安徽省合肥一中1314学年高二上学期期中考试数学理试题(附答案)

安徽省鼎尖教育2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（A 卷）一、单选题1．抛物线24y x =的焦点坐标是（）A ．()1,0B ．()0,1C ．1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知,x y ∈R ，向量(1,,2),(1,1,)a x b y =-=- ，且//a b ，则x y +=（）A ．1B ．-1C ．2D ．-23．已知点(3,1)P 是直线l 上一点，且(3,1)v = 是直线l 的一个方向向量，若角α的终边落在直线l 上，则tan 2α=（）A ．34B ．34-C ．43D ．43-4．如图，在三棱锥O ABC -中，2,,,,3OA a OB b OC c BD BCE ==== 是线段AD 的中点，则OE = （）A ．111236a b c ++ B ．111623a b c ++ C ．111362a b c ++ D ．111263a b c ++ 5．已知圆221:26100C x y x y m ++-+-=被x 轴截得的弦长为222:8300C x y y ++-=，则两圆的公共弦所在的直线方程为（）A ．7120x y --=B ．780x y -+=C ．7120x y -+=D ．7180x y --=6．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，111,4,3AB AD AC AA ====，11π3A AB A AD ∠=∠=，则BAD ∠=（）A ．π3B ．2π3C ．π4D ．π27．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一个顶点为(2,0)，左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 经过2F ，且与C 交于A ，B 两点.若234BF BA = ，120AF AF ⋅= ，则C 的离心率为（）A B C D 8．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，可以转化为点(,)A x y与点(,)B a b 之间距离的几何问题.若曲线2C ，且点M ，N 分别在曲线C 和圆：22(2)8x y +-=上，则M ，N 两点间的最大距离为（）A ．52+B ．72+C ．3+D ．4+二、多选题9．关于空间向量，下列说法正确的是（）A ．若,a b 共线，则||||||a b a b +=- B ．已知(1,2,2),(2,,4)a b x =-= ，若a b ⊥ ，则5x =C ．若对空间中任意一点O ，有121236OP OA OB OC =+- ，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若向量{},,a b c 能构成空间的一个基底，则{,,}a b b c a b --+ 也能构成空间的一个基底10．若0a ≠，直线212:230,:20l ax y a l a x y ++=--=，则下列说法正确的是（）A ．直线1l 过定点(3,0)-B ．直线2l 一定经过第一象限C ．点(1,3)P 到直线1l的距离的最大值为D ．12//l l 的充要条件是12a =-11．已知椭圆221222:1(0),,x y C ab F F a b+=>>分别为C 的左、右焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，且点P 到2F 距离的最大值和最小值分别为3和1.下列结论正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为12B ．存在点P ，使得12PF PF ⊥C ．若1272PF PF ⋅=，则12PF F 外接圆的面积为49π24D ．22121212PF PF PF PF +++ 的最小值为167三、填空题12．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262年—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且1)k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点(2,0),(2,0)A B -，点P 满足||PA=|PB ，则点P 的轨迹所对应的阿波罗尼斯圆的半径为.13．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA AB ==1AD =，点P 满足1CP mCB = (01)m <<，当1174C P D P ⋅= 时，m 的值为.14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线l 与C 相交于P ，Q 两点，且1123PF FQ +=，若54PQ =，则直线l 的斜率为.四、解答题15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，点D ，E ，F 分别为1,,AB BC BB 的中点.(1)证明：11//AC 平面1B DE ；(2)若1222AC AB AA ===，求直线D 与平面11A FC 的距离.16．在平面直角坐标系中，圆C 为过点(2,0)A -，(1,3)B -，(2,2)D 的圆.(1)求圆C 的标准方程；(2)过点(1,1)G 的直线l 与C 交于M ，N 两点，求弦MN 中点P 的轨迹方程.17．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是正方形，,PD AB PD =⊥底面ABCD ，E 是线段PC 的中点，G 在线段PB 上，且满足EG 与PA 所成的角为45︒.(1)证明：DE PB ⊥；(2)求平面ACG 与平面DEG 夹角的余弦值.18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>1F ，2F 分别为其左、右焦点，P 为双曲线C 上任意一点，且12PF PF ⋅ 的最小值是1-.(1)求双曲线C 的方程；(2)记双曲线C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，直线5:2l x my =+与C 的右支交于M ，N 两点.（i ）求实数m 的取值范围；（ii ）若直线1A M ，2A N 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 是定值.19．若椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>上的两个点()(),,,M M N N M x y N x y 满足220M N M N x x y y a b +=，则称M ，N 为该椭圆的一个“共轭点对”，点M ，N 互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点M ，总有两个共轭点12,N N .已知椭圆22:184x y C +=，点()00,A x y 是椭圆C 上一动点，点A 的两个共轭点分别记为()()111222,,,B x y B x y .(1)当点A坐标为时，求12B B ；(2)当直线12,AB AB 斜率存在时，记其斜率分别为12,k k ，其中120k k ≠，求12k k +的最小值；(3)证明：12AB B 的面积为定值.。

安徽省江淮名校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知椭圆的方程为22143x y +=，则该椭圆的（）A ．长轴长为2BC ．焦距为1D ．离心率为122．纵截距为1且倾斜角为120︒的直线方程为（）A ．1y =-B ．1y =+C ．1y =-D ．1y =+310=的化简结果是（）A ．22153x y +=B ．22135x y +=C ．221259x y +=D ．221925x y +=4．在空间直角坐标系中，已知()()1,2,4,3,6,22a b λ==- ，则78λ>-是a与b夹角为锐角的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知直线1:210l x y -+=与直线2:240l x y -+=，在1l 上任取一点A ，在2l 上任取一点B ，连接AB ，取AB 的靠近点A 三等分点C ，过点C 作1l 的平行线3l ，则1l 与3l 之间的距离为（）A B C ．15D 6．已知直线():10l kx y k -+-=，圆22:(1)(2)1C x y ++-=，以下说法不正确的是（）A ．l 与圆C 不一定存在公共点B ．圆心C 到lC ．当l 与圆C 相交时，34k -<<D ．当1k =-时，圆C 上有三个点到l 的距离为227．已知O 为坐标原点，1F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点．若椭圆C 上存在两点,A B 满足11F A F B ⊥，且,A B 关于原点O 对称，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．()0,1B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．⎣⎦8．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，111,90,60AB AD AA BAD A AB ∠∠=====，145A AD =∠ ，则点1A 到平面ABCD 的距离为（）A B ．14C ．12D 二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．“1a =-”是“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”的充要条件B ．“2a =-”是“直线220ax y a ++=与直线()110x a y +++=互相平行”的充要条件C ．直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．若点()1,0A ，()0,2B ，直线l 过点()2,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是112k -≤≤10．空间直角坐标系O xyz -中，已知向量()(),,0u a b c abc =≠，则经过点()0000,,P x y z ，且法向量为u的平面方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，经过点()0000,,P x y z 且一个方向向量为u的直线l 的方程为000x x y y z z a b c---==，根据上面的材料，以下选项说法正确的是（）A ．若直线l 的方程为123234x y z ---==，则点()3,5,7Q 在直线l 上B ．已知平面α的方程1x y z -+=，平面β的方程为26x y z +-=，则这两平面所成角的余弦值为3C ．已知平面α的方程为3457x y z -+=，则点()1,1,1M 到平面αD ．已知平面α的方程为325x y z +-=，平面β的方程为20x y z ++=，平面γ的方程为0,x y z l αβ-+=⋂=，则直线l 与平面γ的夹角的正弦值为1511．已知椭圆22143x y +=左右焦点分别为12F F ､，点P 是椭圆上任意一点，1221,PF F PF F αβ∠=∠=，则下列结论正确的是（）A ．12PF FB ．()sin 1sin sin 2αβαβ+=+C ．1tantan 223αβ=D ．12PF F 的内心在一定圆上三、填空题12．设直线1l 和2l 的方向向量分别为()()1,1,2,2,3,a b t ==- ，且12l l ⊥，则t =．13．当直线:10l mx y m +--=被圆22:40C x y x +-=截得的弦长最短时，实数m =．14．已知定直线12::22l y l y =-=､，点A B ､分别是12,l l 上的动点，且AB =则AB 的中点M 的轨迹方程为.四、解答题15．已知圆C 经过点()1,0A -和()3,0B ，且圆心在直线0x y -=上．(1)求圆C 的方程；(2)过点()2,2M -作圆C 的切线，切点分别为E F ､点，求四边形MECF 的面积．16．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，PD ⊥底面ABCD .其中3,2AB AD ==，点,E F 分别在棱,AB CD 上，且1AE CF ==，点G 为棱AD 的中点.(1)证明：PE FG ⊥；(2)已知4PD =，求平面PGF 与平面PAB 夹角的余弦值.17．已知椭圆()222210+=>>x y a b a b的离心率为12，点()2,0M 是椭圆上一点，过点()2,0M 作斜率之积为1-的两条直线1212,l l l l ､､与椭圆的另一交点分别为A B ､．(1)求椭圆的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点N ．18．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,,AB AC AB AC AA E F ⊥===分别为棱11,AC BC 的中点．(1)求三棱锥1E ACB -的体积．(2)设直线EF 与平面1ACB 的交点为G ，求直线1A G 与平面1ACB 夹角的正弦值．19．如图，过椭圆的左､右焦点12,F F 分别作长轴的垂线12,l l 交椭圆于1122,,,A B A B ，将12,l l 两侧的椭圆弧删除再分别以12,F F 为圆心，1122,F A F A 线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在12,l l 之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，12,l l 两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”．已知左右两个帽檐段所在的圆方程分别为221(1)2x y ±+=．(1)求“帽体段”的方程；(2)过1F 的直线AB 交“帽体段”于点A ，交“帽檐段”于点B ，点A 在x 轴的上方．设12AF F △与12BF F △的面积分别为12S S ､：①求12S S ⨯的最大值；②求使得12S S +取得最小值时的弦长A ．。

