必修4任意角和弧度制练习题整理(可编辑修改word版)

[A 、基础达标]1、－630°化为弧度为（ )A 、－错误!B 、错误!C 、－错误!D 、－错误!解析：选A 、－630°＝－630×错误!＝－错误!、2、若α＝－3,则角α的终边在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限解析:选C 、因为α＝－3≈－3×57、30°＝－171、9°,所以α的终边在第三象限、3、与角23π终边相同的角就是( ) A 、错误!πB 、2k π－错误!π(k ∈Z )C 、2k π－103π（k ∈Z )D 、（2k ＋1)π＋错误!π(k ∈Z ）解析：选C 、选项A 中错误!＝2π＋错误!π，与角错误!π终边相同,故A 错；2k π－错误!π,k ∈Z ，当k ＝1时,得［0，2π)之间的角为错误!π,故与错误!π有相同的终边，B 错;2k π－错误!π，k ∈Z ，当k ＝2时,得[0，2π)之间的角为错误!π，与错误!π有相同的终边,故C 对;（2k ＋1)π＋错误!π,k ∈Z ,当k ＝0时,得[0,2π）之间的角为错误!π，故D 错、4、已知扇形的周长就是3 cm ，面积就是错误! cm 2,则扇形的圆心角的弧度数就是（ )A 、1B 、1或4C 、4D 、2或4解析:选B 、设扇形的半径为r ，弧长为l ，则错误!所以错误!或错误!故|α｜＝错误!＝1或4、5、扇形圆心角为错误!，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ）A 、1∶3B 、2∶3C 、4∶3D 、4∶9解析:选B 、如图,设内切圆半径为r ,则r ＝错误!，所以S 圆＝π·错误!错误!＝错误!，S 扇＝错误!a 2·错误!＝错误!， 所以S 圆S 扇＝错误!、 6、在［－2π，2π]内，与α＝－错误!的终边相同的角为________、解析：与α＝－错误!终边相同的角的集合为P ＝错误!,令k ＝1,2,得β＝－错误!，错误!、答案:－错误!,错误!7、将时钟拨慢了15分钟，则分针转过的弧度数就是________、解析：因为时钟拨慢了15分钟，所以分针逆时针旋转了90°,即分针转过的弧度数为错误!、答案：错误!8、火车站钟楼上有座大钟,这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长就是π3 m,则这座大钟分针的长度为________ m 、解析：因为分针20 min 转过的角为错误!，所以由l ＝αr ，得r ＝错误!＝错误!＝0、5(m ）,即这座大钟分针的长度为0、5 m 、答案：0、59、用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合（含边界)，并判断2 014°就是不就是这个集合的元素、解:因为150°＝错误!π，所以终边落在阴影区域内角的集合为S ＝错误!、因为2 014°＝214°＋5×360°＝错误!＋10π、又错误!π<错误!〈错误!,所以2 014°＝10790π＋10π∈S 、 10、已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径与圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大？最大面积就是多少?解:设扇形圆心角的弧度数为θ（0<θ<2π）,半径为r ，弧长为l ,面积为S ，则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，所以S ＝12lr ＝错误!×（40－2r ）r ＝20r －r 2 ＝－(r －10）2＋100、所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2，这时,θ＝错误!＝错误!＝2 rad 、[B 、能力提升]1、若圆弧长度等于其所在圆的内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为（ ）A 、错误!B 、错误!C 、 3D 、2解析:选C 、如图,设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ,所以圆弧长度为错误!R 的圆心角的弧度数α＝错误!＝错误!、2、集合错误!中的角所表示的范围(阴影部分）就是（ ）解析:选C 、当k 为偶数时，令k ＝2n ，n ∈Z ，则集合可化为错误!,表示的范围为错误!区域；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ,则集合可化为错误!，表示的范围为错误!区域,故选C 、3、若α＝3 rad ，则角α的终边在第________象限，与角α终边相同的角的集合可表示为________、解析：由1 rad ＝错误!°≈57、30°、所以3 rad ≈171、90°、所以α就是第二象限角，与角α终边相同的角的集合为｛β|β＝3＋2k π,k ∈Z }、答案：二 ｛β｜β＝3＋2k π，k ∈Z }4、半径为3 cm,圆心角为120°的扇形面积为________cm 2、解析:因为扇形面积为S ＝错误!lr ＝错误!αr 2,所以S ＝错误!·错误!·32＝3π(cm 2)、答案：3π5、如图，动点P ，Q 从点A （4,0）出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转错误!弧度,求P ,Q 第一次相遇时所用的时间及P ,Q 点各自走过的弧长、解:设P ,Q 第一次相遇时所用的时间就是t ,则t ·π3＋t ·错误!＝2π、解得t ＝4， 所以P ,Q 第一次相遇时所用的时间就是4秒，第一次相遇时点P 已经运动到角错误!·4＝错误!π的终边与圆交点的位置,点Q 已经运动到角－错误!的终边与圆交点的位置，所以点P 走过的弧长为错误!π×4＝错误!π,点Q 走过的弧长为错误!×4＝错误!π×4＝错误!π、6、(选做题)如图所示，已知一长为4 cm ，宽为3 cm 的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木块挡住，使木块底面与桌面成30°角,求点A 走过的总路程及走过的弧所在的扇形的总面积、解：木块的翻滚过程如题图所示、第一面运动时,点A 的路程为错误!,其圆心角∠ACA 1＝错误!,半径为5,弧长错误!＝错误!，所在扇形的面积为错误!π；第二面翻滚时,路程为错误!,圆心角∠A 1B 1A 2＝错误!，半径为3，弧长错误!＝错误!，所在扇形的面积为错误!;第三面翻滚时，A 点在A 2处不动；第四面翻滚时，点A 的路程为错误!,圆心角为∠A 2D 3A 3＝错误!－错误!＝错误!,半径为4，弧长错误!＝错误!,所在扇形的面积为错误!,故总路程为错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!（cm),所在扇形的总面积为错误!＋错误!＋错误!＝错误!(cm 2）、。

