2017年高考数学40分钟精练题系列 (8)

2017年高考数学40分钟精练题系列（10）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合M ＝{x |x 2－4x ＜0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，则m ＋n 等于( )A.9B.8C.7D.6解析 ∵M ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，且M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，∴m ＝3，n ＝4，∴m ＋n ＝3＋4＝7.故选C.答案 C2.复数1＋52－i(i 是虚数单位)的模等于( ) A.10B.10C. 5D.5 解析 ∵1＋52－i ＝1＋5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝1＋2＋i ＝3＋i ， ∴其模为10.故选A.答案 A3.“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.答案 B4.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1解析 在直角坐标系中，依次作出不等式⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≥12，|x －y |≤12，xy ≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S 多边形BACDE S 四边形OCDE ，p 2＝S 多边形BOAFDG S 四边形OCDE， p 3＝S 曲边多边形GEOCF S 四边形OCDE， 因为S △ABO ＝S △BEG ＝S △DGF ，所以p 2<p 3<p 1.故选B.答案 B5.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( )A.47尺B.1629尺C.815尺D.1631尺解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d ，则5×30＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故选B.答案 B6.多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )A.16＋33B.8＋632C.163D.203解析 将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所示，∵正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE 为正方形，S BCFE ＝2×2＝4，四棱锥的高为2，∴V N －BCFE ＝13×4×2＝83.可将三棱柱补成直三棱柱，则V ADM －EFN ＝12×2×2×2＝4，∴多面体的体积为203.故选D.答案 D7.已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则m ＝( )A.1B.2C.－5D.1或－3解析 △ABC 为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的22.圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|1＋m |2，依题意得|1＋m |2＝2，解得m ＝1或－3.故选D. 答案 D8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈(31，72)，则n 的值为( )A.5B.6C.7D.8解析 由程序框图知，当S ＝1时，k ＝2；当S ＝3时，k ＝3；当S ＝7时，k ＝4；当S ＝15时，k ＝5；当S ＝31时，k ＝6；当S ＝63时，k ＝7.∴n 的值为6.故选B.答案 B9.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( ) A.5π12B.π4C.π3D.π6解析 由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝5π12.故选A. 答案 A10.已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解析 由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎨⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|＜g （x ），故h (x )有最小值－1，无最大值.答案 C11.设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )A.192B.11C.12D.16解析 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b 2a ＝3，∴|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11.故选B.答案 B12.在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP→＝xOB →＋yOC→，其中，x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063 B.1463 C.4 3 D.6 2解析 根据向量加法的平行四边形法则得动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形，其面积为△BOC 面积的2倍，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得BC ＝7，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263，∴S △BOC ＝12×BC ×r ＝12×7×263＝763.∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.学校为了调查学生的学习情况，决定用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级的相关学生中抽取若干人，相关数据如下表：则抽取的总人数为解析 由分层抽样得b 56＝3a ＝535，∴a ＝21，b ＝8，∴抽取的总人数为8＋3＋5＝16.答案 16 14.若x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋3y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围为________.解析 画出关于x 、y 约束条件的平面区域如图所示，当a＝0时，显然成立.当a ＞0时，直线ax ＋3y －z ＝0的斜率k＝－a 3＞k AC ＝－1，∴0＜a ＜3.当a ＜0时，k ＝－a 3＜k AB ＝2，∴－6＜a ＜0.综上所得，实数a 的取值范围是(－6，3).答案 (－6，3)15.已知偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若区间[－1，3]上，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有3个零点，则实数k 的取值范围是________.解析 根据已知条件知函数f (x )为周期为2的周期函数；且x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |；而函数g (x )的零点个数便是函数f (x )和函数y ＝kx ＋k 的交点个数.∴①若k ＞0，如图所示，当y ＝kx ＋k 经过点(1，1)时，k ＝12；当经过点(3，1)时，k ＝14.∴14＜k ＜12.②若k ＜0，即函数y ＝kx ＋k 在y 轴上的截距小于0，显然此时该直线与f (x )的图象不可能有三个交点，即这种情况不存在.③若k ＝0，得到直线y ＝0，显然与f (x )图象只有两个交点.综上所得，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 16.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n ，若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝－3，a 4＝5，a 5＝－11，a 6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n ，则利用累加法即得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n 2n －1＝（－1）[1－（－2）n ]1－（－2）＝（－2）n －13. 答案 （－2）n －13。

2017年高考数学40分钟精练题系列（4）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数z 1＝1－i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2i 等于( ) A.2i B.－2iC.2＋ID.－2＋i解析z 1z 2i ＝（1－i ）（1＋i ）i＝－2i.故选B.答案 B2.已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A.－3∈A B.3∉B C.A ∩B ＝BD.A ∪B ＝B解析 依题意得，A ＝[－1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)，∴A ∩B ＝B .故选C. 答案 C3.若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2π3＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝－π6＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，θ＝－π6；当k ＝1时，θ＝5π6.若θ＝－π6时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，f (x )的图象关于x ＝π3对称.故选B. 答案 B4.若1a ＜1b ＜0，则下列四个不等式恒成立的是( ) A.|a |＞|b | B.a ＜b C.a 3＜b 3D.a ＋b ＜ab解析 由1a ＜1b ＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，即A 、B 项不正确；b 3＜a 3，即C 项不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab ，即D 项正确.故选D.5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.12a ＋b B.12a －b C.a ＋12bD.a －12b解析 连接CD 、OD ，∵点C 、D 是半圆弧AB 的两个三等分点，∴AC ︵＝BD ︵＝CD ︵，∴CD ∥AB ，∠CAD ＝∠DAB ＝13×90°＝30°，∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°，由此可得∠CAD ＝∠DAO ＝30°，∴AC ∥DO ，∴四边形ACDO 为平行四边形，∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .故选A. 答案 A6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝5b sin C ，且cos A ＝5cos B cos C ，则tan A 的值为( ) A.5B.6C.－4D.－6解析 由正弦定理得sin A ＝5sin B sin C ①，又cos A ＝5cos B cos C ②，②－①得，cos A －sin A ＝5(cos B cos C －sin B sin C )＝5cos(B ＋C )＝－5cos A ，∴sin A ＝6cos A ，∴tan A ＝6.故选B . 答案 B7.如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值是( ) A.0 B.－1 C.－2D.－3解析 由程序框图知，x ＝2，y ＝12×2－1＝0，|0－2|＞1；x ＝0，y ＝0－1＝－1，|－1－0|＝1；x ＝－2，y ＝12×(－2)－1＝－2，|－2＋2|＜1满足条件，输出y 为－2，结束程序.故选C. 答案 C8.若过点(3，－3)的直线l 将圆C ：x 2＋y 2＋4y ＝0平分，则直线l 的倾斜角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 由题意可知直线l 过圆C ： x 2＋y 2＋4y ＝0的圆心(0，－2)， 且直线l 过点(3，－3)， ∴直线l 的斜率k ＝－3－（－2）3－0＝－33，又直线l 的倾斜角α∈[0，π)，k ＝tan α，∴α＝5π6. 答案 D9.椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba ＝( ) A.32B.233C.932D.2327解析 设交点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 中，y 中)，代入椭圆方程得ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，由两式相减整理得：b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1，即b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 中x 中＝－1，又y 中x 中＝y 中－0x 中－0＝32，可得b a ·(－1)·32＝－1，即b a ＝233.