高一数苏教必修四讲义：第1章 1.1 1.1.1 任 意 角 Word含答案

．任意角和弧度制．任意角[提出问题]问题：当钟表慢了(或快了)，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确．在调整的过程中，分针转动的角度有什么不同？提示：旋转方向不同．问题：在体操或跳水比赛中，运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作，做上述动作时，运动员分别转体多少度？提示：顺时针方向旋转了°或逆时针方向旋转了°，顺时针方向旋转了°.[导入新知]角的分类．按旋转方向.()角的终边在第几象限，则称此角为第几象限角；()角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．[化解疑难]．任意角的概念认识任意角的概念应注意三个要素：顶点、始边、终边．()用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角．()对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字．①要明确旋转方向；②要明确旋转角度的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．．象限角的前提条件角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.[提出问题]在条件“角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合”下，研究下列角：°，°，－°.问题：这三个角的终边位置相同吗？提示：相同．问题：如何用含°的式子表示°和－°？提示：°＝×°＋°，－°＝－×°＋°.问题：确定一条射线，以它为终边的角是否唯一？提示：不唯一．[导入新知]终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[化解疑难]所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子·°＋α，∈表示，在运用时需注意以下几点．()是整数，这个条件不能漏掉．()α是任意角．()·°，∈与α之间用“＋”连接，如·°－°，∈应看成·°＋(－°)，∈.()终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍；相等的角终边一定相同．[例] 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．()－°；()°；()－°.。

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.（2）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（3）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）理解任意角以及象限角的概念；（6）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（7）推广角的概念、引入大于360角和负角；2、过程与方法通过创设情境：“转体720，逆（顺）时针旋转”，角有大于360角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具: 三角板、电脑、投影机四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了 1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图 1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720”（即转体2周），“转体1080”（即转体3周）等,都是遇到大于360的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle). [展示课件]如教材图 1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750；图 1.1.3(2)中，正角210，负角150,660；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（anyangle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为. 3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

1.1.1任意角的概念一、三维目标：知识与技能：理解任意角的概念、象限角”、“终边相同的角”的含义，体会角的概念推广的必要性和实际意义，会表示终边相同的角，能在0360o o :的角找出与已知角终边相同的角。

过程与方法：通过实例理解用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，同时培养数形结合的思想和用运动变化观点思考问题的意识。

情感态度与价值观：通过学习，体会数学的发展源于实际的需要，从而激发学习热情和求知欲。

二、学习重、难点：重点：理解正角、负角、象限角、终边相同的角的含义，将0360o o :的角推广到任意角。

难点：角的概念的推广；终边角相同的角的表示，象限角的集合。

三、学法指导：认真阅读教材,对教材的相关概念进行标注。

通过具体的实例来领会概括任意角的概念，象限角”、“终边相同的角”的含义 。

四、知识链接：初中角的定义：从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形 。

五、学习过程：阅读教材P2-3,回答下面问题(一～二)：（一）、正角、负角、零角概念：注：如何理解角的概念？高中数学中的角是以动态的观点来刻画的，对其理解要紧紧抓住“旋转”二字，用运动的观点来看待：既有旋转方向，又有旋转大小，同时注意即使不旋转也是一个角，从而得到正角、负角、零角的定义及范围超出0360o o :的角。

A 例1： 你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了 1.50小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？（二）、象限角概念C 思考问题：在直角坐标系内讨论角有什么好处？是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？B 例2：{90}A =o 小于的角，{}B =第一象限的角，{}C =锐角，={090{090}}D θθ≤<o o o o :间（即）的角）.下列选项中正确的有 （填序号）。

