行列式的几种计算方法

线性代数行列式计算方法总结在线性代数中，行列式是一个非常重要的概念，它在矩阵运算和线性方程组的求解中起着至关重要的作用。

本文将总结一些常见的行列式计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用线性代数中的行列式。

1. 代数余子式法。

代数余子式法是一种常见的计算行列式的方法。

对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。

其中，a11, a12, ..., a1n是矩阵A的第一行元素，A11, A12, ..., A1n分别是对应元素的代数余子式。

代数余子式的计算方法是先将对应元素所在的行和列去掉，然后计算剩下元素构成的(n-1)阶矩阵的行列式，再乘以对应元素的符号（正负交替）。

通过递归的方式，可以计算出整个矩阵的行列式。

2. 克拉默法则。

克拉默法则是一种用于求解线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。

对于一个n阶方阵A，如果它的行列式不为0，那么可以通过克拉默法则来求解它的逆矩阵。

逆矩阵的元素可以通过矩阵A的各个元素的代数余子式和行列式的比值来计算。

虽然克拉默法则在实际计算中并不常用，但它对于理解行列式的性质和逆矩阵的计算方法有一定的帮助。

3. 初等行变换法。

初等行变换法是一种通过对矩阵进行一系列行变换来简化行列式计算的方法。

这些行变换包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。

通过这些行变换，可以将一个矩阵化简为上三角形矩阵或者对角矩阵，从而更容易计算它的行列式。

需要注意的是，进行行变换时要保持行列式的值不变，即每一次行变换都要乘以一个相应的系数。

4. 特征值法。

特征值法是一种通过矩阵的特征值和特征向量来计算行列式的方法。

对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以表示为其特征值的乘积。

通过计算特征值和特征向量，可以得到矩阵A的行列式的值。

特征值法在实际计算中比较复杂，但它对于理解矩阵的性质和特征值分解有一定的帮助。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，通常用于计算矩阵的逆、解线性方程组等问题。

本文将介绍行列式的几种计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

二阶行列式就是二阶矩阵的行列式，计算公式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$ 分别表示矩阵的四个元素。

计算二阶行列式时，可以直接套用上面的公式进行计算。

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12} $$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$ 分别表示矩阵的九个元素。

计算三阶行列式时，可以采用如下方法：（1）按照第一行、第一列、第二列的顺序计算，得到三个二阶行列式；（2）按照上述公式计算三个二阶行列式对应的乘积和。

3. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种通用的行列式计算方法。

它的基本思想是，将行列式按照一行或一列进行展开，转化为若干个小的行列式之和。

具体步骤如下：（1）选择一行或一列作为基准行（列）；（2）对于基准行（列）中的每个元素，求它所在子矩阵的行列式，乘以对应的余子式（代数余子式）；（3）将所有乘积相加。

关于求解行列式的几种特殊的方法行列式是线性代数中一个重要的概念，它在计算机科学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。

在求解行列式的过程中，存在一些特殊的方法，可以帮助我们简化计算和提高效率。

本文将介绍几种常见的特殊方法，包括拉普拉斯展开、三角形展开和行列式性质的运用等。

1.拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种基本方法，适用于任意阶的矩阵。

其核心思想是通过分解矩阵，将复杂的行列式转化为多个较小规模的行列式的代数和。

具体步骤如下：1)选择一个行(列)展开，将行(列)按照一些特定的顺序展开。

2)对每一个元素a[i][j]，构造一个以该元素为顶点的代数余子式M[i][j]，即划去第i行和第j列后剩下的矩阵所构成的行列式。

3)计算每一个代数余子式的值M[i][j]，并与对应的元素a[i][j]相乘，得到M[i][j]*a[i][j]。

4)将所有得到的乘积相加，该结果即为原行列式的值。

>例如，对于一个3阶矩阵A，可以选择按照第一行展开，则拉普拉斯展开为：>，A，=a11*M11-a12*M12+a13*M13>其中，M11，M12，M13分别是以元素a11，a12，a13为顶点的代数余子式。

拉普拉斯展开法的优点是适用于任意规模的矩阵，但是对于高阶矩阵来说，计算量较大，效率较低。

2.三角形展开法三角形展开法是求解上三角行列式的一种特殊方法，适用于上三角矩阵，即矩阵的主对角线以下的元素都为0。

该方法通过逐步消元来简化计算，减少了矩阵的规模。

具体步骤如下：1)将上三角矩阵A拆分为一个上三角矩阵B和下三角矩阵C的乘积，即A=BC。

2) 计算上三角矩阵B的主对角线上的元素的乘积，即B =b11*b22*...*bnn。

3)将下三角矩阵C的主对角线上的元素分别除以上一步得到的乘积，得到新的下三角矩阵C'。

4) 计算新的下三角矩阵C'的主对角线上的元素的乘积，即C' =c'11*c'22*...*c'nn。

行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、方程组求解、向量空间等许多领域都有广泛的应用。

计算行列式的方法有很多种，下面我们来总结一下常见的计算行列式的方法。

1.代数余子式法：代数余子式法是计算行列式的一种经典方法。

对于n*n阶行列式A，可以按照第一行（或第一列）的元素展开得到n个代数余子式，然后按照代数余子式定义计算行列式。

具体步骤如下：（1）选择行列式A的第一行（或第一列）的所有元素，记作a11,a12,...,a1n。

（2）计算n个代数余子式，第i个代数余子式记作A(i,1)（或A(1,i)）。

A(i,1)等于元素a1i所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。

（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素a1i的乘积之和：det(A) = a11*A(1,1) - a12*A(2,1) + a13*A(3,1) - ... + (-1)^(n+1)*a1n*A(n,1)。

