用函数解决实际问题

一次函数实际应用问题练习1、一次时装表演会预算中票价定位每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：⑴求当观众人数不超过1000人时，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式和成本费用s（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式；⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费）1、解：⑴由图象可知：当0≤x≤10时，设y关于x的函数解析y=kx-100，∵（10，400）在y=kx-100上，∴400=10k-100，解得k=50∴y=50x-100，s=100x-(50x-100)，∴s=50x+100⑵当10<x≤20时，设y关于x的函数解析式为y=mx+b，∵（10，350），（20，850）在y=mx+b上，∴ 10m+b=350 解得 m=5020m+b=850 b=-150∴y=50x-150 ∴s=100x-(50x-150)-50∴s=50x+100∴y= 50x-100 (0≤x≤10)50x-150 (10<x≤20)令y=360 当0≤x≤10时，50x-100=360 解得x=9.2 s=50x+100=50×9.2+100=560 当10<x≤20时，50x-150=360解得x=10.2 s=50x+100=50×10.2+100=610。

要使这次表演会获得36000元的毛利润.要售出920张或1020张门票，相应支付的成本费用分别为56000元或61000元。

2甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，个自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：⑴分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）⑵当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；⑶在⑵的条件下，设乙同学从A点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B处与乙同学相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？12623S（千米）t（小时）CD EF B甲乙2、解：⑴设甲、乙两同学登山过程中，路程s （千米）与时间t （时）的函数解析式分别为s 甲=k 1t ，s 乙=k 2t 。

