精 品 教 学 设 计4.2.1实际问题的函数刻画等

实际问题的函数刻画一、教学目标：1.知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题.2．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性.3．情感、态度、价值观体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.二、教学重点与难点：1．教学重点：运用一次函数、二次函数、分段函数模型解决一些实际问题.2.教学难点：将实际问题转变为数学模型.三、学法与教学用具探究.1.学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行2.教学用具：多媒体四、教学设想问题：揭示课题某学生早上起床太晚，为避免迟到，不得不跑步到教室，但由于平时不注意锻炼身体，结果跑了一段就累了，不得不走完余下的路程。

如果用纵轴表示人到教室的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象比较符合此人走法的是（ ）（C ）（二）结合实例，探求新知例 1. 某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量X 对总成本C 、单价成本P 、销售收入R 以及利润L 之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？解：总成本C 与产量X 的关系 C=200000+300X; 单位成本P 与总产量X 的关系200000300P X=+(B )(A)(D)销售收入R 与产量X 的关系： R=500X; 利润L 与产量X 的关系：L=R-C=200X-200000(1) 从利润关系式：L=R-C=200X-200000可见,希望有 较大利润应增加产量。

若X<1000,则要亏损；若X=1000,则利润为零；若X>1000,则可盈利。

R 和C 的图像是两条直线，在它们的交点处利润为零。

（2）从单位成本于产量的关系:可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效益例2：一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示： 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象.200000300P X=+解：：课堂练习： 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解略：（三）归纳整理，发展思维.引导学生共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤： 1） 合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题：2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答； 3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题变量范围的限制.5020040180(1)20541290(2)21342375(3)22243465(4)229945t t t t S t t t t t t +≤<⎧⎪-+≤<⎪⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎪-+≤≤⎪⎩（四）布置作业作业：作业本P27。

2.1 实际问题的函数刻画-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.了解实际问题的函数刻画的基本概念；2.掌握常用函数的特征值与参数的关系；3.了解实际问题的函数模型的构建方法；4.提高学生对实际问题解决能力的培养。