§3弧度制,)1、问题导航(1)“1弧度”指的就是“1度的角所对的弧”不？(2)“2 rad”的角终边在第几象限？(3)30°的角化为弧度就是多少？120°就是30°的几倍？其弧度数就是多少？2、例题导读P10例1、通过本例学习,学会把角度换算成弧度,并注意,不要用“rad”的中文名称“弧度”作单位写在数据的后面、试一试:教材P12习题1－3 T1您会不？P10例2、通过本例学习,学会把弧度换算成度,并注意,“度”的单位“°”不能省略、试一试:教材P12习题1－3 T2您会不？1、度量角的单位制(1)角度制规定周角的1360为1度的角,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制、(2)单位圆半径为1的圆称为单位圆、(3)弧度制当半径不同时,同样的圆心角所对的弧长与半径之比就是常数,称这个常数为该角的弧度数、在单位圆中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角、它的单位符号就是rad,读作弧度、这种以弧度作单位度量角的单位制,叫作弧度制、2、弧度数与弧长公式(1)符号:一般地,任一正角的弧度数都就是一个正数;任一负角的弧度数都就是一个负数;零角的弧度数就是0、(2)公式:如图所示,l、r、α分别就是弧长、半径、弧所对的圆心角的弧度数、弧度数公式:|α|＝lr;弧长公式:l＝|α|r;这就就是说,弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积、3、角度制与弧度制的换算(1)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝π180rad≈0、017_45 rad 1 rad＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57、30°＝57°18′(2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系角度数0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度数0π12π6π4π35π12π22π33π45π6角度数 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°弧度数π 7π6 5π4 4π3 3π2 5π3 7π4 11π62π 4、弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制弧长公式 l ＝|n |πr180l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝|n |πr 2360 S ＝|α|2r 2＝12lr注意事项r 就是扇形的半径,n 就是圆心角的角度数 r 就是扇形的半径,α就是圆心角的弧度数,l 就是弧长显然弧度制下的两个公式在形式上都要简单得多,记忆与应用也就更加方便、 注意:在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性,但如果已知角就是以“度”为单位,则应该先化成弧度后再计算、1、判断正误、(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)1弧度指的就是1度的角、( ) (2)周角的大小就是2π、( )(3)弧长为π,半径为2的扇形的圆心角就是直角、( )解析:(1)错误、1弧度指的就是长度等于半径长的弧所对的圆心角、(2)正确、周角的大小就是2πrr＝2π、(3)正确、若弧长为π,半径为2,则|α|＝π2,故其圆心角就是直角、答案:(1)× (2)√ (3)√2、下列转化结果错误的就是( )A 、60°化成弧度就是π3B 、－103π化成度就是－600°C 、－150°化成弧度就是－7π6D 、π12化成度就是15°解析:选C 、对于A ,60°＝60×π180＝π3;对于B ,－103π＝－103×180°＝－600°;对于C ,－150°＝－150×π180＝－5π6;对于D ,π12＝112×180°＝15°、3、已知圆的半径为2,则弧长为4的弧所对的圆心角α(0<α<2π)的弧度数为________、解析:|α|＝l r ＝42＝2、答案:24、若扇形的圆心角为60°,半径为1,则扇形的弧长l ＝________,面积S ＝________、解析:因为α＝60°＝π3,r ＝1,所以l ＝|α|·r ＝π3,S ＝12r ·l ＝12×1×π3＝π6、 答案:π3 π61、对弧度制概念的三点说明(1)“1 rad ”就是指:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小,不就是弧长,这个角就是固定的,与圆的半径的长度无关、(2)引入弧度制后,角的集合与实数建立一一对应关系,我们今后表示角时,多用弧度制表示、(3)表示角时π就就是无理数,它表示一个实数,同1 rad角的大小一样,πrad的角表示:长度等于半径的π倍的圆弧所对的圆心角,在判断有理数表示角的象限,与π比较大小时,有时需要把π化为小数、2、对弧度数计算公式的说明我们常用α＝lr来求解圆中圆心角所对弧度数,一般来说,在圆中弧长就是个正数,故得出的圆心角也为正数、但在平面直角坐标系中,所求的角不一定为正角,所以常常根据需要在角α上添加正负号,故这个求弧度数的公式常常记为|α|＝lr、3、角度与弧度的区别与联系区别(1)定义不同,大小不同(2)单位不同(3)弧度制就是十进制,而角度制就是六十进制联系(1)不管以“弧度”还就是以“度”为单位的角的大小都就是一个与圆的半径大小无关的值,仅与半径与所含的弧这两者的比值有关(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化(3)表示角时,弧度制与角度制不能混用(1)用弧度为单位表示角的大小时,“弧度(rad)”可以省略不写,如果以度(°)为单位表示角的大小时,度(°)不能省略不写、(2)度化为弧度时,应先将分、秒化为度,再化为弧度、(3)有些角的弧度数就是π的整数倍时,如无特别要求,不必把π化成小数、(4)用“弧度”与“度”去度量每个角时,除了零角以外,所得的结果都就是不同的,二者要注意不能混淆、5、角度制与弧度制换算的要点角度与弧度的互化(1)把112°30′化为弧度;(2)将－512πrad化为度、(链接教材P10例1、例2)[解](1)因为1°＝π180rad,所以112°30′＝112、5°＝112、5×π180＝58π、(2)因为1 