三角函数性质与图像x教师版

三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。

2. 能够运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

3. 提高学生的数学思维能力，培养学生的数学审美观念。

二、教学内容：1. 三角函数的定义与基本性质2. 正弦函数的图像与性质3. 余弦函数的图像与性质4. 正切函数的图像与性质5. 三角函数图像与性质的综合应用三、教学重点与难点：1. 重点：三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。

2. 难点：三角函数图像与性质的综合应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索三角函数的图像与性质。

2. 利用多媒体课件，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。

3. 结合实际例子，让学生学会运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

4. 开展小组讨论，培养学生的合作与交流能力。

五、教学过程：1. 导入：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入本节课的学习。

2. 三角函数的定义与基本性质：讲解三角函数的定义，引导学生掌握三角函数的基本性质。

3. 正弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正弦函数的图像，讲解正弦函数的性质。

4. 余弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示余弦函数的图像，讲解余弦函数的性质。

5. 正切函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正切函数的图像，讲解正切函数的性质。

6. 三角函数图像与性质的综合应用：结合实际例子，讲解如何运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

7. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

8. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，总结经验教训。

10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，了解学生对三角函数图像与性质的掌握程度。

六、教学策略与资源：1. 教学策略：采用问题引导式教学，鼓励学生主动发现问题、解决问题。

利用数学软件或在线工具，让学生亲自动手绘制三角函数图像，加深对函数性质的理解。

高三数学三角函数-图像与性质学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲义目的在于让同学从根本上了解三角函数的图像与性质，了解图像变换与解析式变换之间的对应关系，利用图像解决与三角函数有关的问题，并在此基础上发散思维，解决三角函数与其他知识融合的综合问题。

知识点一：由图像写解析式，突破识图难点；由性质写解析式，达到对条件的全面理解。

知识点二：通过解决图象与性质融合的新题目，既积累解题经验，又消除“怕新”“怕繁”的心理，提升思维品质与解题能力，适应各种变化。

知识点三：通过结合图象解决与三角函数有关的问题（如方程、不等式），发展用图象思考问题的能力。

知识点四：通过建立三角函数模型，体验建模的程序，发展应用意识和能力。

知识点五：通过解决三角函数与其他知识融合的综合问题，感悟知识之间的联系，体验解题过程的复杂性，发展综合运用能力。

【题目来源】【题目】已知定义域为R的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=cos3x，h（x）=f（x）•g（x），求函数h（x）的单调递增区间．【答案】【解析】：【知识点】由图像写解析式，突破识图难点；由性质写解析式，达到对条件的全面理解。

【适用场合】 当堂例题 【难度系数】3【题目来源】【题目】 求下列函数的最小正周期(1))23πsin(x y -=；(2))4π2πtan(+=x y ；x y 2cos )3(2=； (4)y ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ；(5)y ＝｜sin x ｜．【答案】π,2, 2π=T ,π,π 【解析】： (1)π|2|π2=-=T ．(2)22ππ==T ．(3)214cos 2124cos 1+=+=x x y ，所以2π=T . (4)1)4π2sin(212cos 2sin 2sin 22cos 12+-=+-=+-⨯=x x x x x y ，所以T ＝π．(5)y＝｜sin x｜的图象为下图，可得，T＝π．【知识点】三角函数的周期性【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目来源】【题目】（2000全国，5）函数y＝－xc os x的部分图象是（）【答案】D【解析】：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C，当x∈（0，2π）时，y＝－xcosx＜0。

三角函数的图像考点回顾： 三角函数图象：y ＝tanx y ＝cotx函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的物理意义：振幅|A|，周期2||Tπω=，频率1||2f T ωπ==，相位;x ωϕ+初相ϕ（即当x ＝0时的相位）．（当A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号）， 三角函数图象的作法：1.几何法（利用三角函数线）2. 描点法：五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.3.利用图象变换作三角函数图象．三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数 y ＝Asin （ωx ＋φ）+b （0,0>>ωA ）的作法．（1）振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A （A>0）替换y ）由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当A ＞1）或缩短（当0＜A ＜1）到原来的A 倍，得到y ＝Asinx 的图象.（2）周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx （0>ω）替换x)由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜ω＜1）或缩短（ω＞1）到原来的ω1倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）相位变换或叫做左右平移．(用x ＋φ替换x)由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（4）上下平移（用y+(-b)替换y ）由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象.注意：由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）+B （A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别。

y=cosxy=sinx-11-11ooy xy x例1：函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．)48sin(4π+π-=x yB ．)48sin(4π-π=x yC ．)48sin(4π-π-=x yD ．)48sin(4π+π=x y 答案：A变式1：函数),,0)(sin(R x x A y ∈<>+=πϕωϕω的部分图象如图所示，则函数表达式为_______________ 答案：)23sin(3π-=x y变式2：函数),,0)(sin(R x x A y ∈<>+=πϕωϕω图象如图所示，则函数表达式为_______________ 答案：)62sin(2π+=x y变式3：函数),,0)(sin(R x x A y ∈<>+=πϕωϕω的部分图象如图所示，则函数表达式为_______________ 答案：)32sin(3π+=x y说明：主要从振幅、周期、某点的函数值三个方面考虑，其中变式3要注意1.5不是最高点。