安徽省2021年高二上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一上·佛山月考) 已知集合，则＝（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二上·大连期末) 设命题P：∃n∈N，n2＜2n ，则￢P为（）A . ∀n∈N，n2＜2nB . ∃n∈N，n2≥2nC . ∀n∈N，n2≥2nD . ∃n∈N，n2＞2n3. （2分）(2017·潮南模拟) 已知函数f（x）=lnx﹣（）x﹣2的零点为x0 ，则x0所在的区间是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，3）D . （3，4）4. （2分）(2017·淮北模拟) 在△ABC中，，则△ABC的周长为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·屯溪开学考) 已知| |=1，| |=6，•（﹣）=2，则向量与向量的夹角是（）A .B .C .D .6. （2分）设P：在(－∞，＋∞)内单调递减，q：，则P是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m2 ，互相平行的两个侧面的距离为1m，则这个六棱柱的体积为（）A . m3B . m3C . 1m3D . m38. （2分） (2019高二下·南充月考) 已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高二上·榆林月考) 如果等差数列中，那么（）A . 28B . 21C . 35D . 1410. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知实数x，y满足，其中a= （x2﹣1）dx，则z=2|x ﹣1|+|y|的最小值是（）A . 5B . 3C . 6D . 211. （2分） (2019高二上·天河期末) 已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于、两点，点为双曲线上异于、的动点，且直线、的斜率分别为、，若双曲线的离心率为，则（）A .B .C .D .12. （2分）若函数的图象在处的切线与圆相切，则a+b的最大值是（）A . 4B .C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·安徽月考) 已知等比数列满足，，则公比________.14. （1分）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为________.15. （1分）下面给出的是用条件语句编写的程序，该程序的功能是求函数________的函数值．16. （1分） (2016高二上·黑龙江期中) 过抛物线y2=8x焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB 中点M的横坐标为4，则|AB|=________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2016高二上·驻马店期中) 已知a＞0，集合A={x|ax2﹣2x+2a﹣1=0}，B={y|y=log2（x+ ﹣4）}，p：A=∅，q：B=R．（1）若p∧q为真，求a的最大值；（2）若p∧q为为假，p∨q为真，求a的取值范围．18. （15分） (2019高二上·孝感月考) 如图 1，在直角梯形中，，且．现以为一边向外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图 2．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求与平面所成角的正弦值.19. （10分） (2017高一下·长春期末) 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA+acosB=0．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．20. （10分）(2017·临川模拟) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，且S5=a5+a6=25．（1）求{an}的通项公式；（2）若不等式2Sn+8n+27＞（﹣1）nk（an+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．21. （10分）我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品的关税税率t、市场价格x（单位：元）与市场供应量P之间满足关系式：P=2 ，其中b，k为正常数，当t=0.75时，P关于x的函数的图象如图所示：（1）试求b，k的值；（2）记市场需求量为Q，它近似满足Q（x）=2﹣x ，当时P=Q，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4元时，求税率的最大值．22. （10分） (2017高三上·邯郸模拟) 如图，设椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，A，B 分别为椭圆C的左、右顶点，F为右焦点．直线y=6x与C的交点到y轴的距离为，过点B作x轴的垂线l，D 为l 上异于点B的一点，以BD为直径作圆E．（1）求C 的方程；（2）若直线AD与C的另一个交点为P，证明PF与圆E相切．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

2020－2021学年度第一学期高二年级期中教学质量检测数学（理）参考答案第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题4个选项中，只有1个选项符合题目要求.）题号123456789101112答案B B D C D C A B A D A C第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.）13.0302=+=-+y x y x 或14.621915.π10016.①②三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答题应写出文字说明及演算步骤.）18.(12分）解：（1）由题意，直线AC 的方程为：2110x y +-=.解方程组2502110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得顶点C 的坐标为(4,3).......6分（2）设00(,)B x y ，则0051(,)22x y M ++，于是有0015502y x ++--=，即00210x y --=.与00250x y --=联立，解得B 点的坐标为(1,3)--，于是直线BC 的方程为6590x y --=.......12分19.（12分）证明：（1）∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ．由∠BCD ＝90°知，BC ⊥DC ，∵PD∩DC ＝D ，PD,CD ⊂平面PCD,∴BC ⊥平面PDC ，又∵PC ⊂平面PCD ∴BC ⊥PC ．......6分（2）设点A 到平面PBC 的距离为h ，∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°，∵AB ＝2，BC ＝1，∴S △ABC ＝12AB·BC ＝1，∵PD ⊥平面ABCD ，PD ＝1，∴V P －ABC ＝13S △ABC ·PD ＝13，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥DC ，∵PD ＝DC ＝1，∴PC ＝2，∵PC ⊥BC ，BC ＝1，∴S △PBC ＝12PC·BC ＝22，∵V A －PBC ＝V P －ABC ，∴13S △PBC ·h ＝13，∴h ＝2，∴点A 到平面PBC 的距离为2．......12分20.（12分）证明:(1)连接BD 交AC 于点O,连接EO,∵O,E 分别为BD,PD 的中点,∴EO ∥PB.又EO ⊂平面EAC,PB ⊄平面EAC,∴PB ∥平面EAC.......4分（2） 四边形ABCD 是矩形∴CD ⊥AD∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD=AD,CD ⊂平面ABCD∴CD ⊥平面PAD ，又∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PDC ⊥平面PAD.∵正三角形PAD 中,E 为PD 的中点,∴AE ⊥PD.又∵平面PDC∩平面PAD=PD ，AE ⊂平面PAD ，∴AE ⊥平面PCD.......8分(3)由(2)知AE ⊥平面PCD,∴直线AC 与平面PCD 所成的角为∠ACE.在Rt △ACE 中,∠ACE=30°,AC=2AE,又∵AE=23AD,∴AC=3AD.又AC=22CD AD +,∴22CD AD +=3AD,解得CD=2AD,∴AD CD =2.......12分21.（12分）证明：（1）把直线l 的方程改写成（x+y ﹣4）+m （2x+y ﹣7）＝0，由方程组，解得，所以直线l 总过定点（3，1）．......3分圆C 的方程可写成（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，所以圆C 的圆心为（1，2），半径为5．定点（3，1）到圆心（1，2）的距离为5，即点（3，1）在圆内．......5分所以过点（3，1）的直线总与圆相交，即不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交．......6分（2）设直线l 与圆交于A 、B 两点．当直线l 过定点M （3，1）且垂直于过点M 的圆C 的半径时，l 被截得的弦长|AB|最短．......8分因为|AB|＝2224，......10分此时k AB 2，所以直线AB 的方程为y ﹣1＝2（x ﹣3），即2x ﹣y ﹣5＝0．故直线l 被圆C 截得的弦长最小值为4，此时直线l 的方程为2x ﹣y ﹣5＝0．......12分22.（12分）解：(1)设点P 的坐标为(x,y),则由|PA|=2|PB|,得()224y x ++=2()221y x ++,平方可得x 2+y 2+8x+16=4(x 2+y 2+2x+1),整理得,曲线E 的方程为x 2+y 2=4.......4分(2)直线l 的方程为y=kx-4,依题意可得△COD 为等腰直角三角形,则圆心到直线l 的距离d=142+-k =21·|CD|=2,∴k=±7.......8分(3)由题意可知,O,Q,M,N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上,设Q ⎪⎭⎫ ⎝⎛-42,t t ,以OQ 为直径的圆的方程为x(x-t)+y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-42t y =0,即x 2-tx+y 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛-42t y=0,又M,N 在曲线E:x 2+y 2=4上,∴MN 的方程为tx+⎪⎭⎫⎝⎛-42t y-4=0,即⎪⎭⎫ ⎝⎛+2yx t-4(y+1)=0,由得∴直线MN 过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,21.......12分。

2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，5}，B ＝{2，4}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{4}B ．{2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}2．命题“∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3＜0 B ．∀x ∈R ，x 2﹣3x +3≥0 C ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3≤0 D ．∃x ∈R ，x 2﹣3x +3＜03．函数y =√x 2+2x−3x−1的定义域是（ ）A ．[﹣3，1]B ．[﹣1，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）4．对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） A ．若a ＜b ，则1a＞1bB ．若a ＜b ，则ac 2＜bc 2C ．若a ＜0＜b ，则ab ＜b 2D ．若c ＞a ＞b ，则1c−a＜1c−b5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0）B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6]￥D ．[−114，−1)∪[6，8]8．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （1）＝3，若∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−110．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜111．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6 12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ ．14．下列命题中，真命题的编号是 ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 ．