rad＝⎝⎛⎭⎫180π°,所以－512π＝－512π×⎝⎛⎭⎫180π°＝－75°、方法归纳(1)在进行角度制与弧度制的换算时,抓住关系式π rad ＝180°就是关键、由它可以得到:度数×π180＝弧度数,弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数、(2)特殊角的弧度数与角度数对应值今后常用,应熟记、 (3)在同一个角的表达式中,角度与弧度不能混合使用、1、(1)－690°化为弧度就是( )A 、－5π3B 、－7π3C 、－23π6D 、－13π6(2)①18°＝________ rad; ②67°30′＝________ rad; ③310π rad ＝________度; ④2 rad ≈________度、(保留一位小数)解析:(1)因为1°＝π180 rad ,所以－690°＝－690×π180＝－236π、(2)①18°＝π180×18 rad ＝π10rad;②67°30′＝67、5°＝67、5×π180 rad ＝38π rad;③310π rad ＝310π×⎝⎛⎭⎫180π°＝54°; ④2 rad ≈57、3°×2＝114、6°、答案:(1)C (2)①π10 ②38π ③54 ④114、6用弧度表示终边相同的角(1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式,其中0≤α<2π,并判断它就是第几象限角？(2)若β∈[－4π,0],且β与(1)中α的终边相同,求β、 (链接教材P 12习题1－3T 7)[解] (1)－1 480°＝－749π＝－8π－29π＝－10π＋169π＝2×(－5)π＋169π,其中0≤169π<2π,因为169π就是第四象限角,所以－1 480°就是第四象限角、 (2)由题意知:β＝α＋2k π＝2k π＋169π(k ∈Z ),又因为β∈[－4π,0],所以令k ＝－1,－2得,β1＝－29π,β2＝－209π、本例(1)中的条件“－1 480°”若换为“－855°”,其她条件不变,其结论又如何呢？解:因为－855°＝－855×π180 rad ＝－19π4＝－6π＋5π4,所以－855°与5π4的终边相同、又因为5π4就是第三象限角,所以－855°就是第三象限角、 方法归纳(1)无论用角度制还就是用弧度制来度量角,都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角与它对应、(2)用弧度制表示终边相同角α＋2k π(k ∈Z )时,注意2k π就是π的偶数倍,而不就是π的奇数倍、2、(1)与－660°角终边相同的最小正角就是________、(用弧度制表示)(2)将下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π,k ∈Z )的形式,并指出它们就是第几象限角、 ①－1 725°;②870°、解:(1)因为与角α终边相同的角为α＋k ·360°(k ∈Z ),所以与－660°角终边相同的角就是－660°＋k ·360°(k ∈Z ),其中最小正角就是60°,化为弧度为π3、故填π3、(2)①因为－1 725°＝－5×360°＋75°,所以－1 725°＝－10π＋5π12、所以－1 725°与5π12的终边相同,就是第一象限的角、②870°＝296π＝5π6＋4π,所以－870°与5π6终边相同,就是第二象限角、扇形的弧长与面积公式的应用一条弦的长度等于半径r ,求: (1)这条弦所对的劣弧长;(2)这条弦与劣弧所组成的弓形的面积、[解] (1)如图,半径为r 的⊙O 中弦AB ＝r ,则△OAB 为等边三角形,所以∠AOB ＝π3,则弦AB 所对的劣弧长为π3r 、(2)因为△AOB 就是边长为r 的正三角形,所以S △AOB ＝34r 2, S 扇形OAB ＝12|α|r 2＝12×π3×r 2＝π6r 2,所以S 弓形＝S 扇形OAB －S △AOB ＝π6r 2－34r 2＝⎝⎛⎭⎫π6－34r 2、 方法归纳图形的分解与组合就是解决数学问题的基本方法之一、本例中,把弓形面积瞧成扇形面积与三角形面积的差,即可运用已有知识解决问题、3、(1)设扇形的半径长为2 cm,面积为4 cm 2,则扇形的圆心角的弧度数就是________、 (2)解答下列各题:①已知扇形的面积为1 cm 2,它的周长为4 cm,求它的圆心角;②已知一扇形的圆心角就是72°,半径等于20 cm,求扇形的面积、解:(1)设扇形圆心角的弧度数为α,则扇形面积为S ＝12αr 2＝12α×22＝4,解得α＝2、故填2、(2)①设扇形的弧长为l cm ,半径为r cm ,则l ＝4－2r 、因为S 扇形＝12lr ,所以12(4－2r )r ＝1、解得r ＝1,l ＝2,所以圆心角的弧度数为|α|＝lr ＝2(rad)、②设扇形弧长为l cm ,因为72°＝72×π180＝2π5rad 、所以l ＝|α|r ＝2π5×20＝8π(cm),S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2)、思想方法函数思想的运用已知一个扇形的周长为a ,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求出这个最大值、[解] 设扇形的弧长为l ,半径为r ,圆心角为α, 面积为S 、由已知,得2r ＋l ＝a ,即l ＝a －2r 、所以S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r ＝－⎝⎛⎭⎫r －a 42＋a 216、因为r >0,l ＝a －2r >0,所以0<r <a2、所以当r ＝a 4时,S max ＝a216、此时,l ＝a －2·a 4＝a 2,所以|α|＝lr＝2、故当扇形的圆心角为2 rad 时,扇形的面积取得最大值a 216、[感悟提高] 分析题目所给的有关信息,以扇形的有关知识为载体,选择函数为模型,将实际问题转化为求函数的最值问题、运用二次函数求最值,可更快地解决问题、1、－72°的弧度数就是( )A 、－π3B 、－25πC 、－5π6D 、－5π7解析:选B 、－72°＝－72×π180＝－25π、2、－2312π化为角度为________、解析:－2312π＝－2312π×⎝⎛⎭⎫180π°＝－345°、答案:－345°3、在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角就是________弧度,扇形面积就是________、解析:|α|＝l r ＝128＝32 rad ,S ＝12l ·r ＝12×12×8＝48、答案:3248[A 、基础达标]1、－630°化为弧度为( ) A 、－7π2B 、7π4C 、－7π16D 、－7π4解析:选A 、－630°＝－630×π180＝－7π2、2、若α＝－3,则角α的终边在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限解析:选C 、因为α＝－3≈－3×57、30°＝－171、9°, 所以α的终边在第三象限、3、与角23π终边相同的角就是( )A 、113πB 、2k π－23π(k ∈Z )C 、2k π－103π(k ∈Z )D 、(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )解析:选C 、选项A 中11π3＝2π＋53π,与角53π终边相同,故A 错;2k π－23π,k ∈Z ,当k＝1时,得[0,2π)之间的角为43π,故与43π有相同的终边,B 错;2k π－103π,k ∈Z ,当k ＝2时,得[0,2π)之间的角为23π,与23π有相同的终边,故C 对;(2k ＋1)π＋23π,k ∈Z ,当k ＝0时,得[0,2π)之间的角为53π,故D 错、4、已知扇形的周长就是3 cm,面积就是12cm 2,则扇形的圆心角的弧度数就是( )A 、1B 、1或4C 、4D 、2或4 解析:选B 、设扇形的半径为r ,弧长为l ,则⎩⎨⎧l ＋2r ＝312l ·r ＝12所以⎩⎨⎧r ＝1l ＝1或⎩⎨⎧r ＝12l ＝2故|α|＝lr＝1或4、5、扇形圆心角为π3,半径为a ,则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A 、1∶3B 、2∶3C 、4∶3D 、4∶9解析:选B 、如图,设内切圆半径为r ,则r ＝a3,所以S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫a 32＝πa 29,S 扇＝12a 2·π3＝πa 26, 所以S 圆S 扇＝23、6、在[－2π,2π]内,与α＝－11π3的终边相同的角为________、 解析:与α＝－11π3终边相同的角的集合为P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β|β＝－11π3＋2k πk ∈Z ,令k ＝1,2,得β＝－5π3,π3、答案:－5π3,π37、将时钟拨慢了15分钟,则分针转过的弧度数就是________、解析:因为时钟拨慢了15分钟,所以分针逆时针旋转了90°,即分针转过的弧度数为π2、答案:π28、火车站钟楼上有座大钟,这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长就是π3m,则这座大钟分针的长度为________ m 、解析:因为分针20 min 转过的角为2π3,所以由l ＝αr ,得r ＝lα＝π32π3＝0、5(m),即这座大钟分针的长度为0、5 m 、 答案:0、5 9、用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界),并判断2 014°就是不就是这个集合的元素、解:因为150°＝56π,所以终边落在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β|56π＋2k π≤β≤32π＋2k πk ∈Z 、 因为2 014°＝214°＋5×360°＝107π90＋10π、又56π<107π90<3π2, 所以2 014°＝10790π＋10π∈S 、10、已知一扇形的周长为40 cm,当它的半径与圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大？最大面积就是多少？解:设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),半径为r ,弧长为l ,面积为S , 则l ＋2r ＝40,所以l ＝40－2r ,所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100、所以当半径r ＝10 cm 时,扇形的面积最大,这个最大值为100 cm 2,这时,θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad 、[B 、能力提升]1、若圆弧长度等于其所在圆的内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )A 、π3B 、2π3C 、 3D 、2解析:选C 、如图,设圆的半径为R ,则圆的内接正三角形的边长为3R ,所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR ＝3、2、集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|k π＋π4≤α≤k π＋π2k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)就是( )解析:选C 、当k 为偶数时,令k ＝2n ,n ∈Z ,则集合可化为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2n π＋π4≤α≤2n π＋π2n ∈Z ,表示的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4π2区域;当k 为奇数时,令k ＝2n ＋1,n ∈Z ,则集合可化为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|2n π＋5π4≤α≤2n π＋32πn ∈Z ,表示的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54π32π区域,故选C 、 3、若α＝3 rad,则角α的终边在第________象限,与角α终边相同的角的集合可表示为________、解析:由1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°≈57、30°、所以3 rad ≈171、90°、所以α就是第二象限角,与角α终边相同的角的集合为{β|β＝3＋2k π,k ∈Z }、答案:二 {β|β＝3＋2k π,k ∈Z }4、半径为3 cm,圆心角为120°的扇形面积为________cm 2、解析:因为扇形面积为S ＝12lr ＝12αr 2,所以S ＝12·2π3·32＝3π(cm 2)、答案:3π5、如图,动点P ,Q 从点A (4,0)出发,沿圆周运动,点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度,点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度,求P ,Q 第一次相遇时所用的时间及P ,Q 点各自走过的弧长、解:设P ,Q 第一次相遇时所用的时间就是t ,则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π、解得t ＝4, 所以P ,Q 第一次相遇时所用的时间就是4秒,第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝43π的终边与圆交点的位置,点Q 已经运动到角－2π3的终边与圆交点的位置,所以点P 走过的弧长为43π×4＝163π,点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝23π×4＝83π、6、(选做题)如图所示,已知一长为4 cm,宽为3 cm 的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四面时被一小木块挡住,使木块底面与桌面成30°角,求点A 走过的总路程及走过的弧所在的扇形的总面积、解:木块的翻滚过程如题图所示、第一面运动时,点A 的路程为AA 1︵,其圆心角∠ACA 1＝π2,半径为5,弧长AA 1︵＝5π2,所在扇形的面积为254π;第二面翻滚时,路程为A 1A 2︵,圆心角∠A 1B 1A 2＝π2,半径为3,弧长A 1A 2︵＝3π2,所在扇形的面积为9π4;第三面翻滚时,A 点在A 2处不动;第四面翻滚时,点A 的路程为A 2A 3︵,圆心角为∠A 2D 3A 3＝π2－π6＝π3,半径为4,弧长A 2A 3︵＝4π3,所在扇形的面积为8π3, 故总路程为AA 1︵＋A 1A 2︵＋A 2A 3︵＝5π2＋3π2＋4π3＝16π3(cm),2016高中数学人教A 版必修四第一章 3弧度制 Word 练习题含答案所在扇形的总面积为25π4＋9π4＋8π3＝67π6(cm 2)、。

任意角和弧度制班级 姓名 学号 得分一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( )(A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α (D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( )(A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z}(C){α|α=k ·180°，k ∈Z}(D){α|α=k ·90°，k ∈Z} 3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( )(A) α+β=π （B) α-β=2π (C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( ) (A)3π (B)32π (C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C)6π (D)－6π *6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( )(A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个二.填空题7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为 ，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 .8. -1223πrad 化为角度应为 . 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍. *10.若角α是第三象限角，则2α角的终边在 ，2α角的终边在 . 三.解答题11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？*14.如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x |x =k ·3600+1800, k ∈Z }, {x |x =k ·1800+450,k ∈Z } ;10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在y 三、11.{ α|α=k ·3600+1200或α=k ·3600+3000, k ∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k ·360°，得θ=k ·60°（k ∈Z ）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l =20－2r ,∴S =21lr =21(20-2r )·r =－r 2+10r =-(r -5)2+25∴当半径r =5 cm 时，扇形的面积最大为25 cm 2,此时，α=r l =55220⨯-=2(rad) 14.A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜23π,14分钟后回到原位，∴14θ=2k π,θ=72πk ，且2π<θ<43π，∴ θ=74π或75π。

