岩土类材料弹塑性力学模型及本构方程

2013-7-22 31
所以


k1

2 k2
2 1
k1
k1 k1 k2
化简上式可得广义开尔文体本构方程：

k2 1 k2 k1 k1
图3-4 牛顿流体力学模型及其动态
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17
3.本构方程

d 或 dt
1

将（5-13）式积分，得：
t C
式中：C——积分常数，当时，C=0，则：
t
1
4.牛顿体的性质 （1）从上式可以看出，当t=0时，ε=0。当应力为 0 时，完成其相应的应变需要时间 t1 ，说明应变与时 间有关，牛顿体无瞬时变形。
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12
3.4.3 基本元件
一、弹性元件（虎克体H） 1.定义 如果材料在载荷作用下，其变形性质完全符合虎克 定律，即是一种理想的弹性体，则称此种材料为虎 克体，用符号H代表。 2.力学模型
图3-2 虎克体力学模型及其动态
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13
3.本构方程
K
4.虎克体的性能 （1）具有瞬时弹性变形性质，无论载荷大小，只要 不为零，就有相应的应变，当为零时，也为零，说 明虎克体没有弹性后效，即与时间无关； （2）应变恒定时，应力也保持恒定不变，应力不会 因时间增长而减小，故无应力松弛性质； （3）应力保持恒定时，应变也保持不变，即无蠕变 性质。
6.弹性后效：是加载或卸载时，弹性应变滞后 于应力的现象。 7.粘性流动：即蠕变一段时间后卸载，部分应 变永久不恢复的现象。
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。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值，反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大，材料抵抗塑性变形的能力越强，进入塑性阶段所需 的应力水平越高，材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内，应力与应变之比，反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大，材料的刚度越大，相同应力作用下产生的弹性
变形越小，进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为，应 力与应变呈线性关系，卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时，材料进入塑 性阶段，应力不再增加但应变继续增 加，卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ，随着塑性应变的增加，屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型，屈服后应 力保持恒定，应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数，为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型，进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比，验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二：混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点，选择合适 的弹塑性损伤本构模型，如塑性损伤模

f f ( ij ) ( ) 0
(2) 随动强化模型: 随动强化模型是指屈服面的大小和形状不变, 它只是产生移动. 后继屈服面的一般方程为
p f f ( ij ij ) 0
α是材料参数,
(３) 混合强化模型: 其强化规律介于等向强化模型和随动强化模型 之间, 即既有扩大又有移动，后继屈服条件可写为
2 本构关系的复杂性： 在弹性阶段,弹性本构关系只用一组物理方程就可以描述，但在 塑性阶段，塑性本构关系通常要包含四组方程: (1) 屈服条件(初始屈服条件): 是用来判断是否从弹性状态到塑性 状态的条件或准则. 对于单向应力状态, 要判断它是否屈服, 只需判 断它的正应力是否达到屈服应力, 而对于复杂应力状态, 相应的应力 张量由六个应力分量决定,必须依据一定的准则判断, 这个准则就叫 做屈服条件或屈服准则. (2) 加(卸)载条件: 材料进入塑性状态以后继续塑性变形的过程, 叫做加载过程; 反之,推回到弹性状态的过程, 叫做卸载过程. 这两个 过程的本构关系是不一样的, 所以要进行判断. 判断加载的条件叫做 加载条件;判断卸载的条件叫做卸载条件; (3) 强化条件(后继屈服条件): 判断再次屈服的准则.材料屈服以后, 如果卸载后再加载,使其再次进入塑性状态, 这时候的屈服条件一般 不同与初始屈服条件, 称为强化条件(后继屈服条件).所以有些书把 (1)与(3)统称为屈服条件, 但分别称为初始屈服条件和后继屈服条件:
( 1 3 , 1 3 , 1 3 )
等倾线的方
1 2 3
(2) π平面 在应力空间中, 过坐标原点 并且以等倾线为法线的平面, 称 为π平面 ． π平面 的方程为
σ2 L
1 2 3 0
4 屈服轨迹 π o σ1 屈服曲面与π平面的 交线称为屈服轨迹. 根据 研究,屈服轨迹具有如下 性质 σ3 (1) 对称性 (2) 外凸性：这是由Drucer公设得出的结论． Drucer公设：在加载和卸载的整个循环过程中，附加应力做功非 负．即