二、教学重难点1.实际问题的函数刻画的基本概念；2.常用函数的特征值与参数的关系。

三、教学内容与方法1. 实际问题的函数刻画的基本概念1.实际问题的函数刻画是指通过数学函数对实际问题进行描述和分析，进行问题解决的一种方式。

2.实际问题的函数刻画需要考虑问题的特点，如变化趋势、阈值、生命周期等。

教学方法：通过实际问题引入，让学生了解实际问题的函数刻画的背景和意义，然后通过多个例题让学生掌握实际问题的函数刻画的方法和技巧。

2. 常用函数的特征值与参数的关系1.常见的函数有线性函数、指数函数、对数函数、三角函数等，它们的特征值和参数的关系不同。

2.线性函数的特征值为斜率和截距，参数为斜率和截距的值，用于刻画直线的特征。

3.指数函数的特征值为底数和指数，参数为底数和指数的值，用于刻画曲线的特征。

教学方法：通过对各种常见函数的特征值和参数的讲解，让学生对不同函数的刻画方法有所了解，可以通过多个例题进行巩固和练习。

四、教学过程1. 实际问题的函数刻画的基本概念1.通过实际问题引入，如生产过程中的产量变化、物品的价格变化等，让学生了解实际问题的函数刻画的背景和意义。

2.通过多组数据的表格展示和图像展示，让学生掌握实际问题的函数刻画的方法和技巧。

3.按难度递增的顺序，分别进行例题讲解和练习。

2. 常用函数的特征值与参数的关系1.通过线性函数、指数函数、对数函数、三角函数等不同类型的例题，讲解函数的特征值和参数的关系。

2.次数递增，难度递增的习题，巩固和练习学生所学的知识和技能。

五、教学反思本节课主要是让学生了解实际问题的函数刻画的基本概念，掌握常用函数的特征值和参数的关系，以及实际问题的函数模型的构建方法，并能够应用到解决实际问题中。

《实际问题的函数刻画》教学设计二教学设计一、引入实例，创设情境在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画.用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数待征.例1 某公司设计了一种新型的几何模板.经测算，每件产品的直接成本是130元，市场的合适售价是190元.另外，还投入了15万元用于研发.显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益.当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？（销售、仓储及维护等环节成本忽略不计）引导学生探索过程：（1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围分别是什么？（2）所涉及的变量的关系如何？（3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？（4）总收益与哪些量有关系？你能写出总收益的函数关系式吗？根据教师的引导启发，学生自主建立恰当的函数模型进行解答，然后交流、进行评析.二、实例运用，巩固提高例2 网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表（如下表），第一行是脚长（新鞋码，单位：mm），第二行是我们习惯称呼的“鞋号（旧鞋码，单位：号）”.（1）求鞋号关于脚长的函数模型.（2）如果看到一款“30号”的女童鞋，知道对应的脚长是多少吗？（3）一名脚长为262mm的女篮球运动员，又该穿多大号的鞋呢？让学生阅读例题，思考并提出疑问.问题预设：（1）从表中查不到“30号”的女童鞋对应的脚长，怎么办？（2）从表中查不到脚长为262mm的女篮球运动员的鞋号，怎么办？教师问其他学生有没有解决的办法.生：把表制作的范围更大一些.师：这是一个好主意，怎么把表格制作的范围更大一些呢？让表格中包含“30号”的女童鞋对应的脚长，也包含脚长为262mm的女篮球运动员对应的鞋号.生：找表中数据的规律.师：如何找规律？你能观察出表中数据的规律吗？生：容易发现鞋号每增加一号，脚长增长5mm.师：如何表示这种关系？生：用函数表示.师：你能写出函数关系式吗？请同学们制作一个范围更大的表格，自己解决例题中提出的问题.教师还可以引导学生利用图象找表中数据的规律.设计意图：让学生提出疑问，教师通过不断追问，引导学生找到解决问题的方法.让问题在不知不觉中得到解决，使学生从中体会到解决问题的乐趣.也让学生体会到了如何用函数刻画实际问题，培养学生数学建模的核心素养.巩固练习：1.如图，在一条弯曲的河道上，设置了,,,,,A B C D E F六个水文监测站.现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？解：情报中心在河边的位置一旦确定，每一个水文监测站到情报中心的通信电缆长度（曲线段长度）就唯一确定了，因此，表示情报中心位置的数值与专用通信电缆的总长度就构成一个函数关系.现在将弯曲的河道“拉直”，使刻画曲线段长度的问题变成刻画直线段长度的问题.将“变直了”的河道当作一个数轴，不妨设A 为原点，,,AB b AC c ==,,AD d AE e AF f ===.于是，水文监测站,,,,A B C D E 和F 的坐标就可以用0,,,,,b c d e f 表示出来.表示情报中心位置的数值可以看作一个变量，用x 表示，这样，对于给定的x 的值，就能计算出情报中心到每一个水文监测站的长度，从而可以得出所需电缆的总长度()||||||||||f x x x b x c x d x e x f =+-+-+-+-+-∣∣.