．（2）连接BE,则∠ADE=∠ABE根据题意得sin∠ABE=,由AB是圆O的直径求出AB的长．再在Rt△ABE中,求得AE即可．【解答】（1）证明：连接OD,则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠CDO=∠AOD=90°,∴OD⊥CD,∴CD与圆O相切；（2）连接BE,则∠ADE=∠ABE,∴sin∠ADE=sin∠ABE=,∵AB是圆O的直径,∴∠AEB=90°,AB=2×3=6,在Rt△ABE中,sin∠ABE==,∴AE=5．22．如图,O为坐标原点,点C在x轴的正半轴上,四边形OABC是平行四边形,∠AOC=45°,OA=2,反比例函数y=在第一现象内的图象经过点A,与BC交于点D．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D的纵坐标为,求直线AD的解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质．【分析】（1）作AH⊥x轴于点H,根据等腰三角形性质及三角函数可求得点A的坐标,从而可得反比例函数解析式；（2）由反比例函数解析式及点D的纵坐标可得D的坐标,结合点A的坐标,待定系数法可求得直线AD解析式．【解答】解：（1）如图,作AH⊥x轴于点H,∵OA=2,∠AOH=45°,∴OH=AH=OAsin∠AOH=2×=,即A（,）,又∵点A（,）在y=图象上,∴m=×=2,∴反比例函数解析式是y=；（2）∵点D的纵坐标为,且点D在双曲线y=上,∴其横坐标为2,即D（2,）,设直线AD解析式为：y=kx+b,将点A（,）、D（,2）代入得：,解得：,∴直线AD的解析式为y=﹣x+．23．一工厂共有6条生产线生产某种机器设备,每条生产线每月可生产500台,该厂计划从今年1月开始对6条生产线各进行一次改造升级,每月改造升级1条生产线,这条生产线当月停产,并于次月再投入生产,每条生产线改造升级后,每月产量将比原来提高20%．已知每条生产线改造升级的费用为30万元,将今年1月份作为第1个月开始往后算,该厂第x（x是正整数）个月的产量设为y台．（1）求该厂第3个月的产量；（2）请求出y关于x的函数解析式；（3）如果每生产一台机器可盈利400元,至少要到第几个月,这期间该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额将超过同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额？【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）根据：第3个月的产量=前2条生产线改造后的产量和+后3条生产线未改造的产量和,列式计算可得；（2）当1≤x≤6时,根据（1）中相等关系可列函数关系式；当x＞6时,总产量=改造后每条生产线的产量×生产线数量；（3）根据前6个月的总盈利=一台机器的盈利×前6个月的生产量﹣改造升级的总费用,计算出前6个月的总盈利,再计算出不升级改造的总盈利可得x＞6,继而根据：该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额≥同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额,列出不等式即可得x的范围．【解答】解：（1）由已知可得,第3个月的产量是：2×500×（1+20%）+500×3=2700（台）,答：该厂第3个月的产量是2700台．（2）①当1≤x≤6时,每月均有一条生产线在停产改造,即均是有5条生产线在生产,其中,升级后的生产线有x﹣1条,未升级的生产线有6﹣x条,根据题意,得：y=（x﹣1）×500×（1+20%）+（6﹣x）×500=100x+2400；②当x＞6时,y=500×（1+20%）×6=3600台；综上,y=．（3）由（2）得,当1≤x≤6时,y=100x+2400,则前6个月的总产量Q=100×（1+2+3+4+5+6）+2400=16800（台）,∴前6个月的盈利扣除改造升级的成本应是：16800×0.04﹣30×6=480（万元）,如果不升级改造,前6个月盈利应是：500×6×6×0.04=720（万元）,故前6个月不符合题目要求,从而得x＞6,则有：480+（x﹣6）×3600×0.04≥500×6x×0.04,解得：x≥16,答：至少要到第16个月,这期间该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额将超过同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额．24．在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E为AC上点,且CE=CB,F为BE上点,M 为BC上点,且MF⊥BE,并与OB相交于点N．（1）求证：△BOE∽△MFB；（2）若BD=AC,BF=a,求MN的长．（结果用a表示）【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．【分析】（1）由菱形性质得AC⊥BD,由已知得出∠CEB=∠CBE,由MF⊥BE,得出∠BOE=∠BFM,即可得出结论；（2）作MP∥AC于BE交于点P,与OB交于点Q,由△BOE∽△MFB,得出∠EBO=∠FMB,证出tan∠OCB==,由平行线的性质得出∠MPB=∠CEB=∠CBE,∠MQN=90°,=,证出△MBP为等腰三角形,由等腰三角形的三线合一性质得出BF=FP,∠PMF=∠BMF=∠PBQ,证得△PBQ∽△NMQ,由对应边成比例得出比例式即可求出结果．【解答】（1）证明：∵AC、BD是菱形ABCD的对角线,∴AC⊥BD,∴∠BOE=90°,∵CE=CB,∴∠CEB=∠CBE,∵MF⊥BE,∴∠BFM=90°,∴∠BOE=∠BFM,∴△BOE∽△MFB；（2）解：作MP∥AC与BE交于点P,与OB交于点Q,如图所示：由△BOE∽△MFB,∴∠EBO=∠FMB,∵BD=AC,∴OB=OC,∴tan∠OCB==,∵MP∥AC,∴∠MPB=∠CEB=∠CBE,∠MQN=90°,=,∴△MBP为等腰三角形,∵MF⊥BE,∴BF=FP,∠PMF=∠BMF=∠PBQ,∵∠MQN=∠BQP=90°,∴△PBQ∽△NMQ,∴===,∴MN=BP=×2BF=3BF=3a．25．如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（﹣6,0）、B（0,8）．已知点C（4,m）在抛物线上,过点C作CD⊥y轴,垂足为D,AC与y轴交于点E．（1）请给出抛物线解析式；（2）若令∠BAO=α,请求tan的值；（注：要求运用课本所学知识结合题中几何关系进行推导求值）．（3）如图2,点P为线段CD上一动点（不与C、D重合）,延长PE与x轴交于点M,点N′为AB上点,且∠PMN=∠BAO,若点P横坐标记为x,AN长度记为y,请求出y 关于x的函数解析式,并求出AN长度取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据抛物线y=﹣x2+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（﹣6,0）、B （0,8）,可以求得b、c的值,从而可以得到函数的解析式；（2）由∠BAO=α,要求tan的值,只要从图中可以找到等于的角即可,过点C 作CH⊥x轴于点H,只要证明∠BAC=∠HAC即可,根据题目中的信息,可以证明这两个角相等,从而可以求得tan的值；（3）要想求y与x之间的函数关系式,只要作出合适的辅助线,用题目中的数量关系可以表示出y与x之间函数关系．进而可以确定y的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c分别与x轴、y轴交于点A（﹣6,0）、B（0,8）,∴,解得,,即抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+8；（2）如图1所示,过点C作CH⊥x轴于点H,∵点C（4,m）在抛物线上,∴,得m=5,∴点C（4,5）,又∵点A（﹣6,0）,点B（0,8）,∴AB=,BC=,∵CH=5,AH=AO+OH=6+4=10,AC=AC,∴AB=AH,BC=HC,∴△ABC≌△AHC,∴∠BAC=∠HAC,∵∠BAO=∠BAC+∠HAC,∴∠HAC=,∴tan；（3）如图2,作MQ⊥AB于点Q,∵∠NMO=∠PMN+∠PMO=∠BAO+∠ANM,又∵∠PMN=∠BAO,∴∠PMO=∠ANM,∵CH∥EO,在图1中,,∴OE=,∵BD=8﹣5=3,∴OE=OB﹣BD﹣OE=8﹣3﹣3=2,∵点P横坐标为x,即PD=x,∴tan∠EMO=tan∠DPE=,∴,即,得OM=,∴AM=OA﹣OM=6﹣,在Rt△QAM中,sin∠QAM=,cos∠QAM=,∴QM=AM•sin∠QAM=（6﹣）,AQ=AM•cos∠QAM=,∵在Rt△QNM中,,即QN=QM,∴AN=AQ+QN=,化简,得=,∴当x=时,y取得最大值,∵y＞0,∴AN的取值范围是：0．2017年3月12日。