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}． （1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}． （1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数． （1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围； （2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．2023-2024学年安徽省合肥一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，5}，B＝{2，4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{4}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}解：由已知得∁U A＝{2，3，4}，所以（∁U A）∩B＝{2，4}．故选：B．2．命题“∃x∈R，x2﹣3x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣3x+3＜0B．∀x∈R，x2﹣3x+3≥0C．∃x∈R，x2﹣3x+3≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+3＜0解：∃x∈R，x2﹣3x+3≥0的否定是：∀x∈R，x2﹣3x+3＜0．故选：A．3．函数y=√x2+2x−3x−1的定义域是（）A．[﹣3，1]B．[﹣1，1）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）解：要使得函数y=√x2+2x−3x−1有意义，则x2+2x﹣3≥0，且x﹣1≠0，解得x＞1或x≤﹣3，故定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．故选：D．4．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（）A．若a＜b，则1a ＞1bB．若a＜b，则ac2＜bc2C．若a＜0＜b，则ab＜b2D．若c＞a＞b，则1c−a ＜1c−b解：若a＜0，b＞0，则1a ＜1b，故A错误；若c＝0，则ac2＝bc2，故B错误；因为a＜0＜b，所以ab﹣b2＝b（a﹣b）＜0，即ab＜b2，故C正确；因为c＞a＞b，所以0＜c﹣a＜c﹣b，所以1c−a ＞1c−b＞0，故D错误．故选：C．5．函数f(x)=9−3xx−2(x ＞3)的值域为（ ） A ．（﹣3，0） B ．（0，+∞） C ．（﹣1，0） D ．（﹣2，0）解：由题意，函数f(x)=9−3x x−2=−3+3x−2（x ＞3）， 令t ＝x ﹣2，则t ＞1，可得3t∈(0，3)，故f(x)=−3+3x−2（x ＞3）的值域为（﹣3，0）． 故选：A ．6．已知函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1a x ，x ＞1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．（0，1]C ．[1，2]D ．（0，+∞）解：二次函数y ＝x 2﹣（a +2）x +3的对称轴为x =a+22， 因为函数f(x)={x 2−(a +2)x +3，x ≤1ax，x ＞1是R 上的减函数，所以有{a+22≥1，a ＞01−a −2+3≥a，解得0＜a ≤1．故选：B ．7．对实数a 和b ，定义运算“◎”：a ◎b ={a ，a −b ≤2b ，a −b ＞2，设函数f （x ）＝（x 2﹣1）◎（5x ﹣x 2）（x ∈R ），若函数y ＝f （x ）﹣m 的图象与x 轴恰有1个公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，6] B ．(−∞，−1]∪(−114，6) C ．(−114，+∞)D ．[−114，−1)∪[6，8]解：当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）≤2⇒2x 2﹣5x ﹣3≤0⇒−12≤x ≤3时，f （x ）＝x 2﹣1； 当x 2﹣1﹣（5x ﹣x 2）＞2⇒2x 2﹣5x ﹣3＞0⇒x ＜−12或x ＞3时，f （x ）＝5x ﹣x 2， 作出f （x ）的图象，如图所示：函数y＝f（x）﹣m的图象与x轴恰有1个公共点，转化为函数f（x）的图象与直线y＝m恰有1个交点，由图象并结合各分段区间上的f（x）的值，可得：6≤m≤8或−114≤m＜﹣1，则实数m的取值范围是[−114，﹣1）∪[6，8]，故D项正确．故选：D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝3，若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，则不等式（x +3）f （x +3）＞3的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣∞，3）D ．（3，+∞）解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0， 不妨令x 1＜x 2⇒x 1f （x 1）＜x 2f （x 2）可知函数xf （x ）在（0，+∞）上单调递增， 记g （x ）＝xf （x ），则g （﹣x ）＝（﹣x ）f （﹣x ）＝﹣x [﹣f （x ）]＝xf （x ）＝g （x ），所以g （x ）为偶函数，因此g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且g （﹣1）＝g （1）＝1×f （1）＝3， 不等式（x +3）f （x +3）＞3等价于g （x +3）＞g （1），故|x +3|＞1，解得x ＞﹣2或x ＜﹣4，故不等式的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．下列函数中，与函数y ＝x +1是同一函数的是（ ） A ．y =(√x +1)2 B ．y =√x 33+1C ．y =√(x +1)33D ．y =x 2+1x−1解：由题意知函数y ＝x +1的定义域为R ，值域为R ，y =(√x +1)2的定义域为[﹣1，+∞），与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故A 错误； y =√x 33+1=x +1定义域为R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故B 正确； y =√(x +1)33=x +1定义域R ，定义域与对应关系和y ＝x +1相同，为同一函数，故C 正确；y =x 2+1x−1的定义域为{x ∈R |x ≠1}，与函数y ＝x +1的定义域不同，不是同一函数，故D 错误．故选：BC ．10．设x ∈R ，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件可以是（ ） A ．﹣1＜a ＜0B ．﹣2＜a ＜0C ．﹣3＜a ≤0D ．0≤a ＜1解：当a ＝0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0为﹣2＜0，满足题意；a ≠0时，不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立，则必有a ＜0且Δ＝（﹣2a ）2+4a ×2＜0， 解得﹣2＜a ＜0，故a 的取值范围为﹣2＜a ≤0，由题意知所选不等式ax 2﹣2ax ﹣2＜0恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为（﹣2，0]的真子集，结合选项可知﹣1＜a ＜0，﹣2＜a ＜0所对应集合为（﹣2，0]的真子集， 故选项A ，B 满足条件．故选：AB ．11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，下列说法正确的是（ ） A ．糖水加糖更甜可用式于a+m b+m＞ab表示，其中a ＞b ＞0，m ＞0B ．当x ＞32时，y =2x −1+12x−3的最小值为4 C ．若x ＞0，y ＞0，2x +y ＝1，则√2x +√y ≤√2D ．若a 2（b 2﹣2）＝4，则a 2+b 2的最小值为6解：对于选项A ，当a ＝2，b ＝1，m ＝1时，a b=2，a+m b+m=32＜2，当a ＞b 时，糖水不等式不成立，故A 不正确； 对于选项B ，因为x ＞32，y =2x −1+12x−3=2x −3+12x−3+2≥2√(2x −3)×(12x−3)+2=4， 当且仅当2x ﹣3=12x−3，即x ＝2时取等号，故B 正确； 对于选项C ，因为2x +y =1≥2√2xy ，所以xy ≤18，当且仅当2x ＝y ，即x =14，y =12时等号成立， 所以(√2x +√y)2=2x +y +2√2⋅√xy ≤1+2√2⋅√18=2， 即√2x +√y ≤√2，当且仅当x =14，y =12时等号成立，故C 正确； 对于选项D ，因为a 2（b 2﹣2）＝4， 所以a 2=4b 2−2＞0，所以a 2+b 2=4b 2−2+b 2=4b 2−2+（b 2﹣2）+2≥2√4b 2−2⋅(b 2−2)+2＝6，当且仅当b 2−2=4b 2−2，即a 2＝2，b 2＝4时，等号成立，故D 正确．故选：BCD ．12．已知函数f(x)=x1+|x|（x ∈R ），则（ ） A ．函数f （x ）为奇函数B ．函数f （x ）的值域是（﹣1，1）C ．函数f （x ）在R 上单调递减D ．若对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≥2或t ＝0或t ≤﹣2 解：选项A ，由题意得x ∈R ，f （﹣x ）=−x 1+|−x|=−x 1+|x|=−f （x ），所以函数f （x ）是奇函数，故A 正确；选项B ，C ，由函数解析式可得f （x ）={x 1+x ，x ≥0x 1−x ，x ＜0={1−1x+1，x ≥011−x−1，x ＜0，函数图象如图所示：所以f （x ）的值域是（﹣1，1），在R 上单调递增，故B 正确，C 错误； 选项D ，由函数f （x ）在R 上单调递增， 则当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）max ＝f （1）=12，f （x ）≤t 2﹣2at +12恒成立，则t 2﹣2at +12≥12恒成立， 即t 2﹣2at ≥0恒成立，令h （a ）＝﹣2at +t 2，即a ∈[﹣1，1]时，h （a ）≥0恒成立， 则{ℎ(1)=t 2−2t ≥0ℎ(−1)=t 2+2t ≥0，解得：t ≤﹣2或t ≥2或t ＝0，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （f （﹣2））＝ 0 ．解：f(x)={x 2−1，x ≤0x −3，x ＞0，则f （﹣2）＝3，所以f （f （﹣2））＝f （3）＝0．故答案为：0．14．下列命题中，真命题的编号是 ①④ ． ①∀x ∈R ，x 2﹣2x +3＞0；②∃x ∈N *，x 为方程2x 2﹣3＝0的根； ③∀x ∈{﹣1，0，1}，2x +1＞0； ④∃x ，y ∈Z ，使3x ﹣2y ＝10．解：x 2﹣2x +3＝（x ﹣1）2+2＞0恒成立，故①正确； 由2x 2﹣3＝0，解得x =±√62∉N ∗，故②错误；﹣1×2+1＝﹣1＜0，故③错误， x ＝4，y ＝1满足题意，故④正确． 故答案为：①④．15．已知a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，则10a +7b 的最小值为 12 ． 解：因为a ，b 为正实数，满足（a +b ）（2a +b ）＝3，所以（4a +4b ）（6a +3b ）＝36，所以（4a +4b ）（6a +3b ）=36≤(4a+4b+6a+3b)24=(10a+7b)24， 则10a +7b ≥12，当且仅当{4a +4b =6a +3b (a +b)(2a +b)=3，即a =12，b ＝1时，等号成立，故10a +7b 的最小值为12． 故答案为：12．16．已知函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ），若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32，则m 的最大值是134．解：因为函数y ＝f （x ）的定义域为R ，满足f （x ）＝2f （x ﹣1）， 当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （1﹣x ）， 当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，则f （x ）＝2f （x ﹣1）＝2（x ﹣1）[1﹣（x ﹣1）]＝﹣2（x ﹣1）（x ﹣2）=−2(x −32)2+12∈[0，12]， 当x ∈（2，3]时，x ﹣2∈（0，1]，则f （x ）＝4f （x ﹣2）＝4（x ﹣2）[1﹣（x ﹣2）]＝﹣4（x ﹣2）（x ﹣3）=−4(x 2−5x +6)=−4(x −52)2+1∈[0，1]，当x ∈（3，4]时，x ﹣3∈（0，1]，则f （x ）＝8f （x ﹣3）＝8（x ﹣3）[1﹣（x ﹣3）]＝﹣8（x ﹣3）（x ﹣4）=−8(x 2−7x +12)=−8(x −72)2+2∈[0，2]，因为对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≤32， 当x ∈（3，4]时，令f(x)=−8(x 2−7x +12)=32， 解得x =134或x =154，如下图所示：由图可知，m ≤134，故实数m 的最大值为134． 故答案为：134．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜8}，B ＝{x |m ﹣3＜x ＜3m ﹣1}．（1）当m ＝2时，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围．解：（1）当m ＝2时，B ＝{x |﹣1＜x ＜5}，所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜5}；（2）因为A ∪B ＝A ，所以B 是A 的子集，①B ＝∅，即3m ﹣1≤m ﹣3，解得m ≤﹣1；②B ≠∅，则{m −3≥−23m −1≤83m −1＞m −3，所以1≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≤﹣1或1≤m ≤3}．18．（12分）已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}．（1）若集合B ＝{x |﹣6＜x ＜2}，求实数m 的值；（2）若m ≥0，“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）因为B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣6＜x ＜2}，所以方程x 2+2mx ﹣3m 2＝0的两根分别为﹣6和2，由韦达定理得{−6+2=−2m −6×2=−3m 2，解得m ＝2． 所以实数m 的值为2．（2）由x 2﹣x ﹣6＜0，得﹣2＜x ＜3，A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则A ⫋B ，当m ＝0时，B ＝{x |x 2＜0}＝∅，此时A ⫋B ，不成立；当m ＞0时，B ＝{x |x 2+2mx ﹣3m 2＜0}＝{x |﹣3m ＜x ＜m }，因为A ⫋B ，则有{−3m ≤−2m ≥3，解得m ≥3； 综上所述，实数m 的取值范围是[3，+∞）．19．（12分）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣5m +7）x m 为奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）若函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2，求函数g （x ）的解析式． 解：（1）因为f （x ）为幂函数，所以m 2﹣5m +7＝1，解得m ＝2或m ＝3；当m ＝2时，f （x ）＝x 2是偶函数，不是奇函数；当m ＝3时，f （x ）＝x 3是奇函数，所以m ＝3．故f （x ）的解析式f （x ）＝x 3．（2）由（1）得，当x ≥0时，g （x ）＝f （x ）﹣x 2＝x 3﹣x 2，对于x ＜0，则﹣x ＞0，g （﹣x ）＝（﹣x ）3﹣（﹣x ）2＝﹣x 3﹣x 2，又因为函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，所以g （﹣x ）＝g （x ），所以g （x ）＝﹣x 3﹣x 2（x ＜0），所以函数g （x ）的解析式g(x)={x 3−x 2，x ≥0−x 3−x 2，x ＜0． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +a ．（1）在①∃x ∈[1，5]，②∀x ∈[1，5]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题．若命题：“_____，f （x ）＞0”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）求函数F(x)=12[f(x)+f(|x|)]的单调递增区间．解：（1）由f （x ）＞0，得x 2﹣4x +a ＞0，即a ＞﹣x 2+4x ，令g （x ）＝﹣x 2+4x ，g （x ）＝﹣（x ﹣2）2+4，所以g （x ）在[1，2]上单调递增，在[2，5]上单调递减，则在[1，5]上g （x ）的最小值为g （5）＝﹣5，最大值为g （2）＝4．选择条件①，∃x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 成立，则a ＞g （x ）min ，所以a ＞﹣5，故实数a 的取值范围是（﹣5，+∞）．选择条件②，∀x ∈[1，5]使得a ＞﹣x 2+4x 恒成立，则a ＞g （x ）max ，所以a ＞4，故实数a 的取值范围是（4，+∞）．（2）当x ≥0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(x)]=f(x)，＝x 2﹣4x +a ＝（x ﹣2）2+a ﹣4，所以F （x ）在[0，2）上单调递减，在[2，+∞）上单调递增；当x ＜0时，F(x)=12[f(x)+f(|x|)]=12[f(x)+f(−x)]=12[x 2−4x +a +(−x)2+4x +a]=x 2+a ， 所以F （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，综上函数F （x ）的单调递增区间为[2，+∞）．21．（12分）如图，某学校欲建矩形运动场，运动场左侧为围墙，三面通道各宽2m ，运动场与通道之间由栅栏隔开．（1）若运动场面积为3200m 2，求栅栏总长的最小值；（2）若运动场与通道占地总面积为3200m 2，求运动场面积的最大值．解：（1）设矩形运动场的长、宽分别为a ，b （如图，单位：m ），由题意，ab ＝3200，所以2a +b ≥2√2ab =160，当且仅当{a =40b =80时，取“＝”， 故栅栏总长的最小值为160m ．（2）由题意（a +2）（b +4）＝3200，整理得ab +4a +2b ﹣3192＝0，而4a +2b =3192−ab ≥2√8ab =4√2ab ，故ab +4√2ab −3192≤0，令√ab =t （t ＞0），则t 2+4√2t −3192≤0，解得0＜t ≤38√2，所以√ab ≤38√2，即ab ≤2888，当且仅当{b =2a √ab =38√2，即{a =38b =76时，取“＝”， 故运动场面积的最大值为2888m 2．22．（12分）已知函数f(x)=x 2+a x+b 是奇函数，且f(−2)=−52．（1）判断并根据定义证明函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上的单调性；（2）设函数h （x ）＝f 2（x ）﹣2tf （x ）﹣2（t ＜0），若对∀x 1，x 2∈[13，3]，都有|h （x 1）﹣h （x 2）|≤8，求实数t 的取值范围．（1）解：因为f(−2)=−52，且f （x ）是奇函数，所以f(2)=52，所以{4+a 2+b =524+a −2+b =−52，解得{a =1b =0，所以f(x)=x +1x ． 此时，f(x)+f(−x)=x +1x +(−x)+1−x=0， 所以f （x ）是奇函数，满足要求； 函数f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 证明如下：任取x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1+1x 1)−(x 2+1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−1x 1x 2)， 因为x 1，x 2∈（0，1），且x 1＜x 2，所以x 1﹣x 2＜0，0＜x 1x 2＜1，所以x 1x 2﹣1＜0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在（0，1）上单调递减；同理可证明函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增．（2）由题意知ℎ(x)=x 2+1x 2−2t(x +1x )， 令z =x +1x ，y ＝z 2﹣2tz ﹣2，由（1）可知函数z =x +1x 在[13，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增， 所以z ∈[2，103]，因为函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2的对称轴方程为z ＝t ＜0，所以函数y ＝z 2﹣2tz ﹣2在[2，103]上单调递增， 当z ＝2时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最小值，y min ＝﹣4t +2；当z =103时，y ＝z 2﹣2tz ﹣2取得最大值，y max =−203t +829．所以h （x ）min ＝﹣4t +2，ℎ(x)max =−203t +829，又因为对∀x1，x2∈[13，3]都有|h（x1）﹣h（x2）|≤8恒成立，所以h（x）max﹣h（x）min≤8，即−203t+829−(−4t+2)≤8，解得t≥−13，又因为t＜0，所以t的取值范围是[−13，0)．。

2023-2024学年安徽省A10联盟（北师大版）高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知直线l 的方程为√3x +y −1=0，则直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．若双曲线y 22−x 2m=1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合，则m 的值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．73．以A （2，0），B （0，﹣4）两点为直径的两个端点的圆的方程为（ ） A ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝20 B ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝5C ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝20D ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝54．已知圆（x ﹣1）2+y 2＝4上有四个点到直线y ＝x +b 的距离等于1，则实数b 的值不可能为（ ） A ．1B ．0C ．−√2D ．−√35．若圆x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0被直线ax ﹣2by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）平分，则1a+4b的最小值为（ ） A ．9+4√22B ．16C ．17D ．2526．已知抛物线y 2＝8x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则AC +BD 的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．87．已知在△ABC 中，顶点A （1，1），点B 在直线l ：x ﹣y +2＝0上，点C 在x 轴上，则△ABC 的周长的最小值为（ ） A ．√5B ．2√5C ．4√5D ．5√528．已知底边BC 长为2的等腰直角三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB ：DC =√3：1，则△ABD 面积的最大值是（ ）A ．3+√62B ．3−√62C ．3√2+2√32D ．3√2−2√32二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．若方程x 25−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则（ ）A ．曲线C 可能是圆B ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则1＜t ＜3 C ．若1＜t ＜5，则C 为椭圆D ．若C 为双曲线，且焦点在y 轴上，则t ＞510．已知椭圆C ：x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称，则（ ） A ．AB 的最大值为10 B ．C 的焦距是短半轴长的34C ．|AF 2|+|BF 2|为定值D ．存在点A ，使得AF 1⊥AF 211．下列有关直线与圆的结论正确的是（ ）A ．过点（3，4）且在x ，y 轴上的截距相等的直线方程为x ﹣y ﹣7＝0B ．若直线 kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0 和以M （2，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为[32，2]C ．若点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）外一点，直线l 的方程是ax +by ＝r 2，则直线l 与圆相离D ．若圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −3)2+(y +4)2=a(a ＞0)恰有3条公切线，则a ＝1612．已知O 为坐标原点，F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，P 为C 在第一象限上的一点，点Q 的坐标为（2，0），PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的方程为x 29−y 227=1 B ．双曲线C 的离心率为2 C ．|PF 1|＝3|PF 2|D ．点P 到x 轴的距离为3√152三、填空题（本题共4小题，每小题0分，共20分.）13．已知圆C ：x 2+y 2＝4，过点P （1，1）的直线被圆C 截得弦长最短时，直线的方程为 ． 14．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率是√5，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2且垂直于x 轴的垂线在x 轴上方交双曲线C 于点M ，则tan ∠MF 1F 2的值为 ．15．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm 时，灯的深度为50cm ．