三角形全等的判定“边角边”（7种题型）【知识梳理】全等三角形判定——“边角边”1. 全等三角形判定——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【考点剖析】题型一：用“边角边”直接证明三角形全等例1．已知：如图，点C 为AB 中点，CD=BE ，CD ∥BE.求证:△ACD ≌△CBE.【解析】证明：∵CD ∥BE ，∴∠ACD=∠B..∵点C 为AB 中点，∴AC=CB.又∵CD=BE ，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）【变式1】如图，AC DF =，12∠=∠，如果根据“SAS ”判定ABC DEF △≌△，那么需要补充的条件是（ ）A ．A D ∠=∠B ．AB DE =C ．B E ∠=∠D ．BF CE =【答案】D 【详解】解：需要补充的条件是BF=CE ，∴BF+FC=CE+CF ，即BC=EF ，在△ABC 和△DEF 中，12AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．故选：D ．【变式1】如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB ＝DE ，BE ＝CF ，∠B ＝∠DEF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【解答】证明：∵BE ＝CF ，∴BE+CE ＝CF+EC ．∴BC ＝EF ．在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE∠B =∠DEF BC =EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【变式3】如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．求证：△ABC≌△DEC．【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，{AC=DC∠ACB=∠DCE BC=EC，∴△ABC≌△DEC（SAS）．【变式4】如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AC＝EF，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，BF＝CD．试说明：△ABC≌△EDF．【解答】解：∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴∠ACB＝∠EFD＝90°，∵BF＝CD，∴BF+CF＝CD+CF，即BC＝DF，在△ABC和△EDF中，{BC=DF∠ACB=∠EFD AC=EF，∴△ABC≌△EDF（SAS）．【变式5】如图，△ABC 中，AB=AC ，点E ，F 在边BC 上，BE=CF ，点D 在AF 的延长线上，AD=AC ，（1）求证：△ABE ≌△ACF ；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °．【答案】（1）证明见解析；（2）75．【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠ACF ，在△ABE 和△ACF 中，AB AC B ACFBE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACF （SAS ）；（2）∵△ABE ≌△ACF ，∠BAE=30°，∴∠CAF=∠BAE=30°，∵AD=AC ，∴∠ADC=∠ACD ，∴∠ADC=280013︒−︒=75°，故答案为75． 【变式6】（2023春·江苏·七年级统考期末）如图，在ABC 和ADE V 中，AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒，连接BD CE 、．(1)求证：ABD ACE ≌△△． (2)图中BD 和CE 有怎样的关系？试证明你的结论．【详解】（1）解：90BAC DAE ∠=∠=︒∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠∴BAD EAC ∠=∠AB AC =，AD AE =∴ABD ACE ≌△△． （2）解：如图，设BD 和CE 交点为FABD ACE ≌△△∴ACE ABD ∠=∠90BAC ∠=︒∴90ABD DBC ACB ∠+∠+∠=︒∴90ACE DBC ACB ∠+∠+∠=︒即90ECB DBC ∠+∠=︒∴()18090BFC ECB DBC ∠=︒−∠+∠=︒∴BD CE ⊥．题型二：用“边角边”间接证明三角形全等例2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【变式1】如图所示，点O 为AC 的中点，也是BD 的中点，那么AB 与CD 的关系是________．【答案】平行且相等【详解】解：∵点O 为AC 的中点，也是BD 的中点，∴AO=OC ，BO=OD ，又∵∠AOB=∠DOC ，∴△AOB ≌△COD （SAS ）∴AB=CD ，∠A=∠C ，∴AB//CD,即AB 与CD 的关系是平行且相等，故答案为：平行且相等．【变式2】如图，已知AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠D ．求证：AF ＝DE ．【详解】证明：∵AB//CD ，∴∠B ＝∠C ，在△ABF 和△DCE 中，A D AB CDB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABF ≌△DCE （ASA ），∴AF ＝DE ．