①A=C=D ⊆B ； ②C ⊆ D ⊆A ； ③C ⊆ D ⊆B④C ⊆ D ⊆ B ⊆A ； ⑤B ∩D=C ；⑥A ∩B=C 。

第1课时 任意角的三角函数如图，直角△ABC .问题1：如何表示角A 的正弦、余弦、正切值？ 提示：sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，tan A ＝a b.问题2：如图，锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P (a ，b )，作PM ⊥x 轴，如何用图中的数据表示sin α，cos α，tan α？提示：∵PM ⊥x 轴，∴△OPM 为直角三角形， ∴|OP |＝|OM |2＋|PM |2＝a 2＋b 2，∴sin α＝|PM ||OP |＝b a 2＋b 2，cos α＝|OM ||OP |＝aa 2＋b 2，tan α＝|MP ||OM |＝ba.在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离为r (r ＝x 2＋y 2>0)规定：三角函数定义定义域正弦 sin α＝y r R 余弦cos α＝x rR正切 tan α＝y x{α|α≠k π＋π2，k ∈Z }问题1：由三角函数的定义知sin α在什么条件下函数值为正？ 提示：α的终边在第一、二象限或y 轴正半轴． 问题2：tan α在什么情况下为负数？提示：因tan α＝y x，则x 、y 异号为负数，即α的终边在二、四象限为负数．三角函数值在各象限内的符号，如图所示：如图，由单位圆中的三角函数的定义可知sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x. 问题：sin α是否等于PM 的长？若不等，怎样才能相等？提示：不一定，可能等于PM 的长，也可能等于PM 长的相反数，把MP 看成有向线段即可．1．有向线段规定了方向(即规定了起点和终点)的线段． 2．有向线段数量根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量．3．单位圆圆心在原点，半径等于单位长度的圆．4．三角函数线设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M.(1)则有向线段MP、OM就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP＝sin α，OM＝cos α；(2)过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边或角α终边的反向延长线交于点T，则有向线段AT就是角α的正切线，即AT＝tan_α.1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值的大小只与角有关．2．三角函数值的符号，用角α的终边所处的位置确定，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．正弦线、余弦线、正切线这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，是与坐标轴垂直的线段．这些线段分别可以表示相应三角函数的值，它们是三角函数的一种几何表示．[例1] 已知角α的终边上有一点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．[思路点拨] 由三角函数的定义求三角函数时，应先确定α终边位置．由于含有参数a，而a 的条件为a ≠0，所以必须对a 进行分类讨论．[精解详析] ∵x ＝－3a ，y ＝4a ， ∴r ＝－3a2＋4a2＝5|a |.当a >0时，r ＝5a ，角α为第二象限角，∴sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，∴2sin α＋cos α＝2×45－35＝1.当a <0时，r ＝－5a ，角α为第四象限角， ∴sin α＝y r ＝4a －5a ＝－45，cos α＝x r ＝－3a －5a ＝35，∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝－1.[一点通] 已知角的终边上一点，求该角的三角函数值，一般是先求出该点到原点的距离r ，再由三角函数的定义求出三角函数值．当点的坐标有字母时，由于字母符号未知，所以点所在象限不确定，因此要根据情况进行分类讨论，避免漏解．1．角α的终边过点P (－8m ，－6cos 60°)且cos α＝－45，则m 的值是____________．解析：P (－8m ，－3)，由cos α＝－45可得－8m 64m 2＋9＝－45， 解得m ＝12(m ＝－12不合题意，舍去)．答案：122．已知角α终边上点P (x,3)(x ≠0)，且cos α＝1010x ，求sin α，tan α. 解：∵r ＝x 2＋9，cos α＝x r， ∴1010x ＝xx 2＋9. 又x ≠0，则x ＝±1.∵y ＝3＞0，∴α在第一或第二象限．当α在第一象限时，sin α＝31010，tan α＝ 3.当α在第二象限时，sin α＝31010，tan α＝－3.3．已知角的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．解：(1)当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1，2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5， 得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2. (2)当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)，由r ＝|OQ |＝ －12＋－22＝5，得sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2.[例2] 确定下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π 3；(3)tan 191°－cos 191°；(4)sin 3·cos 4·tan 5.[思路点拨] 角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号．[精解详析] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°<0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°>0.从而tan 108°·cos 305°<0，∴式子符号为负．(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角．∴cos 5π6<0，tan 11π6<0，sin 2π3>0.从而cos 5π6·tan11π6sin2π3>0.∴式子符号为正． (3)∵191°是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0. ∴tan 191°－cos 191°>0. ∴式子符号为正．(4)∵π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. ∴sin 3·cos 4·tan 5>0. ∴式子符号为正．[一点通] 对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理．4．判断下列各式的符号： (1)sin 105°·cos 230°；(2)cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3.解：(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin 105°＞0，cos 230°＜0. 于是sin 105°·cos 230°＜0. (2)∵π2＜3＜π，∴3是第二象限角，∴cos 3＜0，又－2π3是第三象限角，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＞0， ∴cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＜0.5．已知sin α·tan α>0，则α是第几象限角？解：∵sin α·tan α>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，tan α>0，或⎩⎪⎨⎪⎧sin α<0，tan α<0.当sin α>0，且tan α>0时，α为第一象限角； 当sin α<0，且tan α<0时，α为第四象限角． ∴α为第一、四象限角.[例3] 分别作出2π3和4π5的正弦线、余弦线和正切线，并比较sin 2π3与sin 4π5，cos2π3与cos 4π5，tan 2π3与tan 4π5的大小．[思路点拨] 作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；比较三角函数值的大小时依据三角函数线的长度和正负．[精解详析] 在直角坐标系中作单位圆如图，以Ox 轴正方向为始边作2π3的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox 轴，垂足为M ，由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 轴的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT .同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.由图形可知：MP >M ′P ′，符号相同⇒sin 2π3>sin 4π5，OM >OM ′，符号相同⇒cos2π3>cos 4π5，AT <AT ′， 符号相同⇒tan 2π3<tan 4π5.[一点通] 利用三角函数线比较三角函数值的大小，关键在于准确作出正弦线、余弦线、正切线，并注意它们为有向线段，方向代表三角函数值的符号，然后结合图形作出判断．6．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________． 解析：在同一单位圆中画出三个角的正弦线作出比较可得． 答案：sin 1.5>sin 1.2>sin 17．利用三角函数线，求满足下列条件的角x 的集合． (1)sin x ≤12； (2)cos x ＜32.解：(1)利用角x 的正弦线，作出满足sin x ≤12的角x 的终边所在位置的范围．如图(1)的阴影部分，由图形得角x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－7π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .(2)利用角x 的余弦线，作出满足cos x ＜32的角x 的终边所在位置的范围，如图(2)的阴影部分，由图形得角x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6＜x ＜2k π＋11π6，k ∈Z .1．准确理解三角函数的定义根据三角函数的定义，各三角函数值的大小与在终边上所取的点的位置无关，只与角α的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．定义中的α是任意角，但对于一个确定的角，只要各个三角函数有意义，其值就是唯一的．2．确定三角函数的符号根据三角函数的定义可知，正弦值、余弦值的符号分别取决于纵坐标y 、横坐标x 的符号；正切值则是纵坐标y 、横坐标x 同号时为正，异号时为负．3．三角函数线的应用三角函数线的方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可以看出三角函数值的绝对值大小．课下能力提升(三)一、填空题1．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝________.解析：∵α是第三象限角， ∴sin α＜0，cos α＜0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0.答案：0 2．有下列命题：(1)若sin α>0，则α是第一、二象限的角； (2)若α是第一、二象限角，则sin α>0； (3)三角函数线不能取负值；(4)若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2.其中正确的序号是________．解析：只有(2)正确；∵sin π2＝1>0，但π2不是第一、二象限角，∴(1)不正确；三角函数线是三角函数值的几何表示，其数量可正可负，也可为0，∴(3)不正确；(4)应是cos α＝x x 2＋y 2(∵α是第二象限角，已有x <0)，∴(4)不正确．答案：(2)3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则α的取值范围是________．解析：由cos α≤0及sin α＞0知角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上．故⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3.答案：(－2,3]4．角α的终边上有一点P (a,4)，且tan α＝43，则3sin α－2cos α的值为________． 解析：∵tan α＝43，∴a ＝3.∴r ＝32＋42＝5，sin α＝45，cos α＝35，∴3sin α－2cos α＝125－65＝65.答案：655．依据三角函数线，作出如下四个判断： ①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4； ③tan π8>tan 3π8；④sin 3π5>sin 4π5.其中判断正确的有________．解析：分别作出各角的三角函数线，可知：sin π6＝－sin 7π6，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4，tanπ8<tan 3π8，sin 3π5>sin 4π5，∴②④正确． 