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判定全等三角形的五种方法全等三角形是指具有相同形状和相等边长的三角形。
判定两个三角形是否全等是数学中的一个重要问题。
下面将介绍判定全等三角形的五种方法。
方法一：SSS判定法（边边边）SSS判定法是指通过比较两个三角形的三条边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的三条边长度相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法二：SAS判定法（边角边）SAS判定法是指通过比较两个三角形的两条边和夹角是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的一边和夹角分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法三：ASA判定法（角边角）ASA判定法是指通过比较两个三角形的两个角和夹边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法四：AAS判定法（角角边）AAS判定法是指通过比较两个三角形的两个角和非夹边的对应边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的两个角和非夹边的对应边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法五：HL判定法（斜边和直角边）HL判定法是指通过比较两个直角三角形的斜边和直角边是否相等来判定其是否全等。
如果两个直角三角形的斜边和直角边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
通过以上五种方法，我们可以准确地判定两个三角形是否全等。
这些方法都是基于几何学中的一些定理和公理推导而来，经过严谨的数学证明，可以确保判定结果的准确性。
需要注意的是，在判定全等三角形时，我们需要确保给定的条件足够，即要求已知的边长、角度等信息能够满足相应的判定条件。
如果给定的信息不足够，或者不满足判定条件，那么就无法准确地判定两个三角形是否全等。
判定全等三角形的方法还可以用于解决一些实际问题，例如在建筑设计、图形测量等领域。
通过判定三角形是否全等，可以确保设计和测量的准确性，提高工作效率。
总结起来，判定全等三角形的五种方法分别是SSS判定法、SAS判定法、ASA判定法、AAS判定法和HL判定法。
这些方法都是基于几何学中的定理和公理推导而来，通过比较边长、角度等信息，可以准确地判定两个三角形是否全等。
全等直角三角形的判定要点一：判定直角三角形全等的一般方法；由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二：判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理。
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”例1. 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF 是其中一边上的高，AE＝DF（3）×. 在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE为第三边上的高，例2.如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．【思路点拨】若能证得AD＝AE，由于∠ADB、∠AEC 都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD＝AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB＝AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．【答案与解析】证明：在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD＝AE(全等三角形对应边相等)在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.例3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE 是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD ⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12图片，求BD的长.【答案与解析】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE ＝CD ．（2）解：由（1）得AE ＝CD ，AC ＝BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ）∴BD ＝EC ＝21BC ＝21AC ，且AC ＝12． ∴BD ＝6cm ．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件。
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
《12.2三角形全等的判定——斜边、直角边》教学设计一、内容和内容解析1．内容直角三角形全等的“斜边、直角边”判定方法．2．内容解析直角三角形是特殊的三角形，这种特殊性能使它具有一般三角形所不具有的一些性质；在一般三角形中，两边及其中一边的对角分别相等是不能判定两个三角形全等的，但直角三角形全等却可以用“斜边、直角边”来判定，这是直角三角形特征的体现，以后学习的“直角三角形相似的判定”，“勾股定理”等将进一步体现直角三角形的特殊性．“斜边、直角边”判定是证明两个直角三角形全等的常用方法．综上所述，本节课的教学重点是：探索并理解“斜边、直角边”判定方法．二、目标和目标解析1．目标（1）探索并理解直角三角形全等的“斜边、直角边”判定事实；（2）会用“斜边、直角边”判定方法证明两个直角三角形全等；（3）通过“斜边、直角边”判定的学习，体会直角三角形的独特性．2．目标解析目标（1）的具体要求是：能自主通过探究，发现并理解“斜边、直角边”判定方法．目标（2）的具体要求是：能正确运用“斜边、直角边”判定方法证明两个直角三角形全等．目标（3）的具体要求是：体会“斜边、直角边”是直角三角形独特的判定方法．三、教学问题诊断分析学生已经系统的学习了一般三角形全等的判定，从中积累了一些研究几何问题的经验；同时，通过学习三角形的三条重要线段等内容，初步体会了几何中研究特殊图形的重要性．由于对特殊几何图形的认识不多，导致学生很难理解“斜边、直角边”是直角三角形独特的判定方法．因此，本节的难点是：理解“斜边、直角边”是直角三角形独特的判定方法．四、教学过程设计（一）提出问题在几何中，特殊的图形会具有它的独特性．前面，我们已经完成了三角形全等的条件的探究，那么，直角三角形的全等会有其他的判定方法吗？请思考：问题1对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这样两个直角三角形就全等了？