故选B. 答案 B10.已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( ) A.1 006×2 013 B.1 006×2 014 C.1 007×2 013D.1 007×2 014解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，∴a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2a 2＝2，∴a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，∴S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013.故选C.答案 C11.已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]，则f (－1)的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6 C.[3，12]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 解析 f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，依题意知，方程f ′(x )＝0有两个根x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]等价于f ′(－2)≥0，f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，f ′(2)≥0.由此得b 、c 满足的约束条件为⎩⎨⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0，满足这些条件的点(b ，c )的区域为图中阴影部分.由题设知f (－1)＝2b －c ，由z ＝2b －c ，将其转化为直线c ＝2b －z ，当直线z ＝2b －c 经过点A (0，－3)时，z 最小，其最小值z min ＝3；当直线z ＝2b －c 经过点B (0，－12)时，z 最大，其最大值z max ＝12. 答案 C12.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1D 1的中点，Q 是A 1B 1上任意一点，E 、F 是CD 上任意两点，且EF 长为定值，现有下列结论：①异面直线PQ 与EF 所成的角为定值；②点P 到平面QEF 的距离为定值；③直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值；④三棱锥P －QEF 的体积为定值. 其中正确结论的个数为( ) A.0B.1C.2D.3解析 当点Q 与A 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角为π2；当点Q 与B 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角不为π2，即①错误.当点Q 在A 1B 1上运动时，三棱锥P－QEF的底面△QEF的面积以及三棱锥的高都不变，∴体积不变，即②正确.④也正确.当点Q在A1B1上运动时，直线QP与平面PEF所成的角随点Q的变化而变化，即③错误.故选C.答案 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是________.解析从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小.答案甲14.如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则该点落在四面体内的概率为________.解析由题意可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，则几何体的体积为13×12×6×3×4＝12，外接球的直径为42＋（32）2＋（32）2＝213，∴外接球的半径为13，体积为52133π，∴该点落在四面体内的概率P＝1252133π＝913.答案913 169π15.在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a、b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a∈R，a*0＝a；(2)对任意a、b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0).关于函数f(x)＝(e x)*1e x的性质，有如下说法：①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为偶函数；③函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0].其中所有正确说法的序号为________.解析依题意得f(x)＝(e x)*1e x＝ex·1e x＋[(ex)*0]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1e x*0＝1＋ex＋1e x，其中x∈R.∴f′(x)＝e x－1e x，令f′(x)＝0，则x＝0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴当x＝0，f(0)min＝3，即①正确，③错误.又f(－x)＝1＋e－x＋1e－x＝1＋e x＋1e x＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，即②正确.答案①②16.若关于x的方程|x|x＋2＝kx2有四个不同的实根，则实数k的取值范围是________.解析由于关于x的方程|x|x＋2＝kx2有四个不同的实根，x＝0是此方程的一个根，故关于x的方程|x|x＋2＝kx2有3个不同的非零的实数解.∴方程1k＝⎩⎨⎧x（x＋2），x＞0，－x（x＋2），x＜0有3个不同的非零的实数解，即函数y＝1k的图象和函数g(x)＝⎩⎨⎧x（x＋2），x＞0，－x（x＋2），x＜0的图象有3个交点，画出函数g(x)图象，如图所示，故0＜1k＜1，解得k＞1.答案(1，＋∞)。

2017年北京市高考理科数学真题试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 若全集U=R，集合A=x x2−x−2≥0，B=x log32−x≤1，则A∩∁U B= A. x x<2B. x x<−1或x≥2C. x x≥2D. x x≤−1或x>22. 若复数1−i a+i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A. −∞,1B. −∞,−1C. 1,+∞D. −1,+∞3. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为 A. 2B. 32C. 53D. 854. 若x，y满足x≤3,x+y≥2,y≤x,则x+2y的最大值为 A. 1B. 3C. 5D. 95. 已知函数f x=3x−13x，则f x A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数6. 设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m⋅n<0”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 A. 3B. 2C. 2D. 28. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48）约为1080，则下列各数中与MNA. 1033B. 1053C. 1073D. 1093二、填空题（共6小题；共30分）=1的离心率为3，则实数m=．9. 若双曲线x2−y2m=．10. 若等差数列a n和等比数列b n满足a1=b1=−1，a4=b4=8，则a2b211. 在极坐标系中，点A在圆ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为1,0，则AP的最小值为．，则12. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=13 cosα−β=．13. 能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为．14. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1,2,3．（1）记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是．（2）记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是．三、解答题（共6小题；共78分）a．15. 在△ABC中，∠A=60∘，c=37（1）求sin C的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=6，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B−PD−A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．17. 为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“∗”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望Eξ；（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M 18. 已知抛物线C:y2=2px过点P1,1．过点0,12作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．19. 已知函数f x=e x cos x−x．（1）求曲线y=f x在点0,f0处的切线方程；上的最大值和最小值．（2）求函数f x在区间0,π220. 设a n和b n是两个等差数列，记c n=max b1−a1n,b2−a2n,⋯,b n−a n n n=1,2,3,⋯，其中max x1,x2,⋯,x s表示x1，x2，⋯，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n−1，求c1，c2，c3的值，并证明c n是等差数列；>M；或者存在正整数m，使得（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，c nnc m，c m+1，c m+2，⋯是等差数列．答案第一部分1. B2. B3. C 【解析】第一次循环，k=1，S=2；第二次循环，k=2，S=32；第三次循环，k=3，S=53，结束循环，则输出的S=53．4. D5. A【解析】f x=3x−13x=3x−3−x，所以f−x=3−x−3x=−f x，即函数f x为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=13x为减函数，故函数f x=3x−13x为增函数．6. A 【解析】m，n为非零向量，存在负数λ，使得m=λn，则向量m，n共线且方向相反，可得m⋅n<0．反之不成立，非零向量m，n的夹角为钝角，满足m⋅n<0，而m=λn不成立．所以m，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是“m⋅n<0”的充分不必要条件．7. B 【解析】由三视图可得直观图，在四棱锥P−ABCD中，最长的棱为PA，即PA=2+AB2=22+222=23．8. D 【解析】由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3=10lg3≈100.48，所以M≈3361≈100.48361≈10173，所以MN ≈1017310=1093．第二部分9. 210. 111. 112. −7913. −1，−2，−3【解析】设a，b，c是任意实数．若“a>b>c，则a+b>c”是假命题，则“若a>b>c，则a+b≤c”是真命题，可设a，b，c的值依次−1，−2，−3，（答案不唯一）．14. Q1，p2【解析】（1）若Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q1=A1的纵坐标+B1的纵坐标；Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标，Q3=A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Q1，Q2，Q3中最大的是Q1；（2）若p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p i为A i B i中点与原点连线的斜率，故p1，p2，p3中最大的是p2．第三部分15. （1）∠A=60∘，c=37a，由正弦定理可得sin C=37sin∠A=37×32=3314．（2）a=7，则c=3，c<a，所以C<∠A，C为锐角，由（1）可得cos C=1314，所以sin B=sin∠A+C=sin∠A cos C+cos∠A sin C=3×13+1×33=43,所以S△ABC=12ac sin B=12×7×3×437=63．