绵阳南山中学高2023届高三“二诊”热身考试数学（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M Z =，{}220N x x x =--<，则MN =（ ）A ．{}1,2B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,2- 2．已知i 是虚数单位，复数()22i +的共轭复数虚部为（ ） A ．4i B ．-4 C ．3 D ．43．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） A ．100 B ．150 C ．200 D ．2504．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的2a =，则输入的,a b 可能是（ ） A ．15,18 B ．14,18 C ．12,18 D ．9,185．已知0b >，直线()2120b x ay +++=与直线210x b y --=互相垂直，则ab 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．22．236．在ABC ∆中，,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是（ ）A ．0B ．2-．2D ．-1 7．某学校需要把6名实习老师安排到,,A B C 三个班级去听课，每个班级安排2名老师，已知甲不能安排到A 班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（ ） A ． 24 B ．36 C ．48 D ．72 8．以下四个命题中：①某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布()2100,N σ，已知()801000.40P ξ<≤=，若按成绩分层抽样的方式抽取100分试卷进行分析，则应从120分以上（包括120分）的试卷中抽取15分； ②已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >；③在[]4,3-上随机取一个数m ，能使函数()22f x x =+在R 上有零点的概率为37； ④在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，用分层抽样的20名男乘客中有5名晕机，12名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用独立性检验，有97%以上的把握认为与性别有关.其中真命题的序号为（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④9．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如表：现已求得上表数据的线性回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（ ）A ．84分钟B ．94分钟C ．102分钟D ．112分钟10．若圆2244100x y x y ++--=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．23,23⎡⎤-+⎣⎦B ．23,32⎡⎤---⎣⎦C ．23,23⎡⎤--+⎣⎦D ．23,23⎡⎤---⎣⎦11．如图，12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过()17,0F -的直线l 与双曲线分别交于点,A B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22551728x y -=B ．2216x y -=C ．2216y x -= D ．22551287x y -=12．已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--，有三个不同的零点，（其中123x x x <<），则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．1a - B ．1a - C ．-1 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知92a x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为94，则a = ． 14．在一场比赛中，某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛，其得分的茎叶图如图所示，从上述得分超过10分的队员中任取2名，则这2名队员的得分之和超过35分的概率为 ．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=，D 是AC 的中点，且25cos B =，26BD =ABC ∆的最短边的边长为 ．16．在平面直角坐标系Oxy 中，O 为坐标原点，点()()0,4,0,2A B ，平面向量,,OA OB OC 满足：()()20OC OA OC OB -⋅-=，则对任意0t <的实数和任意满足条件的向量OC ，()11ln 142OC t OA t OB -⋅---⋅⎡⎤⎣⎦的最小值 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，735S =，且2511,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，且存在n ∈*N ，使得10n n T a λ+-≥成立，求λ的取值范围.18． “中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[]70,80后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数； （2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[)20,40的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[)30,40的人数X 的分布列及数学期望.19． 已知函数()()3sin f x x ωφ=+0,22ππωφ<⎛⎫>-≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求ω和φ的值；（2）若322463f αππα⎛⎫⎛⎫=<<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求3cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭得值. 20．如图，已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，椭圆2C 的中心在原点，F 为其右焦点，点M 为曲线1C 和2C 在第一象限的交点，且52MF =. （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）设,A B 为抛物线1C 上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y x =上，()3,2P 为定点，求PAB ∆面积的最大值.21．已知函数()ln 3f x a x bx =--（a ∈R 且0a ≠） （1）若a b =，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，设()()3g x f x =+，若()g x 有两个相异零点12,x x ，求证：12ln ln 2x x +>. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,11,2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的方程为ρ=，定点()6,0M ，点N 是曲线1C 上的动点，Q 为MN 的中点.（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与x 轴的交点为P ，与曲线2C 的交点为,A B ，若AB 的中点为D ，求PD 的长.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()2222f x x x =+--，x ∈R . （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若方程()2f x a x +=有三个实数根，求实数a 的取值范围.绵阳南山中学高2023届高三“二诊”热身考试参考答案一、选择题1-5:CBABB 6-10:DCBCB 11、12：CD 二、填空题 13．4 14．31015． 16三、解答题17．解：（1）由题意可得()()()1211176735,2410,a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=++⎩即12135,2.a d d a d +=⎧⎨=⎩又因为0d ≠，所以12,1.a d =⎧⎨=⎩所以1n a n =+.（2）因为()()111111212n n a a n n n n +==-++++，所以 111111233412n T n n =-+-++-=++()112222n n n -=++. 因为存在n ∈*N ，使得10n n T a λ--≥成立，所以存在n ∈*N ，使得()()2022nn n λ-+≥+成立，即存在n ∈*N ，使得()222n n T n ≤+成立.又()21114416222424n n n n n n =⋅≤⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当2n =时取等号）.所以116λ≤，即实数λ的取值范围是1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.18．解：（1）由频率分布直方图知年龄在[)40,70的频率为()0.0200.0300.025100.75++⨯=，所以40名读书者中年龄分布在[)40,70的人数为400.7530⨯=.（2）40名读书者年龄的平均数为250.05350.1450.2550.3⨯+⨯+⨯+⨯650.25750.154+⨯+⨯=.设中位数为x ，则()0.005100.01100.02100.03500.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-= 解得55x =，即40名读书者年龄的中位数为55. （3）年龄在[)20,30的读书者有0.00510402⨯⨯=人， 年龄在[)30,40的读书者有0.0110404⨯⨯=人， 所以X 的所有可能取值是0,1,2，()2024241015C C P X C ===， ()1124248115C C P X C ===，()0224246215C C P X C ===， X 的分布列如下：数学期望0121515153EX =⨯+⨯+⨯=.19．解：（1）因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==. 又因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以232k ππφπ⋅+=+，k ∈Z ，即6k πφπ=-+，k ∈Z ，由22ππφ-≤<，得0k =，所以6πφ=-.（2）由（1），得()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以22264f ααπ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由263ππα<<，得062ππα<-<，所以cos 6πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭=因此3cos sin sin sin cos 26666πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11cos sin 6642428ππα⎛⎫-=⨯+=⎪⎝⎭. 20．解：（1）设椭圆1C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，由已知得，点()1,0F ，则1c =， 设点()()0000,0,0M x y x y >>， 由抛物线的定义，得：0512MF x =+=， 则032x =.从而0y ==，所以点32M ⎛⎝， 设点E 为椭圆的左焦点，则()1,0E -，72ME ==，根据椭圆定义，得752622a ME MF =+=+=，则3a =. 从而2228b a c =-=，所以椭圆2C 的标准方程是22198x y +=. （2）设点(),D m n ，()11,A x y ，()22,B x y ，则2114y x =，2224y x =，两式相减，得()2212124y y x x -=-，即1212124y y x x y y -=-+因为D 为线段AB 的中点，则122y y m +=， 所以直线AB 的斜率124422k y y m m===+，从而直线AB 的方程为()2y m x m m-=-， 即2220x my m m -+-=，联立2222202240x my m m y my m m ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，得222240y my m m -+-=，则122y y m +=，21224y y m m =-.所以12AB y y =-==设点P 到直线AB 的距离为d ，则d =，所以21642PAB S AB d m m ∆==-+ 由240m m ->，得04m <<，t =，则()23660222PAB t t t t S t ∆--==<≤.设()()26022t t f t t -=<≤，则()2632t f t -'=. 由()0f t'>，得0t <<从而()ft 在(上是增函数，在2⎤⎦上是减函数，所以()max f t f==，故PAB∆面积的最大值为.21．解：（1）由()ln 3f x a x ax =--知()()1a x f x x-'=当0a >时，函数()f x 的单调增区间是()0,1，单调减区间是()1,+∞， 当0a <时，函数()f x 的单调增区间是()1,+∞，单调减区间是()0,1. （2）()ln g x x bx =-，设()g x 的两个相异零点为12,x x ， 设120x x >>，∵()10g x =，()20g x =，∴11ln 0x bx -=，22ln 0x bx -=，∴()1212ln ln x x b x x -=-，()1212ln ln x x b x x +=+.要证12ln ln 2x x +>，即证()122b x x +>， 即121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即()1212122ln x x x x x x ->+， 设121x t x =>上式转化为()()21ln 11t t t t ->>+. 设()()21ln 1t g t t t -=-+，∴()()()22101t g t t t -'=>+，∴()g t 在()1,+∞上单调递增， ∴()()10g t g >=，∴()21ln 1t t t ->+，∴12ln ln 2x x +>. 22．解：（1）由题意知，曲线1C的直角坐标方程为2212360x y x ++-+=.设点(),N x y ''，(),Q x y ，由中点坐标公式得262x x y y'=-⎧⎨'=⎩，代入2212360x y x ++-+=中，得点Q 的轨迹2C的直角坐标方程为(223x y +=.（2）P的坐标为)，设l的参数方程为,21,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）代入曲线2C 的直角坐标方程得：(2330t t -++=，设点,,A B D 对应的参数分别为123,,t t t ，则123t t +=，123t t =，123322t t PD t +===. 23．解：（1）原不等式等价于143x <-⎧⎨-≤⎩或1143x x -≤≤⎧⎨≤⎩或143x >⎧⎨≤⎩，得1x <-或314x -≤≤ ∴不等式()3f x ≤的解集为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. （2）由方程()2f x a x +=可变形为11a x x x =+--+， 令()11h x x x x =+--+2,1,,11,2,1,x x x x x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，作出图象如下：于是由题意可得11a -<<.。

