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几种常见的二次曲面 曲面方程的概念

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高等数学(同济第六版)D8-4名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

高等数学(同济第六版)D8-4名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件

f ( x2 y2 , z) 0.
曲线 C : f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转的旋转曲面 :
f ( y, x2 z2 ) 0.
曲线 C : f ( x, y) 0 绕 x 轴旋转的旋转曲面 :
f ( x, y2 z2 ) 0.
曲线 C : f ( x, z) 0 绕 z 轴旋转的旋转曲面 :
z
2
2
表示什么曲线 ?
( x a )2 y2 ( a )2 表示
2
2
母线平行于 z 轴,准线是xOy
o ay
x
面上以点 ( a ,0) 为中心,半径 2
为 a 的圆周的柱面 . 2
表达上半球面与圆柱面旳交线C.
二、空间曲线旳参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线旳参数方程
z z(t)
当给定 t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
例 1．如果空间一点 M 在圆柱面 x 2 y2 a 2
上以角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v 沿平
行于z 轴的正方向上升（其中 、 v 都是常
数），那么点 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立
类似地能够定义曲线C在其他坐标 面上旳投影.
投影曲线
三、空间曲线在坐标面上旳投影
投影(曲线)旳拟定
设空间曲线C旳一般方程为
投影柱面
方程组中旳两个方程消去变量z后可 得一种有关x, y旳方程
H(x y)0 这就是曲线C有关xOy面旳投影柱面旳方程.
曲线C在xOy面上旳投影曲线旳方程为
投影曲线
F(x, y, z) 0 C : G( x, y, z) 0
几种常见的曲面及其方程精

几种常见的曲面及其方程精


z
f ( y1, z1) ? 0
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M(x, y, z) , 则有
z ? z1, x2 ? y2 ? y1
故旋转曲面方程为
M (x, y, z)
o x
M1(0, y1, z1)
y
f ( ? x2 ? y2 , z) ? 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z C : f ( y, z) ? 0
x2 a2
?
y2 b2
?
z2 c2
?
1 单叶双曲面 ? 1 双叶双曲面
图形
z
4. 椭圆锥面
z
x2 a2
?
y2 b2
?
z2
( a, b 为正数)
在平面 z ? t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
?
y2 (bt ) 2
?
1,
z? t
①
xx
o yy
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
z
x l1
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条 定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做 旋转曲面. 该定直线称为 旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程 :
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) ? 0
若点 M1(0, y1, z1) ? C, 则有
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上 .
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换
得到, 见书 P316 )
分别绕 x
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程 .
2.1.曲面及其方程ppt课件

2.1.曲面及其方程ppt课件


z
圆
柱
l
面
oo
y
x
注意：在空间直角坐标系，缺项方程〔不完全方程〕的 图形是柱面.
:
18
z
(1) y 2 2 x 表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
o
(2) x y 0表示母线平行于
z 轴的平面.
x
z
(且 z 轴在平面上)
注意：描述柱面只须指出
其准线及母线.
o
x
准线
:
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面．
:
23
(1) 椭球面
z
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0
x
和y = 0去截割,分别得椭圆
x 2 a2
三元二次方程
椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
抛物面
椭圆抛物面
双曲抛物面
(p,q同号) x 2 y 2 z 2 p 2q
x2 y2 z
2 p 2q
双曲面 单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 a2
y2 b2
z2
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
dx2y2 |y1|
将 z z1 , y 1 x 2y2代入 f(y1,z1)0
:
10
将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入 f(y1,z1)0
得方程 f( x2y2, z)0.
(完整版)7-6旋转曲面和二次曲面解析

(完整版)7-6旋转曲面和二次曲面解析

观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
f (x, y,0) 0
将将yx轴方x1向, y的长ba度y伸1a代缩回ba原倍方,程得,得y1,即y1
b a
y,
f (x1, b y1, 0) 0
即得伸缩变形后的曲线方程.
即:y轴方向的长度伸缩
b a
倍,则用 a b
y 代替原方程中的y
如将y轴方向的长度伸缩 b 倍,则
a
直线y=x,变形为
a yx ybx
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
8-3 曲面及其方程

