行列式的几种计算方法

行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵计算和向量空间的研究中起着关键作用。

本文将总结一些行列式的计算方法，帮助读者更好地掌握这一概念。

一、定义与性质行列式是一个与方阵相对应的数值。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或|A|。

行列式有以下几个重要性质：1. 互换行列式的两行（两列）会改变行列式的符号；2. 行列式的任意两行（两列）互换，行列式的值不变；3. 行列式的某一行（某一列）元素乘以一个非零数，等于用这个非零数乘以行列式；4. 行列式有可加性，即若将某一行（某一列）的各元素分成两部分，则行列式等于这两部分行列式的和。

二、按行展开法按行展开法是计算行列式的一种常用方法。

对于一个n阶方阵A，按第i行展开，即将第i行元素与其代数余子式相乘再求和，可得行列式的值。

假设A是一个3阶方阵，可以按第1行展开计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + a13A13其中，A11、A12、A13分别为元素a11、a12、a13对应的代数余子式，它们的计算方法是去掉对应元素所在的行列后，计算剩余矩阵的行列式。

按行展开法适用于任意阶数的方阵，但随着方阵阶数的增加，计算工作量也呈指数级增长。

因此，在实际应用中，需要在节约计算资源和时间之间进行权衡。

三、性质运算法则根据行列式的性质，可以借助一些特殊的运算法则来简化计算过程。

1. 方阵的转置：对于一个n阶方阵A，有det(A) = det(A^T)。

即方阵的转置不影响行列式的值。

2. 方阵的上下三角形式：行列式的值等于对角线上元素的乘积。

如果一个方阵的上（下）三角元素都是零，那么它的行列式值为零。

3. 方阵的倍增法则：将方阵的某一行（某一列）的所有元素乘以一个常数k，它的行列式也乘以k。

这个法则可以用来简化计算，通过线性变换将某一行（某一列）的数值变为整数。

四、克莱姆法则克莱姆法则是一种计算方程组的的方法，它利用了方阵的行列式的性质。

行列式计算技巧行列式计算技巧行列式是线性代数中的重要概念，它是由矩阵中的元素组成的一种数值。

行列式的计算是线性代数中的基本操作，也是求解线性方程组、矩阵的逆等问题的重要工具。

行列式的计算方法有很多种，以下将介绍几种行列式计算的技巧。

1. 按行（列）展开法按行（列）展开法是行列式计算中的基本方法之一。

该方法的原理是利用行列式的定义式，将行列式按其中一行（列）展开成若干个代数余子式与它们对应的代数余子式所组成的和式，从而得到行列式的值。

这种方法通常适用于行列式的规模比较小的情况。

2. 范德蒙德行列式范德蒙德行列式是一种特殊的行列式形式，它在概率论、数值计算等领域中有广泛的应用。

范德蒙德行列式的定义式是一个$n\times n$的行列式，其中第$i$行第$j$列的元素为$x_i^{j-1}$。

范德蒙德行列式的值是一个关于$x_1,x_2,\cdots,x_n$的多项式，其系数和指数分别与行列式中的代数余子式有关。

3. 对角行列式对角行列式是一种特殊的行列式形式，它的所有非零元素都在对角线上，其余元素都为零。

对角行列式的值等于对角线上元素的积。

对角行列式在计算矩阵的特征值和特征向量等问题中有广泛的应用。

4. 分块矩阵行列式分块矩阵行列式是一种将大型矩阵拆分成若干小矩阵的行列式形式，通过计算每个小矩阵的行列式以及它们的代数余子式之间的运算，最终得到整个大矩阵的行列式值。

这种方法通常适用于行列式的规模比较大、结构比较复杂的情况。

以上是几种行列式计算的技巧，每种方法都有其适用范围和注意事项。

在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的计算方法，以提高计算效率和准确度。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，是一种用于描述矩阵特征的数学工具。

在数学和工程领域中，行列式的计算是非常重要的，它与矩阵的性质及相关运算具有密切的关系。

本文将介绍关于行列式的几种计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用行列式。

一、行列式的定义在了解行列式的计算方法之前，我们首先来了解行列式的定义。

行列式是一个用方括号表示的数学量，它是一个矩阵所代表的线性变换对“面积”或“体积”的伸缩因子。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。

行列式的计算方法有很多种，下面我们将介绍其中的几种常见方法。

二、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种常见的行列式计算方法。

在使用拉普拉斯展开法计算行列式时，首先需要选择一个行或列，然后将行列式展开成以该行或列元素为首元素的一系列代数余子式的和。

具体步骤如下：1. 选择一个行或列，我们以第一行为例；2. 对第一行的每个元素，计算它的代数余子式，代数余子式的计算方法是去掉对应行和列的元素后计算得到的行列式；3. 计算每个元素的代数余子式，然后与对应元素相乘再相加，得到最终的行列式值。

对于一个3阶矩阵A```a b cd e fg h i```使用拉普拉斯展开法，选择第一行进行展开，计算行列式的方法如下：```det(A) = a*det(A11) - b*det(A12) + c*det(A13)```其中A11、A12、A13分别为：A11 =```e fh i```A12 =```d fg i```A13 =```d eg h```通过计算A11、A12、A13的行列式值，再按照上述公式计算，即可得到矩阵A的行列式值。

三、性质法行列式的性质法是一种简单而有效的计算方法，它是通过一些行列式的基本性质来简化和计算行列式的值。

行列式的基本性质包括以下几条：1. 对调行或列，行列式变号；2. 行或列成比例，行列式为0；3. 行列式中有两行、两列相同，行列式为0；4. 两行或两列互换，行列式变号；5. 行列式中某一行或列乘以一个数，等于这个数与行列式的乘积。

行列式一般计算方法行列式是线性代数中的一个非常重要的概念，它可以用来求解线性方程组的解，以及描述线性变换对向量的影响。

计算行列式的方法有多种，下面将分别介绍其一般计算方法。

一、按行列式定义法计算行列式按行列式定义法计算行列式的过程是比较繁琐的，但是却是最基本的计算方法。

其步骤如下：1. 先将行列式按行或按列展开，选择展开方向根据具体情况而定。

2. 按照“代数和减差积”的方法计算每一项的值。

3. 将所有项的值相加，得出行列式的值。

二、按初等变换法计算行列式按初等变换法计算行列式的前提是行列式的值不变，即任何两行或两列的互换或倍乘不改变行列式的值。

其计算方法如下：1. 对行列式进行初等变换，即交换行或列，或用一个数乘以某一行或某一列。

2. 对变换后的行列式按行列式定义法进行计算。

三、按行列式的性质计算行列式按行列式的性质计算行列式是一种更加简便的计算方法，其前提是必须知道行列式的性质。

常用的行列式性质有以下几条：1. 行列式的某一行（列）中所有元素成比例，行列式的值等于其中一个元素乘以其他行（列）中对应元素的代数和。

2. 行列式的某一行（列）中所有元素都为0，行列式的值等于0。

3. 行列式的两行（列）互换，行列式的值变号。

4. 行列式的某一行（列）加上另一行（列）的 t 倍，行列式的值不变。

基于以上行列式的性质，可以运用三个简单的步骤来计算行列式：1. 将行列式化为上、下三角形。

2. 计算三角形对角线上各元素的乘积之和，再将这些值相乘。

3. 根据行列式性质调整符号和值。

这种计算方法比较适用于行列式的规模较大的情况，可以大大简化计算过程。

综上所述，计算行列式的方法比较丰富，可以根据具体情况选择不同的方法来计算。

行列式的计算是线性代数中的重要内容，对于理解线性代数的概念和方法有着巨大的帮助。

计算行列式的方法方法一，按定义展开计算。

行列式的定义展开计算是最直接的方法，但对于较大的矩阵来说，计算量会非常大。

行列式的定义展开计算是通过对矩阵的某一行或某一列进行展开，然后利用代数余子式的概念进行计算。

这种方法需要耐心和细心，但是可以保证结果的准确性。

方法二，利用性质简化计算。

行列式有一些性质，可以利用这些性质来简化计算。

比如，行列式的某一行（列）乘以一个数然后加到另一行（列）上，行列式的值不变；行列式的两行（列）对换，行列式的值取相反数等。

通过利用这些性质，可以将一个复杂的行列式化简为一个或多个简单的行列式的和或差，从而简化计算的过程。

方法三，高斯消元法。

高斯消元法是一种利用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵或行最简形矩阵的方法。

通过高斯消元法，可以将一个矩阵化为上（下）三角矩阵，然后再计算行列式的值。

这种方法在计算较大的矩阵的行列式时，具有较高的效率和准确性。

方法四，利用特殊矩阵的性质。

对于一些特殊的矩阵，比如对角矩阵、三角矩阵等，它们的行列式的计算可以通过直接取主对角线上元素的乘积来得到。

这种方法适用于特殊结构的矩阵，可以大大简化计算的过程。

方法五，利用行列式的几何意义。

行列式在几何学中有着重要的几何意义，它可以表示向量的数量积、平行四边形的面积、三角形的有向面积等。

通过利用行列式的几何意义，可以将行列式的计算问题转化为几何性质的计算问题，从而得到行列式的值。

综上所述，计算行列式的方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和特点。

在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来计算行列式，以达到高效、准确地求解行列式的目的。

希望以上内容对您有所帮助。

行列式的计算方法和技巧大总结行列式是线性代数中的一个重要概念，用于表示线性方程组的性质和解的情况。

在计算行列式时，有许多方法和技巧可以帮助我们简化计算过程。

以下是行列式计算方法和技巧的大总结。

1. 二阶矩阵行列式：对于一个2x2的矩阵A，行列式的计算方法是ad-bc，其中a、b、c和d分别为矩阵A的元素。

2. 三阶矩阵行列式：对于一个3x3的矩阵A，行列式的计算方法是a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)，其中a、b、c、d、e、f、g和h分别为矩阵A的元素。

3.行变换法：行变换是一种常用的简化计算行列式的方法。

行变换可以通过交换行、倍乘行和行加减法三种操作来实现。

当进行行变换时，行列式的值保持不变。

4.行列式的性质：行列式有以下性质：a)交换行，行列式的值相反；b)两行交换位置，行列式的值相反；c)同行相等，行列式的值为0；d)其中一行乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍；e)两行相加（减），行列式的值保持不变。

5.定义展开法：行列式的定义展开法可以通过选取任意一行或一列对行列式进行展开。

展开定理是一种递归的方法，它将一个复杂的行列式分解成若干个简单的行列式，从而简化计算过程。

6.三角矩阵行列式：对于一个上（下）三角矩阵，它的行列式等于对角线上的元素相乘。

这是因为在上（下）三角矩阵中，除了对角线上的元素外，其他元素都为0，因此它们的乘积为0。

7.克拉默法则：克拉默法则适用于解线性方程组时的行列式计算。

克拉默法则使用行列式来计算方程组的解。

具体来说，对于n个方程n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解，可以通过求解该方程组的克拉默行列式来得到方程组的解。

8.外积法则：在向量代数中，我们可以使用外积法则计算向量的叉乘。

对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为a×b，它的模就是行列式的值。

具体计算方法是：ijka1a2a3b1b2b3其中，i、j和k是单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别为向量a和向量b的坐标。

计算行列式的方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论和线性方程组的求解中起着至关重要的作用。

在实际应用中，我们经常需要计算行列式的值，因此掌握计算行列式的方法对于理解线性代数和解决实际问题至关重要。

本文将介绍几种常用的计算行列式的方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用行列式的概念。

首先，我们来介绍行列式的定义。

对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|，它是一个数值，可以通过一定的方法来计算。

行列式的计算方法有很多种，其中最常用的包括代数余子式法、拉普拉斯展开法和特征值法。

下面我们将分别介绍这三种方法的具体步骤。

首先是代数余子式法。

对于一个n阶方阵A，其行列式的计算公式为：|A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。

其中a11, a12, ..., a1n为矩阵A的元素，A11, A12, ...,A1n为对应元素的代数余子式。

代数余子式的计算方法是，对于矩阵A的每个元素aij，去掉第i行和第j列后得到的n-1阶子矩阵的行列式记作Mij，那么元素aij的代数余子式Aij就等于(-1)^(i+j)Mij。

最后，将每个元素的代数余子式与对应的元素相乘，再相加起来，就得到了行列式的值。

其次是拉普拉斯展开法。

这种方法适用于任意阶的方阵，其计算步骤是，选择矩阵A的任意一行（或一列），将该行（或列）的每个元素与其对应的代数余子式相乘，再按照正负号交替相加，最终得到行列式的值。

这种方法的优点是可以通过逐步简化矩阵来减少计算量，但是在高阶矩阵上计算比较复杂。

最后是特征值法。

对于一个n阶方阵A，如果能够求出其n个特征值λ1, λ2, ..., λn，那么矩阵A的行列式就等于其特征值的乘积，即|A| = λ1 λ2 ... λn。

这种方法的优点是可以通过特征值分解来简化矩阵的计算，适用于特征值已知的情况。

除了以上介绍的三种方法外，还有其他一些计算行列式的方法，如三角化法、对角化法等。

几种不同类型行列式的计算摘要:行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。

本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。

通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。

关键字:排列；行列式；范德蒙行列式；拉普拉斯定理；加边法（升阶法）；数学归纳法。

The calculation method of N determinantAbstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding o the determinat,on our learning will bring very useful help.Keywords: Determinant; Vandermonde Determinant;Matrix; Eigenvalue; Laplace theorem;Factorial;Auxiliary determinant method前言行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题方法进行总结归纳。

学年论文行列式的计算方法姓名：王海洋学号：902091134院系：统计与数学学院专业：数学与应用数学指导老师：志远日期：2012年5月12日目录1.定义法2.化三角形法3.数学归纳法4.德蒙行列式5.加边法6.降阶法7.递推法8.析因法9.利用方阵特征值10.对称法行列式是研究线性代数的一个重要工具,在线性方程组,矩阵,二次型中用到行列式,在数学其它分支也常常用到行列式,因此行列式的计算显得尤其重要,但行列式的计算灵活多变,需要较强的技巧。

主要有下面几种算法：1 定义法根据行列式的定义121212()12(1)n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑我们可以利用定义直接计算行列式,其中11()n j j j τ是11n j j j 的逆序数.例1证明111213141521222324253132414251520000000000a a a a a a a a a a D a a a a a a ==. 分析 观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.证明 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为1212n j j nj a a a则 12512125()12(1)n j j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑.（1） 其中115,,,j j j 为1,2,3,4,5的任意排列,在D 中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（1）式中每一项至少有一个来自后三行后三列. 故D =0.注意 此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.2化三角形法化三角形是将原行列式化为上（下）三角形或对角形行列式进行计算的一种方法,是计算行列式最基本的计算方法之一,这是因为由行列式的定义我们可以直接计算上（下）三角形或对角形行列式.一般而言,对任意行列式都可化为三角形行列式,但是有的行列式化简时非常繁琐,应该先利用性质实施一些初等变换,然后再化简.例2 计算行列式12312341345121221n n n n D n n n -=--.分析 直接用化三角形法化简很烦,观察发现对于任意相邻两列中的元素,位于同一行的元素中,后面元素与前面元素相差1,因此先从第1n -列乘-1加到第n 列,第2n -列乘-1加到第1n -列, 这样做下去直到第1列乘-1加到第2列,然后再计算就显得容易.解 12312341345121221n n n n D n n n -=--1111121111311111111n n n n -=--11111100021000nn n n -=---120000100012001n n n n n n +++-=--- 000001(1)00002n nn n n n---=- (1)(2)21(1)(1)2n n n n n ---=- (1)12(1)(1)2n n n n n --+=-.问题推广在例2中1,2,,n ,这n 个数我们可以看成有限个等差数列在循环,那么对于一般的等差数列也应该适应. 计算行列式111111111111111111112(1)23234(1)(3)(2)a a d a d a n d a nda d a d a d a nd a D a d a d a d a a d a n d a a d a n d a n d+++-+++++=+++++-++-+-1111(1)2(1)(1)(1)a d d d d a d d d d n da dd d n d d a n dn dddd+-=+-+--12(1)000a d d d d d ndd ndn dnd -=---1(1)00002(1)000d n d a nnd nddndn dnd -+++-=---(1)(2)121(1)()()(1)n n n d n d a nd nn----=+++--(1)(2)1112((1))1()()(1)2n n n n a a n d nd n ---++-=--. 如果将例2中的数11a =，1d =代入(1)(2)1112((1)1()()(1)2n n n n a a n d nd n ---++-=--结论显然成立.3数学归纳法数学归纳法有两种一种是不完全归纳法,另一种是完全归纳法,通常用不完全归纳法寻找行列式的猜想,再用数学归纳法证明猜想的正确性. 基本方法1) 先计算1,2,3n =时行列式的值.2) 观察1,2,3D D D 的值猜想出n D 的值. 3) 用数学归纳法证明.例3 计算行列式000101n a bab a b ab D ab++=+.解：因为 221a b D a b a b -=+=-33222a b D a ab b a b-=++=-所以，猜想 11n n n a b D a b++-=- . (1)证明 当1n =时,(1)式显然成立.设1n k ≤-时,(1)式显然成立,则n k =时(1)000000()1k k a b ab a b ab D a b ab -++=++ (1)0000001k a b ab abab aba b -++-+12()k k a b D abD --=+-11()k k k k a b a b a b ab a b a b ----=+---11k k a b a b++-=-∴当n k =时(1)式也成立,从而得证.即 11n n n a b D a b++-=-.注意一般而言,对于给定的一个行列式,要猜想一个之比较困难,所以一般情况下是先给定其值,然后再证明.4德蒙行列式德蒙行列式1232222123111111231111n n n i j j i nn n n n nx x x x D x x x x x x x x x x ≤<≤----==-∏因此可将给定行列式化为德蒙行的形式然后直接计算.例4 计算1n -阶行列式1n D -131313222222223333336n n n n n n n n n nn n n n---------=----.解 用加边法将行列式化为德蒙行列式131311321111102222222033333360n n n n n n n D n n n nn n n n-------=-------132132132111112222233333n n nn nn n n n n n ---=5加边法利用行列式按行（列）展开的性质把n 阶行列式通过加行（列）变成与之相等的1n +阶行列式,然后计算.添加行列式的四种方法:设111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =.（1）首行首列111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =121112121222121000n nn n n nn a a a a a a a a a a a a =. （2）首行末列111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =111213121222321230001n n n na a a a a a a a a a a a =. （3）末行首列111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =1111212212223313231000n nn a a a a a a a a a a a a =. （4）末行末列111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =11121312122232313233301a a a a a a a a a a a a =.