2.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法也是计算行列式的一种常用方法。

具体步骤如下：（1）选择行列式A的其中一行（或其中一列），记作第k行（或第k列）。

（2）计算代数余子式，第i行第j列元素所对应的代数余子式记作A(i,j)（或A(j,i)）。

A(i,j)等于元素aij所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。

（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素aij的乘积之和：det(A) = a1k*A(1,k) - a2k*A(2,k) + a3k*A(3,k) - ... + (-1)^(k+1)*ank*A(n,k)。

3.克莱姆法则：克莱姆法则是计算线性方程组的一个重要方法，也可以用来计算行列式。

对于n个未知数的n个线性方程组Ax = b，其中A是一个n*n阶矩阵，x和b都是n维列向量。

如果矩阵A是非奇异的（即行列式det(A)≠0），则可以用克莱姆法则求解方程组。

具体步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵A按列分成n个子矩阵A1,A2,...,An，其中第i个子矩阵Ai将系数矩阵A的第i列替换为等号右边的向量b。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，是一种用于描述矩阵特征的数学工具。

在数学和工程领域中，行列式的计算是非常重要的，它与矩阵的性质及相关运算具有密切的关系。

本文将介绍关于行列式的几种计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用行列式。

一、行列式的定义在了解行列式的计算方法之前，我们首先来了解行列式的定义。

行列式是一个用方括号表示的数学量，它是一个矩阵所代表的线性变换对“面积”或“体积”的伸缩因子。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。

行列式的计算方法有很多种，下面我们将介绍其中的几种常见方法。

二、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种常见的行列式计算方法。

在使用拉普拉斯展开法计算行列式时，首先需要选择一个行或列，然后将行列式展开成以该行或列元素为首元素的一系列代数余子式的和。

具体步骤如下：1. 选择一个行或列，我们以第一行为例；2. 对第一行的每个元素，计算它的代数余子式，代数余子式的计算方法是去掉对应行和列的元素后计算得到的行列式；3. 计算每个元素的代数余子式，然后与对应元素相乘再相加，得到最终的行列式值。

对于一个3阶矩阵A```a b cd e fg h i```使用拉普拉斯展开法，选择第一行进行展开，计算行列式的方法如下：```det(A) = a*det(A11) - b*det(A12) + c*det(A13)```其中A11、A12、A13分别为：A11 =```e fh i```A12 =```d fg i```A13 =```d eg h```通过计算A11、A12、A13的行列式值，再按照上述公式计算，即可得到矩阵A的行列式值。

三、性质法行列式的性质法是一种简单而有效的计算方法，它是通过一些行列式的基本性质来简化和计算行列式的值。

行列式的基本性质包括以下几条：1. 对调行或列，行列式变号；2. 行或列成比例，行列式为0；3. 行列式中有两行、两列相同，行列式为0；4. 两行或两列互换，行列式变号；5. 行列式中某一行或列乘以一个数，等于这个数与行列式的乘积。

行列式计算的方法
计算行列式的方法取决于矩阵的大小。

下面我将介绍几种常见的行列式计算方法：
1. 二阶行列式计算：
对于一个2x2的矩阵，行列式的计算方法如下：
行列式的值= (a*d) - (b*c)
其中，矩阵为：
| a b |
| c d |
2. 三阶及以上的行列式计算（展开法）：
对于一个n阶(n>=3)的矩阵，行列式的计算可以通过展开法来进行，也叫做代数余子式展开法。

具体步骤如下：
a. 选择第一行或第一列作为展开的基准行或基准列；
b. 逐个选取基准行或基准列上的元素，相应的去掉所在行和所在列，得到一个(n-1)阶的矩阵；
c. 对每个选取的元素，计算其代数余子式（即去掉该元素所在行和所在列后，剩余矩阵的行列式值），并与该元素相乘；
d. 将所有计算得到的代数余子式相乘，并按照正负号规律求和，得到最终的行列式值。

3. 其他行列式计算方法：
当矩阵较大时，使用展开法计算行列式会非常繁琐。

此时可以考虑使用高斯消元法、LU分解、特征值等方法来化简计
算。

这些方法相对复杂，需要一定的线性代数知识和计算能力。

总之，行列式的计算方法根据矩阵的大小和具体要求选择不同的方法，以便高效地得到结果。

行列式计算方法行列式的计算是线性代数中的重要内容，有以下几种常用的方法：1. 代数余子式法：给定一个n阶矩阵A，取A的第i行第j列元素a_ij为基准，计算它的代数余子式A_ij的值。

代数余子式的定义是，在A中划去第i行和第j列后，剩余元素构成的(n-1)阶子矩阵的行列式。

然后，根据代数余子式的符号规律，求得A_ij*(-1)^(i+j)，再将所有的代数余子式乘以对应位置的元素，再求和即可得到行列式的值。

2. 拉普拉斯展开法：选择A的任意一行或一列，例如第i行，根据拉普拉斯展开定理，将行列式的计算转化为n个(n-1)阶行列式的计算，然后依次递归地计算(n-1)阶行列式，最后累加得到行列式的值。

3. 对角线法则：对于一个n×n的矩阵A，按照对角线上的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加，再减去按照对角线下方的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加。

这个过程可以用一个式子来表示：det(A) = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_21 * a_32 * ... * a_n1。

4. 公式法：对于一个3阶矩阵A，可以利用公式来计算行列式的值。

行列式的计算可以表示为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33+ a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32 - a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_12。