【变式3】如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边 AB 、CD 上的一点，且DF ＝BE .求证：AF=CE .【分析】由SAS 证明△ADF ≌△CBE ，即可得出AF ＝CE ．【详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ，在△ADF 和△CBE 中，AD BC D B DF BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADF ≌△CBE （SAS ），∴AF ＝CE ．【变式4】已知ABN 和ACM △位置如图所示，AB AC =，AD AE =，12∠=∠．（1）试说明：BD CE =；（2）试说明：M N ∠=∠．【详解】解：（1）在△ADB 和△AEC 中，12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△AEC （SAS ），∴BD=CE ；（2）∵12∠=∠，∴BAN CAM ∠=∠，∵△ADB ≌△AEC ，∴B C ∠=∠，∴180180B BAN C CAM ︒−∠−∠=︒−∠−∠，即M N ∠=∠．【变式5】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD题型三：边角边与倍长中线例3、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【答案与解析】 证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，∴△ABD ≌△ECD （SAS ）．∴AB ＝CE ．∵AC ＋CE ＞AE ，∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞2AD ．14．如图所示，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若AB =2，AC =6，则AD 的取值范围是__________AD DE ADB EDC BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝．【答案】2＜AD ＜4【分析】此题要倍长中线，再连接，构造全等三角形．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．【详解】解：延长AD 到E ，使AD =DE ，连接BE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ADC 与△EDB 中，BD CD ADC BDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ），∴EB =AC ，根据三角形的三边关系定理：6-2＜6+2，∴2＜AD ＜4，故AD 的取值范围为2＜AD ＜4．【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出6-2＜AE ＜6+2是解此题的关键．题型四：边角边与截长补短例4、已知，如图：在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB ＝CD －BD ．【答案与解析】 证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE∵ AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADE在△ABD 和△AED 中，∴△ABD ≌△AED （SAS ）． ∴AB ＝AE ，∠B＝∠AED ．又∵∠B ＝2∠C ＝∠AED ＝∠C ＋∠EAC ．∴∠C ＝∠EAC ．∴AE ＝EC ．∴AB ＝AE ＝EC ＝CD —DE ＝CD —BD ．【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝（AB ＋AD ）， 求证：∠B ＋∠D ＝180°.【答案】证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，BD DE ADB=ADE AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠∠＝12A EDC B∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE∵AE ＝（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD∴AD ＝2AE －AB∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.题型五：边边角不能判定两个三角形全等例5．如图，已知AC ＝BD ，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△BAD 的是（）A ．∠ABC ＝∠BADB ．∠C ＝∠D ＝90° C ．∠CAB ＝∠DBA D ．