课题：§1.3.2三角函数的图象与性质（一） 总第____课时班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】1．能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象； 2．借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质． 【重点难点】学习重点：正弦函数、余弦函数的图像和性质； 学习难点：借助正弦线画出正弦函数的图象． 【学习过程】一、自主学习与交流反馈：问题1：描点法作函数图象的基本步骤是什么？问题2：①如何精确的作出点C )3sin,3(ππ？②能否借用作点C )3sin,3(ππ的方法，作出[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象呢？问题3 如何得到sin ,R y x x =∈的图象？问题4 如何更加快捷地画出正弦函数的图象呢？问题5 请同学们观察，在[]π2,0,sin ∈=x x y 的图象上，起关键作用的点有几个？二、知识建构与应用：1．课件演示：正弦函数图象的几何作图法：2．五点法作图：描出五个点，并用光滑的曲线连接起来，很自然得到函数的简图．小结作图步骤：1．列表． 2．描点． 3．连线．3.利用图象的平移可由正弦函数x y sin =的图象得到余弦函数x y cos =的图象.三、例题：例1 用“五点法”画出下列函数的简图：（1）x y cos 2=，R x ∈； （2）x y 2sin =，R x ∈.例2 求下列函数的最大值及取得最大值时的自变量x 的集合：（1）3cosxy =； （2）x y 2sin 2-= .例3： 求下列函数的定义域和值域.x y sin lg )1(=； x y 3cos 2)2(=.四、巩固练习1．画出下列函数的简图,并说明这些函数的图象与正弦函数图象的区别和联系： （1）1sin -=x y ； （2）)3cos(π+=x y .2．求下列函数的最小值及取得最小值时的自变量x 的集合： （1）x y sin 2-= ； （2）3cos 2x y -=.3．函数⎪⎭⎫⎝⎛≤≤=326sin ππx x y 的值域是 .4．求下列函数的单调区间： （1）)4sin(π+=x y ； （2）x y cos 3=.五、回顾反思：六、作业批改情况记录及分析。

高二同步数学讲义 “正弦函数、余弦函数的图像性质”讲义编号：1、了解三角函数的周期性.，知道三角函数y ＝Asin (ωx ＋φ)，y ＝Acos (ωx ＋φ)的周期为T ＝2π|ω|.2、能画出y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质.(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等).3、了解三角函数 y ＝Asin (ωx ＋φ)的实际意义及其参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响，会画出y ＝Asin (ωx ＋φ)的简图，能由正弦曲线 y ＝sinx 通过平移、伸缩变换得到y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象．1. 已知函数f (x )＝Asin ωx ＋Bcos ωx (A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2. (1) 求f (x )的解析式；(2) 在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解：(1) 因为f (x )＝A 2＋B 2sin (ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，得ω＝π.又当x ＝13时，f (x )max ＝2，故13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.(2) 当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512.又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.2. 设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π＋2x 4，cosx ＋sinx ，b ＝(4sinx ，cosx －sinx )，f (x )＝a·b . (1) 求函数f (x )的解析式；(2) 已知常数ω＞0，若y ＝f (ωx )在区间⎢⎡⎥⎤－π，2π上是增函数，求ω的取值范围；(3) 设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6≤x ≤23π，B ＝{x ||f (x )－m |＜2}，若A B ，求实数m 的取值范围．解：(1) f (x )＝sin 2π＋2x4·4sinx ＋(cosx ＋sinx )·(cosx －sinx )＝4sinx ·1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 2＋cos 2x ＝2sinx (1＋sinx )＋1－2sin 2x ＝2sinx ＋1，所以所求解析式为f (x )＝2sinx ＋1.(2) ∵f (ωx )＝2sin ωx ＋1，ω＞0，由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2，得f (ωx )的增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω，k ∈Z . ∵f (ωx )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上是增函数，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω. ∴－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，∴ω∈⎝⎛⎦⎥⎤0，34.(3) 由|f (x )－m |＜2，得－2＜f (x )－m ＜2，即f (x )－2＜m ＜f (x )＋2.∵A B ，∴当π6≤x ≤23π时，不等式f (x )－2＜m ＜f (x )＋2恒成立．∴f (x )max －2＜m ＜f (x )min ＋2，∵f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝3，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，∴m ∈(1，4)．知识点一：周期函数的定义✧ 子知识点一：周期函数的概念：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每 一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，则称y ＝f (x )为周期函数；函数y ＝Asin (ωx ＋φ)和y ＝Acos (ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|； 子知识点二：函数y ＝Atan (ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|． 知识点二：三角函数的图象和性质“五点法”作图“五点法”作图原理：在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)、⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1、(π，0)、⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1、 (2π，0)． 余弦函数呢？子知识点三：函数 y ＝Asin (ωx ＋φ)的特征 若函数y ＝Asin (ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πw叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相.1. 三角函数的图像及性质例1、 （三角函数的值域与最值） 已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．（★★★☆☆）命题意图：本题考查形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的有界性，及分类讨论的思想。

三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质；（2）学会分析三角函数图像的变化规律；（3）能够运用三角函数的性质解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角函数图像的特性；（2）利用数形结合的方法，研究三角函数的性质；（3）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对三角函数的兴趣，培养学习的积极性；（2）引导学生感受数学的美丽和实用性，提高学生的数学素养；（3）培养学生合作、探究的精神。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质；（2）能够运用三角函数的性质解决实际问题。

2. 教学难点：（1）三角函数图像的变换规律；（2）三角函数性质的深入理解。

三、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用问题驱动法，引导学生探究三角函数的图像与性质；（2）运用数形结合的方法，帮助学生直观地理解三角函数的性质；（3）采用小组合作、讨论的方式，培养学生的团队合作能力。

2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，展示三角函数的图像和性质；（2）利用数学软件，进行函数图像的动态演示；（3）提供充足的练习题，巩固所学知识。