绵阳市高中2017级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． DCABB ADBCD AD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．214．3.12 15．23π16．8 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为0.04×5＋0.06×5=0.5．所以阅读时间的中位数m =10．………………………………………………4分 （2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，阅读时长大于等于m 的人数为100×0.5=50人，故列联表为如右图： ………………………8分 K 2的观测值k =2100(25302520)1005050455599⨯⨯−⨯=⨯⨯⨯ ≈1.01<2.706，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．……12分 18．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由题意，得112065624.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得112.a d =−⎧⎨=⎩， ∴ 23n a n =−．…………………………………………………………………4分 ∵ 等比数列{b n }的各项均为正数，由112168.b b q b q +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1122.b q =⎧⎨=⎩， 或 12182.3b q =⎧⎪⎨=−⎪⎩，(舍) ∴ 1222n n n b −=⨯=．……………………………………………………………7分（2）由（1）得，2112-11+++=1+2+22=21n n n b b b −+++−． ………………9分112=1+(1+)+(1++)+n T b b b …12+(1+++b b …-1)n b +231(21)(21)=+−+−+…(21)n +−123(21)(21)(21)=−+−+−+…(21)n +−2(12)=12n n −−−1=22n n +−−． ………………………………………………12分19．解 ：（1）在△ABC 中，由正弦定理得()()()a b a b c c b +−=+，即222a b c bc =++． …………………………………3分由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +−==−， ………………………………………5分结合0A π<<，可知23A π=． …………………………………………………6分 （2）在△ABC 中，S △ABC =11sin 22AB AC BAC BC AD ⋅∠=⋅，即a AD =⋅．由已知BC=AD，可得AD =∴ 23bc a =． ……………………………………………………………………9分 在△ABC 中，由余弦定理得2222cos120a b c bc ︒=+−， 即223bc b c bc =++，整理得2()0b c −=，即b =c ， ∴ A =6B π=．∴ 1sin sin62B π==． …………………………………………………………12分 20．解：（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由OA OB OP ++=0，且点P (-1，1)，得121211x x y y +=+=−，．① ∴ 线段AB 的中点坐标为(1122−， )，其在椭圆内． …………………………2分由222222111212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，两式相减得0221222122=−+−y y x x ，整理得2121222122−=−−x x y y ，即21212121()()1()()2y y y y x x x x +−=−+−． 将①代入，得 k AB =212112y y x x −=−． ∴ 直线AB 方程为111()()222y x −−=−，即2x -4y -3=0． ……………………4分联立22122430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪−−=⎩，，消去x 得2242410y y ++=，由韦达定理得121y y +=−，12124y y =． ∴AB =． …………………………………6分 （2）设直线AB 的方程为x =ty +2．由题意得M (x 1，-y 1)． 由已知MN NB λ=，可知M ，N ，B 三点共线，即MB MN k k =． ∴1211210()()y y y n x x x −−−−=−−， 即121121y y y n x x x +=−−， 解得121121()y x x n x y y −=++． ………………………………………………………9分将112x ty =+， 222x ty =+，代入得121222ty y n y y =++．② 联立222202x y x ty ⎧+−=⎨=+⎩，， 消去x 得(t 2+2)y 2+4ty +2=0，由韦达定理得12242t y y t −+=+， 12222y y t =+． ③ …………………………11分 将③代入②得到n =1． ……………………………………………………12分21．解：（1）xax x a x x x f 22)(2+−=−+='(x >0)． ………………………………2分令2)(2+−=ax x x g ，则82−=∆a ．① 当a ≤0或△≤0，即a≤()f x '≥0恒成立，∴ )(x f 在()0+∞，上单调递增． ………………………………………………3分②当00a >⎧⎨∆>⎩，， 即22>a 时，由0)(>'x f ，得2802−−<<a a x 或282++>a a x ；由0)(<'x f ，得282822−+<<−−a a x a a ． ∴ 函数)(x f在(0和)+∞上单调递增，在上单调递减． ………………………………………5分综上所述，当a≤)(xf在()0+∞，上单调递增；当22>a时，)(xf在(0和)+∞上单调递增，在上单调递减．………………………………………………………………………6分（2）由（1）知，当22>a时，)(xf有两极值点12x x，(其中12xx>)，由（1）得12x x，为02)(2=+−=axxxg的两根，于是axx=+21，221=xx．∴)()(21ln2)()(1221221212xxaxxxxxfxf−−−+=−2ln2212212xxxx−−=21212212ln2xxxxxx−−=211212ln2xxxxxx+−=．……………………………………………7分令12xxt=（1>t），则)()()(12thxfxf=−ttt1ln2+−=．∵222222121(1)()10t t th tt t t t−+−−−'=−−==<，∴)(th在(1)+∞，上单调递减．…………………………………………………9分由已知)()()(12xfxfth−=的最大值为232ln2−，而232ln22122ln2)2(−=+−=h．∴t=2．…………………………………………………………………………10分设t的取值集合为T，则只要满足T⊆[2)+∞，且T中的最小元素为2的T集合均符合题意．又212212)(2xxxxa+=21++=tt(t∈T)，易知1()2x ttϕ=++在[2)+∞，上单调递增，结合a>a与t是一一对应关系．而当t=2，即21xx=2时，联合221=xx，解得x2=2，x1=1，进而可得a=3．∴实数a的取值范围为[3)+∞，或[3)+∞，的任意最小元素为3的子集．………………………………………………………………………………12分22．解：（1）将C 1的参数方程化为普通方程为(x -1)2+y 2=r 2． 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得点P (2，3π)的直角坐标为(1，，代入C 1，得23r =， ∴ 曲线C 1的普通方程为(x -1)2+y 2=3．………………………………………3分C 2可化为2222cos sin 1ρθρθ−=，即222(cos sin )1ρθθ−=∴ 曲线C 2的极坐标方程为2cos21ρθ=．……………………………………5分 （2）将点1()A ρα，，2()6B πρα−，代入曲线C 2的极坐标方程，得21cos2=1ρα，22cos(2)=13πρα−，∴2222121111cos 2cos(2)3OAOBπααρρ+=+=+−3cos22)23πααα==+ ． ……………………8分由已知(0)4πα∈，，可得52()336πππα+∈，，于是)3πα+∈．所以2211OA OB +的取值范围是(． ………………………………10分 23．解：（1）由a =4时，12log 2a =−．原不等式化为1212x x +−−−≤，当x ≥12时，x +1-(2x -1)≤-2，解得x ≥4，综合得x ≥4； ………………3分 当-1<12x < 时，121x x ++−≤-2 ，解得x ≤23− ，综合得213x −<−≤；当x ≤-1时，(1)212x x −++−−≤，解得x ≤0，综合得x ≤-1． ………… 4分∴不等式的解集为{x |23x −≤，或x ≥4}．……………………………………6分（2）设函数211()121=31212.2x x f x x x x x x x ⎧⎪−<−⎪⎪=+−−−<⎨⎪⎪−+⎪⎩，，，≤，≥， 画图可知，函数f (x )的最大值为32. 由123log 2a ≤，解得0<a≤10分。

绵阳高 2022 级高三上期二诊模拟测试数学试题

一、单选题 (本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.)