ε = λ
= + + + +
λ
σ
所以有
λ =
ε σ
伊柳辛理论可以写成（弹ຫໍສະໝຸດ 性共有） 伊柳辛理论可以写成= = =
ε σ ε σ ε σ
γ γ γ
=
ε τ σ
ε = τ σ
=
ε τ σ
弹性部分
= = =
塑性部分（总应变偏量与弹性
应变偏量之差）
γ γ γ
= = =
τ τ τ
= = =
ε σ ε σ ε σ
γ γ γ
=
ε σ
τ τ τ
ε = σ ε = σ
式中关键是等效应变与等效应力的比值 式中关键是等效应变与等效应力的比值
⑷ 形变理论应满足的条件 加载应为单调增加，尽量不中断，更不能卸载 材料是不可压缩的 应力应变曲线具有幂化形式 小变形（弹性与塑性变形为同一量级） ⑸ Davis-儒柯夫试验 儒柯夫试验 试验材料—铜材 拉力与内压比值k不同（同一试件k为常数） 做出σi～εi曲线 结论：类似单轴简单加载
ε ε ，有 σ σ
=
φ
所以：
=
+φ
= =
+
这就是Hencky 本构方程，它 本构方程， 这就是 包括了弹性变形 弹性变形与 包括了弹性变形与塑性变形
ε σ
=
+
=
+φ
=
+
ε σ
⑶ 应变偏量与应力偏量成比例
= =
γ = τ
= λ
γ = τ
γ = τ
= λ
主应力、 主应力、主应变偏量关系
= =
应变强度（参见公式（1-29）page 20） 应变强度

岩土本构模型原理及应用简述摘要：简述了岩土本构模型中弹性本构模型、弹塑性本构模型及粘弹塑性模型的建立、应用范围和局限性。

认为当前的岩土本构模型，简单便于计算的模型不能反映岩土真实的力学性状，而精细复杂的模型参数难以确定，难以推广应用。

直至现阶段还没有一种能适应任何条件的普遍本构模型，目前岩土本构模型研究有必要向这方面发展。

关键词：岩土弹性本构模型弹塑性本构模型粘弹塑本构模型在实际工程中岩土体常常有很复杂的应力-应变特性，如非线性、弹性、塑性、粘性以及剪胀性、应变硬化（软化）、各向异性等，同时受到应力路径、应力历史以及岩土的状态、组成、结构和温度不同程度的影响。

因此为了反映岩土真实的力学性状，必须建立较为复杂的本构模型。

而实际工程应用中，在满足一定的精度条件下，又要求简单实用。

虽然至今的岩土本构模型达数百种，但大体上分为下述几类：弹性模型、弹塑性模型、粘弹塑性模型等。

1 弹性本构模型弹性模型是建立在弹性理论基础上的本构模型。

最简单的是线弹性模型，即广义胡克定律。

非线性弹性模型一般可分为三类：Cauchy弹性模型、超弹模型和次弹性模型。

非线性弹性模型是线弹性模型的推广，按照拟合应力-应变曲线的形状分为：折线型、双曲线型、对数曲线型等。

按照采用的弹性系数又可分为E-μ（弹性模量-泊松比）非线性弹性模型，K-G（体积变形模量-切变模量）非线性弹性模型，以及用其他形式表示的弹性模型。

1.1 线弹性本构模型弹性是一种理想的固体特性。

实际土体在外载荷作用下，只有在应变很小时才发生弹性变形。

模拟土体应力应变性质的最古老、最简单的方法是采用线弹性模型，即假设土体应力一应变之间存在一一对应的线形关系：σij=F（εij），反映在土体应力一应变关系矩阵式{σ}=[D]{ε}中，弹性模量矩阵[D]是常量。

由于土体弹性性质的方向性决定了各线弹性模型独立弹性常数个数。

对一般的均质连续各向异性弹性体，有21个独立弹性常数，正交各向异性线弹性模型具有9个独立弹性常数，横观各向同性线弹性模型具有5个独立弹性常数，最简单的各向同性线弹性模型（虎克定律）具有2个独立弹性常数。