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm ，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 cm ．16．过直线l ：x ﹣y +4＝0上任意点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 过定点 ；记线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的最小值为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别是A （4，0），B （6，7），C （0，3）． （1）求边BC 的高所在的直线方程；（2）求平分△ABC 的面积且过点B 的直线的方程． 18．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且右顶点A 到该条渐近线的距离为2√55． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M （3，2），求直线l 的斜率． 19．（12分）已知点P （4，0），圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为2√2，求直线l 的方程．20．（12分）已知抛物线Γ的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过（1，﹣2），(14，1)，（﹣2，﹣2）三点中的两点．（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知F 是抛物线Γ的焦点，P 为抛物线Γ上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM →=3MF →，求直线OM 的斜率的最大值（O 为坐标原点）．21．（12分）一动圆与圆C 1：x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点P 为E 上一动点，点O 为坐标原点，曲线E 的右焦点为F ，求|PO |2+|PF |2的最小值． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为12，且椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴、椭圆C 顺次交于P ，Q ，R （点P 在椭圆左顶点的左侧），且∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π，求△RQF 1面积的最大值．2023-2024学年安徽省A10联盟（北师大版）高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知直线l 的方程为√3x +y −1=0，则直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：因为直线l 的方程为√3x +y −1=0，即y =−√3x +1， 所以直线的斜率为k =−√3，所以直线的倾斜角为2π3．故选：C ． 2．若双曲线y 22−x 2m=1的焦点与椭圆x 24+y 29=1的焦点重合，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．7解：因为椭圆x 24+y 29=1的焦点为(0，√5)，(0，−√5)，所以双曲线y 22−x 2m=1的焦点为(0，√5)，(0，−√5)，故2+m ＝5，解得m ＝3．故选：B ．3．以A （2，0），B （0，﹣4）两点为直径的两个端点的圆的方程为（ ） A ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝20 B ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝5C ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝20D ．（x ﹣1）2+（y +2）2＝5解：依题意，圆心坐标为AB 中点，即（1，﹣2），半径为12|AB|=12√(2−0)2+(0+4)2=√5，所以圆的方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝5． 故选：D ．4．已知圆（x ﹣1）2+y 2＝4上有四个点到直线y ＝x +b 的距离等于1，则实数b 的值不可能为（ ） A ．1B ．0C ．−√2D ．−√3解：由圆的方程（x ﹣1）2+y 2＝4，可得圆心为原点O （1，0），半径为2， 若圆上有4个点到直线l 的距离等于1，则O 到直线y ＝x +b 的距离d 小于1， 又直线的一般方程为x ﹣y +b ＝0， 所以√1+11，所以|1+b |＜√2，所以−√2−1＜b ＜﹣1+√2，所以实数b 的取值范围为（−√2−1，﹣1+√2）． 故选：A ．5．若圆x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0被直线ax ﹣2by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）平分，则1a+4b的最小值为（ ）A ．9+4√22B ．16C ．17D ．252解：由题意知，圆x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0被直线ax ﹣2by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）平分， 即圆心（1，﹣2）在直线ax ﹣2by ﹣2＝0（a ＞0，b ＞0）上，故a +4b ﹣2＝0，即a +4b ＝2， 故1a +4b =（1a +4b ）•12（a +4b ）=12（1+16+4b a +4a b ）≥12（17+2√4a b ×4b a ）=252， 当且仅当4b a =4a b，结合a +4b ＝2，即a ＝b =25时取等号，所以1a+4b的最小值为252．故选：D ．6．已知抛物线y 2＝8x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则AC +BD 的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8解：如图，∵抛物线的方程为y 2＝8x ， ∴焦点F （2，0），准线x ＝﹣2，由抛物线的定义可知|AC |+|BD |＝|AF |+|FB |﹣4＝|AB |﹣4， 即当且仅当|AB |取得最小值，|AC |+|BD |取得最小值，依据抛物线的定义可知当|AB |为通径时，即|AB |＝2p ＝8时为最小值， ∴|AC |+|BD |的最小值为4． 故选：B ．7．已知在△ABC 中，顶点A （1，1），点B 在直线l ：x ﹣y +2＝0上，点C 在x 轴上，则△ABC 的周长的最小值为（ ） A ．√5B ．2√5C ．4√5D ．5√52解：如图示：，设A （1，1）点关于直线x ﹣y +2＝0的对称点为A ′（a ，b ），则{b−1a−1=−1a+12−b+12+2=0，解得：{a =−1b =3，故A ′（﹣1，3），点A 关于x 轴的对称点A ″（1，﹣1）， 则|A ′A ″|=√4+16=2√5，故A ′A ″的长即△ABC 周长的最小值． 故选：B ．8．已知底边BC 长为2的等腰直角三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB ：DC =√3：1，则△ABD 面积的最大值是（ ） A ．3+√62B ．3−√62C ．3√2+2√32D ．3√2−2√32解：以BC 的中点O 为原点，以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图，则A （0，1），B （﹣1，0），C （1，0），设D （x ，y ），因为DB ：DC =√3：1，所以2222=√3，化简整理得：（x +1）2+y 2＝3（x ﹣1）2+3y 2，即（x ﹣2）2+y 2＝3， 所以点D 的轨迹为以（2，0）为圆心，以√3为半径的圆， 当点D 与直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大， 直线AB 的方程为x ﹣y +1＝0，且|AB|=√2， 设圆心到直线的距离为d ，则点D 到直线AB 的最大距离为d +r =2+√3=3√2+2√32，所以△ABD 面积的最大值为12×√2×3√2+2√32=3+√62． 故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．若方程x 25−t+y 2t−1=1所表示的曲线为C ，则（ ）A ．曲线C 可能是圆B ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则1＜t ＜3 C ．若1＜t ＜5，则C 为椭圆D ．若C 为双曲线，且焦点在y 轴上，则t ＞5解：对A 选项，当5﹣t ＝t ﹣1＞0，即t ＝3时，曲线C 是圆，∴A 选项正确；对B 选项，若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则5﹣t ＞t ﹣1＞0，∴1＜t ＜3，∴B 选项正确； 对C 选项，若C 为椭圆，则{5−t ＞0t −1＞05−t ≠t −1，∴1＜t ＜5且t ≠3，∴C 选项错误；对D 选项，若C 为双曲线，且焦点在y 轴上，则{t −1＞05−t ＜0，∴t ＞5，∴D 选项正确．故选：ABD ． 10．已知椭圆C ：x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称，则（ ） A ．AB 的最大值为10 B ．C 的焦距是短半轴长的34C ．|AF 2|+|BF 2|为定值D ．存在点A ，使得AF 1⊥AF 2解：∵在椭圆C ：x 225+y 216=1中，a ＝5，b ＝4，c ＝3， 又A ，B 两点都在C 上，且A ，B 关于坐标原点对称， ∴AB 的最大值为2a ＝10，∴选项正确；∴C 的焦距为2c ＝6，短半轴长为4，而6≠4×34，∴B 选项错误； 根据椭圆的对称性可知|BF 2|＝|AF 1|，∴|AF 2|+|BF 2|＝|AF 2|+|AF 1|＝2a ＝10，∴C 选项正确； 根据椭圆的几何性质可得：当A 为短轴顶点时∠F 1AF 2最大，设∠F 1AF 2＝2θ，而当∠F 1AF 2＝2θ最大时，tan θ=cb =34＜1，θ∈（0，π2），∴θ＜π4，∴∠F 1AF 2＝2θ的最大角小于π2，∴椭圆C 上不存在点A ，使得AF 1⊥AF 2，∴D 选项错误．故选：AC ．11．下列有关直线与圆的结论正确的是（ ）A ．过点（3，4）且在x ，y 轴上的截距相等的直线方程为x ﹣y ﹣7＝0B ．若直线 kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0 和以M （2，1），N （3，2）为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为[32，2]C ．若点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2（r ＞0）外一点，直线l 的方程是ax +by ＝r 2，则直线l 与圆相离D ．若圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −3)2+(y +4)2=a(a ＞0)恰有3条公切线，则a ＝16 解：当截距不为0时，设直线xa +y a=1，将点（3，4）代入得，3a+4a=1，∴a ＝7，则直线方程为x +y﹣7＝0，当截距为0时，设直线y ＝kx ，将点（3，4）代入得，4＝3k ，∴k =43，则直线方程为4x ﹣3y ＝0， 则直线方程为x +y ﹣7＝0和4x ﹣3y ＝0，故A 错误； 对于B ，已知直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0过定点A （1，﹣1）， 又直线AM ，AN 的斜率为k AM =1+12−1=2，k AN =2+13−1=32， 所以直线kx ﹣y ﹣k ﹣1＝0和以M （2，1），N （3，2）为端点的线段相交， 实数k 的取值范围为[32，2]，故B 正确；对于C ，点P （a ，b ）是圆x 2+y 2＝r 2外一点，所以a 2+b 2＞r 2， 所以圆心（0，0）到直线的距离d =r 2√a 2+b r ，所以直线与圆相交，故C 不正确；圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：(x −3)2+(y +4)2=a(a ＞0)恰有3条公切线， 所以圆C 1与圆C 2相外切，所以|C 1C 2|＝1+√a ，又√(3−0)2+(4−0)2=5， 所以1+√a =5，解得a ＝16，故D 正确． 故选：BD ．12．已知O 为坐标原点，F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)，的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =√3x ，且F 1到l 的距离为3√3，P 为C 在第一象限上的一点，点Q 的坐标为（2，0），PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的方程为x 29−y 227=1 B ．双曲线C 的离心率为2 C ．|PF 1|＝3|PF 2|D ．点P 到x 轴的距离为3√152解：对于A ，由F 1（﹣c ，0）到渐近线y =√3x 的距离为3√3，得√3c2=3√3，解得c ＝6，由渐近线方程为y =√3x ，得ba=√3，结合a 2+b 2＝c 2可得a ＝3，b =3√3，则双曲线C 的方程为x 29−y 227=1，故A 正确．对于B ，e =ca=2，故B 正确． 对于C ，PQ 为∠F 1PF 2的平分线，则|PF 1||PF 2|=|QF 1||QF 2|=84=2，故C 错误．