人教B版高中数学必修一教案-2.4.1 函数的零点
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《函数的零点》教学设计
一、教学内容分析
本课题是普通高中课程标准实验教科书数学1（必修）人教B版第二章《函数》，第4节函数与方程的第一课时，本节课的主要内容是函数零点的定义，函数零点存在性的判定方法．其目的是使学生体会函数与方程之间的联系．为下一节《二分法》做准备．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．本章主要渗透了“函数与方程”和“数形结合”的数学思想．
二、教学目标分析
知识与技能目标：理解函数零点的意义，了解函数的零点与方程根的关系，会求简单函数的零点，能判断二次函数零点的存在性，并能对零点存在定理进行简单的应用．
过程与方法目标：引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力.；体验函数零点存在定理的形成过程，初步感受零点存在定理在解题中的应用．
情感态度与价值观目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想．
三、教学基本条件分析
1．学生条件：学生有较好的数学基础和数学理解能力，喜欢思考，乐于探究．
2．前期内容准备：前面学习一次函数和二次函数时，教师对函数和方程的联系已经做了适当的渗透．3．教学媒体条件：支持幻灯片展示．
四、教学重难点分析
教学重点：函数零点的定义的理解．
教学难点：正确理解函数零点的判定方法的不可逆性；函数与方程的联系及应用．
五、教学过程设计
（一）开门见山，揭示课题
前几节课我们一起整理了一次函数和二次函数的图象与性质，初步学习了研究函数的一般方法，今天我们通过研究函数的另一个重要知识，来进一步感受函数与方程的联系．
问题引入：已知二次函数y＝x 2－x－6，试问x取什么值时，y=0？
方程有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点；
方程的根就是图象与x轴交点的横坐标．
－2、3在方程中称为实数根，对函数来说称为零点．
（板书课题）函数的零点
定义：如果函数在实数x0处的值等于零，即f(x0)＝0，则x0叫做这个函数的零点．
注意：零点不是点．
设计意图：因为对这个定义的直观理解不难，所以直接给出，意为锻炼学生的数学阅读理解的能力，同时教师对这个概念暂时不加分析的处理为后面的设计作铺垫．
由此得出：函数与方程的关系．
（二）设问疑问，引导探究 例1：求出下列函数的零点，并作出函数的图象．
（1）y ＝x 2－2x ＋1 （2）y ＝x 2＋x ＋1
解：过程略．
设计意图：加深对概念的理解．让学生知道二重（二阶）零点的含义；不是所有的函数都有零点． （幻灯片展示）上面我们给出的三个函数都是一元二次函数，那么你能总结出对于一般的一元二次函数y=ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，它的零点的情况与什么有关？
预设答案：与方程的判别式有关．
当△＞0时，一元二次方程有两个不等的实数根x 1，x 2，相应的二次函数的图象与x 轴有两个交点 (x 1，0)，(x 2，0)，函数有两个零点x 1，x 2；【变号零点】
当△＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根x 1= x 2，相应的二次函数的图象与x 轴有一个交点 (x 1，0)，函数有一个二重零点x 1；【二阶零点】
当△＜0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x 轴没有交点，函数没有零点． 设计意图：让学生在总结二次函数零点情况的过程中，理清方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标和函数的零点之间的逻辑关系．
通过图象看到函数零点的性质：
①图象通过零点穿过x 轴时，函数值变号．——变号零点；
②零点把x 轴分成的每个区间上函数值保持同号．
研究函数的零点也就是研究相应方程的实数根，也就是研究函数的图象与x 轴的交点情况．
（三）利用方程，研究函数
例2．求函数y ＝x 3－2x 2－x ＋2的零点并画出函数的图象（简图）．
问题1：函数零点把x 轴分成了几部分？请考察在函数每个区间内函数值的符号．
问题2：请仔细观察表格，你能发现哪些规律？（让学生观察发现）
预设答案：零点两侧符号相反．
问题3：是所有函数零点两侧函数值的符号都相反吗？
预设答案：不是，譬如函数y ＝x 2－2x ＋1．只有变号零点两侧符号相反．
设计意图：学生应用函数与方程的联系，通过方程研究函数的性质，做出函数的简图．同时，研究的过程也是在为后面发现零点存在定理作方法上的铺垫．
（四） 探究发现“零点存在定理”
1．探究发现
例3：已知函数f (x )＝x ＋b 在(－1，1)上存在零点，求b 的取值范围．
解：法一：求零点；
(由教师引导)法二：由题意：f (－1)·f (1)<0，解得b ∈(－1，1)．
通过以上分析，请同学们思考，函数在某区间(a ，b )上是否存在零点，与该区间的端点函数值的符号情况是否有某种关系？
探究：若函数y =f (x ) 在区间(a , b )内满足f (a )·f (b )＜0，则f (x ) 在区间(a , b )内是否存在零点？
下面我们一起探究函数的零点存在的充分条件．学生先独立完成，再通过小组讨论，最后全班交流．探究①：观察图象，归纳函数y＝f(x)在区间端点的函数值f(a)，f(b)的正负情况．
预设答案：f (a)·f (b)＜0或f (a)·f (b)＞0．
探究②：函数y＝f (x)具备了什么条件，就可确定函数在区间(a，b)上存在零点呢？
预设答案：f (a)·f (b)<0．
探究③：具备上述特征的函数y＝f(x)是否在区间(a，b)上一定存在零点？
预设答案：不是．反例：y＝1
x或画图验证．所以函数的图象在[a,b]上必须是连续不断的．
探究④：如果连续函数f(x)满足f (a)·f (b)<0，则在区间(a，b)上存在唯一的零点吗？
预设答案：不对．反例画图验证．应表述为“至少存在一个”．
师生归纳总结：函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点的条件．
预设答案：①函数图象连续不断；②区间端点函数值满足f (a)·f (b)<0．
2．函数存在零点的条件
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)<0，那么，函数
y＝f (x)在区间(a，b)内至少存在一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)=0．
（五）总结升华
问题：通过本节课的学习，你在知识、数学思想方法等方面有哪些收获?
设计意图：通过小结，理清思路，归纳总结，更好的掌握知识技能，理解数学思想方法，提高解决问题的经验．
学生活动，教师进行简要的概括和升华．
（六）作业
课本P72练习A 1、2；P75习题2－4A 3、4、5、6.
六、板书设计（略）
七、课后反思
方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，表面上看，这一内容的教学并不困难，但要让学生能够真正理解，教学还需要妥善处理其中的一些问题．首先要让学生认识到学习函数的零点的必要性其次教学要把握内容结构，突出思想方法像这些中学新增内容的教学，教学就要取得成功的确不易，需要一个不断实践以及实践后的反思的过程，在实践与反思的过程中，不仅要妥善解决上述问题，还要不断地发现和解决新的问题，这样，教学效果才会逐步得到改善．
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