16. （1）如图1，设AC∩BD=O，因为ABCD为正方形，所以O为BD的中点，连接OM，因为PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，所以PD∥OM，则BOBD =BMBP=12，即M为PB的中点；（2）取AD中点G，因为PA=PD，所以PG⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．如图2，以G为坐标原点，分别以GD，GO，GP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由PA=PD=6，AB=4，得D2,0,0，A−2,0,0，P 0,0,2，C2,4,0，B−2,4,0，M −1,2,22，DP= −2,0,2，DB=−4,4,0．设平面PBD的一个法向量为m=x,y,z，则由m⋅DP=0,m⋅DB=0得−2x+2z=0,−4x+4y=0,取z=2，得m=1,1,2．由题可知平面PAD的一个法向量为n=0,1,0．所以cos m,n=m ⋅nm n =12×1=12．所以二面角B−PD−A的大小为60∘；（3）CM= −3,−2,22，平面BDP的一个法向量为m=1,1,2．所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为cos CM,m=CM⋅mCM⋅ m =9+4+1×2=269．17. （1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：p=1550=310．（2）由图知：A，C两人指标x的值大于1.7，而B，D两人则小于1.7，可知在四人中随机选出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，Pξ=0=1C42=16，Pξ=1=C21C21C42=23，Pξ=2=1C42=16，所以ξ的分布列如下：ξ012P 162316Eξ=0×16+1×23+2×16=1．（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大．18. （1）因为y2=2px过点P1,1，所以1=2p，解得p=12，所以抛物线方程为y2=x，所以焦点坐标为14,0，准线为x=−14．（2）设过点0,12的直线方程为y=kx+12，M x1,y1，N x2,y2，所以直线OP为y=x，直线ON为：y=y2x2x，由题意知A x1,x1，B x1,x1y2x2，由y=kx+12,y2=x可得k2x2+k−1x+14=0，所以x1+x2=1−kk2，x1x2=14k2，所以y1+x1y2x2=kx1+12+x1 kx2+12x2=2kx1+x1+x22x2=2kx1+1−kk22×14k2x1=2kx1+1−k⋅2x1=2x1，所以A为线段BM的中点．19. （1）函数f x=e x cos x−x的导数为fʹx=e x cos x−sin x−1，可得曲线y=f x在点0,f0处的切线斜率为k=e0cos0−sin0−1=0，切点为0,e0cos0−0，即为0,1，所以曲线y=f x在点0,f0处的切线方程为y=1；（2）函数f x=e x cos x−x的导数为fʹx=e x cos x−sin x−1，令g x=e x cos x−sin x−1，则g x的导数为gʹx=e x cos x−sin x−sin x−cos x=−2e x⋅sin x，当x∈0,π2时，可得gʹx=−2e x⋅sin x≤0，即有g x在0,π2上递减，可得g x≤g0=0，则f x在0,π2上递减，即有函数f x在区间0,π2上的最大值为f0=e0cos0−0=1；最小值为fπ2=eπcosπ2−π2=−π2．20. （1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max b1−a1=max0=0，当n=2时，c2=max b1−2a1,b2−2a2=max−1,−1=−1，当n=3时，c3=max b1−3a1,b2−3a2,b3−3a3=max−2,−3,−4=−2，下面证明：对∀n∈N∗，且n≥2，都有c n=b1−na1，当n∈N∗，且2≤k≤n时，则b k−na k−b1−na1=2k−1−nk−1+n=2k−2−n k−1=k−12−n,由k−1>0，且2−n≤0，则b k−na k−b1−na1≤0，则b1−na1≥b k−na k，因此，对∀n∈N∗，且n≥2，c n=b1−na1=1−n，c n+1−c n=−1，又c2−c1=−1，所以c n+1−c n=−1对∀n∈N∗均成立，所以数列c n是等差数列．（2）设数列a n和b n的公差分别为d1，d2，下面考虑c n的取值，由b1−a1n，b2−a2n，⋯，b n−a n n，考虑其中任意b i−a i n（i∈N∗，且1≤i≤n），则b i−a i n=b1+i−1d2−a1+i−1d1×n=b1−a1n+i−1d2−d1×n,下面分d1=0，d1>0，d1<0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i−a i n=b1−a1n+i−1d2，当d2≤0，b i−a i n−b1−a1n=i−1d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1−a1n，此时c n+1−c n=−a1，所以数列c n是等差数列；当d2>0，b i−a i n−b n−a n n=i−n d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n−a n n=b n−a1n，此时c n+1−c n=d2−a1，所以数列c n是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，⋯，是等差数列，命题成立；②若d1>0，则此时−d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N∗，使得n≥m时，−d1n+d2<0，则当n≥m时，b i−a i n−b1−a1n=i−1−d1n+d2≤0i∈N∗,1≤i≤n,因此当n≥m时，c n=b1−a1n，此时c n+1−c n=−a1，故数列c n从第m项开始为等差数列，命题成立；③若d1<0，此时−d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N∗，使得n≥s时，−d1n+d2>0，则当n≥s时，b i−a i n−b n−a n n=i−n−d1n+d2≤0i∈N∗,1≤i≤n,因此，当n≥s时，c n=b n−a n n，此时c n=b n−a n n=−a n+b n n=−d2n+d1−a1+d2+b1−d2,令−d1=A>0，d1−a1+d2=B，b1−d2=C，下面证明：c nn =An+B+Cn对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，c nn>M，若C≥0，取m= M−BA+1，x表示不大于x的最大整数，当n≥m时，c n n ≥An+B≥Am+B=AM−B+1+B >A⋅M−BA+B=M,此时命题成立；若C<0，取m= M−C−BA+1，当n≥m时，c n n =An+B+Cn≥Am+B+C>A⋅M−C−BA+B+C =M−C−B+B+C≥M−C−B+B+C=M,此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，c nn>M；综合以上三种情况，命题得证．。

第40练 随机变量及其分布列[题型分析·高考展望] 随机变量及其分布列是高考的一个必考热点，主要包括离散型随机变量及其分布列，均值与方差，二项分布及其应用和正态分布.对本部分知识的考查，一是以实际生活为背景求解离散型随机变量的分布列和均值；二是独立事件概率的求解；三是考查二项分布.体验高考1.(2015·四川)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人.女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列和均值.解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为 1－1100＝99100. (2)根据题意，X 的可能取值为1，2，3，P (X ＝1)＝C 13C 33C 46＝15，P (X ＝2)＝C 23C 23C 46＝35，P (X ＝3)＝C 33C 13C 46＝15，所以X 的分布列为因此，X 的均值为E (X )＝1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.2.(2016·天津)某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和均值.解 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715， P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1.3.(2015·福建)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和均值. 解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ， 则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3. 又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为所以X 的均值E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.高考必会题型题型一 条件概率与相互独立事件的概率例1 (1)先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1，2，3，4，5，6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )等于( ) A.12 B.13 C.14 D.25(2)甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( ) A.34 B.23 C.45 D.710 答案 (1)B (2)A解析 (1)正面朝上的点数(x ，y )的不同结果共有C 16·C 16＝36(种).事件A ：“x ＋y 为偶数”包含事件A 1：“x ，y 都为偶数”与事件A 2：“x ，y 都为奇数”两个互斥事件，其中P (A 1)＝C 13·C 1336＝14，P (A 2)＝C 13·C 1336＝14，所以P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝14＋14＝12.事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”， 所以事件AB 为“x ，y 都为偶数且x ≠y ”， 所以P (AB )＝C 13·C 13－336＝16.P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13. (2)设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，“丙命中目标”为事件C ，则目标被击中的事件可以表示为A ∪B ∪C ，即击中目标表示事件A 、B 、C 中至少有一个发生. ∴P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )] ＝⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率为1－P (A ·B ·C )＝1－14＝34.点评 (1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A ).这是通用的求条件概率的方法. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ). (3)相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解.变式训练1 (1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45(2)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________. 答案 (1)A (2)0.128解析 (1)已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8.(2)由题设，分两类情况：①第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，得P 1＝0.8×0.2×0.8×0.8＝0.102 4；②第1、2个错误，第3、4个正确， 此时概率P 2＝0.2×0.2×0.8×0.8＝0.025 6. 由互斥事件概率公式得P ＝P 1＋P 2＝0.102 4＋0.025 6＝0.128. 题型二 离散型随机变量的均值和方差例2 (2015·山东)若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137，359，567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分. (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ； (2)若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和均值E (X ).