答案：②④ 二、解答题6．已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的正半轴，若角α终边过点P (－3，y )，且sinα＝34y (y ≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α的值． 解：依题意，P 到原点O 的距离r ＝|OP |＝－32＋y 2＝3＋y 2. ∴sin α＝y r＝y3＋y2＝34y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16. ∴y 2＝73，y ＝±213.∴点P 在第二或第三象限， 且cos α＝－33＋y2＝－33＋73＝－34.7．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝4t2＋－3t2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t4t＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.8．已知π4<θ<π2，试用三角函数线比较sin θ，cos θ，tan θ的大小．解：如图，在单位圆中作出正弦线、余弦线、正切线， sin θ＝MP >0, cos θ＝OM >0， tan θ＝AT >0，由图知OM <MP <AT ， 即cos θ<sin θ<tan θ.第2课时 同角三角函数关系若角α的终边与单位圆交于P (x ，y )，如图．问题1：角α的三角函数值是什么？ 提示：sin α＝y .cos α＝x .tan α＝y x. 问题2：sin α与cos α有什么关系？ 提示：sin 2α＋cos 2α＝y 2＋x 2＝1.问题3：sin αcos α的值与tan α有什么关系？提示：sin αcos α＝y x＝tan α.同角三角函数的基本关系式平方关系 sin 2_α＋cos 2_α＝1商数关系tan α＝sin αcos α，其中α≠π2＋k π，k ∈Z同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都有意义．所以sin 2α＋cos 2α＝1对于任意角α∈R 都成立，而tan α＝sin αcos α并不是对任意角α∈R 都成立，此时α≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] (1)若sin α＝－45，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；(2)已知tan α＝2，求2sin α－2cos α4sin α－9cos α的值．[思路点拨] 第(1)题应先利用平方关系求余弦，再由商的关系求正切； 第(2)问先把所求式化为只含tan α的代数式，再代入求值． [精解详析] (1)∵sin α＝－45，α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35，tan α＝sin αcos α＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝43.(2)∵tan α＝2， ∴2sin α－2cos α4sin α－9cos α＝2tan α－24tan α－9＝2×2－24×2－9＝－2.[一点通] 已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意： (1)角所在的象限；(2)用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；(3)用商数关系时，不要另加符号，只需用公式tan α＝sin αcos α代入sin α、cos α的值即可求得tan α.1．已知sin α＋cos α＝12，则sin αcos α＝________.解析：∵sin α＋cos α＝12，∴(sin α＋cos α)2＝14，即1＋2sin αcos α＝14.∴sin αcos α＝－38.答案：－382．若sin θ－cos θ＝2，则tan θ＋1tan θ＝__________.解析：由已知得(sin θ－cos θ)2＝2， ∴sin θcos θ＝－12.∴tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝－2. 答案：－23．若cos α＝513，求sin α和tan α.解：∵cos α＝513>0，∴α是第一或第四象限角．当α是第一象限角时，sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝125；当α是第四象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－5132＝－1213.∴tan α＝sin αcos α＝－125.4．保持本例(2)的条件不变，求4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α的值． 解：4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.[例2] 化简：tan α＋tan αsin αtan α＋sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α·sin α1＋sin α. [思路点拨] 采用切化弦，减少函数种类，以达到化简的目的． [精解详析]原式＝tan α1＋sin αtan α＋sin α·1＋cos αcos α·sin α1＋sin α＝sin αcos αsin αcos α＋sin α·1＋cos αcos α· sin α＝11＋cos α·1＋cos αcos α·sin α＝sin αcos α＝tan α.[一点通] 化简三角函数式的常用方法：(1)切化弦，即把非正、余弦函数都化成正、余弦函数，从而减少函数种类以便化简． (2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的．5.sin θ－cos θtan θ－1＝________.解析：sin θ－cos θtan θ－1＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝sin θ－cos θsin θ－cos θcos θ＝cos θ.答案：cos θ6．化简1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为________． 解析：原式＝sin 210°－2 sin 10°cos 10°＋cos 210°sin10°－cos 210° ＝sin 10°－cos 10°2sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. 答案：－17．若3π2＜α＜2π，化简：1－cos α1＋cos α＋1＋cos α1－cos α.解：∵3π2＜α＜2π，∴0＜cos α＜1，－1＜sin α＜0，∴原式＝ 1－cos α21＋cos α1－cos α＋1＋cos α21－cos α1＋cos α＝1－cos α21－cos 2α＋1＋cos α21－cos 2α＝ （1－cos α）2sin 2α＋ （1＋cos α）2sin 2α ＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α＝－2sin α.[例3] 求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ. [思路点拨] 从较复杂的一边入手，采用切化弦的方式，即把左边的正切值用tan θ＝sin θcos θ替换． [精解详析] 左边＝sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin θcos θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos θsin θ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θcos θ＋cos θ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ＋cos 2θsin θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ＋cos 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边． ∴原式成立．[一点通] 证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有： (1)从一边开始证明它等于另一边； (2)证明左右两边都等于同一个式子；(3)变更论证，采用左右相减，化除为乘等方法，转化成与原结论等价的命题形式．8．求证：1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan x1－tan x.证明：法一：右边＝1＋sin x cos x 1－sin x cos x＝cos x ＋sin xcos x －sin x＝cos x ＋sin x2cos x －sin x cos x ＋sin x＝cos 2x ＋sin 2x ＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝左边，∴原式成立． 法二：左边＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos xcos 2x －sin 2x ＝sin x ＋cos x 2cos x ＋sin x cos x －sin x ＝sin x ＋cos xcos x －sin x＝tan x cos x ＋cos x cos x －tan x cos x ＝1＋tan x1－tan x＝右边，∴原式成立．9．求证：sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α.证明：左边＝sin α－cos α＋1sin α＋cos α＋1sin α＋cos α－1sin α＋cos α＋1＝sin α＋12－cos 2αsin α＋cos α2－1＝sin 2α＋2sin α＋1－cos 2α1＋2sin αcos α－1＝2sin α1＋sin α2sin αcos α＝1＋sin αcos α＝右边．∴原等式成立．1．对同角三角函数的基本关系式的理解“同角”有两层含义，一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关．如：sin 23α＋cos 23α＝1，tan α2＝sinα2cosα2.2．同角三角函数的基本关系式的应用(1)应用同角三角函数关系式时，应灵活选择和使用．如cos 2α＝1－sin 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos α＝sin αtan α，sin α＝tan α·cos α等，上述关系都必须在定义域允许的范围内才成立．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外的三角函数值，且因为利用“平方”关系公式，最终需求平方根，会出现两解，所以要注意角所在的象限．这类问题通常会出现以下这几种情况：①如果已知三角函数值，且角的象限已被指定，那么只有一组解；②如果已知三角函数值，但没有指定角所在的象限，那么先由三角函数值确定角所在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解；③如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角所在的象限，则需要分类讨论．课下能力提升(四)一、填空题 1．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m ＝________. 解析：∵sin 2θ＋cos 2θ＝1， ∴⎝⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1.即(m －3)2＋(4－2m )2＝(m ＋5)2，∴4m 2－32m ＝0. ∴m ＝0或m ＝8 答案：0或82．若sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，则tan α＝________.解析：∵sin α＋cos α2sin α－cos α＝2，∴tan α＋12tan α－1＝2.∴tan α＋1＝4tan α－2 即3tan α＝3，∴tan α＝1. 答案：13．化简：cos 4α＋sin 2α·cos 2α＋sin 2α＝________. 解析：cos 4α＋sin 2αcos 2α＋sin 2α ＝cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＋sin 2α ＝cos 2α＋sin 2α＝1.答案：14．已知tan α＝m (π＜α＜3π2)，则sin α＝________.解析：∵tan α＝m ，π＜α＜3π2.∴m ＞0且sin α＜0.又tan 2α＝sin 2αcos 2α＝sin 2α1－sin 2α＝m 2. ∴sin 2α＝m 21＋m2.∵sin α＜0，∴sin α＝－m1＋m2.答案：－m1＋m25．若角α的终边在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝________. 解析：∵sin α1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α. 又角α的终边落在x ＋y ＝0上， 故角α的终边在第二、四象限． 当α在第二象限时， 原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0，当α在第四象限时， 原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0.答案：0 二、解答题6．已知tan x ＝2，求： (1)cos x ＋sin x cos x －sin x 的值； (2)23sin 2x ＋14cos 2x 的值． 解：(1)cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x 1－tan x ＝1＋21－2＝－3.(2)23sin 2x ＋14cos 2x ＝23sin 2x ＋14cos 2xsin 2x ＋cos 2x＝23tan 2x ＋14tan 2x ＋1＝23×4＋144＋1＝712. 7．求证：tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.证明：法一：左边＝sin 2αsin α－sin α cos α＝sin α1－cos α，右边＝sin α＋sin α cos αsin 2α＝1＋cos αsin α， 而sin 2α＝1－cos 2α， ∴sin α1－cos α＝1＋cos αsin α，故左边＝右边，∴原式成立．法二：tan α·sin αtan α－sin α－tan α＋sin αtan α·sin α＝tan 2αsin 2α－tan 2α－sin 2αtan α－sin αtan αsin α＝tan 2αsin 2α－1＋sin 2αtan α－sin αtan αsin α＝－tan 2αcos 2α＋sin 2αtna α－sin αtan αsin α＝－sin 2α＋sin 2αtan α－sin αtan αsin α＝0，∴tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.8．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15.求sin x －cos x 的值．解：法一：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，∴sin x －cos x <0， ∴sin x －cos x ＝－75.法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15 ①，sin 2x ＋cos 2x ＝1 ②，由①得sin x ＝15－cos x ，将其代入②，整理得25cos 2x －5cos x －12＝0， 解得cos x ＝－35，或cos x ＝45.∵－π2<x <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos x ＝45，sin x ＝－35，∴sin x －cos x ＝－75.第3课时 三角函数的诱导公式一～四对于任意角α.问题1：2k π＋α(k ∈Z )与α的三角函数之间有什么关系？提示：由于α与2k π＋α(k ∈Z )的终边相同，所以三角函数值对应相等．问题2：观察下图，角π－α，π＋α，－α的终边与角α的终边之间有什么关系？你能利用它们与单位圆的交点的坐标之间的关系推导出它们的三角函数之间的关系吗？提示：π－α，π＋α，－α的终边与α的终边分别关于y 轴，坐标原点，x 轴对称．能.诱导公式角的终边间关系公式公式一终边相同sin(α＋2k π)＝sin_α(k ∈Z )cos(α＋2k π)＝cos_α(k ∈Z ) tan(α＋2k π)＝tan_α(k ∈Z )公式二终边关于x 轴对称sin(－α)＝－sin_αcos(－α)＝cos_α tan(－α)＝－tan_α 公式三终边关于y 轴对称sin(π－α)＝sin_αcos(π－α)＝－cos_α tan(π－α)＝－tan_α 公式四终边关于原点对称sin(π＋α)＝－sin_αcos(π＋α)＝－cos_α tan(π＋α)＝tan_α公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：(1)记忆方法：2k π＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，一句话概括：即“函数名不变，符号看象限”．(2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sin α.[例1] 求下列各三角函数式的值：(1)sin 1 320°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6；(3)tan(－945°)． [思路点拨] 利用诱导公式进行化简求值．[精解详析] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)法一：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－cos π6＝－32. 法二：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan 945° ＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°) ＝－tan 45°＝－1.[一点通] 此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．要准确记忆特殊角的三角函数值．1．tan 690°的值为________．解析：tan 690°＝tan(720°－30°)＝－tan 30°＝－33. 答案：－332．cos 29π6＝________.解析：cos 29π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos(⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.答案：－323．求下列各式的值： (1)sin π4cos 19π6tan 21π4；(2)3sin(－1 200°)tan 19π6－cos 585°tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－37π4.解：(1)原式＝sin π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋7π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π4＝22cos 7π6tan π4 ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝22(－cos π6) ＝－22×32＝－64. (2)原式＝－3sin(4×360°－240°)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6－cos(360°＋225°)⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan 37π4＝－3sin(－240°)tan π6－cos 45°tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π＋π4＝3×33sin(180°＋60°)－22tan π4 ＝－3×33sin 60°－22＝－2＋32.[例2] 化简下列各式：(1)cos π＋α·sin α＋2πsin －α－π·cos －π－α； (2)cos 190°·sin －210°cos －350°·tan －585°. [思路点拨] 利用诱导公式一、二、四将函数值化为α角的三角函数值或锐角的三角函数值，再约分化简．[精解详析] (1)原式＝－cos α·sin α－sin α＋π·cos π＋α＝－cos α·sin αsin α·－cos α＝1.(2)原式＝cos 190°·－sin 210°cos 350°·－tan 585°＝cos 180°＋10°·sin 180°＋30°cos 360°－10°·tan 360°＋225°＝－cos 10°·－sin 30°cos 10°·tan 225°＝sin 30°tan 180°＋45°＝sin 30°tan 45°＝12.[一点通] 三角函数式的化简有如下方法：(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.4．化简：sin540°＋α·cos －αtan α－180°＝____________.解析：sin 540°＋α·cos －αtan α－180°＝sin[360°＋180°＋α]cos α－tan 180°－α＝sin180°＋αcos αtan α＝－sin αcos αtan α＝－sin αcos αcos αsin α＝－cos 2α.答案：－cos 2α5．设k 为整数，化简：sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α.解：当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )， 原式＝sin 2m π－αcos[2m －1π－α]sin[2m ＋1π＋α]cos 2m π＋α＝sin －αcos π＋αsin π＋αcos α＝－sin α－cos α－sin αcos α＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )， 原式＝sin 2m π＋π－αcos 2m π－αsin[2m ＋2π＋α]cos[2m ＋1π＋α]＝sin π－αcos －αsin αcos π＋α＝sin αcos αsin α－cos α＝－1.综上可知，当k 为整数时sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α＝－1.6．若sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求sin π－α＋5cos 2π－α3cos π－α－sin －α的值．解：由sin(α－π)＝2cos(2π－α)， 得－sin α＝2cos α，所以tan α＝－2.所以原式＝sin α＋5cos α－3cos α＋sin α＝tan α＋5－3＋tan α＝－2＋5－3＋－2＝－35.[例3] 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝3cos x －1； (2)g (x )＝x 3sin x ；(3)h (x )＝sin 2(π＋x )＋cos(π－x )cos(－x )－3. [思路点拨](1)判断函数的定义域是否关于原点对称． (2)通过判断f (－x )与f (x )的关系得出结论． [精解详析] (1)∵x ∈R ，又f (－x )＝3cos(－x )－1＝3cos x －1＝f (x )， ∴f (x )为偶函数． (2)∵x ∈R ，又g (－x )＝(－x )3sin(－x )＝x 3sin x ＝g (x )， ∴g (x )为偶函数．(3)∵x ∈R ，h (x )＝sin 2x －cos 2x －3， 又h (－x )＝sin 2x －cos 2x －3＝h (x )， ∴h (x )为偶函数．[一点通] 根据诱导公式可知，正弦函数f (x )＝sin x 为奇函数，余弦函数y ＝cos x 为偶函数，正切函数y ＝tan x 为奇函数．7．函数y ＝cos(sin x )的奇偶性为________． 解析：令f (x )＝cos(sin x )，则f (－x )＝cos[sin(－x )]＝cos(－sin x ) ＝cos(sin x )＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．答案：偶函数8．若函数f (x )＝2cos 3x －sin 2x ＋π－2cos －x －π＋12＋2cos 27π＋x ＋cos －x ，(1)求证：y ＝f (x )是偶函数；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值． 解：(1)证明：∵f (x )＝2cos 3x －sin 2x ＋2cos x ＋12＋2cos 2x ＋cos x ＝2cos 3x －1－cos 2x ＋2cos x ＋12＋2cos 2x ＋cos x ＝2cos 3x ＋cos 2x ＋2cos x 2＋2cos 2x ＋cos x＝cos x 2cos 2x ＋cos x ＋22cos 2x ＋cos x ＋2＝cos x ， 即f (x )＝cos x ，x ∈R .则f (－x )＝cos(－x )＝cos x ＝f (x )， ∴y ＝f (x )是偶函数． (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.诱导公式的应用利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意负角的三角函数――→用公式一或二 任意正角的三角函数――→用公式一0～2π的角的三角函数――→用公式三或四锐角三角函数 可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想．可以简单记为“负化正，大化小，化成锐角再求值”．课下能力提升(五)一、填空题1．sin 480°的值等于________． 解析：sin 480°＝sin(360°＋120°) ＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝32. 答案：322．化简：cos －αtan 7π＋αsin π＋α＝________.解析：原式＝cos α·tan π＋αsin π＋α＝cos αtan α－sin α＝sin α－sin α＝－1.答案：－13．已知cos(π＋α)＝－12，3π2＜α＜2π，则sin(2π－α)的值是________．解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，又3π2＜α＜2π，∴sin α＝－32， ∴sin(2π－α)＝－sin α＝32. 答案：324．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：∵cos(508°－α)＝1213，∴cos[360°＋(148°－α)]＝1213，即cos(148°－α)＝1213.∴cos(212°＋α)＝cos[360°－(148°－α)] ＝cos(148°－α)＝1213.答案：12135．设函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数，且满足f (2 013)＝－1，则f (2 014)的值为________．