1.1.2 弧度制1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．23.扇形的面积 S ＝________一、选择题 1．集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1 D ．2sin 13．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于() A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A.π4 B ．－π4 C.34π D ．－34π6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9二、填空题7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______. 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？能力提升13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝l r终边的旋转方向 正数 负数 0 2．2π 360° π 180° π180 ⎝⎛⎭⎫180π° 3.απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计1．A2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.] 3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝612αr 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2α＝1.] 4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]5．D [∵－114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π，∴θ＝－34π.] 6．B [设扇形内切圆半径为r ，则r ＋r sin π6＝r ＋2r ＝a .∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2. S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2. ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.]7．－10π＋74π 解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋74π. 8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25. 9.73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π. 10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π， π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π. 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3，∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角． (2)236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100. ∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad. 13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r .∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r r＝4 2. 14．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R ， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。

知识点一：任意角的表示⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角知识点二：象限角的范围2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z o o o 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z o o o o终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z o终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z o知识点三：终边角的范围3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z o4、已知α是第几象限角，确定()*n n α∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．知识点四：弧度制的转换5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=o ，1180π=o ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo ． 知识点五：扇形8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．例题分析【例1】如果α角是第二象限的角，那么2α角是第几象限的角？说说你的理由。

任意角和弧度制（简答题：容易1，较易8，一般26，较难29，困难30）1、把下列各角用另一种度量制表示出来：；；；.2、如果角的终边经过点，试写出角的集合，并求集合中最大的负角和绝对值最小的角.3、已知扇形的中心角为，扇形所在圆的半径为，若扇形的面积值与周长值的差为，求的最小值及对应的值.4、扇形AOB的周长为8cm，它的面积为3 cm2，求圆心角的大小．5、（本小题满分13分）直角坐标系中，锐角的终边与单位圆的交点为，将绕逆时针旋转到，使，其中是与单位圆的交点，设的坐标为．（Ⅰ）若的横坐标为，求；（Ⅱ）求的取值范围．6、一个半径大于2的扇形，其周长，面积，求这个扇形的半径和圆心角的弧度数.7、一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.8、已知扇形OAB的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求的弧长；(2)求弓形OAB的面积．9、写出如图所示阴影部分的角α的范围．10、如图，动点，从点出发，沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，求，第一次相遇时所用的时间及，点各自走过的弧长．11、已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．（1）；（2）；（3）.12、已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：（I）弧的长；（II）扇形所含弓形的面积 (即阴影面积)．13、一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．14、在角的集合{α|α=k•90°+45°，k∈Z}中：（1）有几种终边不相同的角？（2）有几个适合不等式﹣360°＜α＜360°的角？（3）写出其中是第二象限角的一般表示法．15、已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为.（1）若，，求扇形的弧长.（2）若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积.16、已知一个扇形的半径为，圆心角为，求这个扇形的面积。

姓名，年级：时间：第一章 1.1 1。

1.2【基础练习】1．将1 920°转化为弧度数为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!【答案】D【解析】1 920°＝5×360°＋120°＝5×2π＋错误!＝错误!。

故选D．2．已知扇形的周长为12 cm，面积为8 cm2，则扇形圆心角的弧度数为( ）A．1 B．4C．1或4 D．2或4【答案】C【解析】设扇形的弧长为l,半径为r，则2r＋l＝12，S扇形＝错误!lr＝8,解得r＝4，l＝4或者r＝2，l＝8.∴扇形的圆心角的弧度数是错误!＝1或错误!＝4。

故选C．3．半径为3 cm的圆中，错误!的圆心角所对的弧长为（)A．错误! cm B．错误! cmC．错误! cm D．错误! cm【答案】A【解析】由题意可得圆心角α＝错误!，半径r＝3，∴弧长l＝αr＝错误!×3＝错误!。

故选A．4．下列转化结果错误的是( )A．67°30′化成弧度是错误! rad B．－错误!π化成度是－600°C．－150°化成弧度是错误! rad D．错误!化成度是15°【答案】C【解析】1°＝错误!，对于A，67°30′＝67°30′×错误!＝错误!，A正确;对于B，－错误!π＝－错误!π×错误!°＝－600°，B正确；对于C,－150°＝－错误!×150°＝－错误!π≠错误!π，C错误；对于D，错误!＝错误!×错误!°＝15°，D正确．故选C．5．已知两角和为1弧度且两角差为1°,则这两个角的弧度数分别是________．【答案】错误!＋错误!，错误!－错误!【解析】设两个角的弧度分别为x，y，因为1°＝π180rad，所以有错误!解得错误!即所求两角的弧度数分别为错误!＋错误!，错误!－错误!.6．如图所示，图中公路弯道处的弧长l＝________。

人教新课标A版高中数学必修4 第一章三角函数 1.1任意角和弧度制同步测试一、单选题（共15题；共30分）1.下列角为第二象限角的是（）A. B. C. D.2.化成弧度是（）A. B. C. D.3.与—457°角的终边相同的角的集合是（）A. B.C. D.4.把-495°表示成k×360°+θ(k∈Z)的形式，则θ可以是（）A. -135°B. 45°C. -225°D. 135°5.下列各角中与330°角的终边相同的是()A. 510°B. 150°C. －150°D. －390°6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A. B. 2 C. D.7.时间经过2h，时针转过的角是（）A. B. C. 2π D.8.下列命题正确的是（）A. 第一象限的角一定不是负角B. 小于90°的角一定是锐角C. 钝角一定是第二象限的角D. 终边相同的角一定相等9.化为弧度制为（）A. B. C. D.10.若角α是第二象限的角，则是（）A. 第一象限或第二象限的角B. 第一象限或第三象限的角C. 第二象限或第四象限的角D. 第一象限或第四象限的角11.手表时针走过2小时，时针转过的角度为（）A. 60°B. ﹣60°C. 30°D. ﹣30°12.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A. 2B. sin 2C.D. 2sin 113.在半径不等的两个圆内，1rad的圆心角（）A. 所对的弧长相等B. 所对的弦长相等C. 所对的弧长等于各自的半径D. 所对的弧长为R14.若角α与角β终边相同，则一定有（）A. α+β=180°B. α+β=0°C. α﹣β=k•360°，k∈ZD. α+β=k•360°，k∈Z15.与60°相等的弧度数是（）A. 60πB. 6πC. πD.二、填空题（共5题；共5分）16.50°化为弧度制为________17.将1440°化为弧度，结果是________18.与﹣2015°终边相同的最小正角是________19.855°角的终边在第________ 象限．20.若α是第三象限角，则是第________ 象限角．三、解答题（共5题；共25分）21.把112°30′化成弧度．22.把下列各角的弧度化为角度或把角度化为弧度：（1）﹣135°（2）．23.写出与370°23′终边相同角的集合S，并把S中在﹣720°～360°间的角写出来．24.有小于180°的正角，这个角的9倍角的终边与这个角的终边重合，求这个角的度数．25.你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】终边相同的角【解析】【分析】,的终边是第二象限角。