解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345； (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 39＝84， 随机变量X 的取值为：0，－1，1， 因此P (X ＝0)＝C 38C 39＝23，P (X ＝－1)＝C 24C 39＝114，P (X ＝1)＝1－114－23＝1142，所以X 的分布列为则E (X )＝0×23＋(－1)×114＋1×1142＝421.点评 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应. 变式训练2 (1)(2016·四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________. 答案 32解析 由题可知，在一次试验中，试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P ＝1－12×12＝34， ∵2次独立试验成功次数X 满足二项分布X ～B ⎝⎛⎭⎫2，34， 则E (X )＝2×34＝32.(2)(2016·山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：①“星队”至少猜对3个成语的概率；②“星队”两轮得分之和X 的分布列和均值E (X ).解 ①记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”， 记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D . 由事件的独立性与互斥性，P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )·P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝⎛⎭⎫14×23×34×23＋34×13×34×23＝23. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.②由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6.由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝⎛⎭⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×⎝⎛⎭⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512. P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以均值E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.题型三 二项分布例3 某市为丰富市民的业余文化生活，联合市国际象棋协会举办国际象棋大赛，在小组赛中，小王要与其他四名业余棋手进行比赛，已知小王与其他选手比赛获得胜利的概率都为23，并且他与其他选手比赛获胜的事件是相互独立的. (1)求小王首次获胜前已经负了两场的概率；(2)求小王在四场比赛中获胜的场数X 的分布列、均值和方差.解 (1)小王首次获胜前已经负了两场，即前两场输第三场赢，其概率为P ＝(1－23)2×23＝227.(2)因为小王每场比赛获胜的概率均为23，所以小王在四场比赛中获胜的场数X 服从二项分布B (4，23)，故P (X ＝i )＝C i 4(23)i (1－23)4－i (其中i ＝0，1，2，3，4).所以P (X ＝0)＝C 04(23)0(1－23)4＝181， P (X ＝1)＝C 14(23)1(1－23)3＝881， P (X ＝2)＝C 24(23)2(1－23)2＝827， P (X ＝3)＝C 34(23)3(1－23)1＝3281， P (X ＝4)＝C 44(23)4(1－23)0＝1681. 故 X 的分布列为故X 的均值为E (X )＝4×23＝83，方差为D (X )＝4×23×(1－23)＝89.点评 应用公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k的三个条件： (1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的； (3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.变式训练3 (2015·湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和均值.解 (1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}. 由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2∪A1A 2，C ＝B 1∪B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2∪A 1A 2) ＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]P (A 2) ＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1∪B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 故X 的分布列为则E (X )＝3×15＝35.高考题型精练1.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次点数均为奇数}，B ＝{两次点数之和为6}，则P (B |A )等于( ) A.59 B.13 C.536 D.23 答案 B解析 n (A )＝3×3＝9，n (AB )＝3，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝39＝13.故选B.2.如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P ，用A 表示事件“点P 恰好在由曲线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的曲边梯形内”，B 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”，则P (B |A )等于( )A.14B.15C.16D.17 答案 A解析 根据题意，正方形OABC 的面积为1×1＝1， 而y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛01x d x ＝23x 32⎪⎪⎪10＝23，∴P (A )＝231＝23，而阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x )d x ＝(23x 32－12x 2)⎪⎪⎪10＝16，∴正方形OABC 中任取一点P ，点P 取自阴影部分的概率为P (B )＝161＝16，∴P (B |A )＝P (B )P (A )＝1623＝14，故选A.3.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，设X 表示击中目标的次数，则P (X ≥2)等于( )A.81125B.54125C.36125D.27125 答案A解析 至少有两次击中目标的对立事件是最多击中一次， 有两类情况：一次都没击中、击中一次. 一次都没击中：概率为(1－0.6)3＝0.064；击中一次：概率为C 13×0.6×(1－0.6)2＝0.288.所以最多击中一次的概率为0.064＋0.288＝0.352， 所以至少有两次击中目标的概率为1－0.352＝0.648 ＝81125. 4.已知某一随机变量X 的概率分布列如下表，E (X )＝6.3，则a 的值为( )A.5B.6C.7D.8 答案 C解析 b ＝1－0.5－0.1＝0.4，∴4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3， ∴a ＝7，故选C.5.设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( ) A.n ＝5，p ＝0.32 B.n ＝4，p ＝0.4 C.n ＝8，p ＝0.2 D.n ＝7，p ＝0.45答案 C解析 因为随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，所以⎩⎪⎨⎪⎧E (X )＝np ＝1.6，D (X )＝np (1－p )＝1.28⇒p ＝0.2，n ＝8.6.在4次独立重复试验中事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率是6581，则事件A 在一次试验中发生的概率为( ) A.13 B.25 C.56 D.以上全不对 答案 A解析 设事件A 在一次试验中发生的概率为p ，∵事件A 全不发生为事件A 至少发生一次的对立事件，∴1－(1－p )4＝6581，即(1－p )4＝1681.故1－p ＝23或1－p ＝－23(舍去)，即p ＝13.7.小王参加了2015年春季招聘会，分别向A ，B 两个公司投递个人简历.假定小王得到A 公司面试的概率为13，得到B 公司面试的概率为p ，且两个公司是否让其面试是独立的.记ξ为小王得到面试的公司个数.若ξ＝0时的概率P (ξ＝0)＝12，则随机变量ξ的均值E (ξ)＝______.答案712解析 由题意，得P (ξ＝2)＝13p ，P (ξ＝1)＝13(1－p )＋23p ＝1＋p3，ξ的分布列为由12＋1＋p 3＋13p ＝1，得p ＝14. 所以E (ξ)＝0×12＋1×1＋p 3＋2×13p ＝712.8.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.9.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝________. 答案 65解析 根据题目条件， 每次摸到白球的概率都是p ＝33＋m， 满足二项分布，则有E (X )＝np ＝5×33＋m ＝3，解得m ＝2，那么D (X )＝np (1－p )＝5×35×(1－35)＝65.10.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的均值E (η)>74，则p 的取值范围是________. 答案 (0，12)解析 由已知得P (η＝1)＝p ， P (η＝2)＝(1－p )p ，P (η＝3)＝(1－p )2，则E (η)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>74，解得p >52或p <12，又p ∈(0，1)，所以p ∈(0，12).11.(2015·陕西)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T 的分布列与均值E (T )；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 解 (1)由统计结果可得T 的频率分布为以频率估计概率得T 的分布列为从而E (T )＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32.(2)设T 1，T 2分别表示往、返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同， 设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”. 方法一 P (A )＝P (T 1＋T 2≤70)＝P (T 1＝25，T 2≤45)＋P (T 1＝30，T 2≤40)＋P (T 1＝35，T 2≤35)＋P (T 1＝40，T 2≤30) ＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.方法二P(A)＝P(T1＋T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09，故P(A)＝1－P(A)＝0.91.12.(2016·课标全国甲)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解(1)设A表示事件：“续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55.(2)设B表示事件：“续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15.又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.150.55＝311.因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为E(X)＝0.85a×0.30＋a×0.15＋1.25a×0.20＋1.5a×0.20＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.23a. 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共21小题，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目求的）．1．【安徽省蚌埠市2017届高三二模】已知满足为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可得：.本题选择A选项.2.【2017年天津市河东区高三二模】设集合,,则( )A. (0,1)B. (-1,2)C.D.【答案】D3. 中国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示的“勾股圆方图”的四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）【答案】A4．