CB ＝DA【答案】A CEB CEFEC =EC EB EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩12(AF ADFAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）【分析】根据全等三角形的判定方法即可一一判断；【详解】在△ABC 与△BAD 中，AC ＝BD ，AB ＝BA ，A 、SSA 无法判断三角形全等，故本选项符合题意；B 、根据HL 即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；C 、根据SAS 即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；D 、根据SSS 即可判断三角形全等，故本选项不符合题意；故选：A ． 题型六：尺规作图——利用边角边做三角形例6．（2023春·广东揭阳·七年级统考期末）已知：线段a ，c ，α∠．求作：ABC ．使BC a =，AB c =，ABC α∠=∠．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【详解】解：如图所示：【变式1】（2023春·陕西宝鸡·七年级校考阶段练习）尺规作图：已知：线段m ，n ，∠β．求作：ABC ，使AB m =，BC n =，ABC β∠=∠（保留作图痕迹，不写作法）．【详解】解：如图所示：ABC ∴即为所作．题型七：边边边与边角边综合 八年级假期作业）如图，在ABC 中，(1)图中有___________对全等三角形；(2)请选一对加以证明．【详解】（1）图中有3对全等三角形：ABD ACD ≌△△，ABE ACE ≌△△，BDE CDE ≌V V ． 故答案为3；（2）∵D 是BC 的中点，∴BD CD =．在ABD △和ACD 中，AB AC BD CDAD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()SSS ABD ACD ≌V V ；∴BAE CAE ∠=∠．在ABE 和ACE △中，AB AC BAE CAEAE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABE ACE △△≌； ∴BE CE =．在BDE △和CDE 中，BE CE BD CDDE DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()SSS BDE CDE ≌V V ． 【过关检测】一、单选题A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】B 【分析】由题意可知根据“边角边”可证OAB OCD VV ≌即可选择．【详解】解：∵在OAB 和OCD 中，OC OA COD AOB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()OAB OCD SAS ≌△△．故判定这两个三角形全等的依据是“SAS ”．故选B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定．熟练掌握判定三角形全等的条件是解题关键． 2．（2023春·江西景德镇·七年级统考期末）如图，AB AC =，点D 、E 分别在AC 和AB 边上，且AD AE =，则可得到ABD ACE △△≌，判定依据是（ ）A ．ASAB ．AASC ．SASD ．SSS【答案】C 【分析】根据SAS 证明ABD ACE △△≌，即可求解． 【详解】解：在ABD △与ACE △中，AB AC BAD CAEAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ACE △△≌()SAS ，故选：C ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．3．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在ABF △和DCE △中，点E 、F 在BC 上，AF DE =，AFB DEC ∠=∠，添加下列一个条件后能用“SAS ”判定ABF DCE ≌△△的是（ ）A ．BE CF =B ．BC ∠=∠ C ．AD ∠=∠ D ．AB DC =【答案】A 【分析】先根据BE CF =得到BF CE =，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解：∵BE CF =，∴BE EF CF EF +=+，即BF CE =，A 选项，因为BE CF =，AFB DEC ∠=∠，BF CE =，满足“SAS ”判定ABF DCE ≌△△，符合题意； B 选项，因为B C ∠=∠，AFB DEC ∠=∠，BF CE =，是用“AAS ”判定ABF DCE ≌△△，不符合题意； C 选项，因为A D ∠=∠，AF DE =，AFB DEC ∠=∠，是用“ASA ”判定ABF DCE ≌△△，不符合题意； D 选项，因为AB DC =，AF DE =，AFB DEC ∠=∠，不能判定ABF DCE ≌△△，不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．4．（2023春·四川达州·七年级统考期末）如图，在2×3的正方形方格中，每个正方形方格的边长都为1，则1∠和2∠的关系是（ ）A ．221∠=∠B ．2190∠−∠=︒C ．1290∠+∠=︒D ．12180∠+∠=︒【答案】C 【分析】先证明ABC CDE △△≌，再利用全等三角形的性质和等量代换求解即可． 【详解】解：如图，在ABC 和CDE 中，2901AC CE ACB CED BC DE ==⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪==⎩，∴ABC CDE △△≌()SAS ，∴1DCE ∠=∠， ∵290DCE ∠+∠=︒，∴1290∠+∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用网格证明三角形全等是解题的关键．