τ xy σy − σm
τ zy
τ xz τ yz
⎤ ⎥ ⎥
σ z − σm ⎥⎦
（3.1.2）
J1 = S x + S y + S z = S1 + S2 + S3
（3.1.3）
J2
=
1 2
(S
2 x
+
S
2 y
+
S
2 z
)
+
S
2 xy
+
S
2 yz
+
S
2 zx
= −S1S2 − S2S3 − S3S1
3.3.1 适用范围
Mohr-Coulomb 塑性模型主要适用于在单调荷载下以颗粒结构为特征的材料，如土壤， 它与率变化无关。
3.3.2 特点
在 ABAQUS 中，Mohr-Coulomb 塑性模型有如下特点： ① 在应力空间中存在弹性区与塑性区以及它们的分界面。
-8-
② 材料是初始各向同性的。 ③ 屈服行为取决于静水压力的大小，当静力压力越大，材料的强度越高。
,
φ)
偏心率 e 描述了介于拉力子午线（Θ=0）和压力子午线（Θ= π ）之间的情况。 3
（3.3.4）
- 10 -
其默认值由下式计算：
e = 3 − sin φ 3 + sin φ
（3.3.5）
ABAQUS 允许在三向受拉或受压状态下匹配经典的 Mohr-Coulomb 模型。允许 e 在以下 的范围内变化：
F = Rmcq − p tan φ − C = 0
（3.3.1）
其中 Rmc ( Θ , φ) 为 π 平面上屈服面形状的一个度量。

典型的本构关系模型
4-3-1 双曲线（邓肯-张）模型
它属于数学模型的范畴。即它以数学 上的双曲线来模拟土等材料的应力应 变关系曲线并以此进行应力和应变分 析的。由于这种模型是由邓肯和张两 人所提出，所以也叫邓肯-张模型，有 时简称D C模型。


a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
在F点之前，试件处于均匀应变 状态，到达F点后，试件开始出现 颈缩现象。如果再继续加载则变形 将主要集中于颈缩区进行，F点对应 的应力是材料强化阶段的最大应力， 称为强度极限，用 b 表示。
判定物体中某一点是否由弹性状态 转变到塑性状态，必然要满足一定 的条件（或判据），这一条件就称 为屈服条件。在分析物体的塑性变 形时，材料的屈服条件是非常重要 的关系式。
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
1.概述 土作为天然地质材料在组成及构 造上呈现出高度的各向异性、非 均质性、非连续性和随机性,在 力学性能上表现出强烈的非线性、 非弹性和粘滞性,土的本构模型 就是反映这些力学性态的数学表 达式。
一般认为,一个合理的土的本构 模型应该具备理论上的严格性、 参数上的易确定性和计算机实现 的可能性。自Roscoe等创建剑桥 模型至今,各国学者已发展数百 个土的本构模型。

A+
∂f ∂σ ij
Dijkl
∂g ∂σ kl
dσ ij
= Dijkl dε kl − Dijkl
∂g ∂σ kl
∂f ∂σ ij
Dijkl
A+
∂f ∂σ ij
Dijkl
∂g ∂σ kl
d ε kl
=
( Dijkl
−
Dijkl A+
∂g ∂σ kl ∂f ∂σ ij
∂f ∂σ ij
Dijkl
Dijkl
¾塑性应变εijp硬化定律： ¾塑性功Wp硬化定律： ¾ 塑性体应变εvp 硬化定律
2
¾塑性应变εijp硬化定律：
ξβ
=
ξβ
(ε
p ij
)
由
dΦ
= ∂Φ ∂σ ij
d σ ij
+ ∂Φ ∂ξβ
d ξβ
=
∂Φ ∂σ ij
d σ ij
+ ∂Φ ∂ξβ
∂ξβ
∂ε
p ij
dε
p ij
=0
得：
∂Φ ∂σ ij
=
dsij
/
2G,
dε
p ij
= deipj ,
dεm
=
1 3K
dσ
m
∂f / ∂sij = sij ,
dε
p ij
=
dλsij
展开为
dε
p x
=
dε
p y
=
dε
p z
=
dγ
p xy
=
dγ
p yz
=
dγ
p zx
=
dλ
sx
sy