函数的图象大致形状是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】因为，所以，即，且当时，函数的单调递减函数；当时，函数的单调递增函数，应选答案B.5．【新疆乌鲁木齐市2017届高三三模】“22log log a b >”是“ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A故选A.6．【2017届山西省实验中学高三3月联考】已知实数,x y 满足20{0,0x y x y y k+≥-≤≤≤且z x y =+的最大值为6，则()225x y ++的最小值为（ ）A. 5B. 3C.【答案】A7. 【广东深圳市2017届高三4别为12F F 、 ，其焦距为2c ，点在椭圆的内部，点P 是椭圆C上的动点，且 ）【答案】B，即()()22241141e e e -+<-，解之得；结合图形可得1121222PF PQ PF PF F F a c +>++=+，即B. 8．【2017年天津市河东区高三二模】已知函数，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是( )A. 【答案】B9．【江西省鹰潭市2017届二模】函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列有关()f x 性质的描述正确的是（ ）D. ()f x 向左移 【答案】D10．已知圆()221:24C x y +-=，抛物线22:2(0)C y px p =>， 1C 与2C 相交与,A B 两，则抛物线2C 的方程为（ ）【答案】C，解得，设直线AB 的方程为y kx =，圆心()0,2，解得2k =-（舍）或2k =， ()222{24y x x y =+-= ，解得0{0x y ==，代入抛物，解得：C. 第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）．11．【广东深圳市2017届高三4月调研】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的《孙子算经》共三卷.卷中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得.”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数n 是8的整数倍时，均可采用此方法求解.如图，是解决这类问题的程序框图，若输入40n =，则输出的结果为__________．【答案】121【解析】由程序框图，循环前， 40,40n S ==，循环时， 32,72n S ==； 24,96n S ==；16,112n S ==； 8,120n S ==； 0,120n S ==，满足判断条件，退出循环，1201121S =+=，输出121S =．12．【河南省郑州市2017年第三次预测】已知向量，，若向量，的夹角为，则实数__________．【答案】【解析】，，根据数量积定义，解得.13．【江西省上饶市重点中学2017数之和为729,则该展开式中2x 的系数为__________．【答案】1280-14．【湖南省常德市第一中学2017届高三第七次月考】设直线:340l x y a ++=，圆()22:22C x y -+=，若在圆C 上存在两点,P Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=︒，则a 的取值范围是__________．【答案】[]16,4-【解析】圆()22:22C x y -+=，圆心为： 20（，），半径为∵在圆C 上存在两点,P Q ，在直线l 上存在一点M ，使得90PMQ ∠=︒，∴在直线l 上存在一点M ，使得M 到20C （，）的距离等于2， ∴只需20C （，）到直线l 的距离小于或等于2，，解得164a -≤≤，故选答案为[]16,4-.15.【广西南宁2017届二模】定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+（,a b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，给出如下命题：①函数()2g x =-是函数(),0{1,0lnx x f x x >=≤的一个承托函数；②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数；③若函数()g x ax =是函数()xf x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[]0,e ；④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数. 其中正确的命题的个数为__________． 【答案】2三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.（本小题满分12分）中，角A，B，C所对的边分别是a，【广东省东莞市2017届高三二模】已知ABCb，c，B C=；sin sin（Ⅱ）若B为钝角，，求AC边上的高.【答案】（1）见解析（217. （本小题满分12分）【河北省武邑中学2017届高三一模】已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是以为直角的等腰三角形，且侧面与底面垂直.（I）求证：；（II）若点为侧棱上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为. 【答案】（1）见解析（2）为的中点.【解析】【试题分析】（1）依据题设先线面垂直，再运用线面垂直的性质定理分析求解；（2）先依据题设构建空间直角坐标系，借助空间向量的坐标形式及数量积公式分析求解：（I）证明：连接，则，又，,18. （本小题满分12分）【河南省夏邑一高2017届六模】已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ， {}n b 是等比数列，且112a b ==， 4427a b +=， 4410S b -=． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求1122n n n T a b a b a b =+++ 的值．【答案】（1）31n a n =-， ()*2n n b n N =∈．（2）188232n n n T n +=-⨯+⨯【解析】试题分析: （1）由等差数列和等比数列的基本量运算,可求得公差与公比,进而可求得数列的同项公式;（2）根据错位相减法求出n T 的值即可.19.（本小题满分12分）【安徽省六安市第一中学2017届高三第九次月考】自2016年下半年起六安市区商品房价不断上涨，为了调查研究六安城区居民对六安商品房价格承受情况，寒假期间小明在六安市区不同小区分别对50户居民家庭进行了抽查，并统计出这50户家庭对商品房的承受价格（单位：元/平方），将收集的数据分成[]0,2000， (]2000,4000，(]4000,6000， (]6000,8000， (]8000,10000五组（单位：元/平方），并作出频率分布直方图如图：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计出这50户家庭对商品房的承受价格平均值（单位：元/平方）；（Ⅱ）为了作进一步调查研究，小明准备从承受能力超过4000元/平方的居民中随机抽出2户进行再调查，设抽出承受能力超过8000元/平方的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）3360（2（Ⅱ）由频率分布直方图，承受价格超过4000元的居民共有()0.000090.000030.0000320005015++⨯⨯=户，⨯⨯=户，承受价格超过8000元的居民共有0.000032000503因此ξ的可能取值为0，1，2，ξ的分布列为：()Eξ20.（本小题满分13分）【河南省郑州市2017年第三次预测】已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）(II)直线的方程可设为，设联立可得由求根公式化简整理得假设在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，则即求得因此，在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.21.（本小题满分14分）【安徽省蚌埠市2017届高三二模】已知函数.（1）求函数在区间上的最大值；（2）若是函数图象上不同的三点，且，试判断与之间的大小关系，并证明．【答案】（1）见解析（2）见解析(2),,,令，所以在上是增函数，又，。

2017年高考数学40分钟精练题系列（3）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝()A.(2，3]B.(－∞，1]∪(2，＋∞)C.[1，2)D.(－∞，0)∪[1，＋∞)解析因为∁U A＝{x|x＞2，或x＜0} ，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁U A)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞).答案 D2.已知i是虚数单位，若a＋b i＝i2＋i－i2－i(a，b∈R)，则a＋b的值是()A.0B.－2 5iC.－25 D.25解析因为a＋b i＝i2＋i－i2－i＝2i＋1－2i＋14＋1＝25，所以a＝25，b＝0，a＋b＝25，故选D.答案 D3.已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则綈p是綈q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析因为綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈p是綈q必要不充分条件，故选B.答案 B4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是()A.①④B.②③C.②④D.①②解析 由所给的正方体知，△P AC 在该正方体上下面上的射影是①，△P AC 在该正方体左右面上的射影是④，△P AC 在该正方体前后面上的射影是④，故①，④符合题意.故选A. 答案 A5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，若过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个不同交点，则此双曲线实半轴长的取值范围是( ) A.(2，4)B.(2，4]C.[2，4)D.(2，＋∞)解析 椭圆x 225＋y 29＝1的半焦距c ＝4.要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即b a ＜tan 60°＝3，即b ＜3a ，∴c 2－a 2＜3a 2.整理得c ＜2a .∴a ＞2，又a ＜c ＝4，则此双曲线实半轴长的取值范围是(2，4).故选A. 答案 A6.若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列.已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝()A.10B.20C.30D.40解析∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，∴11x n ＋1－11x n＝x n ＋1－x n ＝d ，∴{x n }是等差数列. 又∵x 1＋x 2＋…＋x 20＝200＝20（x 1＋x 20）2，∴x 1＋x 20＝20，又∵x 1＋x 20＝x 5＋x 16，∴x 5＋x 16＝20.故选B. 答案 B7.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋4y ≥4，y ≥0，则x 2＋y 2＋2x 的最小值是()A.25B.2－1C.2425D.1解析满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，3x ＋4y ≥4，y ≥0的平面区域如图中阴影部分所示：∵x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，表示(－1，0)点到可行域内任一点距离的平方再减1，由图可知当x ＝0，y ＝1时，x 2＋y 2＋2x 取最小值1，故选D. 答案 D8.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6解析 若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于函数的最大值或最小值，即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，即sin φ＜0，0＜φ＜2π，当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件，故选C. 答案 C9.程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是( )A.2B.－12C.－3D.13解析 由程序框图知：S ＝2，i ＝1；S ＝1＋21－2＝－3，i ＝2；S ＝1－31＋3＝－12，i ＝3；S ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，i ＝4；S ＝1＋131－13＝2，i ＝5…，可知S 出现周期为4，当i ＝2 017＝4×504＋1时，结束循环，输出S ，即输出的S ＝2.故选A. 