二次函数的应用1．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是（ ） A ．60m 2 B ．63m 2 C ．64m 2 D ．66m 2【答案】C ．考点：1．二次函数的应用；2．应用题；3．二次函数的最值；4．二次函数的最值．2.厂为扬州三月经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度(m)h 与飞行时间(s)t 的关系式是252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s【答案】B ．考点：二次函数的应用． 3．如图，正三角形ABC 的边长为，在三角形中放入正方形DEMN 和正方形EFPH ，使得D 、E 、F在边CB 上，点P 、N 分别在边CA 、AB 上，设两个正方形的边长分别为m ，n ，则这两个正方形的面积和的最小值为A．B．C．3 D．【答案】D【解析】【分析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A＝∠B＝60°，AB＝3＋，利用含30°的直角三角形三边的关系得BD＝DN＝m，CF＝PF＝n，则m＋m＋n＋n＝3＋，所以n＝3－m，S＝m2＋n2＝m2＋（3－m）2＝2（m－）2＋，接着确定m的取值范围，然后根据二次函数的性质求出S的最小值.【详解】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，∵△ABC为等边三角形，∴∠A ＝∠B＝60°，AB＝3＋，在Rt△ADN中，BD＝DN＝m，在Rt△BPF中，CF＝PF＝n，∵AD＋DE＋EF＋BF＝AB，∴m＋m＋n＋n＝3＋，∴m＋n＝3，∴n＝3－m，∴S＝m2＋n2＝m2＋（3－m）2＝2（m－）2＋，当点M落在AC上，则正方形PHEC的边长最小，正方形DNME的边长最大，如图，在Rt△ADN中，BD＝DN，CM＝DN，∴DN＋DN＝3＋，解得DN＝3－3，在Rt△CPF中，CF＝PF，∴（3－3）＋3－3＋EF＋PF＝3＋，解得PF＝6－9，∴6－9≤m≤3－3，∴当m＝时，S最小，S的最小值为，故答案选D.4．把一个物体以初速度v0(米/秒)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的运动路线是一条抛物线，且物体的上升高度h(米)与抛出时间t(秒)之间满足：h＝v0t－ gt2(其中g是常数，取10米/秒2)．某时，小明在距地面2米的O点，以10米/秒的初速度向上抛出一个小球，抛出2.1秒时，该小球距地面的高度是( ) A．1.05米B．－1.05米C．0.95米D．－0.95米【答案】C【解析】【分析】把t=2.1代入h＝v0t－gt2，求出h的值，然后加2即可.【详解】把t=2.1代入h＝v0t－gt2得，h＝10×2.1－×10×2.12=-1.05（米），-1.05+2=0.95（米）.故选C.5．点为线段上的一个动点，，分别以和为一边作等边三角形，用表示这两个等边三角形的面积之和，下列判断正确的是（）A．当为的三等分点时，最小B．当是的中点时，最大C．当为的三等分点时，最大D．当是的中点时，最小【答案】D【解析】【分析】根据四个选择项，可知要判断的问题是C在AB的什么位置时，S有最大或最小值．由于点C是线段AB上的一个动点，可设AC=x，然后用含x的代数式表示S，得到S与x的函数关系式，最后根据函数的性质进行判断．【详解】设AC=x，则CB=1-x，S=x2+（1-x）2，即S=x2-x+=（x-）2+，∵a=>0，∴当x=时，S最小，此时，C是AB的中点，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的最值，根据题意建立二次函数的关系式，然后根据二次根式的性质进行解答是关键．6.抛物线p ：y=ax 2+bx+c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x 轴的对称点为C′，我们称以A 为顶点且过点C′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2，则这条抛物线的解析式为_____________________． 【答案】223y x x =--. 【解析】试题分析：由题意可得，抛物线y ＝x 2＋2x ＋1和直线y ＝2x ＋2的交点坐标就是点A 、C′的坐标，把y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2联立组成方程组，解得方程组的解即可的得A （—1,0）、C′（1，4）.又因y=ax 2+bx+c 的顶点为C 与C′关于x 轴对称，所以C （1,-4）. y=ax 2+bx+c 的顶点为C （1, —4）且过点A （—1,0）.可设抛物线的解析式为y=a （x —1）2 —4，把点A （—1,0）代入即可求得a=1，所以y=（x —1）2 —4，即223y x x =--.考点：阅读理解题；求函数的交点坐标；求函数的解析式.学科网7. 某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x 棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y （个）与x 之间的关系； （2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【答案】（1）6005y x =-；（2）果园多种10棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大为60500个． 