八、概率
一、选择题
1.（浙江理 9）有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率
1 2 3 4
A．5 B ． 5 C．5 D 5
【答案】 B
2.（四川理 1）有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11 ． 5， 15． 5） 2 [15 ． 5,19 ．5） 4 [19 ． 5，23． 5） 9 [23 ． 5,27 ． 5） 18
[27 ． 5， 31． 5） 1l [31 ． 5， 35． 5） 12 [35 ．5． 39． 5） 7 [39 ．5,43 ． 5） 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31 ． 5，43． 5）的概率约是
1 1 1 2
A．6
B．
3
C．
2
D．
3
【答案】 B
P
22 1
【解析】从31.5到 43.5 共有22，所以66 3 。
3. （陕西理10）甲乙两人一起去游“ 2020 西安世园会” ，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参观 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是
1 1 5 1
A．36
B．
9
C．
36
D．
6
【答案】 D
4.（全国新课标理 4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加
各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
1 1
2 3
（A）3 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】 A
5.（辽宁理 5）从 1，2，3，4，5 中任取 2 各不同的数，事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”，则P（ B︱ A） =
1 1
2 1
（A）8 （B）4 （C）5 （D）2
【答案】 B
6. （湖北理5）已知随机变量服从正态分布 N 2，a2 ，且Ｐ（＜ 4）＝0.8
，则Ｐ（ 0＜
＜ 2）＝
Ａ． 0．6 B．0． 4 C．0．3 D ．0．2 【答案】 C
7. （湖北理7）如图，用 K、A
1、
A
2三类不同的元件连接成一个系统。当K 正常工作且
A
1、
A
2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知 K、A
1、
A
2正常工作的概率依次为
0．9、0．8、
0． 8，则系统正常工作的概率为
A．0． 960B．0． 864C．0．720D．0． 576
【答案】 B
8.（广东理 6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
1 3
2 3
A．2
B．
5
C ．
3
D．
4
【答案】 D
9.（福建理 4）如图，矩形 ABCD中，点 E 为边 CD的中点，若在矩形 ABCD内部随机取一个点Q，则点 Q取自△ ABE内部的概率等于
1 1
A．4B．3
1 2
C．2D．3
【答案】 C
二、填空题
10. （湖北理12）在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期。从这30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为。（结果用最简分数表示）
28
【答案】
145
11. （福建理13）盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，黄色球 2 个。若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于_______。
3
【答案】 5
12.（浙江理 15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假
2
定该毕业生得到甲公司面试的概率为 3 ，得到乙丙公司面试的概率为p
，且三个公司是否让
P( X
1 0)
其面试是相互独立的。记 X 为该毕业生得到面试得公司个数。若12 ，则随机变量
E( X )
X 的数学期望
5
3
【答案】
13.（湖南理 15）如图 4，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形。将一颗豆子随
机地扔到该图内，用 A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内”， B 表示事
件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内” ，则
（ 1） P（ A） = _____________;（2）P（B|A）=．
2
,(2) 1
【答案】（ 1） 4
14. （上海理9）马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表
请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能
肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案 E 。
【答案】 2 x 1 2 3
15.（重庆理 13）将一枚均匀的硬币投掷 6 次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率
P(ε=x ) ? ! ?
__________
11
32
【答案】
16.（上海理 12）随机抽取 9 个同学中，至少有 2 个同学在同一月出生的概率是（默认每月天数相同，结果精确到0.001）。
【答案】 0.985
17.（江西理 12）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若
1 1
此点到圆心的距离大于 2 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 4 ，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为
13
【答案】 16
18.（江苏 5） 5．从 1， 2， 3， 4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两
倍的概率为 ______
1
3
【答案】
三、解答题
19. （湖南理 18）某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：
日销售量（件） 0 1 2 3 频数
1
5
9
5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变） ，设某天开始营业时有该商品 3 件，当
天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频
率视为概率。
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期型。
解（ I ） P （“当天商品不进货” ） P （“当天商品销售量为 0 件”） P （“当天商品销售量
1
5 3
为1件”） 20
20
.
10
（Ⅱ）由题意知，
X 的可能取值为 2,3.
5 1
P( X 2) P （“当天商品销售量为 1 件”）
20
;
4
P( X
3)
P
（“当天商品销售量为 0 件”） P （“当天商品销售量为 2 件”） P （“当
1 9
5 3
20 20
20
.
天商品销售量为 3 件”）
4
故 X 的分布列为
X 2
3
P
1 3
4
4
EX
2 1
3 3 11. X 的数学期望为
4 4 4
20. （安徽理 20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进
去，且每个人只派一次，工作时间不超过
10 分钟，如果有一个人
10 分钟内不能完成任务则
撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分 别
p , p , p
，假设
p , p , p
互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立 .
（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
（Ⅱ）若按某指定顺序派人， 这三个人各自能完成任务的概率依次为q , q , q
，其中 q ,q , q
是
p , p , p
的一个排列，求所需派出人员数目
X 的分布列和均值（数字期望）
EX ；
（Ⅲ）假定
p p p
，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目
的均值（数字期望）达到最小。
解：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思
想，应用意识与创新意识 .
解：（I ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是
(1
p 1
)(1
p 2
)(1 p 3
)
，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于
1 (1 p 1 )(1 p
2 )(1 p
3 )
p 1 p 2
p 3 p 1 p 2 p 2 p 3
p 3 p 1
p 1 p 2 p 3 .
（ II ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为 q 1
, q 2
, q
3 时，随机变量
X 的分布列
为
X 1
2
3
P
q 1
(1 q 1 )q 2
(1 q 1 )(1 q 2 )
所需派出的人员数目的均值（数学期望）
EX 是
EX q 1 2(1 q 1 )q 2 3(1 q 1 )(1 q 2 ) 3 2q 1 q 2 q 1 q 2 .
（ III ）（方法一）由（ II ）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，
EX 3 2 p 1 p 2 p 1 p 2 .
根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值 .
下面证明：对于
p 1
, p 2
, p
3 的任意排列 q 1
, q 2 , q
3 ，都有
3 2q 1 q 2 q 1 q 2 3 2 p 1 p 2
p 1
p 2 ,
（
*）
事实上，
(3 2q 1
q 2
q 1q 2 ) (3 2 p 1
p 2 p 1 p 2 )
2( p 1 q 1 ) ( p 2 q 2 ) p 1 p 2 q 1 q 2
2( p 1 q 1 ) ( p 2 q 2 ) ( p 1 q 1 ) p 2 q 1 ( p 2
q 2 )
(2 p 2 )( p 1 q 1 ) (1 q 1 )(( p 2 q 2 ) (1 q 1 )[( p 1 p 2 ) (q 1 q 2 )]
0.
即（*）成立 .
（方法二）（ i ）可将（ II ）中所求的 EX 改写为 3
( q 1 q 2 ) q 1q 2 q 1 , 若交换前两人的
派出顺序，则变为 3
(q 1 q 2 ) q 1 q 2
q 1 ,
. 由此可见，当
q 2
q 1
时，交换前两人的派出顺
序可减小均值 .
（ii ）也可将（ II ）中所求的 EX 改写为
3 2q 1
q 2
q 1 q 2
，或交换后两人的派出顺序，
则变为
3 2q 1q
3 q 1 q 3
. 由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当 q 3
q 2
时，交换后
两人的派出顺序也可减小均值 .
序综合（ i ）（ ii ）可知，当 (q 1 , q 2 , q 3
) ( p 1, p 2 , p 3 )
时， EX 达到最小 . 即完成任务概率 大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的
.
21. （北京理 17）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示。
（Ⅰ）如果 X=8, 求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（Ⅱ）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望。
s 2 1 2 2 2
x 1 x
x 2 x
K
x n x
，其中 x 为
x 1 ， x 2
， x n
的
（注：方差 n
平均数）
解：（ 1）当 X=8 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：
8， 8， 9， 10，
所以平均数为
x 8 8 9
10 35 ;
4 4
方差为
s 2
1 [(8 35 )
2 (8 35 )2 (9 35 )2 (10 35 ) 2 ] 11 .
4 4 4 4 4 16
（Ⅱ）当 X=9 时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是： 9，9， 11，11；乙组同学的植树
棵数是： 9，8， 9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有 4×4=16 种可能的结果，
这两名同学植树总棵数
Y 的可能取值为 17， 18， 19， 20， 21 事件“ Y=17”等价于“甲组选出
的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树
8 棵”所以该事件有 2 种可能的结果，因此 P （Y=17）
2
1
=16
.
8
P(Y
18)
1
; P(Y 19)
1
; P(Y
20)
1
;P(Y
21)
1 . 同理可得
4
4
4
8
所以随机变量 Y 的分布列为：
Y 17
18 19
20 21
P
1
1
1
1 1
8
4
4
4
8
EY=17×P （ Y=17 ） +18×P（ Y=18 ） +19×P（ Y=19 ） +20×P（ Y=20 ） +21×P（ Y=21 ）
1
1
1
1 1
=17× 8 +18× 4 +19× 4 +20× 4 +21× 8 =19
22. （福建理 19）某产品按行业生产标准分成8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2 ， ， 8，
其中 X ≥5 为标准 A ， X ≥为标准 B ，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元 /
件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元 / 件，假定甲、乙两厂得产品都符合相
应的执行标准
（ I ）已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示：
x 1
5
6
7
8
P
0． 4
a
b
0． 1
且 X1 的数字期望 EX1=6，求 a ， b 的值；
（ II ）为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取
30 件，相应的等级系数
组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3
4 6 3 4 7
5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2 的数学期望．
（ III ）在（ I ）、（ II ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具
可购买性？说明理由．
注：（ 1）产品的“性价比”
产品的等级系数的数学 = 产品的零售价
期望
；
（ 2）“性价比”大的产品更具可购买性．
解：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，
考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分 13 分。
解：（ I ）因为
EX 1
6, 所以 5 0.4 6a 7b 8 0.1 6,即6a
7b 3.2.
又由 X1 的概率分布列得
0.4 a b 0.1 1,即a b 0.5.
6a 7b
3.2,解得 a 0.3, 由
a
b 0.5.
b 0.2.
（ II ）由已知得，样本的频率分布表如下：
X 2
3
4
5
6
7
8
f
0． 3
0． 2
0． 2
0．1
0． 1
0． 1
用这个样本的频率分布估计总体分布， 将频率视为概率， 可得等级系数
X2 的概率分布列如下：
X 2
3
4 5
6
7
8
P 0． 3 0． 2
0． 2 0．1 0． 1
0． 1
所以
EX 2 3P(X 2 3) 4P(X 2 4) 5P( X 2 5) 6P( X 2 6) 7P(X 2 7) 8P(X 2 8)
3 0.3
4 0.2
5 0.2
6 0.1
7 0.1
8 0.1 4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于
4.8.
（ III ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
6
1.
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于
6，价格为 6 元/ 件，所以其性价比为
6
4.8
1.2.
因为乙厂产吕的等级系数的期望等于
4.8 ，价格为 4 元 / 件，所以其性价比为
4
据此，乙厂的产品更具可购买性。
23. （广东理 17）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产
品中分别抽出取 14 件和 5 件，测量产品中的微量元素 x,y 的含量（单位：毫克） ．下表是乙
厂的 5 件产品的测量数据：
编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y
75
80
77
70
81
（ 1）已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量；
（ 2）当产品中的微量元素 x,y 满足 x ≥175，且 y ≥ 75 时 , 该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（ 3）从乙厂抽出的上述
5 件产品中，随机抽取
2 件，求抽取的
2 件产品中优等品数
的分布
列极其均值（即数学期望） 。
98
7
35
解：（ 1） 7,5
35 件。
14
，即乙厂生产的产品数量为
2 , （ 2）易见只有编号为
2， 5 的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品
5
35
2 14
5
故乙厂生产有大约
（件）优等品，
（ 3） 的取值为 0，1， 2。
P(
C 32
3
, P( C 31 C 21 3 C 32 1
0)
10 1)
, P( 2)
10
C 52
C 52
5
C 52
所以 的分布列为
0 1
2
P 3 6 1
10 10 10
的均值为 E
3 3 1
4 0 12
10
.
故10 5 5
24.（辽宁理 19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家
和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选 n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．
（ I ）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求 X 的分布列和数学期望；
（II ）试验时每大块地分成 8 小块，即 n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每
公顷产量（单位： kg/hm2 ）如下表：
品种甲403 397 390 404 388 400 412 406
品种乙419 403 412 418 408 423 400 413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该
种植哪一品种？
附：样本数据x
1
, x
2 , , x n 的的样本方差
s2 1 [( x1 x) 2 (x2 x) 2 (x n x) 2 ]
n ，其中
x
为
样本平均数．
解：
（ I ） X 可能的取值为0， 1， 2， 3， 4，且P( X 0) 1 1 ,
C84 70
P( X 1)
C41C43 8
C84 ,
35
P( X 2) C42 C42 18
, C84 35
P( X 3)
C43C41 8
C84 ,
35
P( X 4) 1 1 .
C84 70
即 X 的分布列为
4 分X 的数学期望为
1
1 8 18 8 1
2.
E(X) 0 2
35 3 4
70 35 35 70 6 分（ II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
x甲1
(403 397 390 404 388 400 412 406) 400, 8
S甲 1 (32 ( 3)2 ( 10)2 42 ( 12)2 02 122 62 ) 57.25.
8
8 分品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
x乙1
(419 403 412 418 408 423 400 413) 412, 8
S乙
2 1 (72 ( 9)2 02 62 ( 4) 2 112 ( 12) 2 12 ) 56.
8
10 分
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差
差异不大，故应该选择种植品种乙.
25. （全国大纲理 18）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0． 5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3, 设各车主购买保险相互独立
（ I ）求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；
（Ⅱ） X 表示该地的l00 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X 的期望。
解：记 A 表示事件：该地的 1 位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
D表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买；
（I） P( A) 0.5, P( B) 0.3,C A B, 3 分
P(C) P( A B) P( A) P(B) 0.8. 6 分
ur
（II） D C, P(D) 1 P(C) 1 0.8 0.2,
X ~ B(100,0.2) ，即X服从二项分布，10 分
所以期望 EX 100 0.2 20. 12 分
26.（全国新课标理 19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，
且质量指标值大于或等于102 的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组[90 ， 94）[94 ， 98）[98 ， 102）[102 ，106）[106 ， 110]
频数8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组[90 ， 94）[94 ， 98）[98 ， 102）[102 ，106）[106 ， 110]
频数 4 12 42 32 10
（ I ）分别估计用 A 配方， B 配方生产的产品的优质品率；
（ II ）已知用 B 配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t 的关系式为
2,t 94
y 2,94 t 102
4,t 102
从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元）．求 X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．
解
（Ⅰ）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的平率为的产品的优质品率的估计值为0.3 ．22
8 =0.3
100，所以用 A 配方生产
由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为产品的优质品率的估计值为 0.42 32 10
0.42
100，所以用 B 配方生产的
（Ⅱ）用 B 配方生产的 100 件产品中，其质量指标值落入区间90,94 , 94,102 , 102,110 的频率分别为0.04 ，， 054，0.42 ，因此
P(X=-2)=0.04 ， P(X=2)=0.54 ，P(X=4)=0.42 ，
即 X 的分布列为
X － 2 2 4
P 0.04 0.54 0.42
X 的数学期望值 EX=-2×0.04+2 ×0.54+4 ×0.42=2.6 8
27. （山东理 18）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、 B、 C进行围棋比赛，甲对A，乙对 B，丙对 C 各一盘，已知甲胜A，乙胜 B，丙胜 C 的概率分别为0.6,0.5,0.5 ，假设各盘比赛结果
相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E .
解：（ I ）设甲胜 A 的事件为 D，
乙胜 B 的事件为 E，丙胜 C的事件为 F，ur ur ur
则D , E,F
分别表示甲不胜A、乙不胜 B，丙不胜 C 的事件。
因为 P(D) 0.6, P( E) 0.5, P( F ) 0.5,
由对立事件的概率公式知
ur ur ur
0.5,
P(D ) 0.4, P( E) 0.5, P( F )
红队至少两人获胜的事件有：
ur ur ur
DEF , DEF , DEF , DEF .
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为
P
ur ur ur P( DEF ) P(DEF ) P(DEF ) P(DEF )
0.6 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5 0.4 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5
0.55.
（ II ）由题意知
可能的取值为 0， 1，2， 3。
ur ur ur ur ur
又由（ I ）知 DEF , DEF , DEF 是两两互斥事件，
且各盘比赛的结果相互独立，
ur ur ur
因此
P(
0) P(DEF ) 0.4 0.5 0.5 0.1, P(
1) ur ur ur ur ur ur
P( DEF ) P( DEF ) P( DEF )
0.4 0.5 0.5 0.4 0.5 0.5 0.6 0.5 0.5 0.35
P(
3) P(DEF ) 0.6 0.5 0.5 0.15.
由对立事件的概率公式得
P( 2) 1 P( 0) P(
1) P(
3) 0.4,
所以 的分布列为：
1 2 3 P 0．1
0． 35
0． 4
0． 15
因此
E
0 0.1 1 0.35 2 0.4 3 0.15 1.6.
28. （陕西理 20）如图， A 地到火车站共有两条路径
L1 和 L2，据统计，通过两条路径所用的
时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间（分钟） 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1 的频率 0． 1 0． 2 0． 3 0．2 0． 2 L2 的频率
0． 1
0． 4
0．4
0． 1
现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站。
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求 X 的分布列和数学期望。
解（Ⅰ） Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时， 40 分钟内赶到火车站” ，Bi 表示事件“乙选择路径
Li 时， 50 分钟内赶到火车站” ， i=1,2 ．用频率估计相应的概率可得 P （ A1）=0． 1+0． 2+0． 3=0． 6， P （A2） =0．1+0． 4=0． 5，
Q P （A1） ＞P （A2）,
甲应选择 Li
P （ B1）=0． 1+0． 2+0． 3+0． 2=0． 8， P （ B2） =0． 1+0． 4+0．4=0． 9，
Q P （B2） ＞P （B1）,
乙应选择 L2．
（Ⅱ） A,B 分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）
知 P( A) 0.6, P( B)
0.9
, 又由题意知， A,B 独立，
P( X
0)
uuur
ur ur 0.4 0.1 0.04
P( AB) P( A) P(B)
P( X
ur ur
ur ur 1) P(AB AB) P( A)P( B) P( A) P(B)
0.4 0.9 0.6 0.1 0.42
P( X 2) P( AB) P( A) P(B) 0.6 0.9 0.54
X 的分布列为
X
0 1 2 P
0． 04
0． 42
0． 54
EX 0 0.04 1 0.42 2 0.54 1.5.
29. （四川理 18）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点
的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为 2 元（不足 1 部分按 1 小时计算） 。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时
小时的
1 , 1
1 , 1
还车的概率分别为 4 2 ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 2 4 ；两人租车时间
都不会超过四小时。
（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量
，求 的分布列与数学期望 E ；
1 1 1
P 2
1 1 1 解：（ 1）所付费用相同即为 0,2, 4 元。设付 0 元为
P 1
2
2 4 8 ，
4 8 ，付 2元为
P 3
1 1 1
4 4 16
付4元为
P P 1
P 2 P 3
5
16
则所付费用相同的概率为
（ 2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为 0,2,4,6,8
P( 0) 1 8
P( 2) 1 1 1 1 5 4 4 2 2 16
P( 4) 1 1 1 1 1 1 5 4 4 2 4 2 4 16
P( 6) 1 1 1 1 3 4 4 2 4 16
P( 8) 1 1 1 4 4 16
分布列
0 2 4 6 8
P 1 5 5 3 1 8 16 16 16 16
5 5 9 1 7
E
4 8 2 2
8
30. （天津理16）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机
摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在 1 次游戏中，
（i ）摸出 3 个白球的概率；
（ii ）获奖的概率；
（Ⅱ）求在 2 次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E( X )
.
解：本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分 13分.
（ I ）（ i ）解：设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件A
i (i 0,1,2,3), 则
P(A ) C32 C21 1 .
3 C52 C32 5
（ii ）解：设“在 1 次游戏中获奖”为事件B，则B A
2
U A
3，又
P(A2) C32 C22 C21C21 C21 1 ,
C52 C32 C52 C32 2
P( B) P( A2 ) P( A3) 1 1 7 . 且 A2， A3 互斥，所以 2 5 10
（ II ）解：由题意可知 X 的所有可能取值为 0， 1， 2.
P( X
0) (1
7 )2 9 ,
10 100 P(X 1) C 21
7
(1 7 ) 21 ,
10
10
50 P( X
2) ( 7 ) 2 49 .
10 100
所以 X 的分布列是
X 0
1 2
P
9 21 49
100 50
100
E(X) 0
9
1
21
2
49 7 . X 的数学期望
10050
100 5
31. （重庆理 17）某市公租房的房源位于 A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片
区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任
4 位申请人中：
（Ⅰ）恰有 2 人申请 A 片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数 的分布列与期望
解：这是等可能性事件的概率计算问题.
（ I ）解法一：所有可能的申请方式有 34 种，恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式
C 42 22
种，从而恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为
C 42 22
8
34
.
27
解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是 4 次独立重复试验 .
记“申请 A 片区房源”为事件
P( A) 1 .
A ，则 3
从而，由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知，恰有
2 人申请 A 片区房源的
概率为
P 4 (2)
C 42(
1)2 ( 2)
2
8 .
3 3
27
（ II ）ξ的所有可能值为 1， 2，3. 又
P(
1) 3 1 ,
34 27
P(
2) C 32 (C 21C 43 C 42C 22 ) 14 (或P(
C 32 (2 4
2) 14
34 27
2)
)
34
27
P(
3) C 31C 42 C 21 4 C 42 A 33
4
34
(或P(
3)
).
9
34
9
综上知，ξ有分布列
ξ 1
P 1
27 从而有
1 14 E1 2
27 27
2 3
14 4
27 9 3 4 65.
9 27