答案 A10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1，则S n 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 已知a n ＋S n ＝1，当n ＝1时，得a 1＝12；当n ≥2时，a n －1＋S n －1＝1，两式相减，得a n －a n －1＋a n ＝0，2a n ＝a n －1，由题意知，a n －1≠0，∴a n a n －1＝12(n ≥2)，∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列， ∴S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， ∴S n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.答案 C11.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B ，交其准线于点C ，若BC →＝－2BF →，|AF |＝3，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝12x B.y 2＝9x C.y 2＝6xD.y 2＝3x解析 分别过A ，B 点作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1， 过A 作AD ⊥x 轴.∴|BF |＝|BB 1|，|AA 1|＝|AF |.又∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠CBB 1＝60°，∴∠AFD ＝∠CFO ＝60°，又|AF |＝3，∴|FD |＝32，∴|AA 1|＝p ＋32＝3， ∴p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x . 答案 D12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（－x ）12，x ≤0，log 5x ，x >0，函数g (x )是周期为2的偶函数且当x ∈[0，1]时，g (x )＝2x －1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.5B.6C.7D.8解析 在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象如图所示，由图象可知当x >0时，有4个零点，当x ≤0时，有2个零点，所以一共有6个零点，故选B.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.某小卖部销售某品牌的饮料的零售价与销量间的关系统计如下：已知x ，y 的关系符合回归方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b ^x .若该品牌的饮料的进价为2元，为使利润最大，零售价应定为________元.解析 由于x ＝3.5，y ＝40，则a ^＝110，所以y ^＝－20x ＋110，设零售价为x 时的利润为Q ，则Q ＝(x －2)(－20x ＋110)＝－20x 2＋150x －220＝－20(x －3.75)2－220＋20×3.752＝－20(x －3.75)2＋61.25，所以零售价定为3.75元时，利润最大. 答案 3.7514.已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，则公比q ＝________.解析 因为等比数列{a n }为递增数列，且a 1＝－2＜0，所以公比0＜q ＜1，又因为3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，两边同除a n 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13，而0＜q ＜1，所以q ＝13. 答案 1315.如图，在△ABC 中，C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB→＝________. 解析 法一 如图，建立平面直角坐标系. 由题意知：A (3，0)，B (0，3)， 设M (x ，y )，由BM→＝2MA →，得⎩⎨⎧x ＝2（3－x ），y －3＝－2y ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1， 即M 点坐标为(2，1)， 所以CM →·CB →＝(2，1)·(0，3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB→2＝3. 答案 316.已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形.若P A ＝26，则△OAB 的面积为________.解析 根据球的内接四棱锥的性质求解. 如图所示，线段PC 就是球的直径，设球的半径为R，因为AB＝BC＝23，所以AC＝2 6.又P A＝26，所以PC2＝P A2＋AC2＝24＋24＝48，所以PC＝43，所以OA＝OB＝23，所以△AOB是正三角形，所以S＝12×23×23×32＝3 3.答案33。

2017年高考数学40分钟精练题系列（11）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A.[0，1]B.(0，1]C.[0，1)D.(－∞，1]解析 由M ＝{x |x 2＝x }＝{0，1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝(0，1]，得M ∪N ＝{0，1}∪(0，1]＝[0，1].故选A. 答案 A 2.已知复数z ＝21＋i＋2i ，则z 的共轭复数是( ) A.－1－i B.1－i C.1＋iD.－1＋i解析 由已知z ＝21＋i＋2i ＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝ 1－i ，选B. 答案 B3.已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x 13，则在区间(－2，0)上，下列函数中与y ＝f (x )的单调性相同的是( ) A.y ＝－x 2＋1 B.y ＝|x ＋1|C.y ＝e |x |D.y ＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥0，x 3＋1，x ＜0解析 由已知得f (x )是在(－2，0)上的单调递减函数，所以答案为C. 答案 C4.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.1B.12C.－1D.－12解析 由图知，A ＝2，且34T ＝5π6－π12＝3π4，则周期T ＝π，所以ω＝2. 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，则2×π12＋φ＝π2，从而φ＝π3.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin 5π6＝1，选A. 答案 A 5.下列四个结论：①p ∧q 是真命题，则綈p 可能是真命题；②命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＜0”的否定是“∃x ∈R ，x 2－x －1≥0”；③“a ＞5且b ＞－5”是“a ＋b ＞0”的充要条件； ④当a ＜0时，幂函数y ＝x a 在区间(0，＋∞)上单调递减. 其中正确结论的个数是( ) A.0个B.1个C.2个D.3个解析 ①若p ∧q 是真命题，则p 和q 同时为真命题，綈p 必定是假命题；②命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”；③“a ＞5且b ＞－5”是“a ＋b ＞0”的充分不必要条件；④y ＝x a ⇒y ′＝a ·x a －1，当a ＜0时，y ′＜0，所以在区间(0，＋∞)上单调递减.选B. 答案 B6.过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝( ) A.0B.5C.5D.503解析 由圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0得C (0，2)，半径r ＝ 5.∵过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，∴BA →·CB →＝0，∴CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＝5，所以选C. 答案 C7.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为y ^＝0.8x －155，后因某未知原因第5组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为m (如下表所示)，则利用回归方程可求得实数m 的值为( )A.8.3 解析 x ＝196＋197＋200＋203＋2045＝200，y ＝1＋3＋6＋7＋m 5＝17＋m5.由回归直线经过样本中心，17＋m5＝0.8×200－155⇒m ＝8.故选D. 答案 D8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于( ) A.2 B.1 C.23D.223解析 由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V ＝12×1×1×2－13×12×1×1×2＝23.故选C. 答案 C9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A.14B.15C.16D.17解析 由程序框图可知，从n ＝1到n ＝15得到S ＜－3，因此将输出n ＝16. 答案 C10.若实数x ，y 满足的约束条件⎩⎨⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a ，b ，则z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值的概率为( ) A.56B.25C.15D.16解析 约束条件为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，－1)，B (－2，－1)，C (0，1)，要使函数z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值，需满足－2ab ≤－1⇒b ≤2a ，将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对(a ，b )，其中满足b ≤2a 有6＋6＋5＋5＋4＋4＝30对，所以所求概率为3036＝56.选A. 答案 A11.如图所示，已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA ＝EB ＝3，AD ＝2，∠AEB ＝60°，则多面体E －ABCD 的外接球的表面积为( ) A.16π3B.8πC.16πD.64π解析 将四棱锥补形成三棱柱，设球心为O ，底面重心为G ，则△OGD 为直角三角形，OG ＝1，DG ＝3，∴R 2＝4，∴多面体E －ABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝16π.故选C. 答案 C12.已知函数f (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e (其中e 为自然对数的底数)与函数g (x )＝2ln x的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2 C.[1，e 2－2]D.[e 2－2，＋∞)解析 由已知得方程－(a －x 2)＝2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，设h (x )＝2ln x －x 2，求导得h ′(x )＝2x －2x ＝2（1－x ）（1＋x ）x ，因为1e ≤x ≤e ，所以h (x )在x ＝1处有唯一的极大值点，且为最大值点，则h (x )max ＝h (1)＝－1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e 2，h (e)＝2－e 2，且h (e)＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以h (x )的最小值为h (e)＝2－e 2.故方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，从而解得a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选C. 答案 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.已知函数f (x )＝ln x ，若在(0，3e)上随机取一个数x ，则使得不等式f (x )≤1成立的概率为________.解析 ∵ln x ≤1⇔ln x ≤ln e ⇔0<x ≤e ，故所求概率p ＝e －03e －0＝13. 答案 1314.已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，则向量a ＋b 在向量a 方向上的投影是________.解析 依题意得：(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，因此向量a ＋b 在向量a 方向上的投影是0. 答案 015.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a －y 2＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a ＝______.解析 因为抛物线的准线为x ＝－p 2，则有1＋p2＝5，得p ＝8，所以m ＝4，又双曲线的左顶点坐标为(－a ，0)，则有41＋a ＝1a，解得a ＝19. 答案 1916.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－|x 3－2x 2＋x |，x ＜1，ln x ，x ≥1，若命题“∃t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，则实数k 的取值范围是________.解析 当x ＜1时，f (x )＝－|x 3－2x 2＋x |＝－|x (x －1)2|＝⎩⎨⎧x （x －1）2，x ≤0，－x （x －1）2，0＜x ＜1，当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)＞0，f (x )是增函数；当0＜x ＜1时，f ′(x )＝－(x －1)(3x －1)，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上是增函数，作出函数y ＝f (x )在R 上的图象，如图所示.命题“∃t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，即对任意的t ∈R ，且t ≠0，f (t )＜kt 恒成立，作出直线y ＝kx ，设直线y ＝kx 与函数y ＝ln x (x ≥1)的图象相切于点(m ，ln m )，则由(ln x )′＝1x ，得k ＝1m ，即ln m ＝km ，解得m ＝e ，k ＝1e .设直线y ＝kx 与y ＝x (x －1)2(x ≤0)的图象相切于点(0，0)，所以y ′＝(x －1)(3x －1)，则k ＝1，由图象可知，若f (t )＜kt 恒成立，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1。