8-3 曲面及其方程


（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得中心在原点的双曲线.
x2 a2
z2 c2
1
y
0
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
返回
与平面 y y1 ( y1 b) 的交线为双曲线.
x2
a
2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线的中心都在 y轴上.
y y1
(1) y12 b2 , 实轴与 x 轴平行, 虚轴与 z 轴平行.
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
返回
从柱面方程：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为 xoy面上曲线C .（其他类推）
实 例
x2 y2 1 a2 b2
椭圆柱面 // z轴
x2 z2 1
双曲柱面 // y轴
a2 c2
y 2 2 px 抛物柱面 // z 轴
椭球面
平面 xk (|k|<a) 与椭球面的交线也是椭圆；
平面 yk (|k|<b) 与椭球面的交线也是椭圆；
返回
椭球面
椭球面 x2 y 2 z 2 1的图形： a2 b2 c2
椭球面的画法：
z
1．选择坐标系；
2．画坐标面与曲面的交线；
c
3．画出轮廓线。
O a x
b y
返回
椭球面的几种特殊情况：
y
0
.
x
返回
z
抛物面
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
o
用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 x
03曲面及其方程、二次曲面

03曲面及其方程、二次曲面


C:
f ( y, z) 0

x

0
绕oz轴旋转得旋转曲面
f( x2y2,z)0
2. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0

x

0
绕oy轴旋转得旋转曲面
f(y, x2z2)0
3.
xoy平面上的母线
C:
f (x,

z

0
y)

0
绕ox轴旋转得旋转曲面
x2 y2 z 2p 2q
( p与q同号 )
用截痕法讨论： 设 p0,q0
z
2019/10/17
o x
y
19
高等数学（下）主讲杨益民
（三）双曲面
（1）
x2 a2
by22
cz22
1
单叶双曲面
z
z
o
y
o
y
x x
.
2019/10/17
20
高等数学（下）主讲杨益民
（2）
x2 a2
by22
f(x, y2z2)0
2019/10/17
7
高等数学（下）主讲杨益民
例6
求xoz坐标面的上双曲线C：
x2 a2

z2 c2

1
分别绕x轴和z轴
一周生成的旋转曲面的方程。 y 0
解：
绕 x轴 旋 转 x2 a2

y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕 z轴 旋 转x2a2y2 cz22 1
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
空间曲面及其方程

空间曲面及其方程


旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C 绕 z轴 x 0
C
o
y
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
.
绕 z轴
C
o
y
x
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
顶点在原点的圆锥面称为正圆锥面。
试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程.
z
L
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为

M (0, y, z )
y
两边平方
x
z2 a2 ( x2 y2 )
正圆锥面：
x2 y2 z2
x2 y2 z2 2 2 2 a b c
过球面一点，且与过这点的半径垂直的平面 成为切平面，该点称为切点。
例 求过点 (1,2,5) 且与3个坐标面相切的球面方 程。
解： 显然整个球面在同一卦限， 又由于(1,2,5)在第一卦限，故该球面在 第一卦限。
设球心为 ( u, v , w )，则球面到3个坐标面的距离 为 u, v , w .由条件知 uvw
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴的曲面方程为： 2 1 2 b c x y z 2 1 绕 z 轴的曲面方程为： 2 b c
2 2 2
3 锥面 以直线通过一定点， 一条固定曲线移动所
z
产生的曲面成为锥面。
动直线 定点 固定线 母线 顶点
x 顶点 0 y
准线
准线
准线为圆周的锥面称为圆锥面。
第3节曲面及其方程