1、在复平面内,向量 AB 对应的复数为 -1+3i ,向量 BC 对应的复数为 -2+i ,则向量 AC 对应的复数为( )

A. 1+2i B. -1-2i C. -3-4i D. -3+4i

2、下列四个条件中,使 a>b 成立的充要条件是 ( )A. ln(a-b)>0 B. |a|>b C. a2>b2 D. 2a>2

b

3、已知直线 2x+3my-2=0 与直线 2mx-5(m+1)y+1=0 互相垂直,则 m 为( )A. -1115 B. -1115 或 0 C. 114 D. 114 或 04、空间中有两个不同的平面 α,β 和两条不同的直线 m,n ,则下列说法中正确的是 ( )A. 若 α

∥β,m∥α,m∥n ,则 n∥β

B. m,n 为异面直线且 m

⊂α,n⊂β,α∩β=l ,则 l 与 m,n 中至少一条相交

C. 若 α∩β=m、n 与 α、β 所成的角相等,则 m

⊥n

D. 若 α

⊥β,m⊥α、m⊥n ,则 n⊥β

5、已知圆锥的母线长度为 4 ,一个质点从圆锥的底面圆上一点出发,绕着圆锥侧面运动一周,再回到出发点的最短距离为 42 ,则此圆锥的体积为 ( )

A. 15π3 B. 43π3 C. 83π3 D. 106π3

6、已知圆 C:

x

2+(y-1)2=4 ,直线 l:x+y+m=0 ,点 P 为直线 l 上的动点. 过点 P 作圆 C 的两条切

线,切点分别为 M,N . 若使得四边形 PMCN 为正方形的点 P 有且只有一个,则实数 m 的值为 ( )

A. -3 或 -5 B. -3 或 5 C. 3 或 -5 D. 3 或 5

7、已知椭圆 C:

x2a2+y2

b2=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为椭圆 C 上一点, O 为原点,若

绵阳二诊试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 地球是平的B. 地球是圆的C. 地球是三角形D. 地球是正方形答案：B2. 以下哪个国家是亚洲的？A. 巴西B. 加拿大C. 中国D. 澳大利亚答案：C3. 以下哪个是化学元素？A. 氢B. 氧C. 氮D. 所有以上答案：D4. 以下哪个是数学运算？A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法5. 以下哪个是计算机编程语言？A. JavaB. PythonC. C++D. 所有以上答案：D6. 下列哪个是人体器官？A. 心脏B. 肺C. 肝D. 所有以上答案：D7. 下列哪个是植物？A. 玫瑰B. 松树C. 仙人掌D. 所有以上答案：D8. 下列哪个是动物？A. 狗B. 猫C. 鸟D. 所有以上答案：D9. 下列哪个是物理现象？B. 电磁C. 热能D. 所有以上答案：D10. 下列哪个是历史事件？A. 法国大革命B. 美国独立战争C. 中国抗日战争D. 所有以上答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 地球的自转周期是________小时。

答案：242. 中国的首都是________。

答案：北京3. 化学元素周期表中的第一个元素是________。

答案：氢4. 圆的面积公式是________。

答案：πr²5. 计算机的二进制系统由________和0组成。

答案：16. 人体最大的器官是________。

答案：皮肤7. 植物通过________进行光合作用。

答案：叶绿素8. 哺乳动物的共同特征包括________。

答案：哺乳9. 牛顿的三大定律是关于________的。

答案：运动10. 丝绸之路是古代中国与________之间的贸易路线。

答案：欧洲三、简答题（每题5分，共30分）1. 简述牛顿的三大定律。

答案：牛顿的三大定律是描述物体运动的基本原理，包括惯性定律、力的作用与反作用定律和作用力与反作用力定律。

2022年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）1.已知集合，，则的元素个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 42.二项式的展开式中，的系数为( )A. B. C. 10 D. 153.如图，茎叶图记录了甲、乙两个家庭连续9个月的月用电量单位：度，根据茎叶图，下列说法正确的是( )A. 甲家庭用电量的中位数为33B. 乙家庭用电量的极差为46C. 甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差D. 甲家庭用电量的平均值高于乙家庭用电量的平均值4.已知角的终边过点，则( )A. B. 0 C. D.5.已知双曲线的焦距为4，两条渐近线互相垂直，则E的方程为( )A. B. C. D.6.已知平面向量，不共线，，，，则( )A. A，B，D三点共线B. A，B，C三点共线C. B，C，D三点共线D. A，C，D三点共线7.函数是定义域为R的偶函数，当时，，若，则( )A. eB.C.D.8.已知直线与圆C：相交于A，B两点，若，则( )A. B. 5 C. 3 D. 49.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办．为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进行调查统计，得到如下列联表：关注冰雪运动不关注冰雪运动合计男451055女252045合计7030100下列说法正确的是( )参考公式：，其中附表：A. 有以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”B. 有以上的把握认为“关注冰雪运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无关”D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关”10.已知m，n为整数，且m，，设平面向量与的夹角为，则的概率为( )A. B. C. D.11.已知函数，若不等式有且仅有2个整数解，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.12.已知，分别为椭圆的左，右焦点，E上存在两点A，B使得梯形的高为其中c为半焦距，且，则E的离心率为( )A. B. C. D.13.设i是虚数单位，若复数z满足，则复数z的虚部为______.14.现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有______种．用数字作答15.已知A，B为抛物线C：上的两点，，若，则直线AB的方程为__________.16.已知函数，下列关于函数的说法正确的序号有__________.函数在上单调递增；是函数的周期；函数的值域为；函数在内有4个零点．17.已知数列为公差大于0的等差数列，，且，，成等比数列．求数列的通项公式；设，数列的前n项和为，若，求m的值．18.某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号.该商场对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格：配置甲乙丙丁频数25401520每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元，根据以上100名消费者的购机情况，求该商场销售一部该款手机的平均利润;该商场某天共销售了4部该款手机，每销售一部该款手机的型号相互独立，其中甲配置型号手机售出的数量为X，将样本频率视为概率，求X的概率分布列及期望.19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，且求角B的大小；求周长的取值范围．20.已知函数当时，求函数的极值；若曲线在上任意一点处切线的倾斜角均为钝角，求实数a的取值范围．21.已知椭圆E：的右焦点为F，点A，B分别为右顶点和上顶点，点O为坐标原点，，的面积为，其中e为E的离心率．求椭圆E的方程；过点O异于坐标轴的直线与E交于M，N两点，射线AM，AN分别与圆C：交于P，Q两点，记直线MN和直线PQ的斜率分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的方程是求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；若点A的坐标为，直线l与曲线C交于P，Q两点，求的值．23.已知函数当时，求函数的定义域；设函数的定义域为M，当时，，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合，，，的元素个数为故选：由交集定义求出，由此能求出的元素个数．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：展开式的通项公式为，令，解得，则的系数为，故选：求出展开式的通项公式，然后令x的指数为3，由此即可求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：A，由茎叶图可知甲家庭用电量的中位数为32，故A错误；B，由茎叶图可知乙家庭用电量的极差为，故B错误；C，，，故，，故甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差，C正确；D，由C选项可知甲家庭用电量的平均值低于乙家庭用电量的平均值，故D错误．