设计意图：让学生自主完成，如果学生自己解决不了，可以讨论交流，体会以直代曲的思想，总结构建函数模型的过程.2.在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到12,,,n a a a ，共n 个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a 可以是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据差的平方和最小.依此规定，请用12,,,n a a a 表示出a .解：假设所测量物理量为x ，误差的平方和为y ，则()()()()222212122n n y x a x a x a nx a a a x =-+-++-=-++++()22212n a a a +++，是关于x 的二次函数，当y 取最小值时，得12n a a a a n +++=. 例3 现有一把椅子，四条腿一样长且四脚连线成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，问能否将这把椅子四脚同时落地放稳？师：对于这个问题，同学们有没有生活经验？如果没有这方面的生活经验，现在同学们就可以用自己的课桌或椅子体验一下.学生根据生活经验或挪动自己的课桌或椅子得出结论：如果椅子没放稳，只要前后挪动几下，或者旋转一下就能够放稳了.也就是说答案是肯定的.师：谁能用我们所学的数学知识解释这一现象？留充足的时间让学生思考、讨论、交流.在学生思考交流的过程中，教师可以适当地引导：椅子不论放在哪个位置，总可以使椅子的三只脚与地面接触.如果我们采用旋转的方法使椅子放稳，需要引入什么作为变量？学生容易想到利用角作为变量进行分析.师：如图，记这把椅子四脚连线所形成的图形为正方形ABCD ，对角线的交点为O ；以点O 为旋转中心，初始位置的AC 转过θ角时，记,C A 两点与地面距离之和为(),,f B D θ两点与地面距离之和为()g θ.因为任意位置的椅子都可以三只脚与地面接触，所以总有()()0f g θθ⋅=.记()()()F f g θθθ=-，显然函数()F θ的图象是不间断的曲线.你能用这一函数解释这一现象吗？生：对于初始位置，不妨设()()00,00f g ︒︒=≥，那么()()000F g ︒︒=-≤.椅子旋转90，点D 转到点()()()(),9000,9000A g f f g ︒︒︒︒===≥，那么()()90900F f ︒︒=≥.根据函数零点存在定理，可知在区间0,90︒︒⎡⎤⎣⎦上存在α，使得()0F α=，即()()0f g αα==，所以这把椅子四脚能够同时落地放稳.设计意图：让学生学会从数学的视角发现事物的规律，并用数学模型明确表示出来，这会给我们的生活或工作带来方便.这个例子告诉我们，零点存在定理的重要实用价值在于判断事物的存在性.另外，用函数的观点观察生活，会对已知的事实或经验给出理性的解释.例4 加油站的汽油都存储在地下油槽中，由于比较容易测量槽中油料的高度，因此一般用油料的高度来监控油槽中的油料量.现有一圆柱体油槽，横卧地下，其母线呈水平状态，纵截面是圆（如图），截面圆半径是120cm ，圆柱的长是400cm ，从资料可查出圆的弓形面积与圆面积比例系数表（如表），它给出了弓形面积占单位圆面积的比值()C k .其中1()sin ,,180k h C k k h r rθθπ-=-=≤.为了方便加油站操作人员估计油槽中的油料量，请编制一份油料的液面高度h （单位：cm ）与油料量V （单位：L ）的对照表，该表的油料液面高度取值从0开始，最大为120cm ，间隔12cm （π取3.14，油料量精确到1L ）.教师引导学生自主完成例4的解答过程.解：如图，油槽截面的油料液面线为AB ，记油料液面高度h 时的油料的面积为()S h .依题意知221()()sin sin 180180h r S h r r h r r θθπθπθπ⎛⎫- ⎪=⋅--=-= ⎪ ⎪⎝⎭2(),()400().r C k V h S h π=这里120cm r =，于是通过计算可得到油料的液面高度h 与油料量V 的对照表（略，学生自行完成）.设计意图：这是一个非常实用的问题，要编制一份便于操作人员使用的油料估量表，这是学生以前很少遇到的问题，对学生来说有一定的难度.本例的目的也是让学生尽可能多地了解不同类型的问题情境和问题设计方式，以及解决不同类型问题的手段和方法.三、归纳总结，巩固提升引导学生共同小结实际问题的函数刻画方法：（1）合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题.（2）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系.抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.四、布置作业教材第137页练习第1题.板书设计教学研讨本案例主要是通过例题让学生感受和体会函数在现实生活中的应用的广泛性，并了解用函数刻画实际问题的思维过程与方法.本案例是通过例题的教学让学生归纳总结研究问题的一般方法.对于例题的教学，采用让学生提出疑问、教师追问的方式，让学生的疑问逐渐明朗，使问题在不断的追问过程中得以解决，在问题的解决过程中让学生的能力得到提升.本案例只是预设了一般学生的疑问，对于不同层次、不同水平的学生来说，他们的疑问可能有所不同，教师在教学中可能要根据学生的情况多预设一些问题.。