对于4阶及以上的矩阵，复杂度较高，通常情况下不会直接使用公式法计算，而是选择其他方法。

以上是几种常用的求行列式的方法，不同的方法适用于不同的情况，在实际计算中可以根据需要选择合适的方法来求解。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中重要的概念之一，它可以用来判断线性方程组的解的情况，也可以应用在向量空间、线性变换等诸多领域。

行列式的计算方法主要有初等变换法、代数余子式法和特征值法等。

初等变换法是最常用的计算行列式的方法之一。

它的基本思想是通过对行列式进行一系列的初等行变换，将其化为一个简单的行列式进行求解。

初等行变换包括互换两行、某一行乘以非零常数、将某一行的常数倍加到另一行等操作。

对于一个2×2的行列式A，其计算公式为：| A | = a11* a22 - a12 * a21而对于一个n×n的行列式A，可以通过将其化为上三角矩阵或者对角矩阵，从而简化计算。

代数余子式法是另一种计算行列式的方法。

它的基本思想是将行列式的展开式转化为代数余子式相加的形式。

代数余子式是指除去行列式中的某一行和某一列后，剩下的元素按原来的顺序构成的一个新的行列式。

通过将行列式展开为代数余子式的和，可以将计算行列式的问题转化为计算若干个较小规模的行列式的问题。

代数余子式的计算比较繁琐，需要使用递归的方法，但对于规模较大的行列式，代数余子式法是比较有效的方法。

特征值法是通过求解方程组的特征值和特征向量来计算行列式。

特征值是一个方阵A 的线性变换在某个特征方向上的伸缩因子，特征向量是对应于特征值的一个非零向量。

特征值和特征向量可以通过求解方程组A-λI=0来获得，其中I为单位矩阵。

而行列式的计算公式为行列式的特征值等于其主对角线上元素的乘积。

通过求解特征值和特征向量，可以将行列式的计算问题转化为求解方程组的问题。

除了以上常用的计算方法外，还有一些其他的特殊情况下的行列式计算方法。

对于三角矩阵来说，其行列式等于主对角线上元素的乘积。

对于对称矩阵来说，可以通过对角化将其化为对角矩阵，从而简化计算。

行列式的计算方法有很多种，初等变换法、代数余子式法和特征值法是比较常见的几种方法。

根据不同的问题和矩阵的性质，选择合适的计算方法可以简化问题，并提高计算的效率。

行列式计算7种技巧7种手段行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读一.7种技巧: 【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T111211121121222122221212nn n n n n nnnn nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号111212122221222111211212nn n nn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =-技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面11121111212122122122212222112112...nn n n nnnn n n nnn n nna a a a a a ab b b b a a a a a a a a b b b b b a a a b b b =技巧4:行列式具有分行(列)相加性 11121111211112112121212122121t t tn t t n n nt t tn t t tn n n nn n n nn n n nntn a a a a a a a a a b b b b b c c c c b a a a a a a a a a c c +++=+技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变111211112112121212112212t t tnn n s s sn s s sn t t tn n n nnn n n t nt tn a a a a a a a a a a k a k a k a a a a a a a a a a a a a a a +++=技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积11111111111111111111000m m n m mm m n m mm n nnn nmn nna a a ab b a ac c b b a a b b c c b b =技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理] 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和11(1,2,,)(1,2,,)nnik ik kj kj k k D a A i n a A j n ======∑∑二.7种手段: 【手段】所谓行列式计算的手段,即在计算行列式时,观察已给出的原始行列式或进行化简后的行列式,只要它们符合已知的几种行列式模型,就可以直接计算出这些行列式手段1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算1112112212212122a a a a a a a a =-,111213212223112233122331132132112332122133132231313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---手段2:对于4阶以上的行列式,若行列式中有很多元素为零,则根据定义进行计算较为方便,否则较为复杂(常见于计算机程序和数学1212121112121222()1212(1)n n nnn p p p p p np p p p n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑运用数学软件Matlab 按定义计算4阶行列式: >> syms a b c d e f g h i j k l m n o p >> A=[a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,p] A =[ a, b, c, d] [ e, f, g, h] [ i, j, k, l] [ m, n, o, p] >> det(A) ans =a*f*k*p-a*f*l*o-i*a*g*p+i*a*h*o+a*n*g*l-a*n*h*k-e*b*k*p+e*b*l*o+i*e*c *p-i*e*d*o-e*n*c*l+e*n*d*k+i*b*g*p-i*b*h*o-i*f*c*p+i*f*d*o+i*n*c*h-i*n*d*g-m*b*g*l+m*b*h*k+m*f*c*l-m*f*d*k-i*m*c*h+i*m*d*g手段3:上三角行列式,下三角行列式,主对角线行列式,副对角线行列式11121222100n nn ii i nna a a a a a a ==∏ ,112122112000nii i n n nna a a a a a a ==∏,1212()n nλλλλλλ=其余未写出元素均为零,1(1)2212(1)()n n n nλλλλλλ-=-其余未写出元素均为零手段4:若行列式中有两行( 列)对应元素相等,则此行列式的值等于零0a a e i b b f jc c g kd d h l=手段5:若行列式中有一行(列)的元素全为零,则此行列式的值为零00000a e i b f jc g kd h l=手段6:若行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值等于零0a ka e i b kb f jc kc g kd kd h l=手段7:范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111()nn i j n i j n n n nx x x x x x x x x x x ≥>≥---=-∏三.跟踪训练【解题思路】为了使读者能够巩固前文叙述的7种技巧和7种手段,本人附上一些行列式的习题以供参考.解题时,一般先观察题目所给出的原始行列式,若原始行列式能够用7种手段的其中一种进行计算,则可直接得出答案,否则,一般先利用7种技巧对原始行列式进行化简,使之转化成能够用7种手段的其中一种进行计算的行列式,再得出答案.