【分析】（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【解析】（1）平均每棵树结的橙子个数y （个）与x 之间的关系为：y =600﹣5x （0≤x ＜120）；（2）设果园多种x 棵橙子树时，可使橙子的总产量为w ，则w =（600﹣5x ）（100+x ）=25(10)60500x --+ 则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个． 考点：二次函数的应用．8.某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m （30＜m ≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m 人时，人均收费都按照m 人时的标准．设景点接待有x 名游客的某团队，收取总费用为y 元．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．【答案】（1）y =120 (030)[120(30)] (30)[120(30)] (100)x x x x x m m x m x <≤⎧⎪--<≤⎨⎪--<≤⎩；（2）30＜m ≤75．【分析】（1）根据收费标准，分0＜x ≤30，30＜x ≤m ，m ＜x ≤100分别求出y 与x 的关系即可．（2）由（1）可知当0＜x ≤30或m ＜x ＜100，函数值y 都是随着x 是增加而增加，30＜x ≤m 时，2150y x x =-+，根据二次函数的性质即可解决问题．【解析】（1）y =120 (030)[120(30)] (30)[120(30)] (100)x x x x x m m x m x <≤⎧⎪--<≤⎨⎪--<≤⎩．（2）由（1）可知当0＜x ≤30或m ＜x ＜100，函数值y 都是随着x 是增加而增加，当30＜x ≤m 时，22150(75)5625y x x x =-+=--+，∵a =﹣1＜0，∴x ≤75时，y 随着x 增加而增加，∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，∴30＜m ≤75．考点：二次函数的应用；分段函数；最值问题；二次函数的最值9. 某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y （间）与其价格x （元）（180≤x ≤300）满足一次函数关系，部分对应值如表：x （元） 180 260 280 300 y （间） 100 60 50 40（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每日空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值．（宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出） 【答案】（1）11902y x =-+（180≤x ≤300）；（2）当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．【分析】（1）设一次函数表达式为y =kx +b （k ≠0），由点的坐标（180，100）、（260，60）利用待定系数法即可求出该一次函数表达式；（2）设房价为x 元（180≤x ≤300）时，宾馆当日利润为w 元，依据“宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出”即可得出w 关于x 的二次函数关式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【解析】（1）设一次函数表达式为y=kx+b（k≠0），依题意得：18010016060k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：12190kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y与x之间的函数表达式为11902y x=-+（180≤x≤300）．（2）设房价为x元（180≤x≤300）时，宾馆当日利润为w元，依题意得：w=（12-x+190）（x﹣100）﹣60×[100﹣（12-x+190）]=21210136002x x-+-=21(210)84502x--+，∴当x=210时，w取最大值，最大值为8450．答：当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题．10.小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价（元/件）100 110 120 130 …月销量（件）200 180 160 140 …已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是元；②月销量是件；（直接填写结果）（2）设销量该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）①（x-60）；②（-2x + 400）（2）售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元试题解析：（1）①（x-60）；②（-2x + 400）（2）依题意可得：y=（x-60）×（-2x + 400= -2x2 + 520x – 24000= -2（x-130）2 + 9800当x=130时，y有最大值9800所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元考点：二次函数的应用.11.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.（1）设每天盈利w元，求出w关于x的函数关系式，并说明每天盈利是否可以达到8000元？（6分）（2）若该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（6分） 【答案】（1）(10)(50020)y x x =+-，不能；（2）5．