第3节曲面及其方程

18
一般地 :
F ( x , y ) = 0, F ( y , z ) = 0, F ( x , z ) = 0
在空间都表示一个柱面 .
上面方程中缺少哪个变 量, 就 表示此柱面与哪个坐标 轴平行 .
19
四、二次曲面
曲面方程 :
F ( x, y, z ) = 0
如x + ( y − 1) + z = 1
y
d = x + y =| y1 |
将 z = z1 , y1 = ± x 2 + y 2 代入
F( y1, z1) = 0
9
将 z = z1 , y1 = ± x + y
2
2
得方程 F ±
所以
x + y , z = 0, F ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转曲面方程 旋转曲面方程.
2 2
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
方程可写为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
24
（二）抛物面
x2 y2 + = z （ p 与 q 同号） 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面 用截痕法讨论： 设 p > 0, q > 0 用截痕法讨论： （1）用坐标面 xoy ( z = 0) 与曲面相截 ） 截得一点， 截得一点，即坐标原点 O ( 0,0,0) 原点也叫椭圆抛物面的顶点 原点也叫椭圆抛物面的顶点. 顶点
2 2 2
二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之． 二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为一次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 一次曲面
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

柱面、锥面、 第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容 1、柱面 、 2、锥面 、 3、旋转曲面 、 4、椭球面 、 5、双曲面 、 6、抛物面 、
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 叫柱面的准线 准线， 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线 母线. 柱面的母线 F1 ( x , y , z ) = 0 设柱面的准线为 F ( x , y , z ) = 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果 1(x1,y1,z1)为准线 母线的方向数为 。如果M 为准线 上一点，则过点M 上一点，则过点 1的母线方程为 x − x1 y − y1 z − z1 = = (2) X Y Z
z = ay
z
z = a(± x 2 + y 2 )
y x
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程． 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 x 轴和 z 轴； ） a c
第三节 旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一 、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋 转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的 转曲面 轴. 曲线C称为放置曲面的母线 曲线 称为放置曲面的母线 称为放置曲面的 纬线
即
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
立体几何中的球面与二次曲面方程

立体几何中的球面与二次曲面方程

立体几何中的球面与二次曲面方程立体几何是关于三维空间中的图形、形状以及其属性研究的数学分支。

球面和二次曲面是立体几何中重要的概念，它们分别由一组特定的方程描述。

在本文中，我们将讨论球面和二次曲面的方程及其性质。

一、球面的方程球面是一个由距离某一点距离相等的所有点组成的集合。

在三维空间中，球面的方程可以用点(x, y, z)和半径r表示。

假设球心位于原点，球面的方程可以表示为：x² + y² + z² = r²这是球面的标准方程，其中r表示球的半径。

当球心不在原点，且球心坐标为(a, b, c)时，球面的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²二、二次曲面的方程二次曲面是由二次方程定义的曲面，它们可以是椭圆柱、抛物柱、双曲柱、椭球面、抛物面或双曲面。

一般而言，二次曲面的方程可以表示为：Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为常数，这些常数决定了二次曲面的形状和位置。

不同的常数值会导致不同类型的二次曲面。

特别地，当二次曲面的方程为Ax² + By² + Cz² = 1时，这个方程代表一个单位球面或单位椭球面，其中A、B、C为正数。

当其中一个系数为负数时，方程代表一个单位双曲面。

三、球面和二次曲面的性质1. 球面的性质：- 球面的任意切面都是一个圆。

- 球面上的所有点到球心的距离相等。

- 对于给定的球心和半径，球面是空间中最短距离的曲面。

2. 二次曲面的性质：- 不同类型的二次曲面具有不同的形状，如椭圆柱、抛物柱、双曲柱、椭球面、抛物面或双曲面。

- 二次曲面可以是闭合曲面或无限延伸的曲面。

- 二次曲面可以有对称轴或对称平面。

曲面方程知识点总结

曲面方程知识点总结

曲面方程知识点总结一、曲面方程的基本概念曲面方程是描述曲面几何形态的数学工具，用来表示空间中的曲面。

在三维空间中，曲面可以用数学方程描述，这就是曲面方程。

曲面方程通常是一个关于空间中的点和坐标的方程，可以用来表示曲面的形状和特征。

曲面方程可以分为显式曲面方程和隐式曲面方程。

显式曲面方程是指可以明确表示出曲面的方程形式，通常是关于x、y、z的方程。

隐式曲面方程是指无法直接表示出曲面的方程形式，通常是关于x、y、z和其他参数的方程。

二、曲面方程的常见形式1. 二次曲面方程二次曲面方程是指拥有二次项的曲面方程，通常可以表示为Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0的形式。