§2实际问题中的函数模型2.1实际问题的函数刻画学习目标核心素养1.会用函数图象的变化刻画变化过程．(重点，难点)2．能够用已知的函数模型刻画实际问题．(难点)1.在利用函数刻画实际问题的过程中，培养数学抽象素养．2．在把实际问题转化为数学模型的过程中，提升数学建模素养．(1)用函数刻画实际问题的条件：在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画．(2)用函数刻画实际问题的方法：函数刻画的方法可以使用图象，但最多的还是使用解析式．思考：世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？提示：先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式．1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是() x 45678910y 15171921232527 A.C.指数函数模型D．对数函数模型A[根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．]2．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()A.y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC.y＝a e x＋b D．y＝a ln x＋bB[因为图中的点基本分布在一条抛物线上，所以可选择的函数模型应为二次函数，故选B.]3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是()A B C DC[因为离开家里的路程为d越来越远，所以排除B和D，又该同学先跑后走，所以一开始速度大，离开家的距离d随着时间的增加增长的较快，所以选C.] 利用图象刻画实际问题【例1】(1)“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当它醒来后看到乌龟已经领先了，因此它用更快地速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程—时间图象()A B C D(2)如图，是三个底面半径均为1，高分别为1，2，3的圆锥、圆柱形容器，现同时分别向三个容器中注水，直到注满为止，在注水的过程中，保证水面高度平齐，且匀速上升，记三个容器中水的体积之和为V＝V(h)，h为水面的高，则函数V＝V(h)的大致图象为()(1)C(2)B[(1)由故事内容知乌龟先达到终点，兔子醒来乌龟未达到终点，且兔子后来的速度更快，故选C.(2)由题得，三个容器同时注水时，由于圆锥同样高度注水体积越来越大，即此过程体积V(h)增加速度越来越快，由导数几何意义知，曲线切线斜率越来越大，排除C，D，圆锥注满水后，体积匀速增加，在矮圆柱注满水以前体积V(h)增加速度要大于矮圆柱注满水以后的速度，即矮圆柱注满水以前的所在直线斜率大，故选B.]当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.[跟进训练]1．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳A[通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C是正确的，D也正确，1～6月比较平稳，7～12月波动比较大．故选A.]已知函数模型解决实际问题[探究问题]1．如何求形如y＝x＋ax(x＞0，a＞0)的函数的最小值？提示：利用基本不等式a＋b≥2ab.2．如何求形如y＝x＋ax＋m(x＋m＞0，a＞0)的函数的最小值？提示：利用换元法转化后用基本不等式求解．【例2】为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k 3x＋5(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．[思路点拨]把x＝0代入C（x）→求k的值→函数f（x）的表达式→f（x）的最小值[解](1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，∴C(x)＝403x＋5(0≤x≤10)，∴f(x)＝6x＋20×403x＋5＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10).(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋8003x＋5－10.令3x＋5＝t，t∈[5，35]，则y＝2t＋800t －10≥22t·800t－10＝70(当且仅当2t＝800t，即t＝20时等号成立)，此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．1．解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯．2．在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系．3．解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)先有实际问题，后有模型．()(2)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．()(3)当自变量变化时，函数值的增长速度越来越快，那么该函数关系一定用指数函数模型来刻画．()[提示](1)正确．(2)正确．(3)错误．也可能是用函数y ＝x 2(x ＞0)，y ＝x 3等其它函数来刻画．[答案](1)√(2)√(3)×2．如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )A B C DD [由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意．]3．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)14a 2[令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a ＋14a 2.所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．]4．某列火车从A 地开往B 地，全程277 km.火车出发10 min 开出13 km 后，以120 km/h 的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S 与匀速行驶的时间t 之间的关系，并求火车离开A 地2 h 内行驶的路程．[解] 因为火车匀速行驶的时间为(277－13)÷120 ＝115 (h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t ，所以火车行驶的总路程S 与匀速行驶时间t 之间的关系是S ＝13＋120t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤t ≤115. 2 h 内火车行驶的路程S ＝13＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1060＝233(km).。

高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.1 实际问题的函数刻画教案2 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第四章函数应用4.2 实际问题的函数建模4.2.1 实际问题的函数刻画教案2 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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4.2.1函数模型的应用实例一、教学目标：1。

知识与技能：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.2．过程与方法:感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.3．情感、态度、价值观：体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.二、教学重点与难点：1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.2。

教学难点：将实际问题转变为数学模型。

三、学法与教法1.学法:学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.2。

教法：自主阅读、尝试、讨论法。

四、教学过程(一）创设情景,揭示课题引例：大约在一千五百年前,大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题:“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？"这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗?你有什么更好的方法?老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚,则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔".这样，“独脚鸡"和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差,就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是:35－12＝23。