岩土塑性理论形成
早期研究： • 1773年Coulomb提出土质破坏条件，其后推广为 Mohr- Coulomb准则； • 1857年Rankine研究半无限体的极限平衡，提出滑移 面概念； • 1903年Kö tter建立滑移线方法； • 1929年Fellenius提出极限平衡法； • 1943年Terzaghi发展了Fellenius的极限平衡法； • 1952~1955年Drucker和Prager发展了极限分析方法； • 1965年Sokolovskii发展了滑移线方法。
• ijk 符号有33或27个元素，取值为1，-1， 0。从下标为自然顺序1，2，3开始，如 果交换次数为偶数，则元素为1，为奇 数，则为-1，如果下标出现重复，则值 为0。可从图解判断：
形成独立学科： • 岩土塑性力学最终形成于20世纪50年代末期； • 1957年Drucker指出要修改Mohr-Coulomb准则，以 反映平均应力或体应变所导致的体积屈服； • 1958年剑桥大学的Roscoe等提出土的临界状态概念， 于1963年提出剑桥粘土的弹塑性本构模型，开创了 土体实用计算模型 • 从1970年前后至今岩土本构模型的研究十分活跃， 建立的岩土本构模型也很多。 • 1982年Zienkiewicz提出广义塑性力学的概念，指出 岩土塑性力学是传统塑性力学的推广。
2.2.2 标量积
• 矢量有两种乘法，即标量积（点积或内积） 和矢量积（叉积）。 • 矢量U和V的标量积定义为： U V | U || V | cos • |U|表示矢量U的绝对长度， 为矢量U和V的 夹角。
e1 e2 | e1 || e2 | cos90 0

e1 e1 | e1 || e1 | cos0 1
2.3 张量

第五章 岩土材料本构关系作用效应电压电流温差热流应力应变1660年英国科学家罗伯特·胡克在实验中发现螺旋弹簧伸长量和所受拉伸力成正比，从而提出了描述材料弹性的基本定律——胡克定律。

{}⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------⋅-+-=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=zx yz xy z y x zx yz xy z y x E νννεεεμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμτττσσσσ)1(221000000)1(221000000)1(221000000111000111000111)21)(1()1({}[]{}σε=D 物理方程 应力 ~ 应变弹性模量量纲同应力，也就是帕斯卡Pa 。

泊松比是横向应变与纵向应变的比值，无量纲 σ1σ1弹性常数：E 弹性模量单向拉伸： σ＝E ε 弹性常数：μ 泊松比 ε＝－μ εττγγ纯剪切实验： τ＝G γ弹性常数：G 剪切弹性模量 量纲同应力，帕斯卡Pa 。

弹性模量E 泊松比υ 拉梅参数λ 剪切模量G 体积模量K线弹性模型 {}[]{}σε=D εσ1E线弹性本构关系 非线性本构关系 常用岩土本构关系第五章 σ(Mpa)ε DE CB’B A 有明显流幅的钢筋的应力－应变曲线——《混凝土结构》无明显流幅的钢筋的应力－应变曲线——《混凝土结构》 σ(Mpa)εσP0.20.2%混凝土棱柱体受压应力－应变曲线——《混凝土结构》σ（N/mm2)0 51015202530350.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 ε比例极限A B 峰点C 拐点D 收敛点E F 0.008 0.012 0.009 0.01 0.011 临界点岩石的典型应力－应变曲线——《岩石力学》 εσR cσo εP T D U S C R P B Q O43 21A正常固结粘土或松砂的典型 应力－应变曲线—《土力学》 εv 压缩oq 1/a 11/b 极限值轴向应变εlεv 压缩 oq c/b 2 极限值 轴向应变εl 11/a 膨胀 εlm =a/（b-2c ） q m =1/4（b-c ）超固结粘土或密砂的典型应力－应变曲线—《土力学》单轴试验下材料的弹塑性性态 εσ O A比例极限 b σs σp σC B 弹性极限强度极限εp•荷载移除后，材料恢复到变形前的状态，不产生任何永久变形 •应力与应变成正比 •当材料由于应力达到某种临界值而出现应力与应变间的非线性变化关系弹性 线性 非线性 本构关系•材料由于荷载超过某个临界值（弹性极限）而产生的永久变形 •材料由弹性状态过渡到塑性状态的过程•应力不但与应变有关，还与时间、应变率等明显相关 塑性 屈服 粘性 本构关系本构模型弹性模型线弹性模型非线弹性模型弹塑性模型粘弹塑性模型内蕴时间塑性模型损伤模型本构关系εσ ε σ 弹性模型非线弹性模型线弹性本构关系 非线性本构关系 常用岩土本构关系 第五章 εσσy εe εp 理想弹塑性模型εσσy 线性强化弹塑性模型地层—结构模型 9.3.1 在采用地层－结构法对隧道施工开挖过程进行计算时，应选用与围岩地层及支护结构材料的受力变形特征相适应的本构关系。