其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为常数，且至少有一个A、B、C非零。

二次曲面方程可以表示一些常见的曲面，如椭球面、双曲面、抛物面等。

2. 参数曲面方程参数曲面方程是指使用参数方程来表示的曲面方程，通常可以表示为x=f(u,v)、y=g(u,v)、z=h(u,v)的形式。

参数曲面方程可以表示一些较为复杂的曲面，如旋转曲面、双曲柱面、抛物柱面等。

3. 隐式曲面方程隐式曲面方程是指无法直接表示出曲面的方程形式，通常可以表示为F(x,y,z)=0的形式。

隐式曲面方程通常需要通过数值计算或者利用其他方法来分析曲面的形态和特征。

三、曲面方程的性质和特征1. 曲面的对称性曲面方程可以反映曲面的对称性，如轴对称、中心对称等。

通过分析曲面方程的系数和形式，可以得出曲面的对称性质。

2. 曲面的形态和特征曲面方程可以描述曲面的形态和特征，如曲面的凹凸性、曲率、渐近线等。

通过分析曲面方程的系数和形式，可以得出曲面的形态和特征特点。

3. 曲面的方向法线曲面方程可以表达曲面上每一点的方向法线方程，利用曲面方程可以求得曲面的法向量，并用来分析曲面的切线、切平面等性质。

四、解曲面方程的方法1. 直接解法直接解法是指通过代数方法直接求解曲面方程的零点和交点，得到曲面的交线、焦点、对称轴等性质。

几种常见的曲面及其方程


二、二次曲面 三元二次方程
Ax2 By2 Cz2 Dxy Eyx Fzx
Gx Hy Iz J 0
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准下方面程仅, 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
(x 2)2 y2 (z 1)2 5.
对比（1）式知，它表示球心在点（2,0,-1）, 半径5为的球面.
三、柱面
z
引例. 分析方 x2 y2 R2
表程示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，x2 y2 R2 表示圆C, C o
y
在圆C上任取一M1 (x, y, 0) , 过此点 x M1
平点行z轴的直线l, 对任意z,点M作(x, y, z)
l
的坐标也满足方 x2 y2 R2
程沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面
柱称面为.其圆上所有点的坐标都满足此 故在空
方程,x2 y2 R2 表示圆柱 间
面
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定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线l
给定 yoz 面上曲线 C:f (y, z) 0
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
f ( y1, z1 ) 0
C
当绕 z 轴旋转 该点转到 时M,(x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
M (x, y, z)
o
M1 (0, y1, z1 )
y
故旋转曲面方程为
母线平行于 y 轴;
x

柱面锥面二次曲线


(a
x2 1 h2
y2
c2 )2 (b 1 h2
zh
1 c2 )2
无论h取何值，此方程组总表示在平面: z h
上的椭圆，它的两半轴为：a 1 h2 c2 与b 1 h2 c2
此时椭圆的两轴端点（± a 1 h2 c2 ，0， h）与
（0， ±b 1 h2 c2 ， h）分别在两条主截线（双
曲线）上，且所在平面与腰椭圆平行.
所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 做单叶双曲面的标准方程.
此方程叫
方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
与
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
表示的曲面也是单叶双曲面.
二、性质
1. 对称性
x2 y2 z2 1(a,b, c 0) a2 b2 c2
中心 ：坐标原点（1个）;
主轴 ：x轴、y轴和z轴（3条）;
§4.1 柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线，
母线
动直线叫柱面
的母线.
观察柱面的形
成过程:
准
线
柱面举例：
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z
•
• x2 2y
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．