A ．20cmB ．45cmC ．25cmD ．65cm【答案】D 【分析】根据题意可得：OF OG =，OC OD =，利用已知条件判断出OFC OGD ≌，得到CF DG =，即可求出答案．【详解】解：如图：∵O 是FG 和CD 的中点，∴OF OG =，OC OD =，在OFC △和OGD 中，OF OG FOC GODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS OFC OGD ≌，∴CF DG =，又20cm DG =，∴20cm CF DG ==，∴小明离地面的高度=支点到地面的高度452065cm CF +=+=，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形全等知识的应用，用数学方法解决生活中有关的实际问题，把实际问题转换成数学问题，用数学方法加以论证，最后进行求解，是一种十分重要的方法． 七年级统考期末）如图，已知在ABC 和BAD 中，直接判定ABC BAD ≌的依据是（ A ．SSSB ．AASC ．ASAD ．SAS【答案】D 【分析】找出两个三角形中已知相等的对应边和对应角，然后根据判定方法即可判断．【详解】解：在ABC 和ABD △中，BC AD ABC BAD AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABC BAD SAS ≌．故选：D ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 7．（2023春·上海浦东新·七年级校考阶段练习）如图，AD 平分BAC ∠，AB AC =，连接BD 、CD ，并延长交AC 、AB 于F 、E 点，则图中全等的三角形有( )对．A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对【答案】B 【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，仔细寻找．【详解】解：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，在ABD 与ACD 中，AB AC BAD CADAD AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，()SAS ABD ACD ∴≌，BD CD ∴=，B C ∠=∠，ADB ADC ∠=∠，又EDB FDC ∠=∠，ADE ADF ∴∠=∠，AED AFD ∴≌，BDE CDF ≌，ABF ACE ≌．AED AFD ∴≌，ABD ACD ≌，BDE CDF ≌，ABF ACE ≌，共4对．故选：B ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．（2023春·河北保定·七年级校考阶段练习）如图，在AOB 和COD △中，OA OB =，OC OD =，AOB COD ∠=∠，AC ，BD 交于点M ，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ）结论Ⅰ：AC BD =；结论Ⅱ：CMD COD ∠>∠A ．Ⅰ对，Ⅱ错B ．Ⅰ错，Ⅱ对C ．Ⅰ，Ⅱ都对D ．Ⅰ，Ⅱ都错【答案】A 【分析】根据已知条件可知三角形的全等，根据全等三角形的性质可知边相等，再根据三角形的内角和即可求出角的大小．【详解】AOB COD ∠=∠，AOB AOD COD AOD ∴∠+∠=∠+∠，AOC BOD ∴∠=∠，∴在AOC 和BOD 中，∴OA OB AOC BODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOC BOD SAS ∴≌， AC BD ∴=，故Ⅰ正确；AOC BOD ≌，OCA BDO ∴∠=∠，MDC MDO ODC ∴∠=∠+∠，OCD OCA MCD ∴∠=∠+∠，180()COD OCD ODC ∠=︒−∠+∠，180()CMD MDC MCD ∠=︒−∠+∠，180()CMD MDO ODC MCD ∴∠=︒−∠+∠+∠，180()COD OCA MCD ODC ∠=︒−∠+∠+∠，CMD COD ∴∠=∠，故Ⅱ错误；故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记对应性质和判定定理是解题的关键． 9．（2023春·江苏·七年级统考期末）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，AD AB >，下列结论正确的是（ ）A ．AD AB CD BC −=−B ．AD AB CD BC −>− C ．AD AB CD BC −<−D ．AD AB −与CD BC −的大小关系无法确定【答案】B 【分析】在AD 上截取AE AB =，BAC EAC ≌，由DE CD CE >−即可求解．【详解】解：如图，在AD 上截取AE AB =，AC 平分BAD ∠，BAC EAC ∴∠=∠，在BAC 和EAC 中AB AE BAC EACAC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BAC EAC ≌(SAS )，BC EC ∴=，在CDE 中：DE CD CE >−，AD AB AD AE CD BC −=−>−．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中三边的关系，三角形全等的判定及性质，掌握性质，并根据题意作出辅助线是解题的关键． 10．