试题解析：（1）设每千克涨价x 元，利润为y 元，由题意，得：215(10)(50020)20()61252y x x x =+-=--+ ∴a =﹣20＜0，∴抛物线开口向下，当x =7.5时，y 最大值=6125，∴每天盈利不能达到8000元． （2）当y =6000时，6000(10)(50020)x x =+-，解得：110x =，25x =， ∵要使顾客得到实惠，∴x =5． 答：每千克应涨价为5元． 考点：二次函数的应用．12.技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一个点）的路线是抛物线，已知起跳点A 距地面的高度为1米，弹跳的最大高度距地面4.75米，距起跳点A 的水平距离为2.5米，建立如图所示的平面直角坐标系， （1）求演员身体运行路线的抛物线的解析式？（2）已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．【答案】（1）23315y x x =-++；（2）能，理由见试题解析． 【解析】试题分析：（1）由题意可知二次函数过A （0，1），顶点（31924，），用顶点式即可求出二次函数的解析式； （2）当4x =时代入二次函数可得点B 的坐标在抛物线上．试题解析：（1）由题意可知二次函数过A （0，1），顶点（31924，），设二次函数解析式为：2519()24y a x =-+， 把A （0，1）代入得：2519144a =+，解得：35a =-，∴23519()524y x =--+，即23315y x x =-++；（2）能成功表演．理由是：当4x =时，234341 3.45y =-⨯+⨯+=．即点B （4，3.4）在抛物线23315y x x =-++上，因此，能表演成功．考点：二次函数的应用．13.某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件.（1）写出月销售利润y （单位：元）与售价x （单位：元/件）之间的函数解析式． （2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．（3）衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10000元，销售价应定为多少？ （4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【答案】（1）2105006000y x x =-++；（2）550件，8250元；（3）50元；（4）65元，12250元． 【解析】试题分析：（1）根据设每个书包涨价x 元，由这种书包的售价每上涨1元，其销售量就减少10个，列出函数关系式；（2）销售价为45元，即上涨了5元，所以5x =，代入即可月销售量和销售利润； （3）令10000y =，解方程即可；（4）用配方法求出二次函数的最大值即可． 试题解析：（1）∵每个书包涨价x 元，∴2(4030)(60010)105006000y x x x x =-+-=-++， 答：y 与x 的函数关系式为：2105006000y x x =-++；（2）销售价为45元，即上涨了5元，所以月销量=600-10×5=550（件），销售利润=2105500560008250y =-⨯+⨯+=（元）；考点：二次函数的应用．14.为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来领前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【答案】（1）201600y x =-+；（2）售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元；（3）440． 【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3）先由（2）中所求得的P 与x 的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x 的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式即可求解．考点：二次函数的应用．15.已知某隧道截面积拱形为抛物线形，拱顶离地面10米，底部款20米．（1）建立如图1所示的平面直角坐标系，使y 轴为抛物线的对称轴，x 轴在地面上．求这条抛物线的解析式；（2）维修队对隧道进行维修时，为了安全，需要在隧道口搭建一个如图2所示的矩形支架AB -BC -CD （其中B 、C 两点在抛物线上，A ．D 两点在地面上），现有总长为30米的材料，那么材料是否够用？ （3）在（2）的基础上，若要求矩形支架的高度AB 不低于5米，已知隧道是双向行车道，正中间用护栏隔开，则同一方向行驶的两辆宽度分别为4米，高度不超过5米的车能否并排通过隧道口？（护栏宽度和两车间距忽略不计）【答案】（1）211010y x =-+；（2）够用；（3）不能．试题解析：（1）设2y ax c =+，由题意抛物线经过点（10，0），（0，10），则100010a c c +=⎧⎨=⎩，解得：11010a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 故抛物线的解析式为211010y x =-+； （2）设点C 的坐标为（m ，n ），则所需材料长度=2221112222()210210(5)251055m n m m m m m +=+⨯-+⨯=-++=--+， ∵105-<，∴当m =5时，所需材料最多，为25米，∴总长为30米的材料够用；（3）当5n =时，2110510m -+=，解得52m =， ∵5224<⨯，∴高度不超过5米的车不能并排通过隧道口． 考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的应用．学科网。

一次函数生活中的实际应用题目一次函数是数学中的一种函数类型，表示为 y = kx + b 的形式，其中 k 是函数的增减速度，b 是函数的零点。

一次函数在生活中有许多实际应用，以下是一些实际问题的例子:1. 温度计：一次函数可以用来描述温度的变化情况。

当温度上升或下降时，一次函数的斜率会发生变化，而常数 b 则表示温度变化的水平方向。

例如，在摄氏 0 度和 100 度之间，温度每增加 1 度，温度计上的指针会上升多少格，就可以用一次函数来描述。

2. 流量控制：一次函数在流量控制中被广泛应用，特别是在水管和发动机的设计之中。

当水流量为恒定值时，一次函数可以用来描述水流量和水压之间的关系。

例如，如果想控制水流量为一定值，可以通过调节水管中的阀门大小来控制水压，从而实现流量的控制。

3. 存款利率：一次函数可以用来描述存款利率的变化情况。

当利率上升或下降时，一次函数的斜率会发生变化，而常数 b 则表示利率变化的水平方向。

例如，如果利率上升 1%,银行的存款利率会相应上涨多少元，就可以用一次函数来描述。

4. 股票价格：一次函数可以用来描述股票价格的变化情况。

当股票价格上升或下降时，一次函数的斜率会发生变化，而常数 b 则表示股票价格变化的水平方向。

例如，如果股票价格上升 1%,投资者获得的回报率会相应上涨多少个百分点，就可以用一次函数来描述。

5. 植物生长：一次函数可以用来描述植物的生长情况。

当植物的生长速度加快或减缓时，一次函数的斜率会发生变化，而常数 b 则表示植物的生长速度保持不变的水平方向。

例如，如果想预测植物在未来几天内的生长速度，可以使用一次函数来计算。

人教版数学八年级下册 巧用一次函数解决生活实际问题一关注“鞋码”与“鞋长”的换算例1鞋子的“鞋码”和鞋长（cm ）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：［注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］鞋长（cm ）16 19 21 24 鞋码（号）22 28 32 38 （1）设鞋长为x ，“鞋码”为y ，试判断点（x ，y ）在你学过的哪种函数的图象上？（2）求x 、y 之间的函数关系式；（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？分析：如果图表所反映的信息，能够满足如下条件：K 44332211x y x y x y x y ≠≠≠，但是343423231212x x y y x x y y x x y y --=--=--=k,则该图表所反映的函数是一次函数，故可以设函数的解析式为：）0(≠+=k b kx y ，得解析式后，其它问题随之迎刃而解．解：（1）因为212432381921283216192228--=--=--=2，所以y 是x 的一次函数，即点（x ，y ）在学过的一次函数的图象上．（2）设y=kx+b ，由题意，得：⎩⎨⎧+=+=bk b k 19281622，解得： ⎩⎨⎧-==102b k ．所以y=2x-10．（x 是一些不连续的值．一般情况下，x 取16、16.5、17、17.5、…、26、26.5、27等）（3）因为y=2x-10，所以当y=44时 ，得44=2x-10，解得：x=27．答：此人的鞋长为27cm ．二关注免费行李的最大质量例2某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x (kg)与其运费y (元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为：(A)20kg (B)25kg (C)28kg (D)30kg分析：旅客随身携带一定重量的行李，而行李的重量是不能为负的，因此，旅客携带的行李的重量最小时为y=0时，对应的重量．也就是令y=0时，图像与x 轴的交点的横坐标． 解：1） 设y=kx+b ，根据图像，知道图像经过以下两个点，（30，300）和（50，900）， 把x=30，y=300；x=50，y=900分别代入y=kx+b 中，得到：300=30k+b ，900=50k+b ，解得：k=30，b= -600，所以y 与x 之间的函数关系式为y=30x-600．令y=0，得：30x-600=0，得x=20，即旅客最多可免费携带20千克的行李． 解：选A ．三关注储气罐中的储气量例3星期天8：00~8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数关系如图2所示．（1）8：00~8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？（2）当x ≥0.5时，求储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数解析式；（3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由．分析：（1）图像与y 轴的交点意味着储气罐中原来有燃气2000立方米，半小时后储气罐中的储气量达到10000立方米，说明注入的燃气量为10000-2000=8000（立方米）．（2）从图像上看出，图像是直线，因此该函数是一次函数．且经过点（0.5，10000）和（10.5，8000）两点，代入直线的解析式就可得函数的解析式．（3）因为18辆车加气需1820360⨯=（立方米），所以储气量为100003609640-=（立方米），求出此时的时间，然后与总时间10.5-8.00=2.5小时相比，大则不能；小则能． 解：（1）由图可知，星期天当日注入了10000-2000=8000立方米的天然气；（2）当x ≥0.5时，设储气罐中的储气量y （立方米）与时间x （小时）的函数解析式为：y=kx+b ，因为函数的图象过点（0.5，10000）和（10.5，8000）两点，所以⎩⎨⎧+=+=b k b k 5.1080005.010000 解得：⎩⎨⎧=-=10100200b k ，故所求函数解析式为：y=-200x+10100．（3）可以．因为给18辆车加气需要18×20=360（立方米），所以此时的储气量为10000-360=9640（立方米），当y=9640时，得9640=-200x+10100，解得：x=2.3.而从8：00到10：30相差2.5小时，显然有：2.3＜2.5，故第18辆车在当天10：30之前可以加完气．四关注旅客的购票情况例4某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y （人）与售票时间x （分）的函数关系如图3-1所示；每个售票窗口票数y （人）与售票时间x （分）的函数关系如图3-2所示．某天售票厅排队等候购票的人数y （人）与售票时间x （分）的函数关系如图3-3所示，已知售票的前a 分钟开放了两个售票窗口．（1）求a 的值；（2）求售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；（3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？分析：（1） 图3-1所展示的信息是每分钟新增4人购票．图3-2所展示的信息是每分钟有3人买上票．图3-3所展示的信息有三条：与y 轴的交点（0，300）表示开始时有300人在等待购票；（a ，240）表示的意义是只开两个售票后，售票a 分钟后还有240人在排队；与x 轴的交点（78，0）表示的是78分钟后就没有人排队购票了．根据上述信息知道剩余排队人数=原来人数+新增加的人数-已经获售票的人数．即300+4a-3×2×a=240.（2）只要求出从a 到78分钟这一段的函数解析式问题就迎刃而解了．（3）理解“要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购”的意义是解题的关键．其意义就是售票人数大于等于原来人数+新增人数，转化成不等式的整数解问题．解：（1）有题意得：300+4a-3×2×a=240，解得：a=30，即a 的值是30；（2）因为直线y=kx+b 经过点（30，240）和点（78 ，0），所以所以⎩⎨⎧+=+=b k b k 78030240 解得：⎩⎨⎧=-=3905b k ，所以函数的解析式为y=-5x+390，所以当x=60时，y=90，即售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有90人；（3）设至少要开放n 个售票窗口，根据题意得：3×30×n ≥ 300+4×30，解得n ≥314， 所以至少要同时开5个售票窗口．五关注所获得利润例５某加油站五月份营销一种油品的销售利润y （万元）与销售量x （万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x 为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）分析：（1）根据1日的信息知道：成本价为4元/升，售价为5元/升，所以每升的利润是1元。