高等数学7.4曲面及其方程


设柱面的准线方程：F（x, y) 0, z 0,母线 / / z轴，求柱面方程
z
解：柱面上M ( x, y, z)，则准线上M（0 x0 , y0 , z0 )，
M
使得MM0 / / z轴 ，从而x x0 , y y0
由于F（x0 , y0 ) 0,从而F（x, y) 0
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而 了解曲面的全貌．
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
二次曲面
(1) 椭球面
z
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0和 x y = 0去截割,分别得椭圆

x
2
a2
柱面
例3
以曲
线

x a
2 2

z2 c2
1
为母线,
y 0
绕 z 轴旋转而成的曲面方程为
x2 y2 a2

z2 c2
1，
即
x2 a2

y2 a2

z2 c2
1 ——
旋 转 单 叶双曲面
二次曲面
曲面方程
旋转曲面
柱面
例3
以曲线

x2 a2

z2 c2
1 为母线,
y 0
o
的点都在S上;
x
y
那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面 S叫做方程F (x, y, z) =0的图形 .
曲面方程
旋转曲面
柱面

7.4 曲面及其方程

例如
高等数学
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yOz面上曲线C ： f ( y, z) 0 绕 z 轴旋转一周而成
的旋转曲面的方程是什么？
给定旋转曲面上任一点 M (x, y, z) ,
z
设其是曲线 C上点 M1(0, y1, z1)
旋转过程中经过的一点
则有 z1 z, y1 x2 y2

y2 b2

z
特别,当a = b 时为绕 z 轴
的旋转抛物面. z k(x2 y2 )
z Oy
x
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面-马鞍面） z
x2 y2 a2 b2
z

x2 a2

y2 b2

z

O
x
y
高等数学
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3 锥面
（1）圆锥面 z2 a2 ( x2 y2 )
❖
椭圆锥面:
x2 a2

y2 b2

z2
高等数学
双曲抛物面
双叶双曲面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
圆锥面: z2 a2 ( x2 y2 )
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思考与练习
指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中 空间解析几何中 平行于 y 轴的直线 平行于 yOz 面的平面
高等数学
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例7.4.4 将xOz面上的抛物线 求所形成的旋转曲面的方程.
绕 z 轴旋转一周，
解 绕z 轴旋转而成的旋转曲面的
方程为 这个曲面称为旋转抛物面
o
y

3.5二次曲面的分类



a12

a13
a22 a23
a23 a33
a24

a34

a14 a24 a34 a44
记
K1

a11 a14
a14 a22 a44 a24
a24 a33 a44 a34
a34 , a44
a11 a12 a14 a11 a13 a14 a22 a23 a24 K2 a12 a22 a24 a13 a33 a34 a23 a33 a34
为了以后讨论的方便，我们引进一些记号：
F (x, y, z) a11x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34 z a44 0
(x, y, z) a11x2 a22 y2 a33z2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz
a11 a12
A1


a12

a13
a22 a23
a14 a24
a13 a23 a33 a34
a14
a24

a34

a44
a11
A


a12
a13
a12 a22 a23
a13
a23

a33
分别称为二次曲面F(x, y, z) 0和(x, y, z)的矩阵
表示虚椭球面
(3)
x2 y2 z2 a2 b2 c2 0
表示一点
(4)
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
单叶双曲面
(5)
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1

常见曲面方程总结

常见曲面方程总结
一、平面方程
平面方程可以写成 x = a 和 y = a 的形式，其中 a 是常数。

这个方程表示的是平面上的任意一点 P(x, y) 与原点 O(0, 0) 的距离相等。

二、柱面方程
柱面方程可以写成 z = f(x, y) 的形式，其中 f(x, y) 是常数。

这个方程表示的是柱面上的任意一点 (x, y, z) 与极坐标系中的点(x, y) 的距离相等。

三、锥面方程
锥面方程可以写成 z = g(x, y) 的形式，其中 g(x, y) 是常数。

这个方程表示的是锥面上的任意一点 (x, y, z) 与极坐标系中的点(x, y) 的距离相等。

四、旋转曲面方程
旋转曲面方程可以写成 f(x, y, z) = 0 的形式，其中 f(x, y, z) 是常数。

这个方程表示的是旋转曲面上的任意一点 (x, y, z) 与极坐标系中的点 (x, y) 的距离相等。

五、二次曲面方程
二次曲面方程可以写成 f(x, y, z) = 0 的形式，其中 f(x, y, z) 是二次函数。

这个方程表示的是二次曲面上的任意一点 (x, y, z) 与极坐标系中的点 (x, y) 的距离相等。

以上就是常见曲面方程的总结。

读者可以通过学习这些方程，了
解常见曲面的特点和应用，从而更好地理解和应用曲面。

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17
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
（2）椭圆