北京市2017届高三综合练习数学（理）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=｛一l,0，1，2｝，集合A={一l,2}，B={0，2｝,则=⋂B A C U)(A ．｛0}B ．｛2}C ．｛0,l,2}D ．φ 2．已知i 为虚数单位,2=iz ，则复数=zA ．i -1B ．i +1C ．2iD ．－2i3．“a=2"是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主 视图是腰长为1的等腰直角三角形，则 这个几何体的体积是A ．21B ．1C ．23 D ．25．函数2(sin cos )1y x x =+-是11主视图左视图俯视图否A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数6．过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线,则切线长为A ．33B ．36C ．22D ．247．将图中的正方体标上字母, 1111A BC D -， 不 同的标字母方式共有A ．24种B ．48种C ．72种D ．144种8．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=,且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-,函数()()()lg 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个 数为A ．5B ．7C ．8D ．10二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，满分30分．9．二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含4是 （用数字作答）10．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件 是 ． 11．如图，PAA 为切点,PBC 的割线，且PB PA 3=，则=BCPB ． 12． 当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立,则实数a 的取值范围为 ．13．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为,M 若直线13+-=k kx y 与平面区域M有公共点,则k 的取值范围是 ．14．手表的表面在一平面上．整点1,2,…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i 到整点(i ＋1）的向量记作1+i i t t ,则2111243323221t t t t t t t t t t tt ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝．三、解答题:本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．(本小题满分13分）P在ABC ∆中,a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=．（Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若a =设角B 的大小为x ,ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形,AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE;（Ⅱ)求证：平面BDE⊥平面SAC；（Ⅲ)当二面角E BD C--的大小为45︒时,试判断点E在SC上的位置，并说明理由．17．（本小题满分13分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克）,重量的分组区间为(],490，495 (]515510．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示：,495,…,(]500,（Ⅰ)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量;（Ⅱ）在上述抽取的40个产品中任职2件,设ξ为重量超过505克的产品数量，求ξ的分布列;(Ⅲ)从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率．18．（本小题满分13分)已知xx x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=,其中e 是自然常数,R a ∈．（Ⅰ）讨论1=a 时，()f x 的单调性、极值; (Ⅱ）求证：在(Ⅰ)的条件下,1()()2f xg x >+；(Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3,若存在,求出a 的值；若不存在，说明理由．已知：椭圆12222=+by a x （0>>b a )，过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若DF ED 2=，求直线EF 的方程；（Ⅲ)是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点)0,1(-D ？若存在，求出k 的值;若不存在，请说明理由．定义:对于任意*n ∈N ,满足条件212nn n aa a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数)的无穷数列{}na 称为T 数列．（Ⅰ）若29nan n =-+（*n ∈N ），证明：数列{}n a 是T 数列；(Ⅱ)设数列{}n b 的通项为3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且数列{}nb 是T 数列，求常数M 的取值范围; (Ⅲ)设数列1npcn=-（*n ∈N ,1p >）,问数列{}n c 是否是T 数列?请说明理由．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．9．10 10．2011≤i 11．2112．]2,1( 13．)0,31[- 14．936-三、解答题:本大题共6小题，满分80分． 15．（本小题满分13分)在ABC ∆中,a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=．（Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若a =设角B 的大小为x ,ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值．解：（Ⅰ)∵222bc a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==又0A π<<， ∴3A π=；——-————-—--———---——--——---——--—-——————-—-—---—-————-—--——--——5分（Ⅱ）∵Aa xb sin sin =，∴x x x a b sin 2sin 233sin 3sin=⋅=⋅=π同理)32sin(sin sin x C A a c -=⋅=π ∴3)6sin(323)32sin(2sin 2++=+-+=ππx x x y∵320,3ππ<<∴=x A ∴)65,6(6πππ∈+x ,∴62x ππ+=即3x π=时，max y =——-———-——---———-—————-—————13分16．(本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中,底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ,E 为侧棱SC上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面SAC ； （Ⅲ)当二面角E BD C --的大小为45︒时,试判断点E 在SC 上的位置，并说明理由． （Ⅰ）证明：连接OE ，由条件可得SA ∥OE 。

掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．本节内容在高考中的考查方式：（1）圆的方程的求解、圆的几何性质；（2）圆与其他曲线的综合问题．1．圆的方程圆的标准方程 圆的一般方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是圆心和半径 方程222()()(0)x a y b r r -+-=> 22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 圆心(,)a b (,)22D E -- 半径 r 22142D E F +- 区别与 联（1）圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长;（2）圆的一般方程的代数结构明显，圆心坐标和半径长需要通过代数运算才能得出；系 （3）二者可以互化：将圆的标准方程展开可得一般方程,将圆的一般方程配方可得标准方程注：当D 2+E 2－4F = 0时,方程x 2+y 2+Dx +Ey +F = 0表示一个点(,)22D E --;当D 2+E 2－4F ＜0时，方程x 2+y 2+Dx +Ey +F = 0没有意义，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系标准方程的形式一般方程的形式 点（x 0,y 0)在圆上22200()()x a y b r -+-= 2200000x y Dx Ey F ++++= 点（x 0,y 0）在圆外22200()()x a y b r -+-> 2200000x y Dx Ey F ++++> 点(x 0，y 0）在圆内22200()()x a y b r -+-< 2200000x y Dx Ey F ++++<【例1】(1)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标为__________，半径r 为__________；（2）若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是__________．【答案】(1)(2，－3） 13；（2)2(2,)3-【解析】（1)方法一 将圆的一般方程化为标准方程得22(2)(3)13x y -++=，故圆心坐标为(2，－3)，半径r 为13．方法二 因为圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的圆心为(,)22D E--，半径r 为22142D E F +-, 所以圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心为（2，－3),半径r 为2214640132+-⨯=．（2）由题意知a 2＋4a 2－4（2a 2＋a －1)＞0,解得223a -<<．【考点定位】圆的几何要素【名师点睛】熟练掌握圆的一般方程与标准方程的转化以及方程表示圆的条件是求解的关键．【例2】求满足下列条件的圆C 的方程：(1）圆心为(1,1）且过原点;(2)圆心在x 轴上，并且过点A （－1，1)和B （1，3）；（3）圆C 经过P (－2,4），Q (3，－1)两点,且在x 轴上截得的弦长等于6;（4）圆心在直线x －2y －3=0上，且过A (2，－3)，B (－2，－5）两点．【解析】（1）因为圆的半径22112r =+=， 所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2．