（2022秋·云南昭通·八年级统考期末）如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且CE BF ，连接BF CE ，，下列说法： ①DE DF =；②ABD 和ACD 面积相等；③CE BF =；④BDF CDE ≌；⑤CEF F ∠∠=． 其中正确的有（ ）【答案】B 【分析】根据三角形中线的定义可得BD CD =，然后利用“边角边”证明BDF 和CDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得CE BF =，全等三角形对应角相等可得F CED ∠∠=，再根据内错角相等，两直线平行可得BF CE ，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．【详解】解：∵AD 是ABC 的中线，∴BD CD =，在BDF 和CDE 中，BD CD BDF CDEDF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDF CDE ≌，故④正确∴CE BF F CED ∠∠==，，故①正确，∵CEF CED ∠∠=，∴CEF F ∠∠=，故⑤正确，∴BF CE ，故③正确，∵BD CD =，点A 到BD CD 、的距离相等，∴ABD 和ACD 面积相等，故②正确，综上所述，正确的有5个，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法并准确识图是解题的关键．二、填空题【答案】120°【分析】先证明,DAG BAC ≌得到GDA CBA ∠=∠，再利用60BAD ∠=︒以及三角形的内角和定理、邻补角的性质可得答案．【详解】解：60,DAE GAC ∠=∠=︒,DAG BAC ∴∠=∠,,AD AB AC AG ==在DAG 与BAC 中，,AD AB DAG BACAG AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,DAG BAC ∴≌,GDA CBA ∴∠=∠,BEO AED ∠=∠,BOE BAD ∴∠=∠60,BAD ∴∠=︒60,BOE ∴∠=︒120.DOC ∴∠=︒故答案为：120.︒【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质，邻补角的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 七年级统考期末）如图，在锐角ABC 中，24ABC S = 【分析】先根据三角形全等的判定定理与性质可得ME MN =，再根据两点之间线段最短可得BM MN +的最小值为BE ，然后根据垂线段最短可得当BE AC ⊥时，BE 取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】如图，在AC 上取一点E ，使AE AN =，连接ME ，AD 是BAC ∠的平分线，EAM NAM ∴∠=∠，在AEM △和ANM 中，AE AN EAM NAMAM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AEM ANM ∴≌， ME MN ∴=，BM MN BM ME ∴+=+，由两点之间线段最短得：当点,,B M E 共线时，BM ME +取最小值，最小值为BE ，又由垂线段最短得：当BE AC ⊥时，BE 取得最小值，248,ABC S AC ==，1182422AC BE BE ∴⋅=⨯⋅=，解得6BE =，即BM MN +的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出BM MN +取得最小值时BE 的位置是解题关键． 13．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，小明与小红玩跷跷板游戏，已知跷跷板的支点O （即跷跷板的中点）至地面的距离是48cm ，当小红从水平位置CD 下降28cm 时，这时小明离地面的高度是___________cm ．【答案】76【分析】根据题意可得：OF OG =，OC OD =，利用已知条件判断出OFC OGD ≌V V ，得到CF DG =，即可【详解】解：如图：∵O 是FG 和CD 的中点，∴OF OG =，OC OD =，在OFC △和OGD 中，OF OG FOC GODOC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)OFC OGD ≌V V ，∴CF DG =，又28cm DG =，∴28cm CF DG ==，∴小明离地面的高度=支点到地面的高度482876cm CF +=+=，故答案为：76．【点睛】本题主要考查了三角形全等知识的应用，用数学方法解决生活中有关的实际问题，把实际问题转换成数学问题，用数学方法加以论证，最后进行求解，是一种十分重要的方法． 14．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）在测量一个小口圆形容器的壁厚(厚度均匀)时，小明用“X 型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA OD =，OB OC =，测得3cm AB =，5cm EF =，圆形容器的壁厚是______cm ．【分析】由题证明AOB DOC ≌，由全等三角形的性质可得，AB CD =，即可解决问题．【详解】在AOB 和DOC △中，OA OD AOB DOCBO OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)AOB DOC ∴≌，3cm AB CD ∴==，cm 5EF =Q ，∴圆柱形容器的壁厚是1(53)1(cm)2⨯−=，故答案为：1．