2 2 2 OCT 2 1 2 2 3 3 1 3
岩土工程研究所
§1.应力和应变
4. 球应力、偏应力及相应应变
在土体本构模型理论中，常常也用球应力、偏应 力以及μ或θ作为应力分量。
球应力也称为平均正应力以p表示
p
q 1 2
＝
2－ 3 － 1 2
1－ 3
＝
2 2－ 1－ 3 1－ 3
1 3 式中 2－ 3 ， 1 2 ，
为三个应力摩尔圆的直径，见 图5-3
岩土工程研究所
§1.应力和应变
还有一个参数b也反映了中主应力接近大主应力的程度。 若 2＝ 1 ，b=1；若 2＝ 3 ,b=0
应力偏量
y z xy yz zx
T
x p y p z p xy yz xz
偏应力
T
岩土工程研究所
§1.应力和应变
(一）应力和应变分量的几种表示方法 1.一般分量 （1）矩阵或向量表示法 图5－1中表示了单元体上的这6个应力分量。相应地，也 有6个应变分量，以矩阵表示为
§1.应力和应变
球应力和偏应力，以及相应的应变分量，实际上
与八面体应力和应变是等效的，仅仅是系数不同。但 在分析能量时，要简单得多。可以推得： 体积变形能 ： 形变能 ：
Wv p v
Ws q s
岩土工程研究所
§1.应力和应变
对于一组确定的p和q，可以有许多种主应力 分量的组合，解是不确定的。因此，要有第三个分 量。第三个分量常取应力罗德（Lode）参数
，可以只用ｐ、ｑ两个分量来构成二维的应力空间，叫p－ q平面，如图5-6所示。在后面的本构模型理论中，常常会

岩石材料本构模型建立方法一、岩石本构模型的定义岩石本构关系是指岩石在外力作用下应力或应力速率与其应变或应变速率的关系。

岩石变形性质为弹塑性或粘弹塑性变形，变形性质主要通过本构关系来反映，本构关系，即研究弹塑性或粘弹塑性本构关系。

岩石是一种非均匀的各向异性的材料，内含微裂纹，有时还有宏观的缺陷如裂纹、空穴、甚至节理等。

对这些缺陷存在且材料对缺陷敏感时往往容易发生事故。

脆性材料不同于韧性材料，对缺陷十分敏感。

由于岩石结构非均质和非连续的复杂性，到目前为止，还没有一个统一成熟的岩石力学本构关系。

研究岩石本构关系的方法，概括起来主要有以下两种：（1）唯象学方法①用实验或断裂理论研究岩石的破坏准则。

其基本点是假设在强度极限以前岩石本构关系可以近似用线性关系描述；②塑性力学，流变力学及损伤力学方法。

塑性力学有经典和广义塑性力学两部分。

经典塑性力学理论主要适用于金属材料，广义塑性理论适用于岩石材料。

内时理论和流变力学在描述岩石时效方面的特性中发挥重要作用。

损伤力学是以微观裂纹为出发点来深入研究介质的力学形态，及基础是内变量理论。

（2）物理力学机理方面岩石在初始状态下呈现微观缺陷，在本构理论中必须考虑其影响。

依据一定的细观或微观力学机理，建立细观或微观力学模型，并借助于一定的宏观力学方法以建立宏观本构关系。

建立岩石本构关系一般通过两个途径：①利用岩石单轴或三轴试验获得的应力应变曲线，通过数理统计的回归方法建立本构方程；②在实验观察的基础上，提出某种基本假设，从而建立一个力学模型，并推导出相应的本构方程。

二、岩石的本构关系分类本构关系分类以下三类：①弹性本构关系：线性弹性、非线性弹性本构关系。

②弹塑性本构关系：各向同性、各向异性本构关系。

③流变本构关系：岩石产生流变时的本构关系。

流变性是指如果外界条件不变，应变或应力随时间而变化的性质。

2.1 岩石弹性本构关系1. 平面弹性本构关系2. 空间问题弹性本构关系2.2 岩石塑性本构关系塑性状态时，应力-应变关系是多值的，取决于材料性质和加-卸载历史。

J2 1 2 2 2 2 2 2 Sx Sy Sz Sxy Syz Szx S1S2 S2 S3 S3 S1 2 2 2 2 J 3 S x S y Sz 2Sxy S yz S zx Sx S yz S y S zx Sz Sxy S1S2 S3

