高中数学三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质基本练习1函数f(x)=sinx-conx 的最小正周期为（ C ）A 12π B π C 2π D 3π 2 函数sin [,]33y x ππω=-在上为减函数，则ω的取值范围为（ A ) A [-1.5,0) B [-3,0) C (0,1.5] D (0,3] 3 已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π,则该函数的图像( A)A 关于(,0)3π对称 B 关于直线4x π=对称 C 关于(,0)4π对称 D 关于直线3x π=对称4 若函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωφ=+><的最小正周期为π,且(0)f =,则( D ) A 1,26πωϕ== B 1,23πωϕ== C 2,6πωϕ== D 2,3πωϕ==5 函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( C )A.1C.326已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．143例1设函数()f x =·ab ，其中向量(cos2)m x =，a ，(1sin 21)x =+，b ，x ∈R ，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合．解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1，由πs i n 214x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，．例 2 已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． 例3已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间()sin(2)6f x x π=-例4已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求f （8π）的值；（Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 同步练习 1 函数f(x)02x π≤≤) 的值域是B（A ）[-2] (B)[-1,0] （C ）]（D ）]2在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是C（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）43已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=（ B ）A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 4函数()3sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象为C ， ①图象C 关于直线1112x =π对称； ②函数()f x 在区间5ππ⎛⎫-⎪1212⎝⎭，内是增函数；③由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ．以上三个论断中，正确论断的个数是（ C ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．35若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数6 函ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ A ) 7 函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ ）A ．π，1B ．πC ．2π，1D ．2π8 函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，9已知函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，则()f x 的最小正周期是 ．π10函数[]()sin (π0)f x x x x =∈-，的单调递增区间是____________11 下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|.③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点 .④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是12已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （1）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域(2)若不等式|()|2[,]122f x m ππ-<-在区间上恒成立，求m 的取值范围(1)()sin(2)6f x x π=-5[,],2[,]122636x x πππππ∈-∴-∈-故所求的值域为[2-(2)m 的取值范围为(1,22--13 已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤∙≤，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π的最大值与最小值．解：（Ⅰ）设ABC △中角AB C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．14 已知22()3sin cos 2sin ()0)12f x x x x x πωωωωω=+-> （1）求函数的值域； （2）若对任意的实数a ，函数()y f x =在(,)a a π+上的图像与y=1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值，并写出该函数在[0,]π上的单调区间 (1)f(x)的值域为[-1,3] (2)1ω= f(x)的单调递增区间为511[0,],[,]1212πππ单调递减区间为511[,]1212ππ 15 已知函数()sin 2cos 2f x a b x x =++的图像经过点A （0，1）(,1)4B π，且当[0,]4x π∈时，f(x)取最大值为1，（1）求f(x)的解析式；（2）求函数f(x)的单调区间 (1)1,1()(1)sin 2(1)cos2a c a b f x a a x a x+=+==+-+-由已知得故=)sin(2)4a a x π-+因为3[0,]2[,]sin(2)1444424x x x πππππ∈∴+∈≤+≤, 则当1-a>0时有(1)21a a -=解得a=-1当1-a<0时有a+(1-a)=1不合题意,故())14f x x π=+- (2)递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈。