人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_任意角和弧度制_基础

《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角2、同终边的角可表示为{}()360k k Z ααβ︒=+∈x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα︒︒+<<+∈第四象限角：{}()270360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒︒+<<+∈锐角：{}090αα<< 小于90的角：{}90αα<任意角的概念弧长公式 角度制与 弧度制 同角三角函数的基本关系式 诱导 公式 计算与化简 证明恒等式任意角的 三角函数 三角函数的 图像和性质 已知三角函数值求角和角公式 倍角公式 差角公式 应用应用 应用 应用应用 应用 应用5、若α为第二象限角，那么2α为第几象限角？ ππαππk k 222+≤≤+ππαππk k +≤≤+224,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k所以2α在第一、三象限6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad .7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π 815730.571801'︒=︒≈︒=π8、角度与弧度对应表： 角度 0︒ 30︒ 45︒ 60︒90120︒ 135︒ 150︒ 180︒ 360︒弧度6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π2π9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=⨯；面积：21122S l R R α=⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制.二、任意角的三角函数1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan yxα=其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，22r x y =+.2、三角函数值对应表：3、三角函数在各象限中的符号度0 30 45 60 90 120 135 150 180︒270360弧度6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π 2πsin α 01222 32132 22121 0cos α132 221212- 22-32-1- 0 1tan α 0 331 3无3- 1-33-无ry)(x,αP口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）sin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin α>0,cos α>0,tan α>0, 第二象限：0,0.><y x sin α>0,cos α<0,tan α<0, 第三象限：0,0.<<y x sin α<0,cos α<0,tan α>0, 第四象限：0,0.<>y x sin α<0,cos α>0,tan α<0,4、三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向 延长线交于点T.由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====， c o s 1x x x OM r α====， tan y MP ATAT x OM OAα====．我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

任意角与弧度制【知识梳理】1．按旋转方向分2.(1)角的终边在第几象限，则此角称为第几____；(2)角的终边在__上，则此角不属于任何一个象限．3. 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和．【常考题型】题型一、象限角的判断【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.【类题通法】象限角的判断方法(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．(2)根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．【对点训练】在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°.题型二、终边相同的角的表示【例2】(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．【类题通法】1．终边相同的角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合． 【对点训练】已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．题型三、确定n α及nα所在的象限【例3】 若α是第二象限角，则2α，α2分别是第几象限的角？【类题通法】1．n α所在象限的判断方法确定n α终边所在的象限，先求出n α的范围，再直接转化为终边相同的角即可． 2.αn所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角αn的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据α终边所在的象限确定αn的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．【对点训练】已知角α为第三象限角，试确定角2α，α2是第几象限角．题型四 轴线角与象限角1. 终边落在x 轴正半轴上角的集合_________________2. 终边落在x 轴负半轴上角的集合_________________3. 终边落在y 轴正半轴上角的集合_________________4. 终边落在y 轴负半轴上角的集合_________________5. 终边落在x 轴上角的集合_________________6. 终边落在y 轴上角的集合_________________7. 终边落在坐标轴上角的集合_________________8. βααβ与终边关于原点对称（互为反向延长线），与的关系________________9.x βα与终边关于轴对称,αβ与的关系_______________________10. y βα与终边关于轴对称, αβ与的关系______________________ 11. 第一象限角的范围：__________________12. 第二象限角的范围：__________________ 13. 第三象限角的范围：__________________ 14. 第四象限角的范围：__________________【知识梳理】1．角度制与弧度制 (1)角度制．①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的______作为一个单位． (2)弧度制．①定义：以_____作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于______的弧所对的圆心角． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个_____，负角的弧度数是一个_____，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r. 4．弧度与角度的互化题型一、角度与弧度的换算【例1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.【类题通法】角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π＝度数．【对点训练】已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角．题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用【例2】 (1)已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2，则扇形的面积为________． (2)已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？【类题通法】弧度制下涉及扇形问题的攻略 (1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．【对点训练】已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？题型三、用弧度制表示角的集合【例3】 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．用弧度制表示角应关注的三点(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．(2)表示角的集合时，可先写出一周范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z .(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x |x ＝α＋k π，k ∈Z }；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝α＋k ·π2，k ∈Z. 在进行区间的合并时，一定要做到准确无误．【对点训练】以弧度为单位，写出终边落在直线y ＝－x 上的角的集合．其他重要例题1.在下列各组中，终边不相同的一组是（ ） A ．600和 B ．2300和950C ．10500和 D ．10000和802.下列各角中，与60°角终边相同的角是( ) A. B. C. D .3.{}{}2(21),,44A k k k z B απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则A B ⋂=____________ 4．若角α＝2 014°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________． 半期考试补救例1已知函数()222++=x x x f ，（1）若R x ∈，求函数的最值；（2）若[]1,3x ∈，求函数的最值；（3）若]3,2[-∈x ，求函数的最值；（4）若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最小值； （5）[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最大值。

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数一、考纲要求：1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．二、知识点梳理1、考点一：角的有关概念从运动的角度看，角可分为、和从终边的位置来看，角可分为和轴线角。

2、考点二：弧度的概念与公式在半径为r的圆中，3、考点三：任意角的三角函数三、要点探究【例1】 已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θcos θ＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3【例2】 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．【例3】 扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.第二节 同角三角函数关系式与诱导公式一、考纲要求：1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．二、知识点梳理1、考点一：同角三角函数基本关系式㈠ 平方关系：㈡商数关系： 2、考点二：诱导公式三、要点探究【例1】 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3，则lg(sin α＋2cos α)－lg(3sin α＋cos α)＝________.【例2】 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos (α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值． 【例3】 在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝2，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．第三节 三角函数的图象与性质一、考纲要求：1．画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质． 二、知识点梳理正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质三、要点探究【例1】 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．(2)已知sin x ＋sin y ＝23，则23＋sin y －cos2x 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤112，73B.⎣⎡⎦⎤－1，73C.⎣⎡⎦⎤112，1 D.⎣⎡⎦⎤112，79【例2】 求下列函数的单调区间： (1)y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x 3；(2)y ＝－⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 【例3】 (1)若函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ(A>0)满足f(1)＝0，则( ) A ．f(x －2)一定是奇函数B ．f(x ＋1)一定是偶函数C ．f(x ＋3)一定是偶函数D ．f(x －3)一定是奇函数(2)函数f(x)＝(sin x ＋cos x)2的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C ．π D ．2π第四节 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用一、考纲要求：1.了解函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响．2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．二、知识点梳理1、考点一：y ＝Asin (ωx ＋φ)的有关概念及五点法描图 1．y ＝Asin (ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝Asin (ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝Asin (ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示2、考点二：函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象的步骤三、要点探究【例1】 设x ∈R ，函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<0)的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．【例2】 (1)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4【例3】 函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R)的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f(x)的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f(x)的取值范围． 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、考纲要求：1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．二、知识点梳理1、考点一、两角和与差的三角函数公式sin (α±β)＝ cos (α±β)＝ tan (α±β)＝ 其公式变形为：tan α＋tan β＝ tan α－tan β＝tan αtan β＝ 2、考点二、 二倍角公式sin 2α＝ cos 2α＝ ＝ ＝tan 2α＝.其公式变形为：sin 2 α＝cos 2 α＝三、要点探究：【例1】 4cos 50°－tan 40°＝( ) A.2 B.2＋32C.3 D ．22－1 【例2】 已知函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3. 【例3】 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g(x)＝2sin2x2. (1)若α是第一象限角，且f(α)＝335，求g(α)的值； (2)求使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合．第六节 简单的三角恒等变换一、考纲要求：能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)． 二、知识点梳理 考点 半角公式【例1】 tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1【例2】 已知函数f (x )＝sin x ＋cos x . (1)若f(x)＝2f(－x)，求cos2x －sin xcos x1＋sin2x的值；(2)求函数F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)的最大值和单调递增区间．【例3】 已知函数f(x)＝3sin xcos x ＋cos2x ＋a. (1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为32，求a 的值． 第七节 平面向量的概念及线性运算一、考纲要求：1．了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．二、知识点梳理1、考点一、向量的有关概念2、考点二、向量的线性运算3、考点三、线性向量运算共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得三、要点探究【例1】给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中不正确的个数为________．【例2】(1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，向量AB＋AD＝λAO，则λ＝________.＝3BF，若AC＝mAE＋nAF，其中m，n∈R，则m＋n＝________.【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若向量AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b)．求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．第八节 平面向量基本定理及坐标表示一、考纲要求：1.了解平面向量基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.二、知识点梳理1、考点一、平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．考点二、平面向量的坐标运算1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ，a －b ＝λa ＝ ，|a|＝ .2．向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB ＝考点三、平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，当且仅当 时，向量a ，b 共线．【例1】 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若向量DE ＝λ1 AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【例2】 已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 【例3】 (1)若向量MN ＝(－1,3)，NP ＝(3，t)，且MN ∥NP ，则向量MP ＝( )A ．(1,3)B ．(2，－6)C ．(－3,2)D ．(3,2)(2)设向量a ＝(2，x －1)，b ＝(x ＋1,4)，则“x ＝3”是“a ∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第三节平面向量的数量积及平面向量的应用一、考纲要求：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2..掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3..能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．二、知识点梳理考点一、平面向量的数量积1．两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b，作O＝a，O＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．(2)范围向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝，a与b反向时，夹角θ＝.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作.2．平面向量数量积(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝.规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝ .(2)a·b的几何意义a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．考点二、数量积的性质与运算律1．向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝(2)a⊥b⇔(3)a·a＝，|a|＝a·a.a·b.(4)cos 〈a，b〉＝|a||b|(5)|a·b| |a||b|.2．数量积的运算律(1)交换律：a·b ＝ .(2)分配律：(a ＋b)·c ＝ .(3)对λ∈R ，λ(a·b)＝ ＝考点三、 平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)要点探究：【例1】 (1)在四边形ABCD 中，向量AC ＝(1,2)，BD ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A.5 B ．25 C ．5 D ．10(2)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则向量AE·BD ＝________.【例2】 (1)平面向量a 与b 的夹角为60°， |a|＝2，|b|＝1，则|a ＋2b|＝( ) A. 3B ．2 3C ．4D ．10(2)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的投影为________．【例3】 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b|＝ 2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．.。

《任意角和弧度制》知识梳理一、要点知识精析１．任意角是由角的终边按照一定方向旋转而定义的，由于旋转有逆时针和顺时针两个方向，因此旋转所得到的角也有正负之分．如果角的终边没有作任何旋转，则称该角为零角．注意：一般情况下，角的始边与x 轴的正半轴重合，定点在坐标原点．２．正确理解直角坐标系中的几种角象限角：是指始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，而终边落在某个象限内的角（注意：终边落在坐标轴上的角不属于任何象限的角）；如：α是第一象限角，则2k πα<22k ππ<+（)k Z ∈．轴线角：终边落在坐标轴上的角．如α的终边在x 轴的正半轴，则2k απ=；α的终边在x 轴，则k απ=；α的终边在坐标轴上，则2k πα=；（以上)k Z ∈． 区间角：是指介于两个角之间的角的集合，如030150x <≤；区域角：是介于某两条终边之间的角集，如0030360k α+∙<0090360k <+∙k Z ∈，显然区域角是无数个区间角的集合，而且象限角可以用区域角来表示．终边相同的角：具有同一终边的角的集合，与角α终边相同的角可用集合表示为｛β∣0360,k k Z βα=+∙∈｝或｛β∣2,k k Z βαπ=+∈｝．在写与角α终边相同的角的集合时要注意单位统一，避免出现“0302()k k Z π+∈或0360,6k k Z π∙+∈” 之类的错误；３．等于半径长的圆弧所对的圆心角叫１弧度的角．这一定义与圆的半径大小无关．由弧度制的定义，衍生出两个公式：弧长公式（l r α=）和扇形面积公式（212S r α=），应用这两个公式时，角的单位都必须用弧度制，这两个公式都比用角度制下的弧长公式和扇形面积公式简单．无论是角度制或是弧度制，都能在角的集合与实数集Ｒ之间建立一种一、一对应关系．４．弧度制和角度制可以相互转化：00/1801()5718rad π=≈，010.01745180rad rad π=≈．用弧度制表示角时，“弧度”二字可以省略不写，但用角度表225图2 图3示时，“度”（或“0”）不能省略．在同一个式子中，两种单位不能混用．二、解题方法指津１．判断角终边所在象限的方法角所在的象限的确定，是三角函数求值问题的关键环节，为此，要利用题中的若干条件准确地对角所在的象限进行判断． （１）利用终边相同的角的表示法判断判断一个角的终边所在位置，可先将此角化为α+∙0360k 003600(<≤α，Z k ∈）或),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式，找出与此角终边相同的角α，再由角α的象限来判断此角的位置． （２）确定角的范围判断 已知单角α的象限，求2α、3α、2α等角的范围问题，通常先把α角的范围用不等式表示出来，再利用不等式的性质得出所讨论的角的范围，对k 的取值进行讨论，确定出所在象限．（３）．由α所在象限，确定nα所在象限的方法 求nα所在象限，可先将各个象限n 等分，从第一象限离x 轴最近的区域开始逆时针方向依次重复标注数码１，２，３，４，直到将所有区域标完为止．如果α在第几象限，则nα就在图中标号为几的区域内．如图２所示，将各象限２等分，若α在第一象限，则2α就在图中标号为１的区域内，即一、三象限的前半区域．如图３，若α在第三象限，则3α就在图中标号为３的区域内，即一、三、四象限．依次类推．。

