2020_2021学年高中数学第4章函数应用实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例学案北师大版必

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4。

2 实际问题的函数建模复习: 常用简单函数模型的应用例1．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y＝f（x),一种是平均价格曲线y＝g(x)(如f（2）＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元;g（2)＝4表示实线A B C D解析：本题考查函数及其图像的基本思想和方法，考查学生看图识图及理论联系实际的能力.刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A错误；开始交易后，平均价格应该跟随即使价格变动,在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B、D均错误。

故选C。

答案：C练习 1. 在股票买卖过程中，经常用两种曲线:一种是即时价格曲线()y f x=(实线表示),另一种是平均价格曲线()y g x=（虚线表示）（如(3)12f=是指开始买卖后第三个小时的即时价格为12元；(3)12g=表示三小时内的平均价格为12元）。

下列给出的四个图象中,其中可能正确的是A B C D答案：C2．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文密文密文明文已知加密为2-=x ay(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送,接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是。

4 .2 .2 函数模型的应用实例〔Ⅱ〕一、教学目标1.知识与技能：能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.2.过程与方法：进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.二、教学重点重点利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.难点将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.三、学法与教法1.学法：自主学习和尝试，互动式讨论.2.教法：尝试、讨论法四、教学过程〔一〕创设情景，揭示课题.现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.〔二〕实例尝试，探求新知例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图.1〕写出速度v关于时间t的函数解析式；2〕写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象；3〕求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；4〕假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象.本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：0rt y y e =其中t 表示经过的时间，0y 表示0t =时的人口数，r 表示人口的年均增长率. 下表是1950~1959年我国的人口数据资料：〔单位：万人〕1〕如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率〔精确到0.0001〕，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2〕如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？ 探索以下问题：1〕本例中所涉及的数量有哪些？2〕描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？ 3〕根据表中数据如何确定函数模型？4〕对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？本例的题型是利用给定的指数函数模型0rty y e =解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数0y 与t . 完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定t 的近似值.课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t 与月份的x 关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(,,)x y ab c a b c =+其中为常数.4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.探索以下问题：1〕本例给出两种函数模型，如何根据数据确定它们？ 2〕如何对所确定的函数模型进行评价？本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体的函数模型. 引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用. 〔三〕. 归纳小结，发展思维.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；1〕根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系； 2〕利用待定系数法，确定具体函数模型； 3〕对所确定的函数模型进行适当的评价； 4〕根据实际问题对模型进行适当的修正.从以上各例体会到：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式. 在实际应用时，经常需要将函数对应关系的一种形式向另一种转化.〔四〕布置作业：教材P 120习题32〔A 组〕第6~9题. 五、教后反思：函数模型的应用实例〔Ⅲ〕一、教学目标1、知识与技能：能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。