（2）设圆心坐标为C （a,0)，因为点A (－1,1）和B （1，3）在圆C 上，所以|CA ｜＝|CB|，方法三 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为(,)22D E --， 由题意得49230425250()2()3022D E F D E F D E ⎧++-+=⎪⎪+--+=⎨⎪⎪--⨯--=⎩，解得245D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩, 故所求圆的方程为x 2+y 2+2x +4y －5=0．方法四 易得过点A （2，－3），B （－2，－5)的直线方程为x －2y －8=0，AB 的垂直平分线的方程为2x +y +4=0，与x －2y －3=0联立可得圆心C 的坐标为(－1，－2），半径r =22(12)(23)10--+-+=,故所求圆的方程为（x +1)2+(y +2)2=10．【考点定位】圆的标准方程与一般方程【名师点睛】本题中圆的半径不明显，所以设圆的标准方程和一般方程均可．另外，在用几何法求圆的方程时,充分利用圆的有关几何性质可以达到事半功倍的效果,例如(4）中的方法四，由利用圆的性质可知圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而可求得圆心坐标及半径，简化了计算,显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．【例3】（1）【2014陕西】若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为_________；（2)已知圆C1:（x+1)2+（y－1）2 =1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1=0对称，则圆C2的方程为_________；(3）若圆（x+1）2+(y－3）2=9上相异两点P，Q关于直线kx+2y－4=0对称，则k的值为_________；（4）圆(x+2）2+y2=5关于原点(0,0）对称的圆的方程为_________．所以所求圆的圆心为（2，0)，半径长为5,故所求圆的方程为(x－2）2+y2=5．【考点定位】圆的标准方程与一般方程【名师点睛】掌握对称圆的几何特性对于解决圆的对称问题非常重要，且此类问题往往与直线的位置关系综合命题．同时应注意：对称圆的半径不变,圆的对称问题实际上就是点的对称问题，求解的关键就是圆心的确定．【例4】已知圆x2＋y2＝4上一点A（2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．（1）求线段AP中点的轨迹方程;(2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹．【解析】（1）设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4．故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．（2)设PQ的中点为N（x，y)，在Rt△PBQ中，|PN｜＝｜BN｜，设O为坐标原点,连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP |2＝｜ON |2＋|PN ｜2＝|ON ｜2＋|BN |2，即x 2＋y 2＋（x －1） 2＋（y －1） 2＝4，故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0，即22113()()222x y -+-=， 故线段PQ 中点的轨迹是以11()22，为圆心，62为半径长的圆． 【考点定位】圆的标准方程与一般方程【名师点睛】求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形,再由图形求方程．对于某些较复杂的探究轨迹方程的问题,可先确定一个较易求得的点的轨迹方程，再以此点为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程．【例5】平面上的两个向量OA ，OB 满足｜OA ｜=a ，|OB |=b ，且OA ⊥OB ，a 2+b 2=4．向量OP =x OA +y OB ()x,y ∈R ，且a 2(x 12-）2+b 2（y 12-）2=1．（1)若点M 为线段AB 的中点,求证：MP =（x 12-)OA + （y 12-)OB ；（2）求|OP |的最大值，并求此时四边形OAPB 面积的最大值．【解析】（1）因为点M 为线段AB的中点,所以OM =12OA +12OB ， 所以MP =OP OM -=( x OA +y OB ）－（12OA +12OB ）=(x 12-)OA + （y 12-）OB ．则由OA⊥OB，知|NA|=｜NB|=|NO｜｜AB|=11)可得｜NP｜2=|OP ON-|2=（2OA2+（2OB2=(x ）2 b2=1，所以｜NP|=|NO｜=｜NA｜=｜NB|=1，故P，A，B四点都在以为圆心，1为半径的圆上．所以当且仅当OP为圆N的直径时,｜OP｜max=|OA｜|OB｜=，当且仅当OAPB面积的最大值为【考点定位】向量与圆的综合问题、基本不等式论，去探究｜OP|的最大值．跟踪训练1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为A．－1 B．1C．3 D．－32．已知圆x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1）2＝0，若0＜a ＜1，则原点与圆的位置关系是A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不能确定3．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0（a ，b ∈R ）对称，则ab 的取值范围是A ．1(,]4-∞B ．1[0,]4C ．1[,0]4-D ．1(,]4-∞- 4．【2015新课标全国Ⅱ】过三点A （1，3)，B （4，2）,C （1,－7）的圆交y 轴于M ，N 两点,则|MN |＝A ．B ．8C ．D ．105．点P (4,－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程为________．6．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1，0),且被x 轴分成的两段弧长的比为1∶2，则圆C 的方程为________．7．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0),B (3,4),线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C ，D ，且｜CD |＝（1）求直线CD 的方程；（2）求圆P 的方程．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22,在y 轴上截得线段长为23．（1）求圆心P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线y ＝x 的距离为22,求圆P 的方程．1．B 【解析】因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心为(－1，2)，所以3×（－1）＋2＋a ＝0，解得a ＝1．2．B 【解析】将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋（y ＋1)2＝2a ，因为0＜a ＜1，所以(0＋a ）2＋（0＋1）2－2a ＝（a －1）2＞0，22(0)(01)2a a +++>所以原点在圆外．3．A 【解析】由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1，2），所以－2a －2b ＋2＝0，即b ＝1－a ，所以ab ＝a （1－a ）＝2111()244a --+≤，故选A ．4．C 【解析】设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2420D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y－20＝0，令x ＝0,得y 2＋4y －20＝0,设M （0，y 1），N （0,y 2)，则y 1＋y 2＝－4,y 1y 2＝－20，所以｜MN ｜＝|y 1－y 2|＝=C ．5．(x －2)2＋（y ＋1)2＝1 【解析】设圆上任一点为Q (x 0,y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则002422x x y y =+⎧⎨=-⎩，即002422x x y y =-⎧⎨=+⎩，因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以2204x y +=，即（2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2）2＋(y ＋1)2＝1． 6．x 2＋2(y ±＝43 【解析】由已知可得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对的圆心角为23π，设圆心为(0,a )，半径为r ，则r sin 3π=1，r cos 3π=|a |，解得rr 2=43，｜a ｜a＝C的方程为x 2＋2(3y ±＝43．7．【解析】（1）因为直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为（1,2)， 所以直线CD 的方程为y －2＝－（x －1），即x ＋y －3＝0． （2）设圆心P （a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0 ①． 又直径|CD ｜＝所以|PA ｜＝即(a ＋1）2＋b 2＝40 ②．由①②解得36a b =-⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=-⎩，所以圆心坐标为(－3，6）或(5,－2）． 所以圆P 的方程为（x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5）2＋（y ＋2)2＝40． 8．【解析】（1）设P (x ，y ），圆P 的半径为r ， 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2,从而y 2＋2＝x 2＋3．故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1． （2)设P （x 0，y 0)，由已知得00||222xy -=．又P 在y 2－x 2＝1上,从而得002200||11x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，由00220011x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，得0001x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，圆P 的半径r ＝3；由00220011x y y x -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩,得001x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,圆P 的半径r ＝3．故圆P 的方程为x 2＋（y －1）2＝3或x 2＋(y ＋1）2＝3．1．确定圆的方程的方法和步骤（1）直接法．根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．（2)待定系数法．步骤：①根据题意，选择标准方程或一般方程;②根据条件列出关于a ，b ，r 或D ,E ，F 的方程组；③解出a ,b ,r 或D ，E ，F ,代入即可得圆的标准方程或一般方程．2．求圆的方程时，选择设标准方程还是一般方程的一般原则：如果由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程（组）,则通常选择设圆的标准方程；否则选择设圆的一般方程．3．求圆的方程必须具备三个独立的条件：从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径,从圆的一般方程来讲,能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程的常用方法．4．用几何法求圆的方程时,要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”,“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”等．5．与圆有关的对称问题：6．求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；（2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；（3)几何法：利用圆的几何性质列方程；(4）代入法：找到要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．1．“轨迹”与“轨迹方程”的区别：“轨迹"是图形，要指出形状、位置、大小（范围)等特征；“轨迹方程”是方程（等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．因此应明确题意,看所求的是“轨迹”还是“轨迹方程"，谨防出错．2．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种形式的圆的方程，都要列出关于系数的三个独立方程．。