任意角和弧度制班级姓名学号得分一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角地是 ( )(A) 90°-α(B) 90°+α(C)360°-α(D)180°+α2.终边与坐标轴重合地角α地集合是( )(A){α|α=k·360°，k∈Z}(B){α|α=k·180°+90°，k∈Z}(C){α|α=k·180°，k∈Z}(D){α|α=k·90°，k∈Z}3.若角α、β地终边关于y轴对称，则α、β地关系一定是（其中k∈Z） ( )(A) α+β=π（B) α-β=(C)2α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π4.若一圆弧长等于其所在圆地内接正三角形地边长，则其圆心角地弧度数为 ( ) (A)3π (B)32π (C)3(D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过地弧度数是 ( )(A)3π (B)－3π (C)6π (D)－6π*6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°地角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ，其中正确地命题个数为 ( )(A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二.填空题7.终边落在x 轴负半轴地角α地集合为 ，终边在一、三象限地角平分线上地角β地集合是 .8. -23πrad化为角度应为 .129.圆地半径变为原来地3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角地倍.*10.若角α是第三象限角，则α角地终边2在，2α角地终边在 .三.解答题11.试写出所有终边在直线x=上地角地集合，并指-y3出上述集合中介于-1800和1800之间地角.12.已知0°<θ<360°，且θ角地7倍角地终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形地周长为20 cm，当它地半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形地面积最大？最大面积是多少？*14.如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来地位置，求θ.§1.1任意角和弧度制一、CDDCBA二、7.{x |x =k ·3600+1800， k ∈Z }， {x |x =k ·1800+450，k ∈Z } ; 8.-345°; 9. 31;10.第二或第四象限， 第一或第二象限或终边在y 轴地正半轴上三、11.{ α|α=k ·3600+1200或α=k ·3600+3000， k ∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k ·360°，得θ=k ·60°（k ∈Z ）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l =20－2r ，∴S =21lr =21(20-2r )·r =－r 2+10r =-(r -5)2+25∴当半径r =5 cm 时，扇形地面积最大为25 cm 2，此时，α=r l =55220⨯-=2(rad)14.A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜23π，14分钟后回到原位，∴14θ=2k π，θ=72πk ，且2π<θ<43π，∴ θ=74π或75π。

1．下列命题中，正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角D ．1弧度是1度的弧与1度的角之和解析：利用弧度的概念可直接推得C 为正确选项．答案：C2．2 100°化成弧度是( )A.35π3 B ．10πC.28π3D.25π3解析：2 100°＝2 100×π180＝35π3. 答案：A3．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的面积为________．解析：扇形的面积S ＝12|α|r 2＝12×π3×62＝6π. 答案：6π4．若θ角的终边与8π5角的终边相同，在[0,2π)内与θ4角的终边相同的角是________．解析：由题设知θ＝2k π＋8π5，k ∈Z ，则θ4＝k π2＋2π5，k ∈Z.∴当k ＝0时，θ4＝2π5； 当k ＝1时，θ4＝9π10； 当k ＝2时，θ4＝7π5； 当k ＝3时，θ4＝19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π105．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求 γ角，使γ与α角的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9，∴α＝14π9＋(－3)×2π，α角与14π9的终边相同， ∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2k π＋α，k ∈Z ，α与14π9终边相同， ∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z. 又∵γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2， 当k ＝－1时，不等式成立，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.。