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．【答案】25米/25m【分析】根据SAS 可证明ACB DCE ≌△△，再根据全等三角形的性质可得AB DE =，进而得到答案． 【详解】解：∵点C 是AD 的中点，也是BE 的中点，∴AC DC =，BC EC =，∵在ACB △和DCE △中，AC DC ACB DCEBC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ACB DCE ≌，∵25DE =米，∴25AB =米，故答案为：25米．【点睛】此题考查了全等三角形的应用，关键掌握全等三角形的判定定理和性质定理． 16．（2022秋·陕西宝鸡·八年级统考期末）如图，E 是ABC ∆外一点，D 是AE 上一点，AC BC BE ==，DA DB =，EBD CBD ∠=∠，70C ∠=︒，则BED ∠的度数为___________．【答案】35︒/35度【分析】连接DC ，则DC 垂直平分AB ，可得35ADC DCB ∠=∠=︒，再证明BED BCD ∆≅∆，即可得到35BED DCB ∠=∠=︒．【详解】连接DC ，DA DB =，CA CB =，DC ∴是AB 的垂直平分线，1352DCB ACB ∴∠=∠=︒，在BED 和BCD △中BD BD EBD CBDBE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)BED BCD ∴≌，35BED DCB ∴∠=∠=︒，故答案为：35︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，由条件得到DC 是AB 的垂直平分线再想到证明BED BCD △≌△是解题的关键． 17．（2023·全国·八年级假期作业）如图，AB 与CD 相交于点O ，且O 是AB CD ，的中点，则AOC 与BOD 全等的理由是________．【答案】SAS /边角边【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【详解】解：∵O 是AB CD ，的中点，∴,,OA OB OC OD ==在AOC 和DOB 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴()SAS AOC DOB ≌， 故答案为：SAS ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．18．（2022秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，在ABC ∆中，已知 AB AC =，BD CF = ，BE CD =．若40A ∠=︒，则EDF ∠的度数为__________．【答案】70°【分析】（1）证△BED ≌△CDF ；（2）利用AB=AC 得到∠B 与∠C（3）利用整体法求得∠EDF【详解】∵AB=AC ，∴∠B=∠C∵BD=CF ，BE=CD∴△BED ≌△CDF ，∴∠FDC=∠BED∵∠A=40°∴∠B=∠C=70°∴在△BED 中，∠BED+∠BDE=110°∴∠EDB+∠FDC=110°∴∠EDF=70°【点睛】求角度，常见的方法有：（1）方程思想；（2）整体思想；（3）转化思想本题就是利用全等，结合整体思想求解的角度三、解答题 19．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）已知：如图，12BC DC =∠=∠，，求证：ABC ≌ADC △．【答案】见解析【分析】先证明ACB ACD ∠=∠，再结合AC AC =，BC DC =，即可得到结论．【详解】．证明：12∠=∠，ACB ACD ∴∠=∠，AC AC BC DC ==，，ABC ∴≌ADC △．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用SAS 证明两个三角形全等”是解本题的关键． 20．（2021秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）如图，点E 、F 在BC 上，BF EC =，AB DC =，B C ∠=∠．求证：A D ∠=∠．【答案】证明见解析【分析】证明()SAS ABF DCE ≌△△，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：在ABF △和DCE △中，AB DC B CBF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABF DCE ≌△△， ∵A D ∠=∠．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．掌握全等三角形的判定是解题的关键．21．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）已知：如右图ABCD ，AB CD =．求证：ADC CBA ≌．【答案】见解析【分析】由AB CD ，得ACD CAB ∠=∠，再利用SAS 即可证得结论．【详解】证明：∵ABCD ，∴ACD CAB ∠=∠，在ADC △与CBA △中：AB CD ACD CAB AC CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ADC CBA ≌．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ． 