例5 计算123123123123(0)nnnnx a a a aa x a a aD a a x a a xa a a x a++=+≠+.解1212121212(1)(1)1nnnnn n na a ax a a aa x a aDa a aa a x a+⨯+++=+将第一行乘(1)-加到其余各行上去,得12(1)(1)11001001000100nn na a axxx+⨯+--=--将第2列,,第n列分别乘1x,全都加到第一列,得121(1)(1)10000000000000nknkn naa a axxxx=+⨯+ +=∑1111(1)n nn n nk kk kx a x x ax-===+=+∑∑.加边法是将原行列式中添加适当的行(列),构成一个新的行列式,并以此行列式为过渡来达到计算原行列式的目的.6降阶法n 阶行列式等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即1(1,2,,)nij ij j D a A i n ===∑ 或 1(1,2,,)nij ij i D a A j n ===∑.行列式按一行（列）展开将高阶转化为若干低阶行列式计算方法称为降阶法.这是一种计算行列式的常用方法.例6 计算1301301411210110D =.解 1301091102200110D -=-9111220110-=⨯-21421-==-.注意 对于一般的n 阶行列式若直接用降阶法计算量会大大加重.因此必须先利用行列式的性质将行列式的某一行（列）化为只含有一个非零元素,然后再按此行（列）展开,如此进行下去,直到二阶.7递推法递推法是根据行列式的结构利用n 阶行列式的性质,把给定的行列式n D 用与n D 有相同形式的1n D -阶行列式表示出来,然后将1n D -阶行列式再用与1n D -有相同形式的2n D -阶行列式表示出来,这样一直做下去直到n D 被有相同形式2D 的表示出来,这样n D 可被易计算的2D 表示出来,故可达到计算n D 的目的.例70001000101n D αβαβαβαβαβαβ++=++证明11,n n n D αβαβ++-=-其中αβ≠ 分析此行列式的特点是除主对角线及其上下两条对角线的元素外其余的元素都为零,这种行列式称“三条线”行列式,从行列式的左上方往右下方看即知n D 与1n D -具有相同的结构.因此可考虑用递推法证明.证明 把行列式n D 按第一行展开，得12()n n n D D D αβαβ--=+-于是有递推关系式12()n n n D D D αβαβ--=+-或 112()n n n n D D D D αβα----=- 类似有1223()n n n n D D D D αβα-----=-3221()D D D D αβα-=-. 由于1()D αβ=+ 22()D αβαβ=+-因而221()()n nn n D D αβαβαβααββ--⎡⎤-=+--+=⎣⎦. 若 0α= 时 nn D β=若 0α≠ 时11()n nn nn D D βααα--=+利用计算递推,得1212112()()()()()n n n n nn n nn n D D D D βββββααααααααα-----=+=++==+++21()()n βββααα=++++=1111()11n n n nβαβαβααβα+++--=-- 所以 11()n n n D αβαβαβ++-=≠-. 若αβ=时,从 21()()1n n D n βββααα=++++=+得到(1)nn D n α=+故 11(1)n n n n D n αβαβαβααβ++⎧-≠⎪-=⎨⎪+=⎩当 当 .8析因法基本方法:如果行列式D 中有一些元素是变量x 的多项式,那么将行列式D 当作一个多项式()f x 然后对行列式施行某些变换,求出()f x 互素的一次因式,使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c ,根据多项式相等的定义,比较()f x 与()g x 的某一项的系数,求出c 值,便可求得()D cg x =.例8 计算行列式221123122323152319x D x -=-分析这是一个关于x 的4次多项式,在复数围此多项式可分解成4个一次因式的乘积解 令()f x =221123122323152319x D x -=-则()f x 是关于x 的4次多项式,由行列式的性质当1,2x x =±=±时()0f x ≡.因此()f x 有四个一次因式(1),(1),(2),(2)x x x x -+-+.()g x (1)(1)(2)(2)x x x x =-⋅+⋅-⋅+于是 ()f x (1)(1)(2)(2)a x x x x =⋅-⋅+⋅-⋅+.比较D 中4x 的系数,得3a =-()D f x ==3(1)(1)(2)(2)x x x x -⋅-⋅+⋅-⋅+.注意 找一次因式时因该先观察,若行列式是关于x 的n 次多项式就相应的找n 个一次因式（重因式按重因式个数计算）而不要意味的看行列式的阶数n 相应的找n 个一次因式.9利用方阵特征值在线形变换的研究中,矩阵的特征多项式非常重要,由矩阵的特征多项式，再根据根与系数的关系式可知矩阵全体特征值的积为相应行列式的值.因此,我们可以用这个办法来计算行列式.例9 计算如下行列式的值123123123123n n n n n a a a a a a a a M a a a a a a a a λλλλ++=++.解n b bM bb=+123123123123n n n na a a a a a a a a a a a a a a a因为行列式b bbb的特征值为,,,b b b ,行列式123123123123n nn na a a a a a a a a a a a a a a a 的特征值为1,0,,0ni i a =∑.所以n M 的特征值为1,,,ni i b a b b =+∑.由行列式的特征值与行列式的关系式知11()nn n i i M ba b -==+∑.10对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法.例10计算n 阶行列式000100101n D αβαβαβαβαβαβ++=++.解 按第1行展开,得12()n n n D D D αβαβ--=+-即 112()n n n n D D D D αβα----=-由此递推,即得 1nn n D D αβ--=因为n D 中α于β对称,又有 1nn n D D βα--=αβ≠当 时,从上式两边消去1n D -,得11n n n D αβαβ++-=-αβ=当 时,112()(1)n n n n n n n D D D n βββββββ---=+=++==+.与例题7作比较可看出对于同一个行列式的计算有多种方法.因此我们在选择方法时因该遵守简单原则,这样不但可以减少计算量,而且还可以保证答案的正确性.总结以上我们介绍了计算行列式的10种方法。