读者在利用7种技巧时,要注意技巧之间的搭配使用计算下列行列式的值: 习题1:12114318--- 解答:121141182(4)30(1)(1)0132(1)81(4)(1)4318--=⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯--⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=--[手段1]习题2:0000000000b f d a c e解答: 123412341234()12341234123433112432400000(1)0000004,3,1,4,2,()(3142)3,00000(1)00000p p p p p p p p p p p p b f d a a a a a cep p p p p p p p b f d a a a a abcda ceτττ=-=======-=-∑观察行列式中元素的位置及由级排列中各数不能相等知因此[手段2]习题3:12345678910111213141516解答:21431234113156785171091011129111113141516131151c c c c -=-[技巧5,手段4]习题4:3333333333333333x x x x ---+---+--解答:412213141423333333333333333333333333333313331333133300133300133300133300000ii x x x x x x c c x x x x xx x r r x x x x r r x x xx r r xx x x r r xx x x x=-----+--+-+----+----------+--=-----------↔-=--∑[技巧2,技巧3,技巧5,手段3]习题5:11121314122223241323333414243444a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b解答:1112131412222324132333341424344422232412131412131411233334122333341322232414243444243444243444,a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =-+-按第一列展开1213142223242333341213141213142223242223242434442333342342342121423333412423333412234234,0,(b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b D a a b b a b a b a b a b b a b a b a b a a a a a a a a =-=由于行列式和有两行元素成比例因此值为3234214124233334234222121412434232334243241421124332233423321421123223433414122123)()()()[()()]()()()()(b b b b b a b b a b a b a b a a a a a b b a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -=-+--=--+-=---=--323443314111)()()i i i i i a b a b a b a b a b a b ++=--=--∏[技巧7,手段1,手段6]习题6:444443333322222(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)123411111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------------- 解答:432122222533333444444321432122222,111111234(1)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)111114321(1)(1)(4)(3)(2)(1)(4)aa a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++----=-----------------=-------将行列式上下翻转后再左右翻转不难得3333344444(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)4!3!2!1!288a a a a a a a a a -------==[技巧2,手段7]习题7: 1221100001000000001nn n x x x xa a a a x a -----+解答:111121232212112112121,1000100(1)00011,,,,,,n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n D x D xD a x x D xD a D xD a D xD a D xD a D x a x x x D x a x a x a x a +--------------=+--⇒=+=+=+=+=+=+++++按第一列展开得的递推公式将上述各式的两边分别乘以后全部相加并化简得:[技巧7,手段3]习题8: ()a b a bc d c d其余未写出元素均为零:解答:22(22)2122(1)2(1)2221,23,,2,221,23,,2,000000(1)0()()()n n n n nn n D n n n n n n a b c d abDab c d cdD Dad bc Dad bc D ad bc --------=-==-==-=-将中的第行依此与第行行第行对调再将第列依此与第列列第列对调得[技巧2,技巧6]。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，它是一个方阵所具有的一个标量值。

计算行列式的过程中，可以使用几种不同的方法。

一种常见的计算行列式的方法是拉普拉斯展开法。

该方法通过选择一个行或列，将原始矩阵划分为较小的子矩阵，并依次计算这些子矩阵的行列式，然后将它们乘以适当的符号和系数进行求和。

该方法可以分为横向展开和纵向展开两种方式。

对于一个3阶矩阵，横向展开可以选择第一行进行展开，计算公式为：detA = a11 * det(A11) - a12 * det(A12) + a13 * det(A13)其中det(A11)、det(A12)和det(A13)分别表示A11、A12和A13的行列式，也是较小子矩阵的行列式。

另一种常见的计算行列式的方法是行变换。

行变换可以通过对矩阵进行一系列的操作来简化计算。

常见的行变换包括交换两行、将某一行乘以一个非零常数、将某一行的倍数加到另一行上。

通过行变换可以将矩阵转换为上三角矩阵，从而简化计算行列式的过程。

对于一个n阶矩阵，行变换的过程可以表示为：其中s表示进行了多少次行交换。

还可以使用行列式的性质和定义来计算行列式。

行列式的定义是一个递归的过程，对于一个2阶矩阵，它的行列式公式为：对于一个n阶矩阵，可以使用行列式的性质，如行列式的相加性和相差性、行列式的倍数以及行列式的性质和定义来计算行列式。

这种方法适用于较小的矩阵，对于较大的矩阵可能计算量较大。

还存在其他一些特殊的方法来计算特定类型的矩阵的行列式，如对称矩阵的特征值法、三对角矩阵的递推法等，这些方法在特定情况下可以更加高效地计算行列式。

计算行列式的方法有拉普拉斯展开法、行变换、行列式的性质和定义，以及特定类型矩阵的特殊方法，根据实际需求选择合适的计算方法可以更加高效地计算行列式。

行列式的计算方法行列式是线性代数中重要的概念和计算方法之一，可以用于解线性方程组、求特征值和特征向量等问题。

行列式的计算方法有多种，包括按定义展开式法、初等变换法和特殊行列式计算法等。

下面将详细介绍这些方法。

1. 定义展开式法行列式的定义展开式法是一种通过递归计算的方法。

对于一个2×2的行列式A= [a b; c d]，其行列式的计算公式为：|A| = ad - bc。

对于一个3×3的行列式A= [a b c; d e f; g h i]，可以通过以下公式计算行列式：|A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)这个方法的缺点是计算步骤繁琐，计算复杂度高，所以对于高阶的行列式往往不适用。