师生活动：教师可先鼓励学生举例说明，并说出依据；学生回答问题，互相补充；最后师生共同得出：对于两个直角三角形，满足一边一锐角分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了．如学生没有提出一斜边一直角边分别相等的问题，教师可如下追问．追问：一斜边一直角边分别相等的两个直角三角形符合“边角边”判定吗？师生活动：学生发现一斜边一直角边分别相等符合“边边角”，不符合“边边角”判定；教师认真倾听．设计意图：使学生明确研究的方向和目的，并通过探讨直角三角形全等的判断，为下面提出探究“HL ”作铺垫．（二）探究发现一斜边一直角边分别相等符合“边边角”，在一般的三角形中，“边边角”是不能判定两个三角形全等的，但直角三角形中，是否会例外呢？我们来探究一下：探究 任意画一个Rt △ABC ，使∠C =90°，再画一个Rt △A ′B ′C ′，使∠C ′=90°，B ′C ′=BC ，A ′B ′=AB ，然后把画好的Rt △A ′B ′C ′剪下来放到Rt △ABC 上，你发现了什么？师生活动：学生动手操作（画△A ′B ′C ′时，先画∠NC ′M ，使∠NC ′M =90°；接着在射线C ′N 上截取B ′C ′=BC ；再以B ′为圆心AB 长为半径画弧，交射线C ′M 于点A ′，连接A ′B ′；最后把△A ′B ′C ′剪下来放到△ABC 上）．教师巡视学生完成情况，并及时解答一些学生的困难．追问1：探究的结果反映了什么规律？师生活动：教师引导学生得出一个基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）．追问2：“HL ”判定的条件是什么？结论是什么？师生活动：教师引导学生得出“HL ”判定的条件也是三个：两个直角三角形、斜边和一条直角边分别相等；结论是两个直角三角形全等．追问3：如图2，若：∠C =∠C ′=90°，AB =A ′B ′，AC =A ′C ′，你能写出“HL ”判定的符号语言吗？C图1师生活动：教师引导学生得出符号语言为：设计意图：让学生经历作图、剪图、比较图的过程，感悟基本事实的正确性．通过几何符号表述，形成基本推理步骤． （三）练习巩固例1 如图3，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，且AC =BD ．求证：AD =BC ．师生活动：学生独立完成，教师请学生代表展示，作适当点评．若学生遇到困难，教师可作如下引导：要证AD =BC ，可先证△ABC ≌△BAD ,已知有条件AC =BD ，根据AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，可得△ABC 和△BAD 为直角三角形，由图可得AB 是公共边，因此，可根据“HL ”证明Rt △ABC ≌R t △BAD ．设计意图：应用“HL ”判定证明两个直角三角形全等，巩固知识．练习1 如图，AB =CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，CE =BF ．求证：AE =DF ．B A CB ′ A ′C ′图2 A BCD 图3 上述关于“全等三角形的判定（HL )的探究”的教学内容也可参照微课《全等三角形的判定（斜边、直角边）》视频（00:03—06:12）中的设问进行课堂教学．图4师生活动：学生独立完成，教师请学生代表展示，作适当点评．若学生遇到困难，教师可引导学生先证Rt △ABE ≌R t △DCF ．若学生出现直接将CE =BF 作为证明Rt △ABE ≌R t △DCF 的条件 ，教师可作如下追问：追问：CE 是否是△DCF 的边？能通过CE =BF 推出一个可以用作证明Rt △ABE ≌R t △DCF 的条件吗？师生活动：学生发现可由CE =BF ，等式两边同减EF 得出CF =BE ，CF =BE 可直接作为证明Rt △ABE ≌R t △DCF 的条件，学生订正错误．设计意图：通过综合性稍强的训练，进一步提高运用“HL ”判定的能力，也提高学生综合运用条件推理的能力．（四）回顾小结本节课，我们本着“直角三角形全等是否有独特的判定方法”的想法，通过探究得出“HL ”判定，请回顾思考：（1）“HL ”判定方法应满足什么条件？（2）“HL ”判定与之前所学的四种判定方法有什么不同？（3）你还有有什么感悟或疑问？（五）布置作业教科书习题12.2第6、7、8题．五、板书设计B12.2三角形全等判定（5）判定：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）。
《12.2 三角形全等的判定》教学设计课题：12.2 三角形全等的判定课型：新授课课时：第一课时【教学过程】一、导入新课1、全等三角形的对应边 ----相等-----,，对应角-相等----------2、判定三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS认识直角三角形Rt△ABC直角三角形的全等该如何判定呢？二、新课讲解三角形全等的判定想一想已经有什么元素对应相等?∠B=∠B′=90°你准备添上什么条件就可以证明这两个直角三角形全等呢?DE1、满足一边一锐角分别相等。
在Rt△ABC和Rt△A’B’C’∠A= ∠A’，AB=A’B’Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（ASA）∠A= ∠A’，BC=B’C’Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（AAS）2、满足两直角边分别相等。
在Rt△ABC和Rt△A’B’C’BC=B’C’，AB=A’B’Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（SAS）如果AB=A’B’，AC=A’C’，三角形全等吗？探究任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′使∠C′=90°.B′C′=BC，A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？画法：1.画∠MC′N =90°；2.在射线C′M上取B′C′=BC；3.以B′为圆心，AB为半径画弧.交射线C＇N于点A＇；4.连接A′B′．现象：两个直角三角形能重合．说明：这两个直角三角形全等．直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简写为“斜边、直角边”或“HL”。
注意这里的直角边是任意一个都可以哦！几何语言：∵在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中AB=A´B´BC=B´C´Rt△ABC≌Rt△A´B´C´（HL）(1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.(2)注意分别相等.例5：如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD.求证：BC=AD.证明：⊥AC⊥BC，BD⊥AD，⊥⊥C和⊥D都是直角。
直角三角形全等的判定方法及性
质
直角三角形同余的判断:1。
对应边相等的两个三角形的三组同余。
2.两条边和它们的夹角相等的两个三角形。
3.两个三角形有两个角，它们的夹紧边全等。
判定方法
方法一：SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等。
方法二：SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
方法三：ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
方法四：AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
方法五：HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
性质
1、全等角形面积和周长相等。
2.全等角对应边的高度相等。
3、全等角形的对应边相等。
4.全等角对应边的中线相等。
5.全等角对应的角的角函数值相等。
6、全等角形的对应角相等。
7.能够完全重合的顶点称为对应顶点。
8.全等角对应的角的平分线相等。
全等三角形判定条件(六种)
①边角边公理（SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理（ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论（AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理（SSS)有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理（HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角
三角形全等。
出现两等边三角形、两等腰直角三角形通常用SAS证全等；等腰直角
三角形常见辅助线添法--连结直角顶点和斜边中点；两直角三角形证全等
常用方法：SAS,AAS,HL；出现等腰直角三角形或正方形可能用到K型全等。
《“斜边、直角边”判定三角形全等》教学设计1．探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．2．会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等．重点探究直角三角形全等的条件．难点灵活运用直角三角形全等的条件进行证明．一、情境引入(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS)；方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS)．工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？二、探究新知多媒体出示教材探究5.任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.想一想，怎么样画呢？按照下面的步骤作一作：(1)作∠MC′N＝90°；(2)在射线C′M上截取线段B′C′＝BC；(3)以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′；(4)连接A′B′.△A′B′C′就是所求作的三角形吗？学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边、直角边”或“HL”．多媒体出示教材例5如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.求证：BC＝AD.证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角．在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，AC ＝BD ， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL)．∴BC ＝AD.想一想：你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL ”．三、巩固练习如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．学生独立思考完成．教师点评．四、小结与作业1．判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边．2．直角三角形全等的所有判定方法：定义，SSS，SAS，ASA，AAS，HL.思考：两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其全等？3．作业：教材习题12.2第7题．本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力．12．3角的平分线的性质掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．重点角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．难点灵活运用角的平分线的性质和判定解题．一、复习导入1．提问角的平分线的定义．2．给定一个角，你能不用量角器作出它的平分线吗？二、探究新知(一)角的平分线的画法教师出示：已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线．然后让学生阅读教材第48页上方思考．(教师演示画图)通过对分角仪原理的探究，得出用直尺和圆规画已知角的平分线的方法，师生共同完成具体作法．(二)角的平分线的性质试验：(1)让学生在已经画好的角的平分线上任取一点P；(2)分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D，E；(3)测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系；(4)再换一个新的位置看看情况怎样？归纳总结得到角的平分线的性质．分析讨论PD＝PE的理由．(三)角平分线的判定教师指出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(1)写出已知、求证．(2)画出图形．(3)分析证明过程．巩固应用：解决教材第49页思考(四)三角形的三个内角的平分线相交于一点1．例题：教材第50页例题．2．针对例题的解答，提出：P点在∠A的平分线上吗？通过例题明确：三角形的三个内角的平分线相交于一点．练习：教材第50页练习．三、归纳总结引导学生小组合作交流：(1)本节课学到了哪些知识？(2)你有什么收获？四、布置作业教材习题12.3第1～4题．教学始终围绕着角平分线及其性质、判定的问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含的数学知识，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而更好的理解掌握角平分线的性质。