四、教学内容与步骤1. 导入新课：（1）复习已知三角函数的图像和性质；（2）引出本节课要学习的内容：三角函数的图像与性质。

2. 探究正弦函数的图像与性质：（1）展示正弦函数的图像；（2）引导学生观察、分析正弦函数的性质；3. 探究余弦函数的图像与性质：（1）展示余弦函数的图像；（2）引导学生观察、分析余弦函数的性质；4. 探究正切函数的图像与性质：（1）展示正切函数的图像；（2）引导学生观察、分析正切函数的性质；五、课堂练习与拓展1. 课堂练习：（1）根据给定的函数式，绘制函数图像；（2）根据函数图像，分析函数的性质；（3）解决实际问题，运用三角函数的性质。

《三角函数的图象与性质》讲义一、引言三角函数是数学中的重要概念，其图象和性质在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

掌握三角函数的图象与性质，对于理解和解决相关问题具有关键意义。

二、三角函数的定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦（sin）：对边与斜边的比值。

余弦（cos）：邻边与斜边的比值。

正切（tan）：对边与邻边的比值。

用角度θ表示，即：sinθ ＝对边／斜边cosθ ＝邻边／斜边tanθ ＝对边／邻边三、常见的三角函数1、正弦函数：y ＝ sin x定义域：R（全体实数）值域：－1, 1周期性：周期为2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin x奇偶性：奇函数，即 sin(x) ＝ sin x图象特点：图象是一条波浪线，在 x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）处取得最大值 1，在 x ＝kπ π/2 （k∈Z）处取得最小值－1。

2、余弦函数：y ＝ cos x定义域：R值域：－1, 1周期性：周期为2π，即 cos(x ＋2π) ＝ cos x奇偶性：偶函数，即 cos(x) ＝ cos x图象特点：图象也是一条波浪线，在 x ＝kπ（k∈Z）处取得最大值 1，在 x ＝kπ ＋π（k∈Z）处取得最小值－1。

3、正切函数：y ＝ tan x定义域：｛x ｜x ≠ kπ ＋π/2，k∈Z}值域：R周期性：周期为π，即 tan(x ＋π) ＝ tan x奇偶性：奇函数，即 tan(x) ＝ tan x图象特点：图象是由一系列不连续的曲线组成，在每个周期内，在x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）处有垂直渐近线。

四、三角函数图象的变换1、平移变换对于正弦函数 y ＝ sin(x ＋φ)，当φ ＞ 0 时，图象向左平移φ个单位；当φ ＜ 0 时，图象向右平移|φ|个单位。

对于余弦函数 y ＝ cos(x ＋φ)，规律与正弦函数相同。

2、伸缩变换对于正弦函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)，A 决定了图象的振幅，ω决定了图象的周期。

第十、十一讲 三角函数的图象与性质★★★高考在考什么 【考题回放】1.已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ D ） （A ）偶函数且它的图象关于点)0,(π对称（B ）偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 （C ）奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 （D ）奇函数且它的图象关于点)0,(π对称2．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为 （ D ） （A ）21- （B ）21 （C ）23-（D ）233．函数y = －x ·cos x 的部分图象是( D )4．① 存在)2,0(πα∈使31cos sin =+a a ② 存在区间（a ，b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0 ③ x y tan =在其定义域内为增函数 ④ )2sin(2cos x x y -+=π既有最大、最小值，又是偶函数⑤ |62|sin π+=x y 最小正周期为π以上命题错误的为____________.①②③⑤ 5．把函数y=cos(x +34π)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y 对称，则φ的最小正值为3π 6．设函数f （x ）=a sin ωx +b cos ωx （ω＞0）的最小正周期为π，并且当x =12π时，有最大值f （12π）=4.（1）求a 、b 、ω的值；（2）若角α、β的终边不共线，f （α）=f （β）=0，求tan （α+β）的值.【专家解答】（1）由ωπ2=π，ω＞0得ω=2. ∴f （x ）=a sin2x +b cos2x .由x =12π时，f （x ）的最大值为4，得⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.3224232422b a b a b a ，（2）由(1)得f （x ）=4sin （2x +3π）, 依题意4sin （2α+3π）=4sin （2β+3π）=0.∴sin（2α+3π）－sin （2β+3π）=0. ∴cos（α+β+3π）sin （α－β）=0∵α、β的终边不共线，即α－β≠k π（k ∈Z ）， 故sin （α－β）≠0. ∴α+β=k π+6π（k ∈Z ）.∴tan（α+β）=33.★★★高考要考什么 【考点透视】本专题主要涉及正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质. 掌握两种作图方法：“五点法”和变换作图（平移、对称、伸缩）；三角函数的性质包括定义域、值域（最值），单调性、奇偶性和周期性.【热点透析】三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 常见题型：1 考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用2 三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强3 三角函数与实际问题的综合应用此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用★★★突破重难点【范例1】右图为y=Asin (ωx+ϕ)的图象的一段，求其解析式。

第12讲 三角函数定义及运用（教师版）一．学习目标：1．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 2.三角函数线及运用。