2. 初等变换法初等变换是指对行列式的某两行（列）进行加减乘除等操作，可以改变行列式的值，但保持行列式的性质。

通过进行初等变换，将原始的行列式变换为一个上三角矩阵的行列式，即只有主对角线以下的元素全为0。

这样，行列式就可以简化为：|A| = a11 * a22 * … * ann，其中a11、a22、…、ann分别为上三角矩阵的对角线上的元素。

由于初等变换不改变行列式的值，我们可以根据这个特性进行计算。

例如，对于一个3×3的行列式A= [a b c; d e f; g h i]，首先使用初等变换将矩阵变换为上三角矩阵：对第三行乘以a11，然后第三行减去第一行的a13倍，再将第二行减去第一行的a12倍：[a b c; d e f; g h i] -> [a b c; d e f; 0 h i - g*a11]接着对第三行进行初等变换将第三行的元素变为0：[a b c; d e f; 0 h i - g*a11] -> [a b c; d e f; 0 h i - g*a11 - h*a22]最终得到的上三角矩阵为：[a b c; d e f; 0 0 i - g*a11 - h*a22]根据行列式的性质，我们可以得出：|A| = a * e * (i - g*a11 - h*a22)= e * (ai - ag*a11 - ah*a22)= e * i - e * (g*a11 + h*a22) + e * ag*a11 + e * ah*a22这样，行列式的计算就变为了替代计算。