解析：∵f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＝－1， ∴f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β) ＝a sin[π＋(2 013π＋α)]＋b cos[π＋(2 013π＋β)] ＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝1. 答案：1 二、解答题 6．求值：(1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)． 解：(1)∵cos 25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝cos π3＝12， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋－4π＝tan π4＝1，∴cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(60°＋360°)cos(30°＋2×360°)＋sin[30°＋(－2)×360°]cos[60°＋(－2)×360°]＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60° ＝32×32＋12×12＝1. 7．已知sin(3π＋θ)＝14，求cos π＋θcos θ[cos π＋θ－1]＋cos θ－2πcos θ＋2πcos π＋θ＋cos －θ的值．解：sin(3π＋θ)＝－sin θ，∴sin θ＝－14.原式＝－cos θcos θ－cos θ－1＋cos θcos θ－cos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2 θ＝32. 8．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角．求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．解：∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin(105°－α)＝－sin[180°－(75°＋α)]＝－sin(75°＋α)．又cos(75°＋α)＝13>0，α为第三象限角，可知角75°＋α为第四象限角， 则有sin(75°＋α)＝－1－cos 275°＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223.∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－13＋223＝22－13.第4课时 三角函数的诱导公式五～六如图，设角α，π2－α，π2＋α的终边分别与单位圆交于P 1，P 2，P 3.问题1：若点P 1的坐标为(x ，y )，那么P 2，P 3的坐标分别是什么？ 提示：P 2(y ，x )，P 3(－y ，x )．问题2：你能根据P 1，P 2，P 3的坐标间的关系得出α，π2－α，π2＋α的三角函数之间的关系吗？提示：根据三角函数的定义可求出α，π2－α，π2＋α的三角函数值，从而可推出它们之间的关系．诱导公式角的终边间关系 公式公式五 角的终边关于y ＝x 对称sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin_α 公式六π2＋α的终边与π2－α的终边关于y 轴对称 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos_α cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin_α诱导公式五～六的巧记方法π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号看象限”．[例1] 化简：tan 3π－αsin π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋sin 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos 2π＋α.[思路点拨] 充分利用诱导公式及同角三角函数的基本关系进行化简． [精解详析] ∵tan(3π－α)＝－tan α， sin(π－α)＝sin α，sin(2π－α)＝－sin α，cos (2π＋α)＝cos α， sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α， sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＝－cos α， ∴原式＝－tan αsin α－cos α＋－sin α－sin α－cos α·cos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1. [一点通] (1)本题化简主要采用“异角化同角，导名化同名”的解题策略． (2)注意同角三角函数关系的应用，如sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α等．1．化简sin(π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos(π＋α)＝________.解析：原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－(sin 2α＋cos 2α)＝－1. 答案：－12．化简：sin π－α·cos π＋α·co s ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos 3π－α·sin 3π＋α·si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＝________.解析：原式＝sin α·－cos α·sin α－cos α·－sin α·cos α＝－tan α.答案：－tan α3．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan π－αtan －α－πsin －α－π.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－tan αtan π＋α·sin π＋α＝－cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·－tan αtan α·－sin α＝cos α·sin α－sin α＝－cos α.(2)由于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin α＝15，所以sin α＝－15.又α是第三象限角， 所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265，故f (α)＝－cos α＝265.[例2]若sinα＝55，求cos3π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2－αcos 3π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α的值．[思路点拨] 可利用诱导公式首先把所求式进行化简，使化简的结果与已知条件sin α＝55建立联系，最后求得数值． [精解详析]cos 3π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α－1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2－αcos 3π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2＋α＝cos[2π＋π－α]cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π2＋α－1＋sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos π＋αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos αcos α－cos α－1＋cos α－cos αcos α＋cos α＝11＋cos α＋11－cos α＝2sin 2α. ∵sin α＝55，∴2sin 2α＝10. 即原式＝10.[一点通] (1)利用公式五、六化简时一定要注意符号的准确性及名称的变化． (2)求值时整体把握角与角之间的相互关系及恒等变形，这是常用的解题策略．4．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，则sin(3π－α)＝________.解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，∴－sin α＝12，即sin α＝－12.∴sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝－12.答案：－125．已知sin 2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝1，求3sin 2θ＋3sin θ cos θ＋2cos 2θ的值． 解：∵sin 2π＋θtan π＋θtan 3π－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θtan －π－θ＝sin θtan θtan π－θ－sin θtan π＋θ＝－sin θtan 2θ－sin θtan θ ＝tan θ＝1. ∴3sin 2θ＋3sin θ cos θ＋2cos 2θ＝3sin 2θ＋3cos 2θsin 2θ＋3sin θcos θ＋2cos 2θ ＝3tan 2θ＋3tan 2θ＋3tan θ＋2 ＝3＋31＋3＋2＝1.6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．解：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－33， sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－33＋33＝0.[例3] 求证： tan2π－αsin －2π－αcos 6π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α.[思路点拨] 解答本题可直接把左边利用诱导公式进行化简推出右边． [精解详析]左边＝tan －α·sin －α·cos －αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－tan α·－sin α·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α ＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．[一点通] 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活运用，其主要思路是利用诱导公式化同角后，利用同角三角函数关系进行化简证明，可从左边推得右边，也可从右边推得左边．7．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，求证：sinB ＋C2＝cos A2. 证明：∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＋C ＝π－A . ∴B ＋C 2＝π2－A2∴sinB ＋C2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2.8．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2π＋θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. 证明：左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ·－sin θ－11－2sin 2θ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θsin θ－11－2sin 2θ＝－2cos θsin θ－1cos 2θ＋sin 2θ－2sin 2θ ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.右边＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.∴左边＝右边，故原式成立．1．利用诱导公式解决条件求值问题的基本思路 化简条件三角代数式的常见思路有：(1)若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件； (2)若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式； (3)若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止． 2．利用诱导公式证明三角恒等式(1)三角函数式证明的过程也是化简的过程，它是一个经历多次化归，由负角变正角，由大角变小角，一直变到0°～90°角的过程．对同一角的化归方式可以多种多样．(2)证明条件等式，一般有两种方法：一是从被证等式一边推向另一边的适当时候，将条件代入，推出被证式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法．课下能力提升(六)一、填空题1．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos(－α)＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α2．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝________.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.答案：－2。

