高中数学 2.2超几何分布 精品导学案 苏教版选修2-3
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2.2 超几何分布
学习目标 重点、难点
1．通过实例理解超几何分布及其特点；
2．理解超几何分布的导出过程；
3．能应用超几何分布解决实际问题. 重点：超几何分布的特点．
难点：超几何分布的实际应用.
超几何分布
一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝CrMCn－rN－MCnN，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布．记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝CrMCn－rN－MCnN记为H(r；n，M，N)．
预习交流
如何正确理解超几何分布？
提示：设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，取出的产品中有r件次品的概率为P(X＝r)＝CrMCn－rN－MCnN(其中r为非负整数)，此时随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布．
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！
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一、超几何分布的实例
某班共50名学生，其中35名男生，15名女生，随机从中抽取5名同学参加学生代表大会，所抽取的5名学生代表中，求女生人数X的分布列．
思路分析：由题意知女生人数X服从超几何分布H(5,15,50)．
利用超几何分布的概率公式求解．
解：从50名学生中随机抽取5人共有C550种方法，没有女生的取法是C015C535，恰有1名女生的取法为C115C435，恰有2名女生的取法为C215C335，恰有3名女生的取法为C315C235，恰有4名女生的取法为C415C135，恰有5名女生的取法为C515C035.
因此，抽取5名学生代表中，女生人数X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
P C015C535C550 C115C435C550 C215C335C550 C315C235C550 C415C135C550 C515C035C550
下列随机变量中，服从超几何分布的有__________．
①一批产品50箱，其中有2箱不合格，从该批产品中任取5箱产品进行检测，其中不合格的产品箱数X.②一个盆子里有4个红球和3个黑球，从中任取一个球，然后放回，连续三次，记取到红球的个数为X.
答案：①
解析：①X服从超几何分布H(5,2,50)；②不服从超几何分布，因为它是有放回地抽样．
判断一个随机变量是否服从超几何分布，主要是根据定义，注意超几何分布是不放回的取样．
二、超几何分布的实际应用
从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．
思路分析：由题目可知选出的女同学人数服从超几何分布H(3,4,10)，根据超几何分布概率公式直接求，也可用间接法求解．
解：设选出的女同学人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，且X服从超几何分布H(3,4,10)，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝C14C26C310＋C24C16C310＋C34C06C310＝56，或P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C04C36C310＝56.
一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽2件，求其中出现次品的概率．
解：设抽到次品的件数为X，则X服从超几何分布H(2,5,50)．于是出现次品的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝C15C2－150－5C250＋C25C2－250－5C250＝949＋2245＝47245，即出现次品的概率为47245.
①超几何分布是一种常见的随机变量的分布，利用它可解决一类超几何分布问题．
②在超几何分布中，只要知道参数N，M，n就可以根据公式求出X取不同值时的概率．从而列出分布列，再求符合题意的概率．
1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取得次品的个数，则P(X＜2)＝__________.
答案：1415
解析：由题意知X可取0,1,2，服从超几何分布H(2,3,10)，
即P(X＜2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C03C27C210＋C13C17C210＝715＋715＝1415.
2．100张奖券中有4张有奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都中奖的概率为__________．
答案：1825
解析：由题意知X可取0,1,2且服从超几何分布H(2,4,100)．
所以2张都中奖的概率为P(X＝2)＝C24C096C2100＝1825.
3．把X，Y两种遗传基因冷冻保存，若X有30个单位，Y有20个单位，且保存过程中
有2个单位的基因失效，则X，Y两种基因各失效1个单位的概率是__________．
答案：2449
解析：由题意可设遗传基因X失效单位的个数为ξ，则ξ服从超几何分布H(2,30,50)．则X，Y两种基因各失效1个单位的概率为P(ξ＝1)＝C130C120C250＝2449.
4．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种型号都齐全的概率为__________．
答案：35
解析：由题意可设随机变量X表示“选出的彩电中乙型彩电的台数”，则X服从超几何分布H(2,2,5)．则两种型号都齐全的概率为P(X＝1)＝C13C12C25＝35.
5．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为多少？
解：设随机变量X表示“抽出的中奖票的张数”，则X服从超几何分布H(n,2,50)．
∴P(X≥1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C12Cn－148Cn50＋C22Cn－248Cn50＞0.5.
解得n≥15.
∴n至少为15时，至少有一张中奖的概率大于0.5.
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．
知识精华 技能要领
教师个人研修总结
在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。 所以在学习上级的精神下，本期个人的研修经历如下：
1.自主学习：我积极参加网课和网上直播课程.认真完成网课要求的各项工作.教师根据自己的专业发展阶段和自身面临的专业发展问题，自主选择和确定学习书目和学习内容，认真阅读，记好读书笔记；学校每学期要向教师推荐学习书目或文章，组织教师在自学的基础上开展交流研讨，分享提高。
2.观摩研讨：以年级组、教研组为单位，围绕一定的主题，定期组织教学观摩，开展以课例为载体的“说、做、评”系列校本研修活动。
3.师徒结对：充分挖掘本校优秀教师的示范和带动作用，发挥学校名师工作室的作用，加快新教师、年轻教师向合格教师和骨干教师转化的步伐。
4.实践反思：倡导反思性教学和教育叙事研究，引导教师定期撰写教学反思、教育叙事研究报告，并通过组织论坛、优秀案例评选等活动，分享教育智慧，提升教育境界。
5.课题研究：立足自身发展实际，学校和骨干教师积极申报和参与各级教育科研课题的研究工作，认真落实研究过程，定期总结和交流阶段性研究成果，及时把研究成果转化为教师的教育教学实践，促进教育质量的提高和教师自身的成长。
6.专题讲座：结合教育教学改革的热点问题，针对学校发展中存在的共性问题和方向性问题，进行专题理论讲座。
7.校干引领：从学校领导开始，带头出示公开课、研讨课，参与本校的教学观摩活动，进行教学指导和引领。
8.网络研修：充分发挥现代信息技术，特别是网络技术的独特优势，借助教师教育博客等平台，促进自我反思、同伴互助和专家引领活动的深入、广泛开展。
我们认识到：一个学校的发展，将取决于教师观念的更新，人才的发挥和校本培训功能的提升。多年来，我们学校始终坚持以全体师生的共同发展为本，走“科研兴校”的道路，坚持把校本培训作为推动学校建设和发展的重要力量，进而使整个学校的教育教学全面、持续、健康发展。反思本学期的工作，还存在不少问题。很多工作在程序上、形式上都做到了，但是如何把工作做细、做好，使之的目的性更加明确，是继续努力的方向。另外，我校的研修工作压力较大，各学科缺少领头羊、研修氛围有待加强、师资缺乏等各类问题摆在我们面前。缺乏专业人员的引领，各方面的工作开展得还不够规范。相信随着课程改革的深入开展，在市教育教学研究院的领导和专家的亲临指导下，我校校本研修工作一定能得以规范而全面地展开。 “校本研修”这种可持续的、开放式的继续教育模式，一定能使我校的教育教学工作又上一个台阶。