行列式的计算方法1 引言行列式的计算是《线性代数》和《高等代数》的一个重要内容．同时也是工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对几种常见的类型给出了计算行列式的几种典型的方法．2 一般行列式的计算方法2.1 三角化法利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式，那么，上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积．例 1 计算行列式12311212332125113311231 ------=n n n n n nn n n n D对这个行列式的计算可以用三角化方法将第1行乘以(-1)加到第2,3,n 行，得0001002000200010001231 ---=n n n n D再将其第1,2,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列，则得102001321)1(2)1(--=-n n D n n=)!1()1(2)1(---n n n2.2 加边法有时为了便于计算行列式，特意把行列式加边升阶进行计算，这种方法称之为升阶法．它的一般方法是：nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D 321333323122322211131211==nnn n n n na a ab a a a b a a a b 212222121121110001(n b b b ,,21任意数)例如下面的例题： 例2 计算行列式nn a a a a D ++++=11111111111111111111321现将行列式n D 加边升阶，得na a a D +++=111011101110111121第1行乘以(-1)加到第1,3,2+n 行，得na a a D10001001001111121----=第2列乘以11a 加到第1列，第3列乘以21a 加到第1列，依次下去直到第1+n 列乘以n a 1加到第1列，得)11(00011111121211∑∑==+=+=ni in nni ia a a a a a a a D2.3 降阶法利用按一行(列)展开定理或Laplace 展开定理将n 阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行列式的方法称为降阶法． 例 3 计算nD 222232222222221=解 首先我们应考虑D 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以(-2)加到第n ,3,2 行，数字反而复杂了，要使行列式出现更多的“0”，将D 的第一行乘以(-1)加到第第n ,3,2 行，得2001010100012221-=n D这样仍然不是上（下）三角行列式，我们注意到，第二行除了第一项是1，后面的项全是0，这样我们按第二行展开，降阶得到：201222)1(21--=+n D)!2(2--=n2.4 对于所谓二条线的行列式，可直接展开降阶，再利用三角或次三角行列式的结果直接计算. 例4 计算行列式nnn n n a b b a b a b a D 112211--=解 按第1列展开，得11221111221)1(--+---+=n n n n nn n n b a b ab b a b a b a a Dn n n b b b a a a 21121)1(+-+=2.5 递推法通过降阶等途径，建立所求n 阶行列式n D 和比它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系，并求得n D 的方法叫递推法．当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用递推法．例 5 计算n 级行列式 2112000002100012100012------=n D 对于形如这样的三角或次三角行列式，按第1行(列)或第n 行(列)展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧求解．解 按第1行展开，得210120000012000011)1)(1(2211-------+=+-n n D D212---=n n D D 直接递推不易得到结果，变形得1221121232211=---=-==-=-=------D D D D D D D D n n n n n n于是 1)1(2)1(21121+=-+=-+==+=+=--n n n D D D D n n n例6 计算n 2级行列式nnn n n n nnn d c d c d c b a b a b a D 111111112----=对于形如这样的所谓两条线行列式,可直接展开得到递推公式． 解 按第1行展开，得)1(1111111121111111112nn n n n nn n n n n nn c d c d c b a b a b d c d c b a b a a D ----+-----+=1111111111111111---------=n n n n nn n n n n nn d c d c b a b a c b d c d c b a b a d a)1(2)(--=n n n n n D c b d a)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D)2(21111))((-------=n n n n n n n n n D c b d a c b d a)())((11111111c b d a c b d a c b d a n n n n n n n n ---=----2.6 连加法 例 7 计算mx x x x m x x x x m x D n n n n ---=212121这种行列式的特点是：各行元素之和都相等.先把第2列到第n 列元素同时加到第1列，并提出公因式，得mx x x m x x x m x D n n n ni i n ---=∑=2221111)(然后将第1行乘以(-1)加到第n ,3,2行，得mm x x m x D n ni i n ---=∑=001)(21)()(11m x m ni i n --=∑=-2.7 乘积法根据拉普拉斯定理,所得行列式乘法运算规则如下：nnn nnn n n nn n n c c c c b b b b a a a a 111111111111=⋅ (其中tj ni it ij b a c ∑==1)两个行列式的乘积可以像矩阵的乘法一样来计算,假若两个行列式的阶数不同，只要把它们的阶数化为相同就可以应用上面的公式了．这种方法的关键是寻找有特殊结构的已知行列式去乘原行列式，从而简化原行列式的计算,这也是较为常用的方法．例 8 计算行列式 ab c db a dc cd a bd c b aD =解 取行列式 1111111111111111------=H显然 0≠H ,由行列式的乘法规则：=DH ⋅ab c d ba d c c d a bd c b a 1111111111111111------ H d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a ))()()()((+---+--++--++++=等式两边消去,H 得=D ))()()()((d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a +---+--++--++++2.8 对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法． 例 9 计算n 阶行列式βαβααββααββα++++=1010001000 n D解 按第1行展开，得21)(---+=n n n D D D αββα即 )(211----=-n n n n D D D D αβα由此递推，即得 nn n D D βα=--1因为n D 中αβ与对称，又有 nn n D D αβ=--1当 βα≠ 时，从上两式中消去1-n D ，得 11n n n D αβαβ++-=-当 βα= 时，1-+=n nn D D ββ)(21--++=n n n D ββββ 222-+=n n D ββ11)1(D n n n-+-=ββ )()1(1βαββ++-=-n n nnn β)1(+= 2.9 数学归纳法当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用数学归纳法． 例 10 计算n 级行列式ααααcos 2100cos 210001cos 210001cos =n D解 当2=n 时，ααcos 211cos 2=D αα2cos 1cos 22=-=结论成立，假设对级数小于n 的行列式结论成立，则n D 按第n 行展开，得21cos 2---=n n n D D D α由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n代入前一式，得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D nαααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---=故对一切自然数n ，结论成立．2.10 拆项法这是计算行列式常用的方法．一般地，当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．例 11 在平面上，以点),(),(),(233332332232222221311211x x x x M x x x x M x x x x M ------，，为顶点的三角形面积D S =，其中11121323233322222321212131x x x x x x x x x x x x D ------= )1()1()1()1()1()1(11121323222121332211------=x x x x x x x x x x x x )1()1()1()1()1()1()1()1()1(21323222121332211332211------+--+--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 第1行拆为)1()1()1(11111121111)1)(1)(1(21332211321321232221321321------+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D32112132332121))()()(1)(1)(1(21x x x x x x x x x x x x +-------=232221321111x x x x x x )]1)(1)(1([))()((21321321121323----⋅---=x x x x x x x x x x x x 3 分块矩阵行列式的计算方法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00通过分块若能转化成对角矩阵或上（下）三角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C A 0，那么行列式B A B C A B A ⋅==000，其中B A ，分别是r s ，阶可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，0是n s ⨯阶矩阵．可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题通过矩阵分块转化为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B C D A b b c c b b c c d d a a d d a a G rr r rsr r s sr s ss s r s 1111111111111111其中B A ，分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，D 是r s ⨯阶矩阵，则有下面公式成立． C DB A B BCD A G 1--⋅==或C DA B A BCD A G 1--⋅==下面推导公式，事实上，当0≠A 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D BCA D A B C D A E CA E 1100 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---B C C DB A B C D A E DB E 0011 上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式．例 12 计算 8710650143102101=D这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行计算，若用前面介绍的公式则可以直接得出结果．令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8765B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001C ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321D 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001'A ，由公式(1) 知原行列式D CA B A BCD A 1--⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=43211001100187651001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=432187651 4444==0这个题还有个特点，那就是C A =，如果我们把公式变形，即D CA B A BCD A 1--⋅=D ACA AB D CA B A 11)(---=-=当C A =时，D ACA AB 1--CD AB D CAA AB -=-=-1，所以当C A =时，我们有CD AB BCD A -=，这样例题就可以直接写出答案了．参考文献:[1] 北京大学数学系，高等代数[M] (第三版)．北京：高等教育出版社，2003，9．[2] 张禾瑞，高等代数[M] (第四版)．北京：高等教育出版社，1997．[3] 丘维生，高等代数[M]．北京:高等教育出版社，1996，12．[4] 杨子胥，高等代数[M]．山东：山东科学技术出版社，2001，9．[5] 王萼芳，高等代数题解[M]．北京：北京大学出版社，1983，10．[6] Gelfand I M, Kapranov M M and Celvinskij A V. Discriminaants, redultants,and multidimensional determinants[M].Mathematics: Theory&Applications,Birkhauser Verlag,1994.[7] 徐仲，陆全等．高等代数导教·导学·导考.西安:：西北工业大学出版社,2004．[8] 陈黎钦．福建：福建商业高等专科学校学报，2007年2月第1期．11。

行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。

目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。

1.对角线法则此法则适用于计算低阶行列式的值（如2阶，3阶行列式的值），即主对角线的元素的乘积减去辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想是根据2阶，3阶行列式的定义计算行列式的值。