高中数学第1章三角函数1.1.1 任意角温故知新苏教版必修4
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1.1。

1 任意角
温故知新
新知预习
1.按逆时针方向旋转所形成的角叫做______________.
2。

按顺时针方向旋转所形成的角叫做______________.
3。

如果射线没有任何旋转,那么也把它看成一个角叫做。

______________
4。

角的终边（除端点外)在第几象限，就说这角是______________角。

知识回顾
1.我们已经学过了一些角，如锐角、钝角、直角、平角、周角,利用这些角，我们已能表示圆周上某些点.
2.锐角0°＜α＜90°，直角α=90°，钝角90°＜α＜180°,平角180°，周角360°.。

[学业水平训练]1．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．解析：因为α是第三象限角，所以k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°(k ∈Z )，所以－k ·360°－90°<180°－α<－k ·360°(k ∈Z )，所以－(k ＋1)·360°＋270°<180°－α<－(k ＋1)·360°＋360°(k ∈Z )，所以180°－α为第四象限角． 答案：四2．角α的终边经过点P (2，－3)，则角α是第________象限角．解析：P 点在第四象限，所以α是第四象限角．答案：四3．若α为第二象限角，则－α2是第________象限角． 解析：因为α为第二象限角，所以α2为第一或第三象限角．又因为－α2与α2关于x 轴对称，所以－α2是第二或第四象限角．答案：二或四4．今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期________，第50天是星期________．解析：每周有7天，27＝3×7＋6，故27天后的那一天是星期一；50＝7×7＋1，故第50天是星期二． 答案：一 二5．(2014·南阳高一检测)与2 014°角的终边相同的最小正角是________．解析：与2 014°角的终边相同的角为2 014°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝－5时，214°为最小正角． 答案：214°6．(2014·杭州高一检测)设集合M ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，N ＝{α|－180°＜α＜180°}，则M ∩N 等于________．解析：当k ＝0时，α＝－36°；当k ＝1时，α＝54°；当k ＝2时，α＝144°；当k ＝－1时，α＝－126°.所以M ∩N ＝{－36°，54°，－126°，144°}．答案：{－36°，54°，－126°，144°}7．在[0°，360°)范围内，找出与－1 240°角终边相同的角，并判断它是第几象限角．解：∵－1 240°＝－4×360°＋200°，∴在[0°，360°)范围内与－1 240°角终边相同的角是200°角．又200°角是第三象限角，∴－1 240°角也是第三象限角．8．已知α＝－315°.(1)将α写成k ·360°＋β(0°≤β＜360°，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1 080°＜θ＜－360°.解：(1)∵－315°＝－360°＋45°，∴α表示第一象限角．(2)与－315°终边相同的角为k ·360°－315°(k ∈Z )．令－1 080°＜k ·360°－315°＜－360°(k ∈Z )，解得－2.125＜k ＜－0.125(k ∈Z )．∵k ∈Z ，∴k ＝－2或－1.将k 值分别代入k ·360°－315°中，即得所求角为－1 035°或－675°.[高考水平训练]1．角α与β的始边都是x 轴的正半轴，终边关于y 轴对称，则用β表示角α为________．解析：角α与β的终边关于y 轴对称．则α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以α＝2k π＋π－β，k ∈Z .答案：α＝2k π＋π－β，k ∈Z2．自行车大链轮有48齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是________．解析：大链轮转动一周，小链轮转4820＝2.4周，角度为2.4×360°＝864°. 答案：864°3．已知集合A ＝{α|k ·180°＋45°＜α＜k ·180°＋60°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°－55°＜β＜k ·360°＋55°，k ∈Z }．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A ∩B .解：(1) (2)(3)由(1)(2)知A ∩B ＝{α|k ·360°＋45°＜α＜k ·360°＋55°，k ∈Z }．4. 如图，点A 在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx ＝45°.点P 从点A 出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P 在1 s 内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2s 到达第三象限，经过14 s 后又回到出发点A ，求角θ并判定其终边所在的象限．解：由题意，得 14θ＋45°＝45°＋k ·360°，k ∈Z ，则θ＝k·180°7，k ∈Z .又180°<2θ＋45°<270°，即67.5°<θ<112.5°，则67.5°<k·180°7<112.5°，k ∈Z ，所以k ＝3或k ＝4.故θ＝540°7或θ＝720°7.易知0°<540°7<90°，90°<720°7<180°，故角θ的终边在第一或第二象限．。