二．重点难点：1.重点：三角函数的定义及应用。

2.难点：三角函数值符号的确定．三角函数线的应用。

三．知识梳理：1. 任意角的三角函数:任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y.三个三角函数的初步性质如下表：各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3.三角函数线:如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A 4[1]． 对角概念的理解要准确(1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z }．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．[2]． 对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数，也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围．如tan α＝yx有意义的条件是角α终边上任一点P (x ，y )的横坐标不等于零，也就是角α的终边不能与y 轴重合，故正切函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠k π＋π2，k ∈Z .[3] 三角函数线是三角函数的几何表示(1)正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负． (2)余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．(3)当角α的终边在x 轴上时，点T 与点A 重合，此时正切线变成了一个点，当角α的终边在y 轴上时，点T 不存在，即正切线不存在．(4)在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上，还可以从图形角度考察任意角的三角函数，即用有向线段表示三角函数值，这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方．四．典例剖析：题型一 任意角三角函数的定义例1判断题：(1)已知sin α≥0，cos α≥0，则α是第一象限角．( )(2)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.( )(3)若点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为(－1，－3)．( )[答案] (1)× (2)× (3)×解析] (1)由sin α≥0知，α终边在第一象限或第二象限，或x 轴，或y 轴的非负半轴上；由cos α≥0知，α终边在第一象限或第四象限，或y 轴，或x 轴的非负半轴上．故α终边在第一象限，或x 轴的非负半轴上，或y 轴的非负半轴上．(2)点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32在单位圆上，所以sin α＝32，cos α＝－12；而Q (x 0，y 0)不一定在单位圆上，所以sin α＝y 0，cos α＝x 0不一定成立．(3)根据三角函数的定义，x ＝|OP |cos 23π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.y ＝|OP |sin 23π＝2×32＝3，∴P 点的坐标为(－1，3)．例2（1）已知角α的终边经过点P(m ，－3)，且cosα＝－45，则m 等于A ．－114 B.114C ．－4D ．4[自主解答] 由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45，又m<0，解得m ＝－4.（2）角θ的终边上有一点(a ，a)，a ∈R 且a≠0， 则sin θ的值是.A.22 B ．－22 C.22或－22 D ．1解析：由已知得r ＝a 2＋a 2＝2|a|，sin θ＝ar＝a2|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧22a>0，－22a<0所以sin θ的值是22或－22. （3）[2011年高考江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．解：若角α终边上任意一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255， ∴y16＋y2＝－255，解得y ＝－8. 例3（1） 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t .r ＝x 2＋y 25|t |，当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.(2)设90°≤α<180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值；解析：(1)∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝x x 2＋5，从而24x ＝xx 2＋5，解得x ＝0或x ＝± 3.∵90°≤α<180°，∴当x ＝－3时r ＝22，sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.当0x = 时，sin ，tan α不存在。