应力状态的描述 弹性模型 塑性模型 算例分析
4.1
应力状态的描述
本书并不试图从原理上介绍本构模型， 而是重点讨论 ABAQUS 如何应用这些模型。 因此， 读者最好掌握一些力学基本知识。为方便起见，这里简要介绍一些涉及到的名词。 4.1.1 应力张量 土体中一点的应力状态可以由应力分量来表示： 11 12 13 x σ σ ij 21 22 23 yx 31 32 33 zx 4.1.2 应力张量的分解 可将应力分量分解为偏应力 s 和平均应力 p ：
注意：由于 ABAQUS 以拉为正，而岩土工程常受到压应力，因此为方便起见 ABAQUS 1 令 p trac(σ) 。 3 4.1.3 应力张量不变量和偏应力不变量 应力张量三个不变量为： I1 x y z 1 2 3
I2
2 x y y z z x xy 2 yz 2 zx


1 在这些不变量中，最常用到的有两个，一个是 I1 ，即前面提到的平均应力 p trac(σ) ； 3 另外一个是 J 2 ，读者可能更熟悉 q 3J 2 的形式，即岩土工程中常说的偏应力，在 ABAQUS
中称为等效 Mises 偏应力（Mises equivalent stress） 。 4.1.4 应力空间 应力空间是一种物理空间，它是以 1 ， 2 ， 3 作为坐标轴而形成的三维空间，空间中的 每一个点表达了一种应力状态， 因而屈服面就可用应力空间中的曲面图形来表达。 通常将三维 空间转到两个特殊平面中进行分析： 1 等斜面：又称 平面，该平面通过原点，其法线的三个方向的余弦都是 ，即与三 3

屈服曲线在 平面内有以下性质： （1）是一条封闭的曲线，并且坐标 原点被包围在内。 （2）与任一从坐标原点出发的向径 必相交一次，且只有一次。 （3）对三个坐标轴的正负方向均为 对称。 （4）对坐标原点为外凸曲线，屈服面 为外凸曲面。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
弹塑性力学
蒋建平
2011年6月
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
下面介绍几种特殊的应力状态在主 应力空间中的轨迹。 （1）球应力状态或静水应力状态 关于球应力状态，应力偏量为0， 即S1 S2 S3 0，且 1 = 2 = 3 m。 显然在主应力空间中，它的轨迹 是经过坐标原点并与 1、 2、 3三 坐标轴夹角相同的等倾斜直线On。


a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
§4-4
屈服条件、屈服面
判断材料是处于弹性状态还是已经 进入塑性状态所依据的准则，就称 为屈服条件，又称为塑性条件。当 材料处于单向拉伸（或压缩）应力 状态时，我们通过简单的试验，就 可使这一问题得到解决。
当应力小于屈服极限 s时，材料处于 弹性状态，当达到屈服极限 s时，便 认为材料已进入塑性状态。即便对那 些应力应变曲线上弹塑性分界不明显 的材料，通常将对应于塑性应变为

岩土弹塑性力学1 塑性屈服准则在组合应力状态下，材料所服从的屈服准则一般用下式表示：()0=ij f σ (1)函数f 的特定形式是与材料有关的，其含有若干个材料常数。

根据材料塑性准则是否与静水压力有关，可以将材米分为两类：与静水压力无关材料和与静水压力相关材料，这两类材料一般分别称为无摩阻材料和摩阻材料。

通常情况下金属材料属于静水压力无关材料，而土、岩石、混凝土等地质材料属于与静水压力相关材料。

与静水压力不相关的材料是由剪切力控制着它的屈服，在工程中一般采用Tresca 准则和von Mises 屈服准则，而与静水压力相关的材料一般采用最大拉应力准则、Mohr-Coulomb 准则和Drucker-Prager 准则。

下面就开始讨论这些塑性屈服准则。

1.1 Tresca 屈服准则Tresca 准则于1864年提出，该屈服准则假定，当一点的最大剪应力达到极限值则发生屈服。

以主应力表达这一准则，则在屈服时三个主应力两两之差值绝对值的一半中的最大值达到k ，这上准则的数学表达式为：k =⎪⎭⎫ ⎝⎛---13322121,21,21max σσσσσσ (2) 如果材料常数k 由单轴试验确定，则可以得下述关系20σ=k (3)其中，0σ为单轴加载屈服应力。