对于D ，由双曲线定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝6，则可得|PF 1|＝12，|PF 2|＝6，在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=122+62−1222×12×6=14，sin ∠F 1PF 2=√1−cos 2∠F 1PF 2=√154，设点P 到x 轴的距离为d ，则|PF 2|•sin ∠F 1PF 2 即12×12×d =12×12×6×√154，解得d =3√152，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题（本题共4小题，每小题0分，共20分.）13．已知圆C ：x 2+y 2＝4，过点P （1，1）的直线被圆C 截得弦长最短时，直线的方程为 x +y ﹣2＝0 ． 解：圆C ：x 2+y 2＝4的圆心为（0，0），半径为2，则依题意有k CP =1−01−0=1， 当直线与CP 垂直时，该直线被圆C 截得的弦长最短， 所以所求直线的斜率为k ＝﹣1，所以直线方程为y ﹣1＝﹣（x ﹣1），即x +y ﹣2＝0，所以过点P （1，1）的直线被圆C 截得弦长最短时，直线的方程为 x +y ﹣2＝0． 故答案为：x +y ﹣2＝0． 14．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率是√5，F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2且垂直于x 轴的垂线在x 轴上方交双曲线C 于点M ，则tan ∠MF 1F 2的值为 2√55． 解：已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率是√5，则ca=√5，不妨令a ＝t ，t ＞0，则c =√5t ，b ＝2t ，又F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，过点F 2且垂直于x 轴的垂线在x 轴上方交双曲线C 于点M ，由双曲线的性质可得：|MF 2|=b 2a ，则tan ∠MF 1F 2=|MF 2||F 1F 2|=4t 2t×2√5t =2√55．故答案为：2√55． 15．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm 时，灯的深度为50cm ．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm ，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 60.5 cm ．解：在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x 轴（抛物线开口方向是x 轴的正方向），则可设抛物线的标准方程为y 2＝2px （p ＞0）灯口圆与轴截面在第一象限内的交点的坐标为（50，40）， 代入抛物线方程得402＝2p ×50，解得p ＝16，所以抛物线方程为y 2＝32x ，光源应安置在与顶点相距16cm 处，当灯口圆的直径增大到88cm 时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为882=44，故将y ＝44代入y 2＝32x 中，求得x =1212=60.5， 此时，探照灯的深度为60.5cm ．16．过直线l ：x ﹣y +4＝0上任意点P 作圆O ：x 2+y 2＝4的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 过定点 （﹣1，1） ；记线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的最小值为 √2 ． 解：设P （x 0，y 0），因为P 是直线l ：x ﹣y +4＝0上一点，所以y 0＝x 0+4， 以OP 为直径的圆的方程为x （x ﹣x 0）+y （y ﹣y 0）＝0，即x 2+y 2﹣x 0x ﹣y 0y ＝0， 所以x 0x +y 0y ＝4，即直线AB 的方程为x 0x +y 0y ＝4，又y 0＝x 0+4，∴直线AB 的方程为x 0（x +y ）+4y ﹣4＝0，故直线AB 过定点（﹣1，1）． 设Q （x ，y ），直线AB 过定点为M ，则M （﹣1，1），由MQ →⋅OQ →=0， 得（x +1）x +（y ﹣1）y ＝0，整理得点Q 的轨迹方程为(x +12)2+(y −12)2=12，因为点(−12，12)到直线l ：x ﹣y +4＝0的是距离d =|−12−12+4|√2=3√22＞√22，所以直线l ：x ﹣y +4＝0与圆(x +12)2+(y −12)2=12相离， 所以点Q 到直线的距离的最小值为|−12−12+4|√2−√22=3√22−√22=√2．故答案为：（﹣1，1）；√2．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知△ABC 的三个顶点分别是A （4，0），B （6，7），C （0，3）． （1）求边BC 的高所在的直线方程；（2）求平分△ABC 的面积且过点B 的直线的方程． 解：（1）由题意可得：直线BC 的斜率k BC =3−70−6=23， 则边BC 的高所在的直线的斜率k =−32，所求直线方程为y −0=−32(x −4)，即3x +2y ﹣12＝0． （2）由题意可知：所求直线即为边AC 的中线所在的直线，则线段AC 的中点为D(2，32)，可得直线BD 的斜率k BD =7−326−2=118，所以直线BD 的方程为y −32=118(x −2)，即11x ﹣8y ﹣10＝0． 18．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且右顶点A 到该条渐近线的距离为2√55． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M （3，2），求直线l 的斜率． 解：（1）因为双曲线C 的一条渐近线与直线x +2y ＝0垂直，且直线x +2y ＝0的斜率为−12，因为双曲线C 的渐近线为y =±b a x ，所以−12⋅ba =−1，解得b a=2，则双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，即2x ±y ＝0，因为右顶点（a ，0）到该条渐近线的距离为2√55，所以√5=2√55，解得a ＝1，可得b ＝2， 所以双曲线C 的方程为x 2−y 24=1；（2）若直线l ⊥x 轴，此时A ，B 两点关于x 轴对称，可得线段AB 的中点在x 轴上，不符合题意； 若直线l 与x 轴不垂直，不妨设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线l 的斜率为k ，此时{x 12−y 124=1x 22−y 224=1，即(x 12−x 22)−y 12−y 224=0， 此时(x 1+x 2)(x 1−x 2)−(y 1+y 2)(y 1−y 2)4=0，整理得y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1−y 2x 1−x 2=4． 因为线段AB 的中点为M （3，2），所以x 1+x 2＝6，y 1+y 2＝4，则46⋅k =4，解得k ＝6， 故直线l 的斜率为6．19．（12分）已知点P （4，0），圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）． （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为2√2，求直线l 的方程． 解：（1）设圆心坐标为C （a ，b ），因为圆C 的圆心在直线x ﹣y ﹣4＝0上，且圆C 与y 轴切于点M （0，﹣2）， 所以{a −b −4=0b =−2，解得{a =2b =−2，所以C （2，﹣2），半径r ＝|MC |＝2， 所以圆C 的方程为（x ﹣2）2+（y +2）2＝4；（2）由题意得，圆心C （2，﹣2）到直线l 的距离为√4−2=√2， 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4）， 则√k 2+1=√2，解得k =2+√3或k =2−√3，当直线l 的斜率不存在，l 的方程为x ＝4，此时圆心C （2，﹣2）到直线l 的距离为2，不满足题意，舍去， 综上，直线l 的方程为y =(2+√3)(x −4)或y =(2−√3)(x −4)．20．（12分）已知抛物线Γ的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过（1，﹣2），(14，1)，（﹣2，﹣2）三点中的两点．（1）求抛物线Γ的方程；（2）已知F 是抛物线Γ的焦点，P 为抛物线Γ上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM →=3MF →，求直线OM 的斜率的最大值（O 为坐标原点）．解：（1）若抛物线Γ经过A （1，﹣2）、B (14，1)，则抛物线开口向右，设抛物线Γ方程为y 2＝2px （p ＞0），代入A 点坐标，得（﹣2）2＝2p ×1，解得p ＝2， 故抛物线Γ方程为y 2＝4x ，恰好经过点B (14，1)，符合题意； 若抛物线Γ经过A （1，﹣2）、C （﹣2，﹣2），则抛物线开口向下，设抛物线Γ方程为x 2＝﹣2py （p ＞0），找不到p 值，使A 、C 两点都满足该方程；而B (14，1)在第一象限，C （﹣2，﹣2）在第三象限，不存在抛物线，使B 、C 两点都在抛物线上． 综上所述，抛物线Γ经过A （1，﹣2）、B (14，1)两点，方程为y 2＝4x ．（2）作出示意图，设点P （x 0，y 0）为抛物线Γ上任意一点，点M 是线段PF 上的点，且PM →=3MF →，①若P 点在第四象限，则直线OM 的斜率为负数，不能达到最大值；②若P 点在第一象限，则F （1，0），x 0=y 024，y 0＞0，设M （s ，t ），由OM →=OF →+FM →=OF →−14PF →=OF →−14(OF →−OP →)=14OP →+34OF →，得{s =14x 0+34×1=y 0216+34t =14y 0+34×0=14y 0， 所以M 的坐标为(y 0216+34，14y 0)，可得直线OM 的斜率k =14y 0y 0216+34=y 0y 024+3≤02√y 04×3=√33，当且仅当y 024=3，即x 0＝3，y 0=2√3时，直线OM 的斜率有最大值√33．综上所述，当抛物线Γ上的点P 坐标为(3，2√3)时，直线OM 的斜率有最大值√33． 21．（12分）一动圆与圆C 1：x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，动圆圆心的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）点P 为E 上一动点，点O 为坐标原点，曲线E 的右焦点为F ，求|PO |2+|PF |2的最小值． 解：（1）不妨设动圆圆心为M （x ，y ），半径为R ，易知圆C 1：(x +3)2+y 2=4，圆C 2：(x −3)2+y 2=100， 当动圆M 与圆C 1外切时，|C 1M |＝R +2； 当动圆M 与圆C 2内切时，|C 2M |＝10﹣R ， 所以|C 1M |+|C 2M |＝12＞|C 1C 2|，则点M 的轨迹是焦点为C 1（﹣3，0），C 2（3，0），长轴长为12的椭圆， 不妨设该椭圆的长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ， 此时2c ＝6，2a ＝12，解得c ＝3，a ＝6，则b 2＝36﹣9＝27， 故动圆圆心轨迹方程为x 236+y 227=1；（2）由（1）知F （3，0），不妨设P （x ，y ）， 此时|PO |2+|PF |2＝x 2+y 2+（x ﹣3）2+y 2＝2x 2﹣6x +9+2y 2， 因为点P 在椭圆上，所以x ∈[﹣6，6]，y 2=27−34x 2， 此时|PO|2+|PF|2=12x 2−6x +63=12(x −6)2+45， 易知当x ＝6时，|PO |2+|PF |2取得最小值，最小值为45． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为12，且椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴、椭圆C 顺次交于P ，Q ，R （点P 在椭圆左顶点的左侧），且∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π，求△RQF 1面积的最大值．解：（1）因为椭圆C 的离心率为12，所以e =c a =12，即a ＝2c ，①因为椭圆上动点M 与点F 1的最大距离为3， 所以a +c ＝3，② 又b =√a 2−c 2，③联立①②③，解得a ＝2，c ＝1，b =√3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2）， 由（1）知F 1（﹣1，0）， 因为∠PF 1Q +∠PF 1R ＝π， 所以k QF 1+k RF 1=0， 即y 1x 1+1+y 2x 2+1=0，整理得x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1＝0，不妨设直线PQ 的方程为x ＝my +n （m ≠0），联立{x =my +n x 24+y 23=1，消去x 并整理得（3m 2+4）y 2+6mny +3n 2﹣12＝0，此时Δ＝36m 2n 2﹣4（3m 2+4）（3n 2﹣12）＞0， 解得n 2＜3m 2+4，由韦达定理得y 1+y 2=−6mn 3m 2+4，y 1y 2=3n 2−123m 2+4，又x 1＝my 1+n ，x 2＝my 2+n ，所以x 1y 2+y 2+x 2y 1+y 1＝2my 1y 2+（n +1）（y 1+y 2）＝0，即2m ⋅3n 2−123m 2+4+(n +1)(−6mn3m 2+4)=0， 因为m ≠0，所以n ＝﹣4，则直线PQ 的方程为x ＝my ﹣4（m ≠0）， 此时点F 1（﹣1，0）到直线PQ 的距离d =|−1+4|√1+m 2=3√1+m 2，所以S △F 1QR=12|QR|d =12√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2⋅3√1+m 2=18√m 2−43m 2+4， 因为n 2＜3m 2+4，n ＝﹣4， 所以3m 2+4＞16，即m 2＞4， 不妨令√m 2−4=t ，t ＞0， 此时m 2＝t 2+4，所以√m 2−43m 2+4=t 3(t 2+4)+4=t 3t 2+16=13t+16t≤2√3t⋅t=8√3，当且仅当3t =16t 时，等号成立， 此时m 2=t 2+4=283，直线l 存在， 综上，△RQF 1面积的最大值为18×183=3√34．。