个性化教学辅导教案1、正切函数的定义域求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域2、正切函数的单调性和值域(1)求函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调区间；(2)比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．3、正切函数的奇偶性和周期性函数y ＝tan 3x 的最小正周期是 奇偶是 【答案】3，奇 4、正切函数综合画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图像，并根据图像求出函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．1、正切函数的定义域① 根式与对数函数的定义域 ② 正切函数的定义域 2、正切函数的单调性与值域① 单调性的定义 ② 值域的求解方法 ③ 正切函数的图像 3、正切函数的奇偶性与周期性① 奇偶性的概念 ② 周期性 4、.正切函数综合题① 图像的变换 ② 正切函数的图像精讲一 正切函数的定义域教学目标熟念掌握正切函数的定义域① 常用函数的定义域教师提问：在必修一我们学习了值域的几种求解方法，你还记得有哪些吗？（提示：基本初等函数，复合函数）学生回答：①幂函数一般很容易回答②指数函数与对数函数lg）③复合函数（2x，x参考答案：(1)常见函数的直接求法；（）(2)分离常数法；(3)换元法；(4)单调性....正切函数的图像教师提问：你还记得给定一个角在单位圆中的正切线怎样画吗？（提示：过单位圆与x正半轴的交点A，作垂直于x轴的直线，交角的终边或其延长线于点T，则有向线段AT 即为该角的正切线）．学生回答：①注意邻边为1②第三象限和第四象限的正切线参考答案教师提问2：仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能根据正切线作出正切曲线吗？学生回答①定义域②无界性参考答案正切函数的图像：教师提问：tan 的单调区间是什么？那我们回顾一下问题定位题2（2），我们能快速求出来吗？ 学生回答：教师提问：求函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调区间；比较tan 1、tan 2、tan 3的大小．学生回答：(1)y ＝tan(－12x ＋π4)＝－tan(12x －π4)，由kπ－π2<12x －π4<kπ＋π2，得2kπ－π2<x<2kπ＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调递减区间是(2kπ－π2，2kπ＋32π)，k ∈Z.精讲三 正切函数的奇偶性和周期性教师目标掌握正切函数的奇偶性和周期性①奇偶性的概念②周期性教学过程教师提问：根据诱导公式tan(π＋x)＝tan x ，说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k ∈Z)与tan x 关系怎样？根据诱导公式tan(－x)＝－tan x ，说明了正切函数的什么性质？（提示：周期性的概念和奇偶性的概念：偶函数()()x f x f -=）；奇函数()()x f x f -=-) 学生回答：周期性．tan(kπ＋x)＝tan x(k ∈Z)；奇偶性．教师提问：tan 的最小正周期是什么？那我们回顾一下问题定位题3，我们能求出这题么？ 学生回答：教师提问：函数y ＝tan 3x 的最小正周期是 奇偶是 学生回答：3π，奇 精讲四 正切函数的综合题教学目标理解正切函数的综合题①图像的变换y ＝⎩⎨⎧0，x ∈（kπ－π2，kπ），2tan x ，x ∈（kπ，kπ＋π2），(k ∈Z)．其图像如图所示．由图像可知，函数的主要性质为： ①定义域：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ∈R ，x≠π2＋kπ，k ∈Z ；②值域：[0，＋∞)； ③周期性：T ＝π； ④奇偶性：非奇非偶函数；⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋π2)，k ∈Z.1、求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝lg(3－tan x )．【答案】(1)要使函数y ＝11＋tan x 有意义，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ）， ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .(2)因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜3，又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z)，根据正切函数图像，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z)，所以函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .2、求函数y ＝3tan(π4－2x )的单调区间【答案】法一：令z ＝π4－2x ，则y ＝3tan(π4－2x )＝3tan z ．由于函数y ＝3tan z 在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z)上是增函数，且z ＝π4－2x 是减函数，由－π2＋k π＜π4－2x ＜π2＋k π，k ∈Z ，得－π8－k π2＜x ＜3π8－k π2.所以函数y ＝3tan(π4－2x )的单调递减区间为(－π8－k π2，3π8－k π2)(k ∈Z)，也即(－π8＋k π2，3π8＋k π2)(k ∈Z)，无单调递增区间．法二：y ＝3tan(π4－2x )＝－3tan(2x －π4)，令－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z.则－π8＋k π2＜x ＜3π8＋k π2，k ∈Z.函数y ＝3tan(2x －π4)的单调递增区间为(－π8＋k π2，3π8＋k π2)(k ∈Z)．从而函数y ＝－3tan(2x －π4)的单调递减区间为(－π8＋k π2，3π8＋k π2)(k ∈Z)，无单调递增区间.3、比较tan 2 011°和tan 2 012°的大小．解：tan 2 011°＝tan(5×360°＋211°)＝tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°，tan 2 012°＝tan 32°， ∵y ＝tan x 在0°＜x ＜90°时是单调增函数，∴tan 31°＜tan 32°.