故选：根据已知条件，结合中位数，平均数，极差，方差的定义，即可求解．本题主要考查中位数，平均数，极差，方差的定义，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意得，，所以故选：由已知结合三角函数定义先求出，，然后结合两角和的余弦公式即可求解．本题主要考查了三角函数的定义及两角和的余弦公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：双曲线则双曲线的渐近线方程为两条渐近线互相垂直，，，焦距为4，，，，，则E的方程为：故选：设出双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据两条直线垂直，推断出其斜率之积为进而求得a和b的关系，再利用焦距为4，即可求出双曲线的实轴长，求解方程即可．本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生转化和化归思想，考查计算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：因为，，，所以，所以与共线，即A、C、D三点共线．故选：根据平面向量的共线定理与线性运算法则，进行判断即可．本题考查了平面向量的线性运算与共线定理应用问题，是基础题．7.【答案】C【解析】解：函数是定义域为R的偶函数，当时，，若，则，解得，所以，故选：由偶函数的定义可得，解得a的值，代入计算可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力、推理能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：圆C：的圆心为，半径为，圆心C到直线的距离，，，，故选：求出圆心到直线的距离，由圆心到直线的距离，半径和半个弦长构成直角三角形，可得m的值．本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，属基础题．9.【答案】A【解析】解：根据列联表中的数据，计算，所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有关，即有以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”．故选：由列联表中的数据计算，对照附表得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．10.【答案】D【解析】解：平面向量与的夹角为，又，即，，，n为整数，且m，，平面向量与的夹角为，共有种情况，，，或2，①当时，，即，故或3或4或5，满足题意，②当时，，即，故或5，满足题意，故，，，，，共6种情况符合题意，故的概率故选：根据已知条件，结合向量的数量积公式可得，，再分或2两种情况讨论，即可求解．本题主要考查几何概型，考查分类讨论的思想，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题有且仅有2个整数解即有两个整数解，也即²有两个整数解，令，²，当时，，则，此时有无数个整数解，不成立；当时，如图所示，²有无数个整数解，也不成立；当时，要符合题意，如图，则，解得，故选：转化有且仅有2个整数解为²有两个整数解，数形结合列出不等关系即可求得答案．本题考查函数零点与方程根的关系，数形结合思想的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：，，则，为梯形的两条底边，作垂足为P，则，梯形的高为，，在中，，则，，设，则，在中，由余弦定理得：，，解得，同理，，，，即，故选：根据，可得，则，为梯形的两条底边，作垂足为P，则，从而可求得，再结合，建立a，b，c的关系可得出结论．本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】【解析】解：，，即，复数z的虚部为故答案为：根据已知条件，结合复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．本题考查了复数虚部的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】18【解析】解：从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人，选法共有种，都是女志愿者的选法有种，被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有：种，故答案为：求出总数以及不符合的个数，进而求解结论．本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算．15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的应用．涉及了抛物线的性质，向量的计算，属于中档题．设，，根据韦达定理表示出，求解直线的斜率，然后求解直线方程．【解答】解：A，B为抛物线C：上的两点，，，所以M是AB的中点，设，，：与联立，消去y得，，解得，所以直线的方程故答案为：16.【答案】【解析】【分析】本题考查了分段函数的性质和零点问题，属于较难题．根据三角函数的性质分别对四个选项进行判断即可．【解答】解：因为函数，定义域为R，，所以为偶函数，当时，，，因为，所以，此时正弦函数为增函数，故正确；因为，所以，而，所以不是函数的周期，故错误；当时①当或时，，此时，②当时，，此时，故时，是函数的一个周期，故考虑时，函数的值域，当时，，，此时单调递增，；当时，，，此时先减后增，；当时，，，此时，综上可知，，又为偶函数，故正确；由知，时，，且函数单调递增，故存在一个零点，当时，，且函数单调递减，故存在一个零点，其他区域无零点，故当时，函数有2个零点，因为函数为偶函数，所以函数在内有4个零点．故正确；故答案为：17.【答案】解：数列为公差d大于0的等差数列，，且，，成等比数列，所以，解得，整理得；由得：；所以：；由于，解得【解析】直接利用等差数列的性质建立方程组，进一步求出数列的通项公式；利用的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】解：由表中数据可得，该商场销售一部该款手机的平均利润该商场卖出一部手机，该手机为A配置的概率为，则，X所有可能取值为0，1，2，3，4，，故X的分布列为：X 0 1 23 4k故【解析】根据已知条件，结合加权平均数公式，即可求解．由题意可知，X可能取值为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．19.【答案】解：因为，所以，所以，所以，由B为三角形内角，得；由余弦定理得，，所以，当且仅当时取等号，所以，所以所以，周长的取值范围为【解析】由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求，进而可求B；由余弦定理及基本不等式可求的范围，进而可求三角形周长的取值范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及基本不等式在求三角形中的应用，属于中档题．20.【答案】解：当时，，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极小值，没有极大值；由题意得，在上恒成立，当时，a为任意实数，当时，得恒成立，令，，则恒成立，所以在上单调递增，，所以，即，当时，得恒成立，令，，则恒成立，所以在上单调递增，，所以，即，综上，a的取值范围为【解析】把代入，然后对函数求导，然后结合导数与极值关系即可求解．由题意得，在上恒成立，然后结合x的范围进行分离，转化为求解最值，结合导数可求．本题主要考查了导数几何意义的应用及导数与单调性关系的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．21.【答案】解：，，，，，联立可得，，椭圆E的方程为设点，，，则点，，由题意得，，N在椭圆E上，，则，，，设直线AM的方程为，则直线AN的方程为，联立，消x得，由A、M在椭圆E上，，，，联立，消x得，由点A，P在圆C上，，，同理，，，，为定值【解析】根据，的面积为，求得a，b，即可求出答案．设点，，，则点，根据M，N在椭圆E上，可得，设直线AM的方程为，则直线AN的方程为，分别联立，，求得M，P，Q三点的坐标，从而可得出结论．本题考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的几何性质、定值问题等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为；直线l的方程是，根据，转换为直角坐标方程为；把直线的方程转换为参数式为为参数，把参数的方程代入；得到；故；；故【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：根据题意，若，则，必有，即，则有或或，解可得或，即函数的定义域为；根据题意，当时，，则当时，有恒成立，此时，变形可得，若，成立，必有，设，易得，必有，解可得，又由，则m的取值范围为【解析】根据题意，由函数的解析式可得，即，解可得答案；根据题意，等价于当时，有恒成立，变形可得，成立，据此分析可得答案．本题考查函数的定义域和子集的关系，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．。