1．1.1 任意角教学过程导入新课思路1.(情境导入)如图1，在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机，只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品．由此发问：指针怎样旋转，旋转多少度才能赢？还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度，自行车车轮旋转的角度，螺丝扳手的旋转角度，这些角度都怎样解释？在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广．进而引入角的概念的推广的问题．图1思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？用这些角怎样解释现实生活的一些现象，比如你原地转体一周的角度，应怎样修正角的定义才能解释这些现象？由此让学生展开讨论，进而引入角的概念的推广问题．推进新课新知探究提出问题①你的手表慢了5分钟，你将怎样把它调整准确？假如你的手表快了1.25小时，你应当怎样将它调整准确？当时间调整准确后，分针转过了多少度角？②体操运动中有转体两周，在这个动作中，运动员转体多少度？③请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立，做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中，他们各转体了多少度？活动：让学生到讲台利用准备好的教具——钟表，实地演示拨表的过程．让学生站立原地做转体动作．教师强调学生观察旋转方向和旋转量，并思考怎样表示旋转方向．对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，设一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，则形成了一个角α，点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边和终边．我们规定：一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角，为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记作“α”．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，零角的始边和终边重合，如果α是零角，那么α＝0°.讨论结果：①顺时针方向旋转了30°；逆时针方向旋转了450°.②顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.③－180°或＋180°或－540°或＋540°或900°或1 080°……提出问题①能否以同一条射线为始边作出下列角：210°，－45°，－150°.②如何在坐标系中作出这些角，象限角是什么意思？0°角又是什么意思？活动：先让学生看书、思考，并讨论这些问题，教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生，教师提示、引导考虑问题的思路．学生作这样的角，使用一条射线作为始边，没有固定的参照，所以会作出很多形式不同的角．教师可以适时地提醒学生：如果将角放到平面直角坐标系中，问题会怎样呢？并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处：使角的讨论得到简化，还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象．今后我们在坐标系中研究和讨论角，为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．讨论结果：①能．②使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．这样：210°角是第三象限角；－45°角是第四象限角；－150°角是第三象限角．特别地，终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限，比如0°角．可以借此进一步设问：锐角是第几象限角？钝角是第几象限角？直角是第几象限角？反之如何？将角按照上述方法放在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一一条终边与之对应，反之，对于直角坐标系中的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？提出问题①在直角坐标系中标出210°，－150°的角的终边，你有什么发现？它们有怎样的数量关系？328°，－32°，－392°角的终边及数量关系是怎样的？终边相同的角有什么关系？②所有与α终边相同的角，连同角α在内，怎样用一个式子表示出来？活动：让学生从具体问题入手，探索终边相同的角的关系，再用所准备的教具或是多媒体给学生演示象限角、终边相同的角，并及时地引导：终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系，从而为终边相同的角的表示作好准备．为了使学生明确终边相同的角的表示方法，还可以用教具作一个32°角，放在直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，形成－32°角后提问学生这是第几象限角？是多少度角？学生对后者的回答是多种多样的．至此，教师因势利导，予以启发，学生对问题探究的结果已经水到渠成，本节难点得以突破．同时学生也在这一学习过程中，体会到了探索的乐趣，激发起了极大的学习热情，这是比学习知识本身更重要的．讨论结果：①210°与－150°角的终边相同；328°、－32°、－392°角的终边相同．终边相同的角相差360°的整数倍．设S＝{β|β＝－32°＋k·360°，k∈Z}，则328°、－392°角都是S的元素，－32°角也是S 的元素(此时k＝0)．因此，所有与－32°角的终边相同的角，连同－32°在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任何一个元素显然与－32°角终边相同．②所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和．适时引导学生认识：①k∈Z；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．应用示例例1在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角．解：－950°12′＝129°48′－3×360°，所以在0°～360°的范围内，与－950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角．点评：教师可引导学生先估计－950°12′大致是360°的几倍，然后再具体求解．例2写出终边在y轴上的角的集合．活动：终边落在y轴上，应分y轴的正方向与y轴的负方向两个．学生很容易分别写出所有与90°，270°的终边相同的角构成的集合，这时应启发引导学生进一步思考：能否化简这两个式子，用一个式子表示出来．让学生观察、讨论、思考，并逐渐形成共识，教师再规范地板书出来．并强调数学的简捷性．在数学表达式子不唯一的情况下，注意采用简约的形式．解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°和270°角，如图2.图2因此，所有与90°角的终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}．而所有与270°角的终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}．于是，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}．点评：本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示．教学中，应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方法不唯一，要注意采用简约的形式.变式训练①写出终边在x轴上的角的集合．②写出终边在坐标轴上的角的集合．答案：①S＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．②S＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.例3写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．解：如图3，在直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°和225°，因此，终边在直线y＝x上的角的集合图3S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}．S中适合－360°≤β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°，45°－1×180°＝－135°，45°＋0×180°＝45°，45°＋1×180°＝225°，45°＋2×180°＝405°，45°＋3×180°＝585°.点评：本例是让学生表示终边在已知直线上的角，并找出某一范围的所有的角，即按一定顺序取k的值，应训练学生掌握这一方法．例4写出在下列象限角的集合：①第一象限；②第二象限；③第三象限；④第四象限．活动：本题关键是写出第一象限角的集合，其他象限角的集合依此类推即可，如果学生阅读例题后没有解题思路，或者把①中的范围写成0°～90°，可引导学生分析360°～450°范围的角是不是第一象限角呢？进而引导学生写出所有终边相同的角．解：①终边在第一象限的角的集合：{β|n·360°<β<n·360°＋90°，n∈Z}．②终边在第二象限的角的集合：{β|n·360°＋90°<β<n·360°＋180°，n∈Z}．③终边在第三象限的角的集合：{β|n·360°＋180°<β<n·360°＋270°，n∈Z}．④终边在第四象限的角的集合：{β|n·360°＋270°<β<n·360°＋360°，n∈Z}．点评：教师给出以上解答后可进一步提问：以上的解答形式是唯一的吗？充分让学生思考、讨论后形成共识，并进一步深刻理解终边相同的角的意义．知能训练课本本节练习．解答：1.锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角不属于任何一个象限，不属于任何一个象限的角不一定是直角；钝角是第二象限角，但是第二象限角不一定是钝角．点评：要深刻认识锐角、直角、钝角和象限角的区别与联系，并理解记忆．为弄清概念的本质属性，还可以再进一步启发设问：锐角一定小于90°吗？小于90°的角一定是锐角吗？钝角一定大于90°吗？大于90°的角一定是钝角吗？答案当然是不一定．让学生展开讨论，在争论中，将对问题的认识进一步升华，并牢牢地记忆这些基础知识．2．三、三、五．点评：本题的目的是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上．题目联系实际，把教科书中除数360换成每个星期的天数7，利用了“同余”来确定7k天后、7k天前也是星期三，这样的练习难度不大，可以口答．3．(1)第一象限角．(2)第四象限角．(3)第二象限角．(4)第三象限角．点评：能作出给定的角，并判断是第几象限角．4．(1)305°42′，第四象限角．(2)35°8′，第一象限角．(3)249°30′，第三象限角．点评：能在给定的范围内找出与指定角终边相同的角，并判断是第几象限的角．5．(1){β|β＝1 303°18′＋k·360°，k∈Z}，－496°42′，－136°42′，223°18′.(2){β|β＝－225°＋k·360°，k∈Z}，－585°，－225°，135°.点评：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定的范围内找出与指定的角的终边相同的角．课堂小结以提问的方式与学生一起回顾本节所学内容并简要总结：让学生自己回忆：本节课都学习了哪些新知识？你是怎样获得这些新知识的？你从本节课上都学到了哪些数学方法？让学生自己得到以下结论：本节课推广了角的概念，学习了正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法，零角是射线没有作任何旋转．一个角是第几象限角，关键是看这个角的终边落在第几象限，终边相同的角的表示有两方面的内容：(1)与角α终边相同的角，这些角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}；(2)在0°～360°内找与已知角终边相同的角α，其方法是用所给的角除以360°，所得的商为k(k必须是正数)，余数为α，α即为所找的角．数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．作业①课本习题1.1 A组1、3、5.②预习下一节：弧度制．设计感想1．本节课设计的容量较大，学生的活动量也较大，若用信息技术辅助教学效果会很好．教师可充分利用多媒体做好课件，在课堂上演示给学生；有条件的学校，可以让学生利用计算机或计算器进行探究，让学生在动态中掌握知识、提炼方法．2．本节设计的指导思想是加强直观．利用几何直观有利于对抽象概念的理解．在学生得出象限角的概念后，可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处．前瞻性地引导学生体会：在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律，为研究三角函数的周期性奠定基础．3．几点说明：(1)列举不在0°～360°的角时，应注意所有的角在同一个平面内，且终边在旋转的过程中，角的顶点不动．(2)在研究终边相同的两个角的关系时，k 的正确取值是关键，应让学生独立思考领悟．(3)在写出终边相同的角的集合时，可根据具体问题，对相应的集合内容进行复习．备课资料备用习题1．若角α与β终边相同，则一定有( )A ．α＋β＝180°B ．α＋β＝0°C ．α－β＝k ·360°(k ∈Z )D ．α＋β＝k ·360°(k ∈Z )答案：C2．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B 等于( )A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°}答案：C3．在直角坐标系中，若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系是( )A ．β＝α＋90°B ．β＝α±90°C ．β＝α＋90°＋k ·360°(k ∈Z )D ．β＝α±90°＋k ·360°(k ∈Z )答案：D点拨：将角的终边按逆(或顺)时针旋转90°后，知α±90°与角β的终边重合．4．集合Z ＝{x |x ＝(2n ＋1)·180°，n ∈Z }，Y ＝{x |x ＝(4k ±1)·180°，k ∈Z }之间的关系是( )A ．Z YB ．Z YC ．Z ＝YD ．Z 与Y 之间的关系不确定答案：C点拨：先分别将n 和k 赋以不同的整数值，找出角x 的终边，然后再比较．5．已知角θ的终边与168°角的终边相同，则在(0°，360°)范围内终边与θ3角的终边相同的角是__________．答案：56°，176°，296°点拨：根据已知条件有θ＝k ·360°＋168°，k ∈Z ，θ3＝k ·120°＋56°，k ∈Z .又0<k ·120°＋56°<360°，满足条件的k 为0,1,2.6．若集合A ＝{α|k ·180°＋30°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°＋315°<β<k ·360°＋405°，k ∈Z }，求A ∩B .答案：解：B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}．采用数形结合法，在直角坐标系内，分别寻找集合A和集合B中的角的终边所在的区域，终边在这两个区域的公共部分内的角的集合就是A∩B，可以求得A∩B＝{x|30°＋k·360°<x<45°＋k·360°，k∈Z}．7．写出终边在四个象限角平分线上的角的集合．答案：解：终边在四个象限角平分线上的角的集合为{β|β＝n·90°－45°，n∈Z}．。