2.化为三角行行列式利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值上（下）三角形行列式及其值（1）上三角形行列式为D=|■(■(a_11&a_12@0_ &a_22 )&■(a_13&…&a_1n@a_23&…&a_2n )@■(0_ &0_ @⋮&⋮@0_&0_ )&■(a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮@0_ &…&a_nn ))|D=|■(■(a_11&a_12@0_&a_22 )&■(a_13&…&a_1n@a_23&…&a_2n )@■(0_ &0_ @⋮&⋮@0_&0_ )&■(a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮@0_ &…&a_nn ))|=|■(■(a_11&0&0@a_21&a_22&0@a_31&a_32&a_33 )&■(⋯&0@⋯&0@⋯&0)@■(⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&a_n3 )&■(⋮&⋮@⋯&a_nn ))| = a_11 a_12⋯a_nn即上（下）三角形行列式的值等于主对角线上的元素的乘积。

行列式的多种计算方法摘要：行列式是线性代数的一个重要组成部分，行列式的计算方法多种多样，常见的几种行列式的方法有：定义法、三角化法、降阶法、升阶法、递推法、归纳法、利用范德蒙德行列式法、变换元素法、拆项法、分解乘积法等，可根据行列式选择相应的计算方法，从而减轻计算量.关键词：线性代数、行列式、方法 正文：1定义法：n 阶行列式等于所有取自不同列的n 个元素的乘积的代数和．例1：nn n n n D ⨯-=000100002000010解：在n ！项中只有一项1n ),n 3,2(,11342312-=+-a a a a a a nn n n π且不为零 !n )1(n 1n 21)1()1(D 1n 1n 1123121n n ⋅-=⋅-⋅-=-=∴--+-- nn n n a a a a2 三角化法：通过变换将行列式变换成三角行列式，再利用形式求出行列式的值. 2.1特殊行列式n21nn n21nn n 21nn n 21*0000000*000000)1(λλλλλλλλλλλλ===⨯⨯⨯下三角行列式上三角行列式对角行列式n212)1(nn n21nn n21nn n n21)1(000000000000000)2(λλλλλλλλλλλλλ-⨯⨯⨯-===n n 次下三角行列式次上三角行列式次对角行列式2.2 箭形行列式例2 nn n n D ⨯= 001030100211111解：)11(!000300002011111221,3,21∑∑==⨯=-=-=-n j nn nj C jC nj nj n n j D j2.3 可化为箭形的行列式∏∑∏∑=∏===+===⨯--+=---+⨯------=------==≠=n 1i i i n1k 222n 1k i iC C n,2j n 333222111n 1i i i n 1133112211321r -r n2,i n 321321321321)x ()1(10101)(x11-0101-0011-)(x x 00x 0x 0x 00x x x D :,,2,1,3j11i a a x a a x a a x a a x a a a x a a x a a x a a x x a a a a a a a a a a ni a x x a a a a x a a a a x a a a a x D k k kkk n kk knn n n i i nn nnn n n解例3 降阶法 降阶法是利用行列式按其行（列）展开的性质，将高阶行列 式转化为低阶行列式进行计算)!1()1(21)1(00000000000)1(00000000000000000000004111+-=-++-+=-++=n b a ba b b b b a b a a b a a ab ba b a b a D n n n n n按第一列展开例4 升阶法 将原行列式增加一行一列，而保持原行列式值不变或与原行列式有某种巧妙的关系，且便于后面的计算)()1(000000001c c c c 010010011r r r r ,r r 0151n na x 112a x 11nn 1n 1312==-⋅-+=---+++---------=≠=-⨯---⨯n n nn ax a n n D a x a x ax na a x a x a x a a aa x a x a x a a a x a a a x a a a x a a a D a x x a a a a x a a a a x a a a a x D 时当时当例5 递推法：利用行列式的性质，找出所求行列式与其相应的n-1,n ，2-阶行列式之间的递推关系，再根据次递推关系式求出所给行列式的值:,)()(:,)()(00000000)(000000000611111得由此递推下去得递推公式由此例----⨯-⨯⨯⨯⨯-+-=-+-=---+-=+-=+-+++==n n n n n n n n n n nn nn n n n a x a D a x D a x a D a x a aa x a a x a ax D a x a a a a a x a a aa x a a a a x a x a a a x a a ax a a a x a a x a a ax a a a x a a a x x a a a a x a a aa x a a a a x D])1([)()()1()()(])())[((1111122a n x a x a x a n D a x a x a a x a D a x a x D n n n n n n n -+-=--+-=-+-+--=------6数学归纳法：先利用不完全归纳法寻找行列式之间的规律，得出一般性结论，再用数学归纳法证明其正确性，从而得出所给行列式的值)1(1n .)1)(11()11(1111)11(101111111111117111211121212121211112121∑∑∑-=--==+=-≥+=+⋅=++=+=+=≠+++=n i in n ni in n i in nn a a a a a D n a a a a D a a a a a D a a a D a a a a a a D的情形猜测正确，即设对假确的下面证明这一猜测是正于是可猜测解其中例11211212121111100000000011111111111111111111---+=+=+++++=n n n n n nn D a a a a D a a a a a a a a D于是又归纳假设得：)11()11(12111121121∑∑=-=--+=++=ni in n i i n n n n a a a a a a a a a a a a D故对一切自然数n 猜得正确，即1),11(121≥+=∑=n a a a a D ni in n 7 利用范德蒙行列式的结果计算：是将原行列式利用性质化成范德蒙行列式，再利用范德蒙行列式的结果计算出原行列式 例8n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x D32122322213211111----=n 阶范德蒙行列式为 ∏≤<≤-----=nj i i j n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a 111312112232221321)(1111解 构造n+1阶范德蒙行列式=)(x f 1,11,11,221,21,1)1()1(123211213231222112132111111+++-+--+++⨯+----------+++=n n n n n n n n n n n n n nn n n nn n nn n n n n n n n n n n A x A x A x xA A x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x∏≤<≤-⋅---=ni j j in x xx x x x x x 121)()())((1,1,++-==n n n n n A M D 由f(x)的表达式知，1-n x 的系数为∏∏≤<≤≤<≤+-+++=∴-+++-=ni j j in n ni j j in n n x xx x x D x xx x x A 1211211,)()()()(8 拆项法：当行列式中的元素有两数相加时将原行列式拆成n 个简单的行列式加以计算例9 设nnn na a a a D1111= nnn n n nn n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a D +++++++++=221122221211212111 解nnn n n n n nn n x a x a a x a x a a x a x a a D ++++++=221222221121211nnn n nn n n x a x a x x a x a xx a x a x +++++++2212222112121∑=+++++++=n i i nnn n n nn nn A x x a x a a x a x a a x a x a a 111221222221121211∑∑∑∑====+=+++==ni ij nj j ni i ni in n A x D A x A x D 1111119 变换元素法：变换所给行列式中元素的形式，再利用已知行列式的结果，最终得到所求行列式的结果例10211121112a a aa a a D n ------=解令a x -=1，由（拆项法例题结果）知∑∑==-++++=-++-+-+-+-++-+-+-+-++=ni nj ijn A a aa a a a aaa a a a a a a a D 11)1(10010001111010101110101011因为)]1()1[()1(0)1(11n a n a D j i j i a A n n n ij -+++=∴≠= ⎝⎛-=-- 10 分解乘积法：根据所给行列式的特点利用行列式的乘法公式，把所给行列式分解成两个易求解的行列式之积，通过对这两个行列式的计算，从而得到所给行列式之值 例11nn n n n n nnn b a b a b a b a b a b a b a b a b a D ⨯+++++++++=212221212111解213))((0000001111001001001001122111321321==≥⎪⎩⎪⎨⎧--+=⋅=n n n b b a a b a b b b b a a a a D n nn总结：对于低阶行列式的计算常常采用定义法、三角化法和降阶法，但降阶法一般用于零元素较多的行列式，或可以化成零元素较多的行列式；而利用升阶法计算的行列式应满足各行（列）含有共同元素的特点，且升降阶的最终目的是为了降阶；而递推法则满足n-1,n-2……阶行列式之间存在一定的递推关系的特点；而归纳法计算行列式则满足当n=1时成立，假设n=k 时成立时n=k+1时也成立的特点；而如果运用范氏行列式应满足范氏行列式的形式特点；对于拆项法则行列式中有和的形式。