知识点一：任意角⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、终边相同的角：与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限：若α是第k 象限角，把单位圆上每个象限的圆弧n 等分，并从x 轴正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1,2,3,4，再循环，直到填满为止，则有标号k的区域是角nα终边所在的范围。

知识点二、弧度制的转换：5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 特殊角的弧度数：000300450600900120013501500180知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则弧长公式：l r α=，扇形周长：2C r l =+，扇形面积：211S lr r α==．例题分析【例1】在～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1） ；（2）；（3）．【例2】如果α角是第二象限的角，那么2α，3α角分别是第几象限的角？说说你的理由。

任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。

注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴 （3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

例1、若13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。

（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 3π．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、30︒ ；390︒ ；-330︒是第 象限角 300︒ ； -60︒是第 象限角585︒ ； 1180︒是第 象限角 -2000︒是第 象限角。

例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B= ④ （填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角} ③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置.解 ∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时， n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°； 当k =2n +1（n ∈Z ）时， n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ）， 60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得 60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得 180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得 300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和。

1.1 任意角、弧度知识梳理一、角的概念的推广1.定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.2.角的分类:正角、零角、负角.3.象限角如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.α是第一象限角时，可表示为{α|2kπ<α<2kπ+2π,k ∈Z }； α是第二象限角时，可表示为{α|2kπ+2π<α<2kπ+π,k ∈Z }； α是第三象限角时，可表示为{α|2kπ+π<α<2kπ+23π,k ∈Z }； α是第四象限角时，可表示为{α|2kπ+23π<α<2kπ+2π,k ∈Z }. 4.轴线角(象限界角)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角，也叫象限界角.终边落在x 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ,k ∈Z }；终边落在x 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+π,k ∈Z }；终边落在y 轴正半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+2π,k ∈Z }； 终边落在y 轴负半轴上的角的集合可记作:{α|α=2kπ+23π,k ∈Z }； 终边落在坐标轴上的角可表示为{α|α=2πk ,k ∈Z }. 5.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+2kπ,k ∈Z }.二、弧度制1.角度制:规定周角的3601为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制. 2.弧度的定义:规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即3601周角=1°，π21周角=1弧度. 3.弧度与角度的换算360°=2π rad ，180°=π rad ，1°=180πrad≈0.017 45 rad ，1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.4.弧长公式:l=|α|·r(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数).5.扇形的面积公式:S 扇形=21l·r=21|α|r 2(其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数). 知识导学要理解任意角概念，可创设情境“转体720°，逆(顺)时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、象限界角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式，以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.疑难突破1.弧度制与角度制相比，具有哪些优点？剖析:(1)用角度制来度量角时，人们总是十进制、六十进制并用的.例如α=66°32′2″，其中66、32、2都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的.于是，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进制)，需要经过一番计算，这就太不方便了.但在用弧度表示角时，只用十进制，所以容易找到与角对应的实数.(2)弧度制下的弧长公式l=|α|r 、扇形面积公式S=21|α|r 2，与角度制下的弧长公式l=180r n π、扇形面积公式S=3602r n π比较，不但具有更简洁的形式，而且在计算弧长和扇形面积时，也更为方便.2.为何说三角函数看成是以实数为自变量的函数时，角的集合与实数集R 是一一对应关系？ 剖析:在用弧度制或角度制度量角的前提下，角的集合与实数集R 建立了一种一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的角度数或弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(角的角度数或弧度数等于这个实数)与它对应.于是，有了角的集合与实数集R 的一一对应关系，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数.要注意角度制是60进位制,类似22°30′这样的角,应该把它化为十进制22.5°，它与实数22.5对应，但弧度制不存在这个问题 ，因为弧度制是十进制的实数.。