1．1.1任意角预习课本P2～5，思考并完成以下问题(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？(2)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？(3)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？[新知初探]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：[点睛]对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．[点睛]象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛]对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．()(2)钝角是第二象限的角．()(3)终边相同的角一定相等．()答案：(1)√(2)√(3)×2．与45°角终边相同的角是()A．－45°B．225°C．395°D．－315°答案：D3．下列说法正确的是()A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角答案：A4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．答案：－25°395°[典例]下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A 错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B 错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C 正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D 错误．[答案] C[活学活用]如图，射线OA 绕端点O 旋转90°到射线OB 的位置，接着再旋转－30°到OC 的位置，则∠AOC 的度数为________．解析：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝90°＋(－30°)＝60°. 答案：60°[典例] 写出与75°角终边相同的角β的集合，并求在360°≤β<1 080°范围内与75°角终边相同的角．[解] 与75°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k ·360°＋75°，k ∈Z}． 当360°≤β<1 080°时，即360°≤k ·360°＋75°<1 080°，解得1924≤k <21924.又k ∈Z ，所以k ＝1或k ＝2. 当k ＝1时，β＝435°；当k ＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角．分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．解：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}.[典例]并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解]作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．若α是第四象限角，则180°－α一定在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵α与－α的终边关于x 轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角． 而180°－α可看成－α按逆时针旋转180°得到，∴180°－α是第三象限角.[典例] 已知α是第二象限角，求角α2所在的象限． [解] 法一：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)．∴k 2·360°＋45°<α2<k 2·360°＋90°(k ∈Z)． 当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z)，得n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°， 这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°， 这表明α2是第三象限角． ∴α2为第一或第三象限角．法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正向的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2的终边所在的区域，故α2为第一或第三象限角． [一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)．∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角α2是第几象限角？解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．层级一学业水平达标1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216°－144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z}，回答下列问题：(1)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k ·90°<360°，则－133<k <113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k ·360°，k ∈Z.层级二 应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )A ．120°＋k ·360°，k ∈ZB ．120°＋k ·180°，k ∈ZC ．240°＋k ·360°，k ∈ZD ．240°＋k ·180°，k ∈Z解析：选B角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是()A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n 表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k ∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。

任意角、弧度任意角.了解任意角的概念..理解象限角的概念及终边相同的角的含义.(重点).掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法.(难点)[基础·初探]教材整理任意角的概念阅读教材前五个自然段的有关内容，完成下列问题.旋转.一条射线角的概念：一个角可以看做平面内从一个位置它的端点绕着到另一个位置所形成的图形..角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：如图--，则α＝，β＝.图--【解析】α是按逆时针方向旋转的，为°，β是按顺时针方向旋转的，为－°.【答案】°－°教材整理象限角与轴线角阅读教材最后一自然段的有关内容，完成下列问题..象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为轴正半轴建立平面直角坐标系.这样，角的终边(除端点外)在第几象限第几象限角.，就说这个角是.轴线角：终边在坐标轴上的角.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()°是第二象限角.( )()－°是第一象限角.( )()第一象限内的角都小于第二象限内的角.( )【解析】()×°是轴线角.()×.－°是第四象限角.()×.如°＞°，而°和°分别是第一、二象限内的角.【答案】()×()×()×教材整理终边相同的角阅读教材“思考”及“例”的有关内容，完成下列问题.与角α终边相同的角的集合为{ββ＝·°＋α，∈}..与°角终边相同的角的集合可表示为.【解析】由终边相同角的表示可知，满足题意的角的集合为{ββ＝·°＋°，∈}.【答案】{ββ＝·°＋°，∈}.将－°化成·°＋α(°≤α<°，∈)的形式是.【解析】设－°＝·°＋α，易得－°＝(－)×°＋°.【答案】(－)×°＋°。