课时作业21 实际问题的函数建模时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( D )A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)解析：因为自行车存车量为x辆次，所以电动车存车量为(4 000－x)辆次，所以y＝0.2x ＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200，故选D.2．某人2014年1月1日到银行存入a元，年利率为x，若按复利计算，则到2019年1月1日可取款( A )A．a(1＋x)5元B．a(1＋x)4元C．[a＋(1＋x)5]元D．a(1＋x5)元解析：2014年1月1日到银行存入a元，到2015年1月1日本息共a(1＋x)元，作为本金转入下一个周期，到2016年1月1日本息共a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2(元)，因此，到2019年1月1日可取款a(1＋x)5元，故选A.3．某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为( C )A．(1＋P)11B．(1＋P)12C．(1＋P)12－1 D．(1＋P)11－1解析：设年平均增长率为x，∴1·(1＋x)＝1·(1＋P)12，∴x＝(1＋P)12－1，故选C.4．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图像大致为( D )解析：易知此函数模型为指数函数模型y＝(1＋10.4%)x，过(0,1)点，故选D.5．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝ka x(k∈R，a＞0且a≠1)模型的是( B )A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．如果某人t s内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系D ．信件的邮资与其重量间的函数关系解析：A ：竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系，是二次函数关系；B ：我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系，是指数型函数关系；C ：如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么此人骑车的平均速度v 与时间t 的函数关系，是反比例函数关系；D ：信件的邮资与其重量间的函数关系，是正比例函数关系．故选B.6．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数，现知一企业生产某种商品的数量为x 件时的成本函数为c (x )＝20＋2x ＋12x 2(万元)，若售出一件商品收入是20万元，那么该企业为获取最大利润，应生产这种商品的数量为( A )A ．18件B ．36件C ．22件D ．9件解析：y ＝20x －c (x )＝20x －20－2x －12x 2＝－12x 2＋18x －20.∴x ＝18时，y 有最大值．7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂．已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面．当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( C )A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天解析：荷叶覆盖水面面积y 与生长时间x 的函数关系式为y ＝2x.当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．8．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( B )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．二、填空题9．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为14a 2.解析：令t ＝A (t >0)，则A ＝t 2.∴D ＝at －t 2＝－(t －12a )2＋14a 2.∴当t ＝12a ，即A ＝14a2时，D 取最大值．10．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为6级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的104倍．解析：由已知条件可知这次地震中A ＝1 000，A 0＝0.001，代入到M ＝lg A －lg A 0中得M ＝lg1 000－lg0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则有9＝lg A 1＋3,5＝lg A 2＋3，故lg A 1＝6，lg A 2＝2，A 1A 2＝106102＝104.11．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比．药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤110，116t －110，t >110；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室．解析：(1)因为药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比，则设函数为y ＝kt (k >0)，将点(0.1,1)代入y ＝kt ，可得k ＝10，所以y ＝10t ；又因为药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝(116)t －a ，将点(0.1,1)代入y ＝(116)t －a，得a ＝0.1，三、解答题12．某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的计量服用，据监测：服药后每毫升血液中含药量y (μg)与时间t (h)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4μg 时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？解：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1<t ≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则－23t 1＋203＝4，解得t 1＝4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4，解得t 2＝9，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4，解得t 3＝13.5，故第四次服药应在20：30.13．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)解：解法1：∵每次过滤杂质含量降为原来的23，过滤n 次后杂质含量为2100·(23)n.依题意，得2100·(23)n ≤11 000，即(23)n ≤120，∵(23)7＝1282 187>120，(23)8＝2566 561<120， ∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． 解法2：接解法1：(23)n ≤120，则n (lg2－lg3)≤－(1＋lg2)， 即n ≥1＋lg2lg3－lg2≈7.4，又n ∈N ＋，∴n ≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．——能力提升类——14．已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系如下：b ＝a e－kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今2_292年．(已知log 20.767≈－0.4)解析：由题意可知，a e－5 730k＝12a ，解得k ＝ln25 730. 现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%，所以76.7%＝e －ln25 730 x ，得ln0.767＝－ln25 730x ，则x ＝－5 730×ln0.767ln2＝－5 730×log 20.767≈2 292.15．某工厂生产商品A ，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A 的销售金额的p %作为新产品开发费(即每销售100元提出p 元)，并将商品A 的年产销量减少了10p 万件．(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p 的取值范围； (2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p 的值．解：由题意知，当开发费是商品A 的销售金额的p %时，销售量为(80－10p )万件，此时销售金额为80×(80－10p )万元，新产品开发金额f (p )＝80×(80－10p )×p %(万元)．(1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧80×80－10p ×p %≥96，0<p <8，解得2≤p ≤6.即新产品开发费不少于96万元时，p 的取值范围为2≤p ≤6.(2)当0<p <8时，f (p )＝80×(80－10p )×p %＝－8(p－4)2＋128.∴当p＝4时，f(p)max＝128.即当p＝4时，开发金额最多，可达到128万元．。

实际问题的函数刻画和用函数模型解决实际问题
本节教材分析
教科书用例题作为示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习.在例题中，分别介绍了分段函数、对数函数、二次函数的应用.教科书中还渗透了函数拟合的基本思想.
三维目标
1.知识与技能：能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.
2.过程与方法：进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.
教学重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.
教学难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.
教学建议：
本节设计可以由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣.依据课本中两个例题可以让学生学会了函数模型的应用，而且可以留时间让学生体会它们之间的差异；也可以补充例题，选一些难度适中的高考真题或模拟题训练学生. 新课导入设计
导入一: (创设情景，揭示课题)
现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.
导入二：(直接导入)
请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图像性质，本节我们通过实例比较它们的应用.。