第二讲 趣味一笔画

好玩数学——2、有趣的一笔画知识点拨——“一笔画”就是从图形上某点出发，笔不离开线，并且每条线都只画一次，不重复。

知识点1：偶点——从某一点出发的线的条数是双数。

知识点2：奇点——从某一点出发的线的条数是单数。

判断一笔画的方法：一个图形能否一笔画成，关键在于图形中奇点的个数。

如果图形中没有奇点或只有两个奇点，这个图形就一定能够一笔画成。

其他情况的图形都不能一笔画成。

例题1：下面这些图形能一笔画成吗？如果能，请画一画；如果不能，请说明理由。

尝试练习一：先想一想能不能一笔画成？如果能，画一画。

例题 2 ：下图中的线段代表小路，请你考虑一下，能够不重复地走遍小路的是甲还是乙？尝试练习二：游人在下面示意的公园小路上散步，能否一次不重复地走遍所有路线后回到出发点？例题3 下图能否一笔画成？若不能，你能用什么方法可以把它改成一笔画成的图形吗？尝试练习三：将下图加最少的线，改成一笔画的图形，并标出路线图。

例题4 下图是某小区街道的平面图。

甲、乙两人同时分别从A 、B 出发，以相同的速度走遍所有街道，最后到达C ，请问：谁能先到达C ？例题5 2008年在北京召开了第29届奥运会，你能一笔画出奥运五环吗？尝试练习5、一只小狗由A 点出发，到达B 点，必须不重复地经过每一条线，你能想出行走路线吗？A B C闯关练习1、 下面图形能否一笔画成，能的打“√”不能的打“×”（1） （2） （3）（4） （5） （6）2、小红到公园游玩，她能否一次不重复地走遍所有的路线？3、将下图中只去掉一条线段，使其变成一笔画图形，并标出线路图。

4、将下图添加最少的线改成一笔画图形，并画出线路图。

（ ） （ ） （ ）（ ） （ ） （ ）。

第二讲 有趣的一笔画姓名知识拓展【 “一笔画”是一种著名的数学游戏。

一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。

一个图形能不能一笔画成，可以通过计算图中的奇（ji ）点个数来判断.所谓奇点,是指从这点引出的线条数是奇数(单数)，如果一个图形是封闭的，并且奇点的个数是０或者是２，那么这个图形可以一笔画成。

】１．填空：下列图中有几个奇点 。

２．下列各图哪些可以一笔画出，哪些不能？为什么？() ( )( ) ( )( ) ( )３．下面各图能不能一笔画成？为什么？把一笔画的图形的画法用字母和箭头表示出来。

Ｆ（２）Ｂ Ｅ４．下面是“奥林匹克运动会会标”，你能一笔把它画出来吗？５．下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路而又不重复，出、入口应该设在哪里？ＩＨ６．一张纸上画有下图所示的图形，你能否用剪刀一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角形？ＡＤＢＨＣ◎知识巩固1、某数加上11、减去12、乘以13、除以14得26，求这个数是多少？2、小林在做一道加法题时，把一个加数十位的9错看成6，把另一个加数个位上的5错看成2，这样算的结果味352，正确的和是多少？3、小明在计算20×（□－2）时，没有注意题里的括号，错算成20×□-2，结果得198。

这道题应该得多少？4、三棵树上停着24只鸟，如果从第一棵上飞4只到第二棵树上，再从第二棵树上飞5只到第三棵树上去，那么三棵树上的小鸟只数都相等。

这三棵树上原来各有多少只鸟？5、用一个杯子向一个空瓶里倒水，如果倒进3杯水，连瓶共重440克，如果倒进5杯水连瓶重600克。

想一想：一杯水和一个空瓶各重多少克？。

第二讲趣味一笔画【知识导航】小朋友们，你喜欢画简笔画吗？你知道画画中也有数学问题吗？这一讲，我们就来了解关于画画的数学问题：一笔画。

什么叫一笔画呢？一笔画就是要一笔画成有关的图形，在画的过程中笔不离开纸，并且每条线只能画一次，不能重复。

下面三个图形，请你试一试，能不能一笔画成？O O在做这类题目前，我们先研究一下组成图形的点和线。

根据从某一点发出的线数量的不同，我们把这些点分成“单数点”和“双数点”。

单数点就是从这一点出发，引出来线的数量有1条、3条、5条……都是单数条，这样的点就叫单数点。

而双数点就是从这一点出发，引出来线的数量有2条、4条、6条……都是双数条，这样的点就叫双数点。

那么，判断一幅图能否一笔画成，有什么规律吗？规律：（1）凡是图中没有单数点的一定可以一笔画成。

（2）只有2个单数点，一定可以一笔画成，画时必须以一个单数点为起点，最后以另一个单数点为终点。

（3）图形中只有一个单数点，或者单数点的个数多于两个，此图形不能一笔画成。

【例1】下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？（1） O （2）B D（3）【思维点拨】图（1）中A、B、C、D、O五个点都是双数点，所以这个图形可以一笔画成。