三台2021级高三上期数学二诊模拟（一）理科数学（答案在最后）本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.集合U =R ，集合(){}2log 1A x y x ==-，{}13B x x =+<，则{}41x x -<≤=（）A.()U A B∩ð B.()U A B ðC.()U A B ⋂ð D.()UA B⋂ð【答案】D 【解析】【分析】先求解出集合,A B ，再分别验证四个选项即可.【详解】集合{}1A x x =>，{}42B x x =-<<，{|4U x x B =≤-ð或2}x ≥，{}1U A x x =≤ð，{}|4A B x x =>- ，{}|12A B x x ⋂=<<，所以(){}|2U A B x x =≥ ð，故选项A 不正确；{}()|4U A B x x ⋃=≤-ð，故选项B 不正确；{()|1U A B x x ⋂=≤ð或}2x ≥，故选项C 不正确；(){}41UA B x x ⋂=-<≤ð，故选项D 正确；故选：D.2.已知复数3iiz +=，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法运算化简z ，进而求得z ，从而确定正确答案.【详解】()()()3i i 3i 13i,13i i i i z z +⨯-+===-=+⨯-，所以z 对应点()1,3在第一象限.故选：A3.根据表中的数据，用最小二乘法得到y 与x 的线性回归方程为 1414y x =-，则表中n 的值为（）x23456y20n406070A.15.5B.20C.20.5D.25【答案】B 【解析】【分析】先求出样本中心点，然后代入回归方程计算即可.【详解】由表中数据，计算可得2345645x ++++==，2040607019055n n y +++++==，因为回归直线 1414y x =-过样本中心点，所以有190144145n+=⨯-，解得20n =．故选：B.4.已知2212sin cos 1cos sin 3αααα-=-，则tan α=（）A.13B.12C.13或1 D.12或1【答案】B 【解析】【分析】利用弦化切可得出关于tan α的等式，即可求得tan α的值.【详解】因为()()()2222222cos sin 12sin cos cos sin 2sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin αααααααααααααααα--+-==--+-cos sin 1tan 1cos sin 1tan 3αααααα--===++，解得1tan 2α=.故选：B.5.2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（）A.1120B.7200C.8640D.14400【答案】B 【解析】【分析】相邻问题用捆绑法看成一个整体，丙不排在两端可先排好其他人后再排丙.【详解】甲与乙相邻有22A 种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有66A 种不同的排法，再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有15C 种不同的排法，所以共有261265A A C =7200种不同的排法．故选：B .6.设x ∈R ，向量(,1)a x = ，(1,2)b =- ，且a b ⊥ ，则cos ,a b b += （）A.10B.2C.10D.5【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用向量垂直的坐标运算，得出2x =，从而可得出(3,1)a b +=-，再利用向量数量积公式即可求出结果.【详解】因为(,1)a x = ，(1,2)b =- ，又a b ⊥ ，所以20x -=，得到2x =，所以(2,1)a = ，得到(3,1)a b +=-，所以()cos ,2a b b a b b a b b+⋅+==+ ，故选：B.7.已知命题p ：若a b >，则33a b >；命题():0,1q x ∀∈，不等式23log log x x <恒成立，则下列命题是真命题的是（）A.p q ∧B.()p q⌝∧C.()()p q ⌝∨⌝ D.()p q ∧⌝【答案】A 【解析】【分析】由指数函数和对数函数的单调性判断出命题p 是真命题，命题q 是真命题，再由复合命题的真值表判断可得选项.【详解】若a b >，则33a b >，所以命题p 是真命题，p ⌝是假命题；又(0,1)x ∀∈，所以不等式23log log x x <恒成立，所以命题q 是真命题，q ⌝是假命题，所以p q ∧是真命题，()p q ⌝∧是假命题，()()p q ⌝∨⌝是假命题，()p q ∧⌝是假命题，故选：A8.已知1F ，2F 分别是椭圆22:194x y C +=的左、右焦点，P 是椭圆C在第二象限内的一点，且PO =（O 为坐标原点），则12tan PF F ∠=（）A.2B.12C.5D.5【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的方程求出,,a b c，由PO =可知1290F PF ∠=︒，再由椭圆的定义及勾股定理可得122,4PF PF ==，再求出12tan PF F ∠的值.【详解】由椭圆22:194x y C +=的方程可知：3,2,a b c ===，又因为PO =，所以在12PF F △中，1290F PF ∠=︒，设1PF r =，则226PF a r r =-=-，因为P 是椭圆C 在第二象限内的一点，所以12PF PF <，即6r r <-，即3r <，因为1290F PF ∠=︒，所以2221212PF PF F F +=，则()(2226r r +-=，整理可得：2680r r -+=，解得：2r =或4r =（舍去），即122,4PF PF ==，所以21214tan 22PF PF F PF ∠===.故选：A .9.当2x =时，函数()3212f x x bx x =+-取得极值，则()f x 在区间[]4,4-上的最大值为（）A.8B.12C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】根据极值点与导数之间的关系求得0b =，利用导数判断()f x 在区间[]4,4-上的单调性和最值.【详解】因为()3212f x x bx x =+-，所以2()3212f x x bx '=+-，又因为()f x 在2x =取极值，所以(2)124120'=+-=f b ，解得0b =，若0b =，则3()12f x x x =-，2()312f x x '=-，令()0f x '>，得<2x -或2x >；令()0f x '<，得22x -<<；所以()f x 在(),2∞--和()2,∞+上单调递增，在()2,2-上单调递减，可知()f x 在2x =取极值，故0b =满足题意，若[]4,4x ∈-，则()f x 在[4,2]--和[2,4]上单调递增，在()2,2-上单调递减，且(2)82416,(4)644816f f -=-+==-=，所以()f x 在区间[]4,4-上的最大值为16.故选：C ．10.函数1log 2x a y x a -=++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(),k b ，若m n b k +=-且0m >，0n >，则9n mmn+的最小值为（）A.9B.8C.92D.52【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数性质求得1,3k b ==，然后妙用“1”可得.【详解】当1x =时，11log 123a y a -=++=，所以，函数1log 2x a y x a-=++过定点()1,3，得1,3k b ==，所以，312m n +=-=，因为0m >，0n >，所以，()(99119119110108222n m n m m n mn m n m n m n +⎛⎫⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当92n mm n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即31,22m n ==时，等号成立，所以，9n mmn+的最小值为8.故选：B11.已知函数())5log 2f x x =-，实数m ，n 满足()()420f m f n -+=，则4m n +=（）A.1B.2C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】先判断()f x 的奇偶性，由此化简()()420f m f n -+=，进而求得正确答案.22x x >=≥，所以()f x 的定义域为R ，()()))55log 2log 2f x x f x x-+=++-)5522log log 10xx ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦-，所以()f x 是奇函数，由()()420f m f n -+=可得420,42m n m n -+=+=.故选：B12.双曲线22221x y a b-=左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 直线1l 与双曲线右支交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线交x 轴于P ，若2AB PF =，则该双曲线渐近线方程为（）A.20x y ±=B.20x y ±=C.y ±=D.0x =【答案】C 【解析】【分析】设直线1l 的方程，与双曲线联立，求AB 的中垂线方程，得到P 点坐标，利用2AB PF =得到离心率，进而求得渐近线方程.【详解】设直线1l 的方程为x my c =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()2222242222201x my c b m a y mcb y b x y ab =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩，判别式()()()2222242422441mcb b m a b a b m ∆=--=+，韦达定理2122222mcb y y b m a+=--，412222b y y b m a ⋅=-，所以中点纵坐标21202222y y mcb y b m a +==--，横坐标200222ca x my c b m a=+=--，则中点坐标为22222222,ca mcb b m ab m a ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，所以AB 的中垂线方程为222222221ca mcb x y b m a m b m a ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭，令0y =得，3222c x b m a -=-，即P 的坐标为3222,0c b m a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，所以32222222222c b m c cb PF c b m a b m a -+=-=--，由弦长公式可知，AB =，将韦达定理代入得，()2222212ab A m B b m a=-+，因为2AB PF =，所以()2222222222221ab b m c cb b m a a m b m +=--+，整理得，2a c =，所以22223b c a a =-=，即223b a=，所以渐近线方程为b y x a=±=.故选：C.第II 卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填写在答题卡的横线上.13.已知lg 2a =，则21log 5+=______（用含a 的代数式表示）．【答案】1a##1a -【解析】【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算即可.【详解】2222lg1011log 5log 2log 5log 10lg 2a+=+===.故答案为：1a.14.37(x的展开式中不含常数项的所有项的系数之和是__________．【答案】-449【解析】【分析】由题意结合二项式展开式的通项公式求得常数项，然后结合所有项的系数之和即可求得最终结果.【详解】73x⎛ ⎝展开式的通项公式为()()427732177C 2C rrrr r r r T xx--+⎛==- ⎝，令42702r -=可得r =6，所以常数项为()6672C 448-=，令x =1，得所有项的系数之和是-1，故不含常数项的所有项的系数之和是1448449--=-.故答案为：449-15.已知抛物线2:8C y x =的焦点为,F O 为坐标原点，P 为抛物线C 上一点，且满足PF =POF 的面积为__________.【答案】【解析】【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用PF ＝，求得P 点的纵坐标，代入抛物线方程求得横坐标，代入三角形面积公式计算，从而可求解.【详解】由抛物线C ：28y x=得其标准方程为2x =，所以2p =，得2p =，所以焦点为(F ，准线方程为y =，又因为P 在抛物线C 上且PF ＝，由抛物线定义可得p y =4p x =，所以12POF P S OF x ⨯⨯= ＝.故答案为：.16.已知函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ++的取值范围是__________．【答案】(3,3]-【解析】【分析】画出函数图像，根据图像结合函数性质确定124x x +=-，341x x =，414x <≤，变换()3124234414x x x x x x x ++=-，根据函数的单调性计算最值即可.【详解】画出函数2222,22,02,20()log ,0log ,01log ,1x x x x x x f x x x x x x x --<-⎧⎪⎧+≤+-≤≤⎪⎪==⎨⎨>-<<⎪⎩⎪⎪≥⎩的图象，如图所示：方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，由0x ≤时，()2f x x =+，则1x 与2x 的中点横坐标为2x =-，即：124x x +=-，当0x >时，由于2log y x =在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，又因为34x x <，2324log log x x =，则3401x x <<<，有2324log log x x -=，341x x =，又24log 2x ≤，414x <≤，()31234234341144x x x x x x x x x ++=-+=-在4(1,4]x ∈上递增，故取值范围是(3,3]-．故答案为：(3,3]-.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）：经常网购偶尔或不用网购合计男性45100女性65100合计（1）完成上表；对于以上数据，采用小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为我市市民网购与性别有关联？（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取20人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差．参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．常用的小概率值和对应的临界值如下表：α0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001x α2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】17.