为了以图形表示二维空间中的屈服曲线形状，假定一双轴应力状态，其中仅1σ和2σ为非零，在1σ轴和第一区间两轴角平分线间的应力顺序为021>>σσ，所以，由式(2)可以导出k =21σ 或 01σσ= (4) 在21σσ-坐标系中绘出服从Tresca 准则的屈服轨迹（图1）。

利用主应力与应力不变量之间的关系，可将式(2)变换为02)31s i n (2),(22=-+=k J J f πθθ （ 600≤≤θ） (5) 式中，式中θ成为相似角或Lode 角。

Tresca 准则与1I 无关，暗示不依赖于静水压力。

由于Tresca 准则与1I 无关，故可将屈服面演绎成主应力空间的规则平行六面棱柱体（图2），它就是Tresca 准则屈服图形。

(1.6)
在主应力空间米赛斯屈服面为一无限延伸的圆柱面(图 1)。
图1
主应力空间的 Mises 和 Tresca 屈服面
5
(2) 屈斯加(Tresca)屈服准则
max k
其中最大剪应力 max max 1 2 , 2 3 , 3 1 / 2 。 该准则又称最大剪应力准则， 即当最 材料开始屈 大剪应力达到极限值 k 时， 服。 在主应力空间中， 屈斯加屈服面为 一无限延伸的正六边形柱面(图 1)。






则流动矢量 a d 可写为
a d C1a1 C2a 2 C3a 3
(1.28)
22
对于不同的屈服准则，可将相应的屈服函数 F 代入 (1.26) 式，可以计算得到 C1 , C 2 , C 3 值(表 1)。
表1 计算流动矢量的有关常数
屈服准则 Tresca Mises Mohr-Coulomb Drucker-Prager
1 F m sin J 2 cos sin sin c cos 0 3
0
7
(1.9)
3 1 3J 3 J 2 其中 arcsin 3 2


3 2
。
π 平面上的摩尔－库仑屈服条件如图 3 所示。 试验表明，摩尔－库仑屈服准则较为符合岩土和混凝土材 料的屈服和破坏特征。
11
1.2 硬化法则 硬化法则规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数(又称加 载函数或加载曲面)。一般来说加载函数可以采用以下形式
F ij , 0
(1.11)
其中 是硬化参数，它依赖于变形的历史。 对于理想弹塑性材料，因无硬化效应，显然后继屈服函数 和初始屈服函数一致，即

第四章本构方程在前面的章节中，已经建立了变形体的平衡微分方程和几何方程，分别是从静力学方面和从几何学方面考察了变形体的受力和变形。

但是只有这些方程还不足以解决变形体内的应力和变形问题。

对于变形体，未知变量包括6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量，一共有15个未知函数，而平衡方程和几何方程一共是9个，未知函数的个数多于方程数。

因此还必须研究物体的物理性质，即应力与应变之间的关系。

通常称这种关系为变形体的本构方程，或称为物性方程。

塑性本构包括三个方面：1、屈服条件，2、流动法则，3、硬化关系；其中屈服条件：判断何时达到屈服，流动法则：屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值，硬化规律：决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小。

以上构成塑性本构关系。

4.1弹性应变能函数变形固体的平衡问题不仅需要运动微分方程、应变—位移方程(即变形几何方程)还需要将应变分量和应力张量分量联系起来，方能给定物体的材料抵抗各种形式变形的规律。

该规律的理论解释需要对分子间力的本质有深入的认识，该分子力力图使固体粒子间保持—定的距离，也就是需要对固体中应力分量和应变分量有深入的认识。

这种作用机理在非常接近稳定状态的气体中己弄清楚，但对于弹性体情况，目前科学技术发展水平还不能解决这一难题。

如要通过实验探求物体内部的应力和应变的关系，则总是从一些量的测量来推理得到，在一般情况下，这些量并非应力或应变的分量(例如平均应变、体积压缩、物体表面一线元的伸长等等)．因此，在现时应力与应变关系主要是通过直接实验建立。

然而该关系中的某些固有的一般特性可以在理沦上加以说朋，如能量守恒定律为应力-应变关系的理论研究提供了基础。

1.1应变能密度假设变形的过程是绝热的，也就是在变形过程中系统没有热的损失，而且假设物体中任意无穷小单元改变其体积和形状所消耗的功与其从未变形状态到最终变形状态的转换方式无关。

这个条件是弹性的另一种定义。

换句话说，就是假设物体粒子互相作用过程中的耗散(非保守)力的作用与保守力的作用相比是可以忽略的。