画时可以从任意一点出发。

图（2）中A、C、D、F四个点都是双数点，B和E两个点是单数点，所以这个图形也可以一笔画成。

画时要从单数点出发，最后回到另一个单数点。

图（3）中A、D是双数点，B、C、E和F四个点是单数点，单数点的个数超过了两个，这个图形不能一笔画成。

【例2】下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？A【思维点拨】这是由两个圆重叠成的图形，同样，我们也要看看图中单数点和双数点的情况。

图中A、B两个点都是双数点，这个图形可以一笔画成。

画时可以从任意一点出发。

【例3】用一笔画成四条线段把所有的点连起来，怎样画？【思维点拨】此图通过试画，似乎不可以画，但通过仔细观察，对照一笔画的规律，便可发现，若添上两个辅助点，就可画成。

二年级奥数：《有趣的一笔画》（预热）前铺知识一、认识单双数单数：1、3、5、7、9、11……双数：0、2、4、6、8、10……（注意：0是最小的双数）二、了解一笔画的初步概念对于一笔画的具体条件，我们上课的时候会加以说明，但是一笔画出的意义，可以让孩子提前有所认识：笔不离开纸，不来来回回重复画，一笔画成.比如：乙日十这三个字中，前两个是可以用一笔写出来的，而第三个则不可以.三、找规律品川这两个字显然都不能用一笔画画出，它们之间有什么共同点呢？尝试可以发现要想画完整笔都得离开纸，也就是说是断开的，没有连通，也叫不连通.所以一笔画的要求是首先得是连通图.本讲重点这一讲的知识实际上是比较特别的，是否能够一笔画用数学知识来概括的非常的复杂，但是同学们却能够通过找规律发现本堂课的知识并很好的掌握.同时可以培养孩子平时找规律的习惯，这也是数学题目中常见的一种方法，也是一种非常科学的思维习惯——归纳与演绎.三年级的时候我们会进一步教同学们多笔画的知识，对奇点偶点的判断也是学习这类型问题的基础.如何预习？为了保护孩子课前的好奇心和学习兴趣，以及保证课堂效果，家长在给孩子预习的时候，一定要把握好度.预习，切忌给孩子讲解书本上的例题和知识点，因为孩子容易先入为主，如果家长选取的方式方法不当，那么孩子很难转换思路了；另外，家长给孩子讲过例题后，孩子可能会觉得自己已经学会了，上课的时候就不愿意认真听了.我们预习的目的是回顾这一讲课前的铺垫知识，以及引起孩子的思考，因此家长可以把我们的这份预习资料打印出来，让孩子自己看一看，如果孩子有不明白的，您可以适当点拨.《有趣的一笔画》【知识点总结】一、什么是一笔画？特点：笔不离纸，不重复，一笔画成.前提：能一笔画的图形必须是连通图.【例】：下面的图形能不能一笔画成？都不能，因为都不是连通图.二、单数点和双数点1. 单数点：从该点出发一共有单数条线的点；2. 双数点：从该点出发一共有双数条线的点.判断小技巧：可以想象自己站在那个点有几条路可以走.（上，下，左，右）三、一笔画的判定1. 图形是连通图2. 有0个或2个单数点的能一笔画3. 超过2个单数点的不能一笔画【例】下面的图形哪些可以一笔画成？2个单数点4个单数点0个单数点可以一笔画不能一笔画可以一笔画四、如何一笔画1.有0个单数点的：同进同出.意思是从哪一个点开始画就哪一个点结束.2.有2个单数点的：单进单出.意思是从一个单数点开始画，另一个单数点结束.五、多笔画变一笔画方法：添（去）单数点之间的线【例】下面的图形都不能一笔画，想办法给每个图形添加一条线段让它变成可以一笔画的图形.（1）（2）（1）（2）本来的图形都有4个单数点不能一笔画，单数点多了，至少得变成2个单数点才能一笔画，那就想办法让其中两个单数点变成双数点，只要在任意两个单数点间添上一条线就可以了.六、一笔画的应用方法：画点线图画法：区域成点，通道成线.【例】下图是一幅简易地图，能不能一次性不重复地走完所有的路.乙村甲村丙村首先要明白题意，把人看成笔，就变成了一次性不重复地画完所有的路，其实就是一笔画！先画出点线图：甲村，乙村，丙村看成点，道路看成线.再判断：有两个单数点，可以一笔画.甲→乙→丙→甲→乙【学习建议】本讲讲的是一笔画，首先要了解什么是一笔画，再学会如何判断能不能一笔画，怎么画？问清楚自己这几个问题简单的一笔画就没问题了.然后再去拓展一笔画的应用，以及初步掌握多笔画如何变成一笔画，更多关于多笔画的内容我们在三年级还会遇到.最后，学习这讲的内容还需要同学们勤标记，多尝试，记规律.《有趣的一笔画》练习1. 判断下面的图形能不能一笔画？为什么？A B C D2. 下面的图形都是不能一笔画成的，你能不能去掉一条线，使他们变成一笔画？3. 下面是一座公园的道路设计图，问能不能一次不重复的把所有小路都走遍？要从哪里开始？HGA D FE CB4、小明要把四个三角形和一个正方形一次性从纸上剪下来，他能做到吗？5、平安小镇上有两个邮递员，甲邮递员喜欢从A 点出发开始送信，乙邮递员喜欢从B点出发开始送信，他们俩都选择最优路线，谁能更快的跑遍多有的街道呢？6. 幸福乡有四个村庄，幸福河从村庄间流过，村民们在河上一共建了5 座桥，问来到幸福乡的人能不能一次不重复地走遍所有的桥.答案解析1.①0个单数点，可以一笔画；②0个单数点，可以一笔画；③4个单数点，不可以一笔画；④2个单数点，可以一笔画2. 答案不唯一.3.图中有两个单数点A和H，从A或H开始就能一笔画.4.有两个单数点，可以一次性剪下所有的图形.5.图中有两个单数点A和E，从单数点出发可以不重复地跑遍所有街道，从B点出发必须要重复才能跑遍多有街道，所以从A点出发的甲邮递员更快.6. 画点线图如下，有两个单数点，所以可以一次不重复走遍所有的桥.。