高二数学必修四随意角和弧度制复习重点梳理数学是研究现实世界空间形式和数目关系的一门科学。

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1.随意角(1)角的分类：①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角.②按终边地点不一样分为象限角和轴线角.(2)终边同样的角：终边与角同样的角可写成+k360(kZ).(3)弧度制：① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 .②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，||=， l 是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径 .③用弧度做单位来胸怀角的制度叫做弧度制 .比值与所取的 r 的大小没关，仅与角的大小有关 . ④弧度与角度的换算： 360 弧度 ;180 弧度 .⑤弧长公式： l=||r ，扇形面积公式：S 扇形 =lr=||r2.2.随意角的三角函数(1)随意角的三角函数定义：设是一个随意角，角的终边与单位圆交于点P(x， y) ，那么角的正弦、余弦、正切分别是：sin =y ，cos =x，tan =，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数 .(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 .3.三角函数线我国古代的念书人 ,从上学之日起 ,就日诵不辍 ,一般在几年内就能识记几千个汉字 ,熟记几百篇文章 ,写出的诗文也是咬文嚼字 ,琅琅上口 ,成为博学多才的文人。

为何在现代化教课的今日 ,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生 ,竟提起作文就头疼 ,写不出像样的文章呢 ?吕叔湘先生早在 1978 年就尖利地提出 : “中小学语文教课成效差,中学语文毕业生语文水平低 , 十几年上课总时数是9160 课时 ,语文是 2749 课时,恰巧是 30%,十年的时间 ,二千七百多课时 ,用来学本国语文,倒是大部分可是关 ,莫非咄咄怪事 ! ”刨根问底 ,其主要原由就是腹中无物。

描述：例题：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制
一、学习任务
1. 了解任意角的概念，了解终边相同的角的意义．
2. 了解弧度制的意义，并能进行弧度与角度的互化．
二、知识清单
任意角的概念 弧度制
三、知识讲解
1.任意角的概念
任意角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如图，一条射线的端点是 ，它从起始位置 按逆时针方向旋转到终止位置 ，形成一个角 ，射线 称为角的始边，射线 称为角的终边．
角的分类
正角（positive angle） 按逆时针方向旋转形成的角．
负角（negative angle） 按顺时针方向旋转形成的角．
零角（zero angle） 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．象限角与轴线角
在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角（quadrant angle）．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这样的角为轴线角．
终边相同的角
所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可以构成一个集合
，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和．
O OA OB αOA OB x ααS ={β| β=α+k ⋅,k ∈Z }360∘αα在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是
；②钝角一定大于锐角；③射线 绕端点 按逆时针旋转一周所成的角是 ；
60∘OA O 0∘
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又 ，∴令 得 ．
∵α∈(0,2π)k =1α=
π。