22．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，点D 在线段BE 上，AB CD ，AB DE =，BD CD =．ABD △和EDC △全等吗？为什么？【答案】ADB ECD △≌△，理由见解析【分析】先根据平行线的性质得到ABD EDC =∠∠，再利用SAS 证明ADB ECD △≌△即可得到结论．【详解】解：ADB ECD △≌△，理由如下：∵AB CD ，∴ABD EDC =∠∠，∵AB ED =，BD DC =，∴()SAS ADB ECD △≌△．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知边角边证明三角形全等是解题的关键．(1)求证：AEC DFB △△≌； (2)若6AEC S ∆=，求三角形BEC 的面积．【答案】(1)见解析(2)92BEC S =△【分析】（1）根据AE DF ∥得A D ∠=∠，根据AB CD =得AB BC CD BC +=+，即AC DB =，根据ASA 即可证明AEC DFB △△≌； （2）在AEC △中，以AC 为底作EH 为高，则12AEC S EH AC ∆=⋅，12BCE S EH BC ∆=⋅，根据13AB CD BC ==得43AC BC =，6AEC S ∆=，即可得．【详解】（1）证明：∵AE DF ∥，A D ∴∠=∠， ∵AB CD =，AB BC CD BC ∴+=+AC DB ∴=，在AEC △和DFB △中，AE DF A DAC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS AEC DFB ∴≌（）△△；（2）解：如图所示，在AEC △中，以AC 为底作EH 为高，12AEC S EH AC ∆∴=⋅，12BCE S EH BC ∆=⋅，∵13AB CD BC ==，43AC BC ∴=，6AEC S ∆=， ΔΔ3 4.54BEC AEC S S ∴==．【点睛】本题考查了三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 24．（2023春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）已知：如图，点,F C 在线段BE 上，AB DE =，B E ∠=∠，BF EC =．求证：A D ∠=∠．【答案】见解析【分析】先根据线段的和差得出BC EF =，进而证明ABC DEF ≌△△，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵BF EC =，∴BF FC FC CE +=+，即BC EF =，在,ABC DEF 中，AB DE B EBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC DEF ≌△△， ∴A D ∠=∠．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．25．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC 中，已知AB AC =，2BAC DAE ∠=∠，且DAE FAE ∆≅∆．求证：ABD ACF ∆≅∆．【答案】见解析【分析】先根据全等三角形的性质以及已知2BAC DAE ∠=∠得出BAD CAF ∠=∠，再利用SAS 即可证出ABD ACF ∆≅∆．【详解】证明：∵DAE FAE ∆≅∆，∴,AD AF DAE FAE =∠=∠．∵2BAC DAE ∠=∠，∴BAD EAC DAE FAE ∠+∠=∠=∠，∵FAC EAC FAE ∠+∠=∠∴BAD CAF ∠=∠．在ABD ∆和ACF ∆中，AB AC BAD CAFAD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD ACF ∆≅∆．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 八年级假期作业）如图，在ABC 和V(1)求证：ABD ACE △△≌(2)若35BDA ∠=︒，则【答案】(1)见解析(2)70【分析】（1）根据等式的性质，可得=BAD CAE ∠∠，根据SAS 可得两个三角形全等；（2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得ADC AEC ∠∠=，根据等量代换，可得证明结论．【详解】（1）证明：=BAC DAE ∠∠，BAC DAC DAE DAC ∴∠−∠=∠−∠，即=BAD CAE ∠∠．在ABD △和ACE △中，AB AC BAD EACAD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS ABD ACE ∴≌（）；（2）证明：ABD ACE ≌△△， ADB AEC ∴∠=∠，AD AE =ADC AEC ∴∠=∠35BDA ADC ∴∠=∠=︒∴223570BDC BDA ∠∠==⨯︒=︒．故答案为：70．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS 证明三角形全等，利用全等三角形的性质，证明对应角相等，再利用等量代换得出证明结论． 27．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB DE =，BF CE =，B E ∠=∠．求证：ABC DEF ≌△△【答案】见解析【分析】用边角边定理进行证明即可.