蒙城一中2013-2014学年高二12月月考数学（理）试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p ：∀x ∈R ，x >sin x ，则p 的否定形式为 ( )A ．p ⌝：∃x ∈R ，x <sin xB ．p ⌝：∀x ∈R ，x ≤sin xC ．p ⌝：∃x ∈R ，x ≤sin xD ．p ⌝：∀x ∈R ，x <sin x2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CC ===1,,， 则1A B = （ ）A ．a +b －cB ．a －b +cC ．－a +b +cD ．－a +b －c3．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异 面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量、、，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为 z y x ++=．其中正确命题的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．对于数列｛a n ｝，“1+n a ＞∣a n ∣（n=1，2…）”是“｛a n ｝为递增数列”的 ( ) (A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 5．椭圆12222=+b y a x 和k by a x =+2222()0>k 具有（ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6. 不解三角形，下列判断中正确的是 （ ） A ．a=7，b=14，A=300有两解 B ．a=9，c=10，B=600无解 C ．a=6，b=9，A=450有两解 D ．a=30，b=25，A=1500有一解 7．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则c o s <,OA BC >的值（ ） A ．21 B ．22 C ．－21 D ．0 8.设A 是△ABC 中的最小角，且1cos 1a A a -=+，则实数a 的取值范围是 （ ）A. a ≥3B. a ＞－1C. －1＜a ≤3D. a ＞09. 设函数f （x ）满足f （n +1）=2)(2nn f +（n ∈N *）且f （1）=2，则f （20）为（ ） A ．95B ．97C ．105D ．19210．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于 （ ）A ．627B ．637C ．647D ．657二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1且a m -1+a m+l =4，S 2m -1=38．则m 等于 12.已知1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围 ．13．已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为 14．在ABC ∆中，若2sin sin cos2AB C =，则ABC ∆形状是 15．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.16．给定两个命题,P ：对任意实数都有恒成立；Q ：关于的方程有实数根；如果Q P ∧假命题，Q P ∨为真命题，求实数的取值范围。

安徽省合肥市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）直线平面，直线平面，则的位置关系是________.2. （1分） (2018高二上·无锡期末) 设，，且 // ，则实数________．3. （1分） (2016高二上·普陀期中) 给出以下命题“已知点A、B都在直线l上，若A、B都在平面α上，则直线l在平面α上”，试用符号语言表述这个命题________．4. （1分） (2016高二上·普陀期中) 设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状一定是________．5. （1分） (2016高二上·普陀期中) 设点A∈平面α，点B∈平面β，α∩β=l，且点A∉直线l，点B∉直线l，则直线l与过A、B两点的直线的位置关系________．6. （1分） (2016高二上·普陀期中) 数列{an}中，设Sn是它的前n项和，若log2（Sn+1）=n+1，则数列{an}的通项公式an=________7. （1分） (2015高三上·上海期中) a，b是不等的两正数，若 =2，则b的取值范围是________．8. （1分） (2016高二上·普陀期中) 计算81+891+8991+89991+…+8 1=________．9. （1分） (2016高二上·普陀期中) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点C1到直线BD的距离为________．10. （1分） (2016高二上·普陀期中) 我们把b除a的余数r记为r=abmodb，例如4=9bmod5，如图所示，若输入a=209，b=77，则循环体“r←abmodb”被执行了________次．11. （1分） (2016高二上·普陀期中) 设Sn是数列{an}的前n项和，a1=﹣1，an+1=SnSn+1 ，则Sn=________12. （1分） (2015高三上·上海期中) 若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a2 ， 1，c2成等比数列，则的值为________．13. （1分） (2016高二上·普陀期中) 在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________．14. （1分） (2016高二上·普陀期中) 在n行n列矩阵中，若记位于第i行第j列的数为aij（i，j=1，2，…，n），则当n=9时，表中所有满足2i＜j的aij的和为________．二、选择题 (共4题；共8分)15. （2分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A . -10B . -3C . 4D . 516. （2分） (2016高二上·普陀期中) 下列命题中，正确的共有（）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内．A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个17. （2分） (2016高二上·普陀期中) 从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和等于（）A . （k+1）3B . （k+1）3+k3C . （k﹣1）3+k3D . （2k+1）（k+1）318. （2分） (2016高二上·普陀期中) 已知方程组的解中，y=﹣1，则k的值为（）A . 3B . ﹣3C . 1D . ﹣1三、解答题 (共5题；共50分)19. （5分）(2017·临翔模拟) 已知数列{an}的前n项和Sn= ﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=an•log3an ，求数列{bn}的前n项和．20. （10分） (2019高一下·东莞期末) 已知向量，向量为单位向量，向量与的夹角为 .（1）若向量与向量共线，求；（2）若与垂直，求 .21. （10分） (2019高二下·兴宁期中) 如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝A1A＝ AB＝2，点E 是棱AB上一点，且λ.（1）证明：D1E⊥A1D；（2）若二面角的余弦值为，求CE与平面D1ED所成的角的大小．22. （10分） (2017高二下·深圳月考) 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，， .（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.23. （15分） (2016高二上·普陀期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am ，则称{an}是“H数列”．（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、选择题 (共4题；共8分)15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共50分) 19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、第11 页共11 页。

2018-2019学年安徽省合肥一中高二（上）第一次段考数学试卷（理科）【答案】1. D2. D3. A4. B5. B6. C7. C8. C9. C10. A11. C12. C13. 3814.15.16. -17. 证明：（1）∵E、F分别为C1D1，B1C1的中点，∴EF是△B1C1D1的中位线，∴EF∥D1B1，∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴BB1∥DD1、BB1=DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴DB∥DB1，∴EF∥D1B1，∴EF∥DB，∴D、B、F、E共面．（2）∵AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，∴PQ是平面AA1C1C和平面DBFE的交线，∵A1C交平面DBFE于R点，∴R是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点，PQ是AA1C1C与平面DBFE的交线，R是平面AA1C1C与平面DBFE的交点，∵两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上，∴P、Q、R三点共线．18. 解：（1）结论：BC∥l．证明：∵AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD．又∵BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，∴BC∥l．（2）结论：MN∥平面PAD．证明：取CD的中点Q，连结NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD，又∵NQ∩MQ=Q，PD∩AD=D，∴平面MNQ∥平面PAD．又∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD．19. 解：（1）设所求的圆柱的底面半径为r，它的轴截面如图：由图得，，即．∴S圆柱侧=（5分）（2）由（1）知当时，这个二次函数有最大值为6π，∴当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6πcm2（10分）20.解：（1）===（2）当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE．证明如下：∵△C1D1D中，EF是中位线，∴EF∥C1D且EF=C1D，设AB1∩A1B=O，则平行四边形AB1C1D中，B1O∥C1D且B1O=C1D，∴EF∥B1O且EF=B1O，∴四边形B1OEF为平行四边形，B1F∥OE．∵B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE，∴B1F∥平面A1BE．21. 解：（1）证明：取AD中点H，连接BH，FH，易证：FHBB1为矩形，因此，FB1∥BH，且FB1=BH，．又∵正方形ABCD中BH∥DE且BH=DE，∴FB1∥DE，FB1=DE，∴FB1ED为平行四边形．又∵FD=DE==a，∴四边形B1EDF为菱形．（2）连接AC交DE于点O，则===．过O点作OM∥A1C交AA1于点M，则∠MOD或其补角为DE与A1C所成的角．在△MOD中，OD=DE=×a=a，MO=A1C=×a=a，MD==a，cos∠MOD=．∴A1C与DE所成的角的余弦值等于．22. （1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH，又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD，∵平面ACD∩平面BCD=CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD，∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．（2）解：设，则EF=xCD=ax，EH=（1-x）AB=（1-x）a，∠FEH=60°，∴，当时，，∴E为AD的中点．（3）证明：由（2）知，四边形EFGH的周长：C=2（EF+EH）=2[ax+a（1-x）]=2a为定值．【解析】1. 解：∵直线a与b是异面直线，直线c∥a，∴直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面．故选：D．直线b和c有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上，如果b和c在同一平面上的话，二者的位置关系为相交；如果b和c不在同一平面上，二者的位置关系为异面．本题考查两条直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．2. 