行列式的计算方法总结大全
行列式的计算方法有很多种，以下是其中一些常见的方法：
1. 代数余子式法：利用代数余子式展开式，将行列式按某一行或某一列展开，然后计算各项的代数余子式的乘积之和，即可求出行列式的值。

2. 递推法：利用递推关系式，将行列式按某一行或某一列展开，然后逐步递推，即可求出行列式的值。

3. 归纳法：利用归纳法，通过观察和分析较小的行列式，逐步归纳出行列式的展开规律，然后逐步展开，即可求出行列式的值。

4. 矩阵相乘法：将行列式转换为矩阵相乘的形式，然后利用矩阵相乘的性质，计算行列式的值。

5. 元素替换法：利用元素替换的性质，将行列式中的某些元素替换为已知的值，然后逐步简化，即可求出行列式的值。

以上是常见的行列式计算方法，不同的行列式可能需要采用不同的方法进行计算。

在具体计算时，需要根据具体情况选择适合的方法。

行列式的计算方法总结行列式是一种矩阵数学表示，用于显示方阵（行数等于列数）中元素的等式关系。

行列式的计算是一个非常重要的研究内容，它的计算方法很多，下面就来总结几种常见的计算方法。

一、基本定义行列式的基本定义是由一个n阶行列式的n阶子式构成的，比如有一个3阶的行列式：a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33它的子式就是第1行的3个元素的乘积（a11*a22*a33），第2行的3个元素的乘积（a12*a23*a31），第3行的3个元素的乘积（a13*a21*a32），这三项之和就是该行列式的值。

二、Cauchy-Binet公式Cauchy-Binet公式是一种由刘易斯凯西（LouisCauchy）和梅勒尔比乃（MerilBinet）发现的用于计算行列式的公式，它可以将一个行列式分解成几个较小的行列式之积，具体的计算方法如下：（1）计算矩阵A中行组合及列组合的元素，如a12、a13等；（2）用这些元素构成新的矩阵，如A12、A13等；（3）对于新构成的矩阵，计算它们各自的行列式，将此行列式相乘，就是原矩阵A的行列式。

三、分块计算分块计算，也叫做分解计算，可利用小行列式的特性，将大行列式逐块分解成一系列的小行列式，由于小行列式的简单性，可以简单地计算出它们的值，然后将各个小行列式值相乘，就可以求出大行列式的值。

四、Schur补充定理Schur补充定理是由Issai Schur在1903年提出的行列式计算方法，它可以从一个行列式中减去部分行或部分列，把一个大的行列式分解成几个小的行列式的乘积，这样可以大大简化计算过程：（1）从一个行列式中去掉一行（或一列）；（2）对每一行（或列）的元素算出相应的行列式；（3）将各行列式的值乘起来，即可求出原行列式的值。

五、拆式法拆式法是一种将行列式分解为更小行列式之积的方法，它以行列式中每一行（或列）元素的乘积作为一个原子子式，把一个大行列式拆分为一系列小行列式。