列联表见解析，能，理由见解析18.①208285；②()11E X =，()9920D X =【解析】【分析】（1）完善列联表，计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）①所抽取的20名女市民中，经常网购的有652013100⨯=人，偶尔或不用网购的有35207100⨯=人，然后利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；②分析可知，11~20,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的期望和方差公式可求得()E X 、()D X 的值.【小问1详解】解：完善列联表如下表所示（单位：人）：经常网购偶尔或不用网购合计男性4555100女性6535100合计11090200零假设0:H 性别与网购之间无关联，由列联表得，()220.01200453565558008.081 6.6351109010010099x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为我市市民网购与性别有关联.【小问2详解】解：①由题意可知，所抽取的20名女市民中，经常网购的有652013100⨯=人，偶尔或不用网购的有35207100⨯=人，所以，选取的3人中至少有2人经常网购的概率为20828521313713320C C C C P +==；②由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为1101120020=，将频率视为概率，所以，从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为1120，由题意可知，11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()11201120E X =⨯=，()1199920202020D X =⨯⨯=.18.在等比数列{}n a 中，()*0N n a n >∈，公比()0,1q ∈，且153528225a aa a a a ++=，又3a 与5a 的等比中项为2.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）512n n a -=（2）229,152940,62n n nn T n n n ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩【解析】【分析】（1）先根据题意结合等比数列的性质求出35,a a ，进而可求出公比，即可得解；（2）分0n b ≥和0n b <两种情况讨论，结合等差数列的前n 项和公式即可得解.【小问1详解】因为153528225a a a a a a ++=，所以()222335535225a a a a a a ++=+=，又()*0Nn a n >∈，所以355aa +=，因为3a 与5a 的等比中项为2，所以354a a =，则353554a a a a +=⎧⎨=⎩，解得3541a a =⎧⎨=⎩（3514a a =⎧⎨=⎩舍去），所以25314a q a ==，所以12q =（12q =-舍去）所以55512n n n a a q--=⋅=；【小问2详解】由（1）得25log n n b a n ==-+，令0n b ≥，则15n ≤≤，令0n b <，则6n ≥，当15n ≤≤时，()2121245922n n n n nn nT b b b b b b -+-+=+++=+++==，当6n ≥时，()()1212567n n n T b b b b b b b b b =+++=+++-+++ ()()21559401022n n n n --+--+=-=，综上所述，229,152940,62n n nn T n n n ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩.19.在①向量()m b = ，()sin ,cos n A B =- ，且m n ⊥sin cC=，③2222sin a c b ac A +-+=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，______.（1）求角B 的大小；（2）若3b =，2a c -=，求ABC 的面积.【答案】（1）π3B =（2）534【解析】【分析】（1）根据平面向量的数量积运算，结合正弦定理以及余弦定理，可得答案；（2）利用余弦定理，结合三角形面积公式，可得答案.【小问1详解】若选条件①，则sin cos 0m n b A B ⋅=-=，根据正弦定理得sin sin cos B A A B =，∵sin 0A ≠，∴sin B B =，tan B =，∵0πB <<，∴π3B =.sin 1sin CC==，tan B =∵0πB <<，∴π3B =.若选条件③，∵2222cos a c b ac B =+-，∴2cos 2sin ac B ac A +=，∴cos sin a B a A +=，根据正弦定理得sin cos sin sin A B A B A +=，∵sin 0A ≠，∴cos 1B B +=，π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴0πB <<，∴π3B =.【小问2详解】根据余弦定理得()2222222cos b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=-+，∴94ac =+，∴5ac =，ABC 的面积为11sin 52224ac B =⨯⨯=.20.已知函数21()ln 2f x ax x =-．（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若不等式(x)x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极小值为12，无极大值（2）2a ≥【解析】【分析】（1）对21()ln 2f x x x =-求导得到(1)(1)()x x f x x-+'=，再根据极值的定义即可求出结果；（2）根据条件，分离常量得到21ln 2x x a x +≥，构造21ln ()(0)xg x x x x=+>，将问题转化成求()g x 的最大值，即可解决问题.【小问1详解】当1a =时，21()ln 2f x x x =-，则211(1)(1)()x x x f x x x x x--+'=-==，由()0f x '=，得到1x =，又0x >，当(0,1)x ∈时，()0f x '<，(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以21()ln 2f x x x =-在1x =处取到极小值，极小值为12，无极大值.【小问2详解】由(x)x f ≥恒成立，得到21ln 2ax x x -≥恒成立，即21ln 2ax x x ≥+恒成立，又0x >，所以221ln 1ln 2x x xa x x x+≥=+恒成立，令21ln ()(0)x g x x x x =+>，则2423312ln 112ln 12ln ()x x x x x x g x x x x x x ---+-'=-+=-+=，令()2ln 1(0)h x x x x =--+>，则2()10h x x'=--<恒成立，即()2ln 1h x x x =--+在区间(0,)+∞上单调递减，又(1)2ln1110h =--+=，所以当(0,1)x ∈时，()0h x >，(1,)x ∈+∞时，()0h x <，即(0,1)x ∈时，()0g x '>，(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以21ln ()(0)xg x x x x=+>在区间()0,1上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，故()(1)1g x g ≤=，所以112a ≥，即2a ≥，所以，实数a 的取值范围为2a ≥.【点睛】方法点晴，第（2）问中的恒成立问题，常用的方法，一是直接构造函数，求出函数的最值；二是通过参变分离，再构造函数，通过求函数最值来解决问题.21.一动圆与圆2217:402M x y x +++=外切，同时与22241:402M x y x +--=内切．（1）求动圆圆心的轨迹方程C ，并说明它是什么曲线；（2）设点()0,1N ，斜率不为0的直线l 与方程C 交于点A ，B ，与圆N 相切且切点为M ，M 为AB 中点．求圆N 的半径r 的取值范围．【答案】（1）圆心P 的轨迹是焦点为()2,0-，()2,0，长轴长为的椭圆，22184x y+=（2）(．【解析】【分析】（1）设动圆心为(),P x y ，半径为R ，则12PM R =+，22PM R =-，可得12124PM PM M M +=>=，根据椭圆的定义即可求解；（2）易知直线l 的斜率存在且不为0，设l 为()0y kx m k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式可得222,2121kmm M k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，根据直线与圆的位置关系可得()2,1M k -，由0∆>得2302k <<，结合r MN ==计算即可求解.【小问1详解】设动圆心为(),P x y ，半径为R ，圆2217:402M x y x +++=可化为()22122x y ++=，22241:402M x y x +--=可化为()224922x y -+=，由题意可得122PM R =+，2722PM R =-，则12124PM PM M M +=>=，所以，圆心P 的轨迹是焦点为()2,0-，()2,0，长轴长为的椭圆，且2c =，a =得2844b =-=，则动圆圆心的轨迹方程C 为22184x y +=．【小问2详解】由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为()0y kx m k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，设圆N 的半径为r ，()22222214280184y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，()()()22222216421288840k m k m k m ∆=-+-=-+>，122421km x x k -+=+，21222821m x x k -=+，所以()212122242222121k m my y k x x m m k k -+=++=+=++，又因为M 为AB 的中点，所以222,2121kmm M k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，又圆N 与直线l 相切于点M ，所以NM l ⊥，且r MN =，所以1MN l k k ⨯=-，所以2211212021MNmk k km k k -+==---+，解得221k m +=-，所以()2,1M k -，()()()()222222288488214821320k m k k k k ⎡⎤∆=-+=-++=+->⎢⎥⎣⎦，解得：2302k <<，所以2302r MN k ⎫===<<⎪⎭，由251122k <+<⇒<<2r <<，所以圆N 的半径r 的取值范围为(．（二）选考题：共10分.请考生在22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为2222(1)11t x t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos sin 0θρθ--=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）直线l 与C 交于MN 两点，求OMN 的面积.【答案】（1）22143x y +=y -=（2）5【解析】【分析】（1）方法一：联立原式，消去t ，即可得到C 的普通方程，利用极直互化公式可将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；方法二：结合原式，计算223412x y +=，即可得到曲线C 的普通方程；方法三：由万能公式代入计算，即可得到2cos ,x y θθ==，再由椭圆的参数方程即可得到结果.（2）方法一：求得直线的参数方程，与椭圆方程联立，求解，并利用参数的几何意义即可得到弦长MN ，再由三角形的面积公式得到结果；方法二：联立直线与椭圆的普通方程，利用面积分割法得到结果.【小问1详解】方法一：曲线C :由题意得2421x t =-++，即242,12y x t t x +=∴=++，然后代入2421x t +=+，即可得到曲线C 的普通方程22143x y +=，而直线l ，将cos ,sin x y ρθρθ==代入其极坐标方程即可得其直角坐标方程0y -=.方法二：因为()()()()2222422222222212148124341212111tt t t t x y t t t --+++=+=⨯=+++，所以C 的普通方程为22143x y +=，直线l0y -=；方法三：由万能公式：2222tan12tan 22sin ,cos 1tan 1tan 22θθθθθθ-==++，令2tan 2t θ=，则有2cos ,x y θθ=，由椭圆的常用参数方程可得：22143x y +=，直线l0y -=.【小问2详解】解法1：设直线l 与x 轴的交点F ，其坐标为()1,0,倾斜角为60︒，所以点O 到直线l的距离sin 602d OF =︒=，设l的参数方程为122m x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（m 为参数）代入22143x y +=，可得：254120m m +-=，得：12216162,,55m m MN m m =-=∴=-=.所以Δ14325OMN Sd MN =⋅=；解法2：设()()1122,,,M x y N x y，联立22341201)x y y x ⎧+-=⎪⎨=-⎪⎩得2590y +-=.解得125y y ==，又因为直线l 与x 轴的交点F ，其坐标为()1,0,则1OF =，所以(12111225OMN S OF y y =⋅-=⨯⨯= .[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2124f x x x =+--．（1）解不等式()0f x >；（2）若关于x 的不等式2()42230f x x m m +--+≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围．【答案】（1）3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）5(,1][,)2-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）通过两边平方的方法求得不等式()0f x >的解集.（2）先求得()4f x +的最小值，由此列不等式来求得m 的取值范围.【小问1详解】由()0f x >得：2124x x +>-，两边平方得，2244141616x x x x ++>-+，所以2015x >，解得34x >，所以不等式的解集为3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问2详解】()()42212421425f x x x x x x +-=++-≥++-=，当且仅当()()21240,x x +-≤即122x -≤≤时等号成立，由题意得：2523m m ≤-，即()()22351250m m m m --=+-≥，。