数学教案设计：应用函数进行实际问题解决函数是数学中最重要的概念之一，它是一种描述自量和因变量之间关系的方法。

在数学中，函数被广泛应用于解决各种实际问题。

而在教育领域，教师可以通过应用函数来让学生掌握数学的基本概念和技能。

本文将从教案设计的角度出发，探讨教师如何应用函数进行实际问题解决，从而提高学生的数学素养。

一、问题分析在教学设计中，需要对所要解决的问题进行分析，做到心中有数。

我们以一道实际问题为例进行分析。

假设现有一辆汽车，它的刹车系统是按照如下的公式来设计的：f(v) = k*v / (1+k*v)其中，f(v)表示汽车的刹车力度，v为汽车的速度，k为系统的设计参数，常数k>0。

现在，我们希望回答以下问题：1.对于这个刹车系统，存在哪些速度可以使得汽车的刹车力度大于0.5？2.假设汽车在速度为30m/s时需要刹车，刹车力度可以设计为多少？二、解题策略在分析了问题之后，我们需要采用相应的教学策略来解决问题。

对于上述问题，我们可以采用以下解题策略：步骤1：确定自变量和因变量；步骤2：绘制函数的图像；步骤3：通过图像和函数性质解决问题。

三、具体实施3.1 确定自变量和因变量从上述得到的公式中，可以看出，自变量是速度v，因变量是刹车力度f(v)。

3.2 绘制函数的图像为了对这个函数进行更深入的理解，我们需要绘制它的图像。

具体来说，我们需要采用Excel或其他工具来绘制它的图像。

图像如下：从图像中可以看出，函数的定义域是所有正实数，但是值域却只有在0和1之间变化。

数学应用数学函数解决实际问题的技巧与策略数学在日常生活中扮演着重要的角色，特别是数学函数在解决实际问题时具有显著的作用。

本文将探讨数学应用数学函数解决实际问题的技巧与策略，帮助读者更好地应用数学函数解决各种实际问题。

1. 明确问题：首先，在应用数学函数解决实际问题之前，我们需要明确问题的具体内容和要求。

明确问题可以帮助我们更好地选取适用的数学函数，并确定解决问题所需的方法和步骤。

2. 寻找数学模型：在解决实际问题时，我们可以将问题转化为数学模型，然后通过数学函数对其进行描述和求解。

因此，要仔细观察问题中的各个因素和变量，并通过逻辑推理建立相应的数学模型。

3. 选择适当的函数：根据问题的特点和要求，我们需要选择适当的数学函数来解决问题。

常用的数学函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

选择适当的函数可以使问题的求解更加简单和高效。

4. 运用数学工具：解决实际问题时，我们可以借助数学工具和软件来辅助计算和绘制图形。

例如，使用微积分求解函数的极值点、拐点和曲线的凹凸性；使用统计学方法分析数据的趋势和规律等。

5. 迭代与优化：在实际问题中，往往需要进行迭代和优化来得到更加准确和可行的解。

通过不断调整数学函数中的参数，我们可以逐步逼近问题的解，并找到最优的解决方案。

6. 实际应用：最后，我们需要将得到的数学解决方案应用到实际生活中。

在应用过程中，需要注意解决方案的可行性和可持续性，考虑到各种实际因素，如成本、时间、资源等。

在实际问题中，数学应用数学函数是一种重要的思维工具和解决方法。

通过合理运用数学函数，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。

因此，掌握数学应用数学函数解决实际问题的技巧与策略对于我们的日常生活和学习都具有重要的意义。

最后，我们需要注意，在解决实际问题时，数学函数只是问题解决的工具之一，还需结合实际情况和领域知识进行综合分析和判断。

通过不断的实践和学习，我们可以不断提升数学应用数学函数解决实际问题的技巧和策略，为实际问题的解决提供更加有效和可行的方法。

幂函数在实际问题中的应用幂函数是数学中重要的函数之一，它的形式可以表示为y = ax^b，其中a和b是任意实数，x是变量。

幂函数在实际问题中广泛应用，涵盖了许多领域，如物理学、经济学和生物学等。

本文将探讨幂函数在实际问题中的应用，并以几个实际案例来说明。

一、物理学领域在物理学中，幂函数常常用于描述与物理量相关的关系。

例如，牛顿的万有引力定律可以用幂函数来表示，即引力的大小与两个物体质量的乘积成正比，与两个物体之间的距离的平方成反比。

这可以写成F = G * (m1 * m2)/r^2，其中F是引力的大小，m1和m2是两个物体的质量，r是两个物体之间的距离，G是一个常量。

另一个例子是电阻与电流关系的描述。

欧姆定律指出，电阻与电流之间存在线性关系，可以表示为V = IR，其中V是电压，I是电流，R 是电阻。

然而，当电流与电压的关系不是线性的时候，可以使用幂函数来描述这种关系。

二、经济学领域在经济学中，幂函数常常用于描述市场供需模型和市场竞争模型。

供需模型中，价格和数量之间的关系常常通过幂函数来表示。

供需曲线的形式为q = ap^b，其中p是价格，q是数量，a和b是常量。

这个幂函数描述了市场上的供需关系：价格上涨，供应量下降，需求量增加。

市场竞争模型中，幂函数可以用于描述企业的市场份额和市场规模之间的关系。

一个常用的模型是康托尔模型，其中企业的市场份额与企业数量的幂函数相关。

这个模型可以用来研究市场竞争对企业份额分配的影响。

三、生物学领域在生物学领域，幂函数常常用于描述生物体的增长和生物多样性。

例如，生物体的体积与质量之间的关系通常是一个幂函数。

随着生物体体积的增加，其质量也会相应增加。

这可以用来研究动物的生长和发育过程。

此外，幂函数还可以用来描述生物多样性的分布。

经验研究表明，物种丰度与物种的体积或质量之间存在幂函数关系。

这意味着在一个生态系统中，少数物种的丰度非常高，而大多数物种的丰度较低。

结论幂函数在实际问题中具有广泛的应用，涵盖了物理学、经济学和生物学等多个领域。

对数函数的应用问题对数函数是高等数学中非常重要的一种函数。

它在实际问题中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种复杂的计算和分析问题。

本文将通过几个实际问题的例子，介绍对数函数的应用。

问题一：指数增长率对数函数常常用来描述指数增长率。

假设某种细胞的数量随着时间的推移呈指数增长，我们可以用对数函数来描述这种增长趋势。

假设初始时刻细胞数量为N0，时间t后细胞的数量为N(t)，指数增长率为r，则可以得到以下的关系式：N(t) = N0 * e^(rt)其中e是自然对数的底数，约等于2.718，r是增长率。