a
2

z2 c2

1绕
y 轴和
z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2

x2 c2
z2

1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2
1
球 面
（3）抛物线

y
2
2 pz绕
z 轴；
x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
15
三、柱面
在平面坐标系 x2 y2 1表示中心在原点的单位圆
如图 设 M( x, y, z),
z
d M1(0, y1, z1)
M F( y, z) 0
(1) z z1
（2）点 M 到 z 轴的距离
o
y
x
d x2 y2 | y1 |
将 z z1, y1 x2 y2 代入
F( y1, z1) 0
10
将 z z1, y1 x2 y2 代入 F( y1, z1) 0
F x, y2 z2 0.
12
例5.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为
的圆锥面方程.
解:在yoz面上,直线 L的方程为
z y cot
z
L
M (0, y, z)
绕 z 轴旋转时, 圆锥面的方程为

z x2 y 2 cot
y
令a cot ,两边平方 x
得方程 F x2 y2 , z 0,
所以
F( y, z) 0 绕 z 轴旋转曲面方程.
F x2 y2 , z 0,
同理： F( y, z) 0 绕 y 轴旋转曲面方程
F y, x2 z2 0.
类似 曲线 C: F( x, y) 0 绕 x 轴旋转曲面方程.
所求方程为
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为
x2 y2 z2 R2 4
例 2 求与原点 O 及 M0(2,3,4) 的距离之比为1: 2 的点的全体所组成的曲面方程.
解 设 M ( x, y, z) 是曲面上任一点，
F x, y2 z2 0.
11
曲线 C: F ( x, y) 0 绕 y 轴旋转曲面方程.
F x2 z2 , y 0,
类似 曲线 C: F ( x, z) 0 绕 z 轴旋转曲面方程.
F x2 y2 , z 0,
曲线 C: F ( x, z) 0 绕 x 轴旋转曲面方程.
第五节 几种常见的二次曲面
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 五、小结及作业
1
一、曲面方程的概念
平面上
y f (x) 表示一条平面曲线
y
y f (x)
空间上
x2 y2 z2 1
o
x
z
表示单位球面方程
y
x
2
曲面方程的定义
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0 有下述关系：
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
8
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
9
问题: 求yoz面上一条曲线C : F ( y, z) 0
绕z轴旋转所成的曲面方程.
[方法]
（1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
（2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F(x, y, z) 0 就叫做曲面 S 的方程，
而曲面 S 就叫做方程的图形．
注:
(1)平面是 0
s•
o
y
(2)任一曲面都可由F( x, y, z) 0表示
问题:
x2 y2 1在空间表示什么图形?
它 可 以 看 成 用 平 行 于z轴 的 直 线
z
沿xoy面上的圆x2 y2 1移动而成
y
x
16
定义
平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 LL 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
解 根据题意有 z 1
z
用平面 z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面 z c 上下移动时， c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c) ，半径为 1 c
x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
7
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
所求方程为 x 2 2 y 12 z 4 2 116 .
3
3 9
5
例 3 已知 A(1,2,3) ，B(2,1,4) ，求线段AB 的 垂直平分面的方程.
zz22 aa22((xx22yy22))
13
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2

z2 c2
1分别绕
x轴和
z 轴；
绕x 轴旋转
x2 a2

y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2

1
曲 面
14
y2
反之不一定, 如x2 y2 z 2 1 0 3
例 1 建立球心在点 M0( x0 , y0 , z0 ) 、半径为
R 的球面方程. 解 设M( x, y, z)是球面上一点,
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
解 设 M ( x, y, z) 是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
化简得所求方程
2x 6 y 2z 7 0.
6
例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1 的图形是怎样的？