故tan 2 011°＜tan 2 012°. 4、函数y ＝|tan x |，y ＝tan x ，y ＝tan(－x )，y ＝tan|x |在(－3π2，3π2)上的大致图像依次是 ( )A ．①②③④B ．①②④③C ．①③④②D ．③②④① 【答案】B解析：∵|tan x |≥0，∴图像在x 轴上方，∴y ＝|tan x |对应①；∵tan|x |是偶函数，∴图像关于y 轴对称， ∴y ＝tan|x |对应③；而y ＝tan(－x )与y ＝tan x 关于y 轴对称，∴y ＝tan(－x )对应④，y ＝tan x 对应②，故四个图像依次是①②④③.【查漏补缺】1、 函数y ＝x sin -＋x tan 的定义域是（ ） A. （2k ＋1）π≤x≤（2k ＋1）π＋2π，k ∈Z B. （2k ＋1）π＜x ＜（2k ＋1）π＋2π，k ∈Z C. （2k ＋1）π≤x ＜（2k ＋1）π＋2π，k ∈Z D. （2k ＋1）π＜x ＜（2k ＋1）π＋2π或x ＝kπ，k ∈Z 【答案】 C 2、比较13tan4π与17tan 5π的大小． 【答案】 ∵13tantan 44ππ=，172tan tan 55ππ=，又∵20452πππ<<<，y=tan x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，∴2tantan45ππ<，即1317tan tan 45ππ<；3、函数y ＝|x|tan 2x 是 ( )A ．奇函数B ．偶函数{2 x x==x x()|tan）由图象知，函数不是周期函数∴当t=1，即4x π=时，y min =8，当3t =，即3x π=时，max 1034y =-．∴函数的值域为[8,1034]-． （3）由题意可知，函数()f x 的最小正周期2T π=，即||2ππω=． ∵ω＞0，∴ω=2．从而()tan(2)f x x ϕ=+．∵函数()y f x =的图象关于点,08M π⎛⎫-⎪⎝⎭对称， ∴282k ππϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭（k ∈Z ），即224k ππϕ=+（k ∈Z ）．∵02πϕ<<，∴ϕ只能取4π．故()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．1．若tan 0x ≤,则（ ）. A ．22,2k x k k Z πππ-<<∈ B ．2(21),2k x k k Z πππ+≤<+∈C ．,2k x k k Z πππ-<≤∈ D ．,2k x k k Z πππ-≤≤∈【答案】C 【解析】由图象可知C 正确． 2．函数tan 2()tan xf x x=的定义域为（ ）. A ．{|x x R ∈ 且,4k x k Z π⎫≠∈⎬⎭B ．{|x x R ∈ 且,2x k k Z ππ⎫≠+∈⎬⎭C ．{|x x R ∈ 且,4x k k Z ππ⎫≠+∈⎬⎭D ．{|x x R ∈ 且,4x k k Z ππ⎫≠-∈⎬⎭【答案】A 【解析】要使式子有意义，则正切型函数本身有意义，且分母不为零，知A 正确 3．函数tan()(0)6y ax a π=+≠的周期为（ ）.A ．2a π B ．2aπC ．a πD ．a π【答案】C 【解析】正切型函数的周期即指最小正周期，||T a π=．4．下列函数不等式中正确的是（ ）.A ．43tantan 77ππ> B ．23tan tan 55ππ< C ． 1315tan()tan()78ππ-<- D ．1312tan()tan()45ππ-<-【答案】D 【解析】同名函数比较大小时，应化为同一单调区间上两个角的函数值后，应用函数的单调性解决；而对于不同名函数，则应先化为同名函数再按上面方法求解.13tan(3)tan()44πππ-+=-，17172tan()tan(3)tan()555ππππ-=-+=-，又245ππ->-所以2tan()tan()45ππ->-，故D 成立． 5、函数tan 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调区间为（ ） A ．,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k ∈Z B ．3,44k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z C ．,2k k πππ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z D ．,44k k ππππ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z 【答案】D 【解析】先作出tan 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，再将x 轴下方的图象对称对x 轴上方，即可得到tan 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，如图．由图可知，tan 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间是,44k k ππππ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ；单调递减区间是,44k k ππππ⎛⎤++ ⎥⎝⎦，k ∈Z ．对比选项可得D 符合要求． 5、求函数y =－2tan （3x +3π）的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性. 【答案】由3x +3π≠k π+2π，得x ≠18π3π+k （k ∈Z ），∴所求的函数定义域为{x |x ≠18π3π+k （k ∈Z ）}，值域为R ，周期为3π，它既不是奇函数，也不是偶函数.k π－2π≤3x +3π≤k π+2π（k ∈Z ）， ∴18π53π-k ≤x ≤18π3π+k （k ∈Z ）.在区间［18π53π-k ，18π3π+k ］（k ∈Z ）上是单调减函数.【第1、2天】 1．函数tan()3y x π=+的定义域（ ）.A ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭ C ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭ D ．|2,6x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】要使函数有意义，须32x k πππ+≠+，解之得,6x k k Z ππ≠+∈。