通过对数函数的应用，我们可以计算出细胞在不同时间点的数量。

问题二：复利计算对数函数还可以应用于复利计算。

假设我们的初始投资为P，年利率为r，投资时间为t年，那么经过t年后的总收益A可以通过以下公式计算得到：A = P * (1+r)^t这个公式中的(1+r)^t部分表示了复合增长的效应。

如果我们想知道多长时间内初始投资能够翻倍，我们可以通过对数函数求解：2P = P * (1+r)^t取对数得到：t = log(2) / log(1+r)通过这个公式，我们可以计算出需要多少年时间初始投资能够翻倍。

问题三：信号处理对数函数还可以用于信号处理领域。

在音频处理中，我们需要将音频信号转化为数字信号进行处理。

通常情况下，音频信号的幅度变化非常大，我们可以通过对数函数将其转化为对数幅度，这样可以方便地处理和显示音频信号。

问题四：数据压缩对数函数还可以用于数据的压缩。

在一些情况下，原始数据的幅度范围非常大，对数函数可以将数据进行压缩，使其范围变小。

这样可以减少存储空间和计算复杂度。

结论对数函数的应用非常广泛，本文通过几个实际问题的例子，介绍了对数函数的应用。

从指数增长率到复利计算，再到信号处理和数据压缩，对数函数在各个领域都发挥着重要的作用。

通过对数函数的运算和分析，我们能够解决各种复杂的问题，提高计算和分析的效率。

总之，对数函数是一种非常强大且实用的数学工具。

一次函数在实际问题中的应用一次函数，也称为线性函数，是数学中的基础函数之一，其形式为y = kx + b，其中k和b为常数。

一次函数在实际问题中的应用广泛，它可以用来描述和解决各种与线性关系相关的情境和难题。

本文将通过几个实际问题的案例，来说明一次函数在实际问题中的应用。

案例一：速度和时间的关系在我们日常生活中，经常会遇到需要计算速度和时间关系的问题。

例如，一个汽车以等速度行驶，假设它的初始位置是0，每小时行驶60公里，我们可以用一次函数来表示汽车的位置与时间的关系。

设汽车行驶的时间为x小时，它的位置为y公里。

根据题目中给出的条件，我们可得一次函数的表达式为y = 60x。

这是一个典型的一次函数，其斜率k为60，常数b为0。

通过这个一次函数，我们可以计算出汽车在任意时间点的位置，从而回答与汽车行驶距离相关的问题。

案例二：成本和产量的关系在工业生产中，成本和产量之间通常存在着一定的线性关系。

假设某公司生产商品的成本与产量成正比，我们可以利用一次函数来描述这种关系。

设产量为x单位，成本为y单位。

根据题目给出的条件，可知产量和成本之间的关系是y = kx + b，其中k为单位产量对应的成本，b为固定成本。

通过这个一次函数，我们可以计算出不同产量对应的成本，进而进行成本和效益的分析。

案例三：温度和时间的关系在自然科学中，温度和时间之间的关系是一个常见的一次函数应用问题。

假设某地区的温度以一定的速率逐渐升高，我们可以用一次函数来描述温度和时间之间的关系。

设时间为x小时，温度为y摄氏度。

根据题目中给出的条件，我们可以得到一次函数的表达式y = kx + b，其中k为温度随时间变化的速率，b为初始温度。

利用这个一次函数，我们可以预测未来某个时间点的温度，或者计算过去某个时间点的温度。

综上所述，一次函数在实际问题中的应用十分广泛，它可以用来描述和解决与线性关系相关的问题。

通过建立一次函数模型，我们可以数学地表示和分析诸如速度、成本、温度等实际情境，从而得出有用的结论和决策。