第二讲有趣的一笔画一、什么是一笔画1.笔不离纸2.不走回头路二、一笔画的特点1.必须是连通图2.不是所有的连通图都能一笔画三、辨别一笔画（关键看奇点）奇点个数为0：同进同出奇点个数为2：一进一出注意：奇点不可能是单数四、变多笔画为一笔画连接奇点，减少个数五、点线图（具体→抽象）区域成点，通道成线六、多笔画最少笔画数：奇点÷2——潘宇晶老师例1、你能试着用一笔把下列图形画出来吗？如果可以，说说你是怎么画的？解析：经过我们的的尝试，我们发现（1）（2）（3）（6）（7）这几个图形可以一笔画完成，那么有没有藏了什么秘密在里面呢？这里我们就要介绍在一笔画里面非常重要的两个点了，它们叫做奇点和偶点。

大家看（如下图）像这样，从一个点出发，射出来的线是1条，3条，5条等等为奇数条线的点为奇点；相对应的，从一个点出来，射出来的线是2条，4条，6条等等为偶数条线的点为偶点。

（1）2个奇点，可以一笔画。

（2）都是偶点，可以一笔画。

（3）都是偶点，可以一笔画。

（4）4个奇点，不可以一笔画。

（5）4个奇点，不可以一笔画。

（6）2个奇点，可以一笔画。

（7）2个奇点，可以一笔画。

最后我们总结出：有0个或者2个奇点的连通图能够一笔画成，否则不能一笔画成。

例2、下面的图形都不能一笔画，请你去掉其中一条线，使它能够一笔画。

（3）解析：在两个奇点中间去掉一条线段就可以减少两个奇点，我们只要找到可以其中的4个奇点，破坏掉其中2个就可以了。

（1）（答案不唯一）（2）（3）1、下图是一个大型花池中小路的平面图，如果想不重复的一次走完 所有的小路，进出口应设在什么地方？2、下面的图形都不能一笔画成，你能否在每个图中添上一条线段， 使它变得能一笔画成。

A H GA DB I FB CC D E(1) (2)3、画出下面的图，要求画过的线段不能重复画，那么这个图形最少（）笔才能画出。

（2008 年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）1、〔分析与解答〕：观察图中发现每一个点都是偶点，所以进出口设在任意点上都可以，同一点进出。

所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点． 一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成．模块一、判断奇偶点【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？J O I H G FED CBA【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I 【答案】奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I【例 2】 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要 种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就 （填“能”或“不能”）完成任务.【考点】一笔画问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第10题 【解析】 最少需要3种颜色的旗子。

因为中间的三点连成一个三角形，要使这三点所代表营地两粮相邻，要使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。