解：由m，n表示两条不同的直线，用α表示一个平面，知：若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故A错误；若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故B错误；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故D正确．故选：D．在A中，m∥α或m⊂α；在B中，m与n平行或异面；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中，由直线与平面垂直的性质得m∥n．本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．3. 解：还原直观图为原图形如图，故选：A．利用斜二测画法的过程把给出的直观图还原回原图形，即找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形．本题考查了平面图形直观图的画法，解答的关键是熟记斜二测画法的要点和步骤，从而还原得到原图形．4. 解：由题设条件知，正视图中的长与侧视图中的长不一致，对于①，俯视图是长方形是可能的，比如此几何体为一个长方体时，满足题意；对于②，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图不可能是正方形；对于③，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图不可能是圆形；对于④，如果此几何体是一个椭圆柱，满足正视图中的长与侧视图中的长不一致，故俯视图可能是椭圆．综上知②③是不可能的图形故选B本题给出了正视图与侧视图，由所给的数据知凭据三视图的作法规则，来判断侧视图的形状，由于正视图中的长与侧视图中的长不一致，此特征即是判断俯视图开关的关键，由此标准对四个可选项依次判断即可．本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视5. 解：如图所示，在平面ABD内，∵AE：EB=AF：FD=1：4，∴EF∥BD．又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，∴EF∥平面BCD．又在平面BCD内，∵H，G分别是BC，CD的中点，∴HG∥BD．∴HG∥EF．又，∴EF≠HG．在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，∴四边形EFGH为梯形．故选：B．由已知得EF∥BD．由此能证明EF∥平面BCD．由已知条件推导出HG∥BD．HG∥EF．EF≠HG．从而得到四边形EFGH为梯形．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时注意空间思维能力的培养．6. 【分析】设扇形半径为1，l为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可．本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法，同时，还考查了平面与空间图形的转化能力，属于基础题．【解答】解：设扇形半径为1，则扇形弧长为1×=，设围成圆锥的底面半径为r，则2πr=，r=，扇形的面积S1=×1×=，圆锥的表面积S2=S1+πr2=+=，∴=．故选C．7. 解：由题意，MA、MB、MC两两互相垂直，故三个线段是一个长方体共顶点的三条棱，此长方体的体对角线恰好是外接球的直径，∵A、B、C、M是半径为R的球面上的四点，∴球的直径是2R，∴AB2+AC2+AD2=4R2．故选C．由题意知，此四点组成的三个线段恰好是长方体同一个顶点出发的三条棱，体对角线就外接球球的直径．本题考查球内接多面体，解题的关键是能理解出球的内接长方体的体对角线就是直径，考查计算能力．8. 解：连接底面正方形ABCD对角线AC、BD，取底面ABCD对角线AC的中点F，连接EF，BD，EF是三角形ASC的中位线，EF∥SC，且EF=SC，则EF与BE的成角是BE与SC的成角，BF=，AB=，EF=，三角形SAB是等腰三角形，从S作SG⊥AB，cos A===，根据余弦定理，BE2=AE2+AB2-2AE•AB•cos A=2，BE=，在△BFE中根据余弦定理，BF2=EF2+BE2-2EF•BE cos∠BEF，cos∠BEF=，∠BEF=60°；异面直线BE与SC所成角的大小60°．故选C．接底面正方形ABCD对角线AC、BD，取底面ABCD对角线AC的中点F，连接EF，BD，说明EF与BE的成角是BE与SC的成角，通过在△BFE中根据余弦定理，BF2=EF2+BE2-2EF•BE cos∠BEF，求出cos∠BEF解得异面直线BE与SC所成角的大小．本题考查异面直线及其所成的角，考查计算能力，是基础题．9. 解：该几何体为正方体沿体对角线截成，其分成两部分的几何体的体积相等，而正方体的体积V=23=8，故被截去的几何体的体积是=4，故选C．三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体沿体对角线截成．三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．10. 【分析】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力.正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积.【解答】解：设球的半径为R，∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴，∴，∴球的表面积为.故选A.11. 解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算．如图设长方体的长宽高分别为m，n，k，由题意得，⇒n=1，所以（a2-1）+（b2-1）=6⇒a2+b2=8，∴（a+b）2=a2+2ab+b2=8+2ab≤8+a2+b2=16⇒a+b≤4当且仅当a=b=2时取等号．故选：C．设棱长最长的线段是长方体的对角线，由题意所成长方体的三度，求出三度与面对角线的关系，利用基本不等式即可求出a+b的最大值本题是基础题，考查长方体的对角线与三视图的关系，长方体的三度与面对角线的关系，基本不等式在求最值中的应用，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．12. 解：由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1=∠C1AC=30°，AM=，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：=．故选：C．画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP+PQ的最小值．本题考查最小值的求解，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大．13. 解：由三视图可知，几何体是底面边长为4和3高为1的长方体，中间挖去半径为1的圆柱，几何体的表面积为：长方体的表面积+圆柱的侧面积-圆柱的两个底面面积．即S=2×（3×4+1×3+1×4）+2π×1-2×12π=38．故答案为：38．通过三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．本题考查三视图与直观图的关系，几何体的表面积的求法，判断三视图复原几何体的形状是解题的关键．14. 解：连结AC、BD，交于点O，则O是AC的中点，取CC1的中点O，连结OP，由三角形中位线定理得OP∥AC1，∴∠BOP是AC1与BD所成角（或所成角的补角），∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=2，∴OB=OC==，PC=，OP==，BP==，∴cos∠BOP===．∴AC1与BD所成角的余弦值为．故答案为：．连结AC、BD，交于点O，则O是AC的中点，取CC1的中点O，连结OP，由三角形中位线定理得OP∥AC1，从而∠BOP是AC1与BD所成角（或所成角的补角），由此利用余弦能求出AC1与BD所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．15. 解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，∵=，∴=，∵它们的侧面积相等，∴=1，∴=，∴==（）2×=．故答案为：．设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由=，得=，由它们的侧面积相等，得=，由此能求出．本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用．16. 解：如图，正四面体ABCD中，中心O到各顶点连线所夹的角相等，则∠AOD就为所求的角，设正四面体ABCD的棱长为a，作AE⊥面BCD，垂足为E，作BF⊥CD，交CD于F，则O∈AE，E∈AF，连结AF，则BF==，BE=，AE==，设OA=OB=r，则OE=，则，解得r=，∴cos∠AOD===-．∴这个角的余弦值为-．故答案为：-．构造正四面体ABCD中，中心O到各顶点连线所夹的角相等，则∠AOD就为所求的角，由此能求出这个角的余弦值．本题考查角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、余弦定理的合理运用．17. （1）由已知得EF∥D1B1，BB1∥DD1、BB1=DD1，从而BB1D1D是平行四边形，从而EF∥DB，由此能证明D、B、F、E共面．（2）由已知得EF是平面AA1C1C和平面DBFE的交线，R是平面AA1C1C和平面DBFE 的一个公共点，由此能证明P、Q、R三点共线．本题考查四点共面的证明，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．18. （1）由AD∥BC，可得BC∥平面PAD，再利用线面平行的性质可得BC∥l；（2）取CD的中点Q，连接MQ、NQ，可证平面MNQ∥平面PAD，再由面面平行的性质得线面平行．本题考查了线面平行的判定与性质，考查了面面平行的判定与性质，体现了线线、线面、面面平行关系的相互转化，要熟记相关定理的条件．19. （1）由题意作出几何体的轴截面，根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，再表示出圆柱的侧面积；（2）由（1）求出的侧面面积的表达式，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值．本题的考点是简单组合体的面积问题，关键是作出轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的思想求出最值，考查了数形结合思想和函数思想．20. （1）利用等体积转换，即可求三棱锥B1-A1BE的体积；（2）设AB1∩A1B=O，取C1D1中点F，连接OE、EB、B1F．根据三角形中位线定理，得EF∥C1D且EF=C1D，平行四边形AB1C1D中，有B1O∥C1D且B1O=C1D，从而得到EF∥B1O且EF=B1O，四边形B1OEF为平行四边形，B1F∥OE，所以B1F∥平面A1BE，即存在C1D1中点F，使B1F∥平面A1BE．本题在正方体中，证明面面垂直并且探索线面平行的存在性，着重考查了正方体的性质、线面平行的判定，以及线面垂直、面面垂直的判定与性质、考查三棱锥B1-A1BE的体积等知识，属于中档题．21. （1）要证四边形B1EDF为菱形，只要先证其是平行四边形，再说明邻边相等即可，根据正方体的性质易证；（2）根据异面直线所成角的定义，把直线A1C平移和直线DE相交，找到异面直线A1C 与DE所成的角，解三角形即可求得结果．此题是个中档题．考查异面直线所成的角和棱柱的结构特征，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想方法．22. （1）由已知得EF∥GH，从而EF∥平面BCD，进而EF∥CD，由此能证明CD∥平面EFGH．（2）设，则，由此能求出E为AD的中点时截面面积最大，并能求出面积的最大值．（3）四边形EFGH的周长：C=2（EF+EH），由此能证明四边形EFGH的周长为定值．本题考查线面平行的证明，考查截面面积最大时点的位置的确定，考查四边形EFGH的周长为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。

安徽省合肥市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)1. （1 分） (2012·辽宁理) 数列的一个通项公式是（ ）A.B.C.D.2. （1 分） (2016 高一下·衡阳期中) 在中，，于（ ），， 则最短边的边长等A. B. C.D. 3. （1 分） 等比数列{an}的各项均为正数，且 A . 12 B . 10 C.8 D . 14，则4. （1 分） (2018·淮南模拟) 已知，则第 1 页 共 11 页的值是（ ）（）A. B.C.D.5. （1 分） 已知等比数列 的前 项和为 ，，， 则公比 （ ）A . 1或B. C.1D . －1 或 6. （1 分） (2018·枣庄模拟) 已知 是公差为 2 的等差数列，若 A. B. C. D.，则（）7. （1 分） (2016 高一下·攀枝花期中) 若变量 x，y 满足约束条件 A.2 B.4 C.7 D.8第 2 页 共 11 页，则 2x+y 的最大值是（ ）8. （1 分） (2018 高二上·湖南月考) 已知 那么当 取得最小正值时 （ ）为等差数列，若A.B.C.D.且它的前 项和 有最大值，9. （1 分） 椭圆 是（ ）A.的左右焦点分别为 、 ， 点 是椭圆上任意一点，则的取值范围B.C. D.10. （1 分） (2016 高一上·汕头期中) 若关于 x 的不等式 a≤ 的值为（ ）A.5 B.4﹣3x+4≤b 的解集恰好是[a，b]，则 a+bC.D.11. （1 分） (2018 高三上·南阳期末) 我们把顶角为的等腰三角形称为黄金三角形。

其作法如下：①作一个正方形；②以的中点 为圆心，以长为半径作圆，交延长线于 ；③以 为圆心，以长为半径作⊙ ；④以 为圆心，以长为半径作⊙ 交⊙ 于 ，则为黄金三角形。