三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握三角函数的图像与性质，能够运用三角函数解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索三角函数的图像与性质。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队协作能力。

二、教学内容：1. 三角函数的定义与图像2. 三角函数的周期性3. 三角函数的奇偶性4. 三角函数的单调性5. 三角函数的极值三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图像与性质的掌握。

2. 教学难点：三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的图像与性质。

2. 利用多媒体手段，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。

3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。

五、教学过程：1. 导入新课：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入高中阶段的学习。

2. 探究三角函数的图像与性质：引导学生观察三角函数的图像，分析其特点，归纳出性质。

3. 讲解与示范：教师讲解三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断方法，并进行示范。

4. 练习与反馈：学生进行课堂练习，教师及时给予反馈，巩固所学知识。

5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

教案编写完毕，仅供参考。

如有需要，请根据实际情况进行调整。

六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现，评价学生的学习态度和团队协作能力。

2. 作业评价：对学生的课后作业进行批改，评价学生对课堂所学知识的掌握程度。

3. 单元测试评价：在单元结束后进行测试，评价学生对三角函数图像与性质的掌握情况。

七、教学策略：1. 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，使所有学生都能跟上教学进度。

2013年新课标数学40个考点总动员 考点13 三角函数的图像和性质（教师版）【高考再现】热点一 三角函数的图像1.（2012年高考（浙江理））把函数y =cos2x +1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图像是2．（2012年高考（课标文））已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π43．（2012年高考（福建文））函数()sin()4f x x π=-的图像的一条对称轴是 （ ） A ．4x π=B ．2x π=C ．4x π=-D ．2x π=-【答案】C 【解析】把4x π=-代入后得到()1f x =-,因而对称轴为4x π=-,答案C 正确.4．（2012年高考（安徽文））要得到函数cos(21)y x =+的图象,只要将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位 【解析】选C cos 2cos(21)y x y x =→=+左+1,平移125．（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示,其中,P 为图像与y 轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,B 为图像的最低点. (1)若6πϕ=,点P 的坐标为(0,332),则ω=______ ; (2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为_______.6．（2012年高考（湖南文））已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数()()()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间.7．（2012年高考（四川理））函数2()6cos3cos 3(0)2xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;(Ⅱ)若083()5f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值. [解析](Ⅰ)由已知可得:2()6cos 3cos 3(0)2x f x x ωωω=+-> =3cos ωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以,函数]32,32[)(-的值域为x f8.（2012年高考（陕西文））函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π, (1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值. 【解析】（Ⅰ）∵函数()f x 的最大值是3，∴13A +=，即2A =．∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴最小正周期T π=，∴2ω=． 故函数()f x 的解析式为()2sin(2)16f x x π=-+．（Ⅱ）∵()2f α2sin()126πα=-+=，即1sin()62πα-=，∵02πα<<，∴663πππα-<-<，∴66ππα-=，故3πα=．【方法总结】1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点． 2.y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，解得x ＝k π－φω(k ∈Z)，即其对称中心为(k π－φω，0)(k ∈Z)． 3.相邻两对称轴间的距离为T2，相邻两对称中心间的距离也为T2.4.根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1)A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2)k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；(4)φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ. 热点三 三角函数的最值1．（2012年高考（湖南理））函数f(x)=sinx-cos(x+6π)的值域为（ ） A ．[ -2 ,2]B ．[-3,3]C ．[-1,1 ]D ．[-32 , 32]2．（2012年高考（大纲理））当函数sin 3(02)y x x x π=-≤<取得最大值时，x =_______________.3．（2012年高考（四川文））已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若32()10f α=,求sin 2α的值.4. 2012年高考（山东理））已知向量(sin ,1),(3cos ,cos 2)(0)3Am x n A x x A ==>,函数()f x m n =⋅的最大值为6.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域. 【方法总结】求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sin x 、cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题. 热点三 三角函数的单调性1．（2012年高考（新课标理））已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（ ）A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,]2D ．(0,2]【答案】A【解析】592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D351()[,]444x πππωω=⇒+∈ 合题意 排除()()B C另:()22πωππω-≤⇔≤,3()[,][,]424422x ππππππωωπω+∈++⊂得:315,2424224πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤ 2．（2012年高考（天津理））已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--,x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.3.（2012年高考（湖北文））设函数22()sin 23cos cos ()f x x x x x x R ωωωωλ=+-+∈的图像关于直线x π=对称,其中,ωλ为常数,且1(,1)2ω∈ (1) 求函数()f x 的最小正周期; (2) 若()y f x =的图像经过点(,0)4π,求函数()f x 的值域.【解析】(1)因为22()sin cos 23cos cos 2322sin(2)6f x x x x x x x πωωωωλωωλωλ=-++=-+=-+ 由直线x π=是()y f x =图像的一条对称轴,可得sin(2)16x πω-=±所以2()62x k k Z ππωπ-=+∈,即1()23k k Z ω=+∈又1(,1),2k Z ω∈∈,所以1k =时,56ω=,故()f x 的最小正周期是65π.(2)由()y f x =的图象过点(,0)4π,得()04f π=即52sin()2sin 26264πππλ=-⨯-=-=-即2λ=故5()2sin()236f x x π=-函数()f x 的值域为[22,22]+.【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域,一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查. 4.（2012年高考（北京理））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递增区间.【方法总结】求形如y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ(ω>0)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x(x ∈R)，y ＝cos x(x ∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反)． 【考点剖析】 一．明确要求1．考查三角函数的值域与最值 2．考查三角函数的单调性3．利用三角函数的值域和单调性求参数的值 二．命题方向1．三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点. 2．利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点.3．题型不限，选择题、填空题、解答题都有可能出现，常与多个知识点交汇命题. 三．规律总结 一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m2，k ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值． 两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象． 两条性质 (1)周期性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cosωx ＋b 的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 【基础练习】1．（教材习题改编）23cos()4y x π=-+的最大值为 ，此时x=2．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 答案 C3.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )．A ．(－π，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，04. 已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π35. 函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x 答案 A解析 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x .6.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析 由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝32.答案 32【名校模拟】 一．基础扎实.（北京2011—2012学年度第二学期高三综合练习（二）文）将函数sin y x =的图象向右平移2π个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为 A ．1sin y x =- B ．1sin y x =+C ．1cos y x =-D ．1cos y x =+2.(2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理)函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，其中0>A ,0>ω，2πϕ<．则下列关于函数()f x 的说法中正确的是( )A ．对称轴方程是2()3x k k ππ=+∈ZB ．6πϕ-=C ．最小正周期是πD ．在区间35,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减3.(河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试理)把函数y=sin （2x-6π）的图象向左平移6π个单位后，所得函数图象的一条对称轴为 A ．x=0 B ．x=6πC ．x=—12πD ．x=2π4. (唐山市2011—2012学年度高三年级第一次模拟考试文)函数sin3y x =的图象可以由函数cos3y x =的图象(A)向左平移3π个单位得到（B)向右平移3π个单位得到 (C)向左平移6π个单位得到（D)向右平移6π个单位得到[答案]D[解析]cos3sin(3)sin 3(),26y x x x ππ==+=+向右平移6π个单位得到sin3y x =. 5.(2012年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三）理) 函数对任意的都有I 成立，则的最小值为(A)3/4 (B)1 (C)2 (D)46.(浙江省宁波市鄞州区2012届高三高考适应性考试（3月）文)函数),)(2sin()(R A x A x f ∈+=ϕϕ的部分图象如图所示，那么=)0(f （ ）21.-A 1.-B 23.-C 3.-D【答案】B【解析】本题主要考查三角函数图象的性质。