绵阳南山中学2022年秋绵阳二诊热身考试理科数学（参考答案）CABAA DCDCCCB ；88，9，100（4π－1)，(],2-∞12.依题意，对任意的实数x ，y ∈R ，等式f (x )f （y ）＝f （x +y ）成立，令x ＝y ＝0得：f 2（0）＝f （0），所以f （0）＝0或f （0）＝1，又当x ＜0时f (x )＞1，所以f （﹣1）＝f （﹣1+0）＝f （0）×f （﹣1）＞0，所以f （0）≠0，即f （0）＝1.又数列{a n }满足f （a n +1）f （11n a +）＝f （a n +1+11n a +）＝1＝f （0），所以a n +111na =-+，又知道a 1＝f （0）＝1，所以a 2＝111-+＝12-，a 3＝12112-=--，a 4＝11(2)-+-＝1＝a 1，由数列{a n }的递推关系知数列{a n }为以3为周期的数列，所以a 2016＝a 2019＝a 3＝﹣2，a 2017＝a 2020＝a 1＝1，a 2018＝a 2＝12-，f （a 2017）＝f （a 2020）＝f （1），f （a 2016）＝f （a 2019）＝f （﹣2）＝f （﹣1﹣1）＝[f （﹣1）]2，f （﹣1）＝f [（12-）+（12-）]＝212f⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当x ＜0时f (x )＞1，所以f （-1）＞1，f （12-）＞1，所以f （a 2017）＝f （1）＝1(1)f -＜1，f （a 2016））＝f （a 2019）＝[f （﹣1）]2＞f （﹣1），又f （﹣1）＝212f⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＞f （12-）＝f （a 2018），所以f （a 2016）＝f （a 2019）＞f （a 2018）＞f （a 2017）＝f （a 2020）.故选：B.17.解：（1）关注没关注合计男303060女122840合计4258100841.33.94120380060405842)30122830(10022>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=∴K 所以，有95%的把握认为“对世界杯开幕式的关注与性别有关”.（2）因为随机选一名高一女生关注此事的概率为1034012==p 而103,3(~B X ，所以分布列为：1091033)(=⨯=∴X E 18.（1）由2112122(2)n n n n n n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得：1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又 0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥，当1n =时，22122S S a +=且112a =，故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去），∴2111122a a -=-=，∴数列{}n a 为等差数列，公差为12，所以12n a n =．（2）121(+⋅=n n n b ，1432n 21(n 21(3)21(2)21(1+⋅++⋅+⋅+⋅=∴n T 2543n )21(n 21(321(2)21(121+⋅++⋅+⋅+⋅=∴n T 21n 32n )21()21()21()21(21++⋅-+++=∴n n T 221(211)21(1(41+⋅---=n n n 21(21(211n n +-=+1n 21()2(1+⋅+-=∴n n T 19.解析(1)∵sin sin 2B C b a B +=，∴πsin sin 2A b a B -=，即cos sin 2Ab a B =.由正弦定理得cos sin sin 2sin AB A B ⋅=⋅.∵sin 0B ≠，∴cos sin 2sin cos 222A A A A ==.∵cos 02A ≠，∴1sin 22A =，又∵π022A <<,∴π26A =，∴π3A =；（2）设x b c =，则由角平分线得x DC BD AC AB ==，AC xxAB x AD +++=∴111平方得22222222)1(33cos )1(21()11(4x b x cb x x b x x c x +=⋅+++++=π2223)1(4x x b +=∴又)1(22222x x b bc c b a +-=-+=316)22(34)11(34)1(3)1(4222222=+≥+++=--+=∴x x x x x x x x a （当1=x 时取”“=）故a 43320.【详解】（1）将点(2,的坐标代入抛物线C 的方程为228p ⨯=，解得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，该抛物线的准线方程为1x =-；（2）先证明抛物线C 在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为00220x y y x -+=.证明如下：由于点()00,Q x y 在抛物线C 上，则2004y x =，联立2004220y x x y y x ⎧=⎨-+=⎩，可得200202y y y x -+=，即220020y y y y -+=，则2200440y y ∆=-=，所以，抛物线C 在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为00220x y y x -+=.设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,P x y ，则直线PA 的方程为11220x y y x -+=，直线PB 的方程为22220x y y x -+=，因为点P 在直线PA 、PB 上，所以，31313232220220x y y x x y y x -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程33220x y y x -+=，由于两点确定一条直线，故直线AB 的方程为33220x y y x -+=，联立2334220y x x y y x ⎧=⎨-+=⎩，消去x 可得233240y y y x -+=，由韦达定理可得1232y y y +=，1234y y x =，所以，12AB y y =-=，点P 到直线AB的距离为d =，所以，()3223311422PABS AB d y x =⋅=-△，另一方面，()22233333342439y x x x x x -=---=-++，其中320x -≤≤，所以，当32x =-时，2334y x -取得最大值8，因此，()3322233114822PABS y x =-≤⨯=△.21.证明：（1）1()f x alnx x '=-，f ∴'（e ）1a e =-，又f （e ）0=，1()()()g x a x e e∴=--；令()()()()F x f x g x f x f =-=-'（e ）()x e -，()()F x f x f ∴'='-'（e ）11alnx a x e=--+在(0,)+∞上单调递增，且F '（e ）0=，∴当0x e <<时，()0F x '<，()F x 单调递减，当x e >时，()0F x '>，()F x 单调递增，e ）0=0)()(=≥e F x F 恒成立，所以)()(x g x f ≥恒成立．（2）证明：当1a =时，()(1)(1)f x lnx x =--，则1()f x lnx x'=-，显然()f x '在定义域内单调递增，而f '（1）10=-<，f '（e ）110e=->，∴存在0(1,)x e ∈，使0()0f x '=，∴当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，令()0f x =，解得1x =或e ，由（1）（2）可知()y f x =在(,0)e 处的切线方程为1()(1)()g x x e e=--，且)()(x g x f ≥恒成立，同理可得()y f x =在(1,0)处的切线方程为()1h x x =-+，令()()()(1)(1)(1)(1)H x f x h x lnx x x x lnx =-=----+=-，当1x >时，10x ->，0lnx >，当01x <<时，10x -<，0lnx <，0)(≥∴x H 恒成立．设函数()y f x =在两个零点处的切线方程与直线y m =的交点的横坐标分别为1x '和2x '，不妨设12x x <，则11x x >'，22x x <'，令()()g x h x m ==，解得21emx e e '=+-，11x m '=-，1112''2121-+--⋅=-<-∴e e e m x x x x 得证．22.解：（1）1C 的方程为2240x y x +-=，将222,cos x y x ρρθ+==代入，1C ∴极坐标方程：4cos ρθ=，设()',P ρθ，(),Q ρθ，则1'2ρρ=，Q 的轨迹方程：()2cos 0ρθρ=≠；（2）设()11,M ρθ，()22,N ρθ，114cos ρθ=，222cos ρθ=，122πθθ=+，2222122212222222224416cos 44cos 16cos 44cos 216sin 16cos 16OM ONρρθθπθθθθ+=+=+⨯⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭+==故22OMON +4为定值且为16．23.解：（1）当2a =时，()221f x x x =-++，原不等式可化为14214x x x <-⎧⎨---<⎩，或124214x x x -≤≤⎧⎨-++<⎩或22414x x x >⎧⎨-++<⎩，解得x ∈∅或12x <≤或723x <<，∴原不等式的解集为71,3⎛⎫⎪⎝⎭.（2）若()5f x x ≤+的解集包含[]1,2-，即当[]1,2x ∈-时，215x a x x -++≤+恒成立，由于在[]1,2-上，10x +≥，50x +>，∴11x x +=+，55x x +=+，∴()5f x x ≤+，等价于24x a -≤，即2x a -≤，22x a -≤-≤，∴22a x a -≤≤+.∴21a -≤-且22a +≥，∴01a ≤≤，即a 的取值范围为[]0,1.。