【详解】解：∵BF CE =∴BF FC CE FC +=+即：BC EF =在ABC 和DEF 中AB DE B EBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABC DEF ≌. 【点睛】本题考查边角边定理证明三角形全等，根据题意找到相应的条件是解题关键. 求证：DE BF =．证明：AD BC （已知）∴∠_______=∠_______（两直线平行，内错角相等）AF CE =∴ADE CBF ∴≌（ 【答案】A ；C ；AF EF CE EF −=−；AD BC =；A C ∠=∠；AE CF =；SAS ；全等三角形对应边相等．【分析】根据平行线的性质得到∠A =∠C ，根据等式的性质得到AE CF =，然后证明ADE CBF V V ≌即可得到结论．【详解】证明：AD BC （已知）∴∠A =∠C （两直线平行，内错角相等）AF CE =（已知）∴AF EF CE EF −=−(等式的基本性质)即AE CF =在ADE V 和CBF V 中AD BC A CAE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADE CBF ∴≌(SAS )DE BF ∴=(全等三角形对应边相等)故答案为：A ；C ；AF EF CE EF −=−；AD BC =；A C ∠=∠；AE CF =；SAS ；全等三角形对应边相等．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【答案】见解析【分析】根据BE CF =可得BC EF =，根据AC DF ∥可得ACB DFE ∠=∠，即可根据SAS 进行求证．【详解】证明：∵BE CF =，∴BE CE CF CE −=−，即BC EF =，∵AC DF ∥，∴ACB DFE ∠=∠，在ABC 和DEF 中，AC DF ACB DFEBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABC DEF △△≌． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是根据题目所给条件，得出相应的边和角度相等，熟练掌握三角形全等的判定定理． 求证：(1)AE CF =；(2)AE CF ∥；(3)∠=∠AFE CEF ．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据“边角边”证明ABE CDF △≌△，即可证得结论；（2）根据全等三角形的性质可得AEB CFD ∠=∠，进而可得结论；（3）由全等三角形的性质可得AE CF =，根据“边角边”证明AEF CFE △≌△，即可证得结论．【详解】（1）证明：在ABE 和CDF 中，∵AB CD =， B D ∠=∠，BE DF =，∴ABE CDF△≌△()SAS ，∴AE CF =； （2）证明：∵ABE CDF △≌△，∴AEB CFD ∠=∠，∴AE CF ∥；（3）证明：∵ABE CDF △≌△，∴AE CF =，又∵AEB CFD ∠=∠，EF FE =，∴AEF CFE △≌△，∴∠=∠AFE CEF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 求作：ABC ，使 【答案】见解析【分析】先作CAB α∠=∠，再在角的两边上分别截取AC b =，AB c =，从而可得答案．【详解】解：ABC 即为所求．【点睛】本题考查的是作三角形，掌握作一个角等于已知角是解本题的关键． 32．（2023·全国·八年级假期作业）“倍长中线法”是解决几何问题的重要方法．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，具体做法是：如图，AD 是ABC 的中线，延长AD 到E ，使DE AD =，连接BE ，构造出BED 和CAD ．求证：BED CAD △≌△．【答案】见解析【分析】由AD 是ABC 的中线，可得DE AD =，再由EDB ADC ∠=∠，DB DC =，即可证明BED CAD △≌△．【详解】证明：如图所示：，AD 是ABC 的中线，DB DC ∴=，在BED 和CAD 中，ED AD EDB ADCDB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BED CAD ∴≌．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，倍长中线，熟练掌握三角形全等的判定，添加适当的辅助线是解题的关键． 33．（2023春·全国·七年级期末）如图，在ABC 中，D 是BC 延长线上一点，满足CD BA =，过点C 作CE AB ∥，且CE BC =，连接DE 并延长，分别交AC ，AB 于点F ，G ．(1)求证：ABC DCE ≅；(2)若12BD =，2AB CE =，求BC 的长度．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）根据SAS 证明≌ABC DCE 即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【详解】（1）∵CE AB ∥，∴B ECD ∠=∠，在ABC 与DCE △中，AB CD B ECDBC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABC DCE ≌；（2）∵≌ABC DCE ，∴,AB CD BC CE ==，∵2AB CE =，∴2CD BC =，∵12BD =，∴312BD CD BC BC =+==∴4BC =．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质．。