11．α是第一象限角，tan α＝34，则sin α＝()A.45 B.35C．－45D．－35解析：选B tan α＝sin αcos α＝34，sin2α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝35.2．(2013·安徽名校模拟)已知tan x＝2，则sin2x＋1＝()A．0 B.95 C.43 D.53解析：选B sin2x＋1＝2sin2x＋cos2xsin2x＋cos2x＝2tan2x＋1tan2x＋1＝95.3．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝()A.32B．－32 C.12D．－12解析：选B由2tan α·sin α＝3得，2sin2αcos α＝3，即2cos2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－3 2.4．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝()A.12B．2 C．－12D．－2解析：选B∵cos α＋2sin α＝－5，结合sin2α＋cos2α＝1得(5sin α＋2)2＝0，∵sin α＝－255，cos α＝－55，∵tan α＝2.5．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos π＋α＋sin π－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：01．(教材改编)函数y ＝12sin x ，x ∵[－π，π]的单调性是( )A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上都是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 答案 B2．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∵Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∵Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∵Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∵Z 答案 D解析 由2x ≠k π＋π2，k ∵Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∵Z ，∵y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∵Z . 3．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3 答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∵当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∵ω＝32. 4．(2015·安徽)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2) 答案 A解析 由于f (x )的最小正周期为π， ∵ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∵Z )，∵φ＝2k π－11π6(k ∵Z )，又φ>0，∵φmin ＝π6，故f (x )＝A sin(2x ＋π6)．于是f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎫4－7π6. 又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，又f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∵f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.5．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 答案 5 3π4＋2k π(k ∵Z )解析 函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5， 此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∵Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∵Z )．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图跟踪练习1 (1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为__________________________．(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为______________________________________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∵Z(2)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∵Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∵Z ， ∵2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∵Z )，∵函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∵Z .(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∵y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∵函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∵Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∵Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∵Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∵Z ) (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 (1)B (2)⎣⎡⎦⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∵Z )得，踪练习3 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________． (2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－ 3B ．－33 C. 2 D.22答案 (1)2或－2 (2)B解析 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∵x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2.(2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3， 解得a ＝－33.1、 (2014陕西,2,5分,∵∵∵)函数f(x)=cos 的最小正周期是( )A. B.π C.2π D.4π 思路点拨 根据公式T=计算.[答案] B [解析] T===π.故选B.2、(2013江苏,1,5分,∵∵∵)函数y=3sin的最小正周期为________.[答案]π[解析]由题意知ω=2,所以T==π.3、(2015山东烟台模拟,∵∵∵)求下列函数的最小正周期:(1)y=sin;(2)y=|sin x|.思路点拨(1)利用公式求最小正周期;(2)可利用图象法求最小正周期.[答案]答案见解析[解析](1)y=sin,其中ω=2,∵T==π.(2)函数y=|sin x|的图象如下图所示,可知其最小正周期为π.4、(2015四川,5,5分,∵∵∵)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是()A.y=sinB.y=cosC.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x思路点拨利用函数的奇偶性逐项验证.[答案]B[解析]A中,y=cos 2x,最小正周期为π,为偶函数,不符合题意;B中,y=-sin 2x,最小正周期为π,且为奇函数,符合.C,D为非奇非偶的函数.5、(2014陕西西安模拟,∵∵∵)下列函数中是奇函数的是()A.y=-|sin x|B.y=sin(-|x|)C.y=sin |x|D.y=x·sin |x|思路点拨利用f(-x)=-f(x)进行判断.[答案]D[解析]四个函数的定义域都是R,设f(x)=x·sin|x|,则f(-x)=(-x)·sin|-x|=-x·sin|x|=-f(x),∵y=x·sin|x|是奇函数,故选D.6、(2014广东,5,5分,∵∵∵)下列函数为奇函数的是()A.y=2x-B.y=x3sin xC.y=2cos x+1D.y=x2+2x思路点拨根据奇函数的定义判断.[答案]A[解析]由函数奇偶性的定义知,B、C中的函数为偶函数,D中的函数为非奇非偶函数,只有A中的函数为奇函数,故选A.7、(2012天津,6,5分,∵∵∵)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为()A.y=cos 2x,x∵RB.y=log2|x|,x∵R且x≠0C.y=,x∵RD.y=x3+1,x∵R思路点拨根据选项中各个函数的性质判断,有一定的综合性.[答案]B[解析]函数y=cos 2x在区间上单调递减,在区间上单调递增,不合题意,排除A;函数y=是奇函数,排除C;y=x3+1是非奇非偶函数,排除D;y=log2|x|=是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选B.8、(2012大纲全国,3,5分,∵∵∵)若函数f(x)=sin (φ∵[0,2π])是偶函数,则φ=()A. B. C. D.思路点拨根据特例来求解.[答案]C[解析]∵f(x)是偶函数,∵=+kπ(k∵Z).∵φ=π+3kπ(k∵Z),又φ∵[0,2π],∵φ=π.9、(2014安徽,14,5分,∵∵∵)若函数f(x)(x∵R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=则f+f=________.思路点拨根据函数的周期性将待求函数值的自变量值转化到分段函数中的定义域范围内,结合奇函数性质求解.[答案][解析]∵f(x)是以4为周期的奇函数,∵f=f=f,f=f=f.∵当0≤x≤1时, f(x)=x(1-x),∵f=×=.∵当1<x≤2时, f(x)=sin(πx),∵f=sin=-.又∵f(x)是奇函数,∵f=-f=-,f=-f=.∵f+f=-+=.10、(2012课标全国,9,5分,∵∵∵)已知ω>0,函数f(x)=sin在单调递减,则ω的取值范围是()A. B. C. D.(0,2]思路点拨利用正弦函数的单调性及单调区间求解.[答案]A[解析]由<x<π得+<ωx+<ωπ+,又y=sin α在(k∵Z)上递减,∵解得由ω>0知+2k>0,∵k>-.若要不等式组有解,则+4k≤+2k,解得k≤,又k∵Z,∵k=0,∵≤ω≤,故选A.11、(2011安徽,9,5分,∵∵∵)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对x∵R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是()A. (k∵Z)B. (k∵Z)C. (k∵Z)D. (k∵Z)思路点拨恒成立问题可转化为最值问题,然后根据单调区间等知识求解.[答案]C[解析]∵f(x)≤恒成立,∵=1.∵+φ=+kπ,k∵Z.∵φ=+kπ,k∵Z.又∵f>f(π),即sin(π+φ)>sin(2π+φ),∵-sin φ>sin φ,∵2sin φ<0,∵sin φ<0.∵当k=1时,φ=+π=,满足sin φ<0,∵f(x)=sin=-sin.∵要求f(x)的单调递增区间,只需2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∵Z,即kπ+≤x≤kπ+,k∵Z.∵f(x)的单调递增区间是(k∵Z).12、(2015上海长宁区一模,∵∵∵)设ω>0,若函数f(x)=2sin ωx在上单调递增,则ω的取值范围是________.思路点拨∵ω>0,先求出f(x)=2sin ωx的单调递增区间,而是其中的一个子集,由集合关系,求出ω的取值范围.[答案][解析]三角函数f(x)=2sin ωx的图象如图.由图知f(x)在上是单调增函数,结合题意得解得0<ω≤.13、(2014福建,7,5分,∵∵∵)已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)思路点拨分段函数问题可以考察各段函数的性质,或结合图象判断.[答案]D[解析]作出f(x)的图象如图所示,可排除A,B,C,故D正确.14、(2014课标∵,6,5分,∵∵∵)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为()思路点拨列出函数y=f(x)的表达式后判断函数的图象,或取x的几个特殊值来验证.[答案]C[解析]由题图可知:当x=时,OP∵OA,此时f(x)=0,排除A、D;当x∵时,OM=cos x,设点M到直线OP 的距离为d,则=sin x,即d=OMsin x=sin xcos x,∵f(x)=sin xcos x=sin 2x≤,排除B,故选C.15、(2013江西改编,∵∵∵)设f(x)=2sin,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是________.思路点拨对已知条件“对任意实数x都有|f(x)|≤a”的理解是解答关键,把此条件转化为函数f(x)的最大值问题.[答案] [2,+∞) [解析] ∵≤1,∵≤2,即对任意实数x,有|f(x)|≤2,要使|f(x)|≤a 恒成立,只要a 不小于|f(x)|的最大值即可,∵a≥2.[方法与技巧]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解． [失误与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2，下列说法正确的是( ) A ．f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增B ．f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减C ．f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增D ．f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减 答案 B解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在[0,1]上单调递减，故选B. 2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－3 答案 A解析 利用三角函数的性质先求出函数的最值．∵0≤x ≤9，∵－π3≤π6x －π3≤7π6，∵sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∵⎣⎡⎦⎤－32，1.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∵Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∵Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.12．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 ∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∵－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∵ω≥32.13．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∵T 2≥π2－π6， ∵T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∵f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∵f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∵14T ＝7π12－π3＝π4，∵T ＝π. 14.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________. 答案 3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.∵g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∵Z .。