辽宁省沈阳二中高三数学必修5课件：均值不等式(2)(新人教b版)

1．运用均值不等式比较大小时应注意成立ห้องสมุดไป่ตู้条件，即 a ＋b≥2 ab成立的条件是 a>0，b>0，等号成立的条件是 a＝b； a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R，等号成立的条件是 a＝ b.
2．本题在比较 a＋b 与 a2＋b2 的大小时使用了作差法．
已知 a>b>1，P＝ lg a·lg b，Q＝12(lg a＋lg b)，R＝lga＋2 b， 试比较 P、Q、R 的大小．
3．在 a>0，b>0 时，用 a， b分别代替 a、b，可以得 到什么结论？
【提示】 a＋2 b≥ ab.
1．均值定理 如果 a，b∈R＋，那么a＋2 b ≥ ab.当且仅当 a＝b 时， 等号成立．以上结论通常称为均值不等式． 2．算术平均值与几何平均值 对于任意两个正实数 a，b，数a＋2 b叫做 a，b 的算术平 均值，数 ab叫做 a，b 的几何平均值． 3．均值定理可以表述为：
【自主解答】 ∵0<a<1,0<b<1，a≠b； ∴a＋b>2 ab，a2＋b2>2ab； ∴四个数中最大的应从 a＋b，a2＋b2 中选择． 而 a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)， 又∵0<a<1,0<b<1，∴a(a－1)<0，b(b－1)<0， ∴a2＋b2－(a＋b)<0，即 a2＋b2<a＋b， ∴a＋b 最大．
若 x>0，求 f(x)＝1x2＋3x 的最小值． 【解】 ∵x>0，∴f(x)＝1x2＋3x≥2 1x2·3x＝12， 当且仅当 3x＝1x2即 x＝2 时，“＝”成立． ∴f(x)的最小值为 12.
利用均值不等式证明不等式 已知 a、b、c>0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.

2 要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.
跟踪训练 1 当 a＞0，b＞0 时，求证：1a＋2 1b≤ ab.
证明 ∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2 ab＞0，
∴1≤ a＋b 2
1ab，∴a2＋abb≤22aabb＝
ab.
又∵a2＋abb＝1a＋2 b1， ∴1a＋2 1b≤ ab(当且仅当 a＝b 时取等号).
题型三 用均值不等式比较大小
例3 某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的
增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则
a＋b A.x＝ 2
√ a＋b B.x≤ 2
a＋b C.x＞ 2
a＋b D.x≥ 2
a＋b 反思感悟 均值不等式 2 ≥ ab一端为和，一端为积，使用均值不等式比 较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和.
a＋b
a＋b
2 ＝ ab；另一方面：当 2 ＝ ab时，也有 a＝b.
2.在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多
项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式.
解析 ∵lg 9>0，lg 11>0，
∴lg
9×lg
11<lg

9＋lg 2
112＝lg(9×2 11)2
＝lg2992<lg 21002＝1， 即lg 9×lg 11<1.
12345
5.设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a； ③(a＋b)a1＋1b≥4；
②a＋1ab＋1b≥4； ④a2＋9>6a.
其中恒成立的是__①__②__③__.(填序号)
12345

四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
1
2
6
变式1、求函数 f
相应的 x
(x) 值。
x2 x4
2
(x

0)的最大值以及
解：
x2
1
1
f (x)
x4
2

x2
2 x2

2
2
2 4
x 4 2, f (x)max
2 4
变式2、求函数 f (x) x2 x 4 (x 1) 的最大值以
及相应的x 值。x 1
x
以及此时的x 值。
解：f (x) 1 (2x 3) 因为x 0,所以2x 3 2 6
x
x
（ - 2x 3 ) 2 6 因此f (x) 1 2 6 x
当且仅当2x 3 ,即x2 3 时，式中等号成立
x
2
由于x 0，因而x
6 2
时,
f
(x)max

求它的横、纵坐标之积的最大值，以及此时点 P 坐标。
2 (1, 2)
2、已知
x

2,
y

4,
xy

32，求

(3)×. 因 为 当
x>1
时 ， x － 1>0 ， 则
f(x)
＝
x
＋
1 x－1
＝
(x
－
1)
＋
1 x－1
＋
1≥2 x－1·x－1 1＋1＝3.
当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2 时，函数 f(x)的取到最小值 3.
(4)×.因为由 log3m＋log3n＝4，得 mn＝81 且 m>0，n>0，而m＋2 n≥ mn＝9， 所以 m＋n≥18，当且仅当 m＝n＝9 时，
1.所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用均值 不等式的“题眼”.可尝试用均值不等式证明.
2.利用均值不等式证明不等式的策略 从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经 过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”， 逐步推向“未知”.
(1)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋ bc＋ca 的大小关系是______.
(2)给出下列命题： ①若 x∈R，则 x＋1x≥2； ②若 a＞0，b＞0，则 lg a＋lg b≥2 lg a·lg b；
③若 a＜0，b＜0，则 ab＋a1b≥2； ④不等式yx＋xy≥2 成立的条件是 x＞0 且 y＞0.其中正确命题的序号 ________.
【自主解答】 设每间虎笼长 x m，宽 y m， 则由条件知，4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18. 设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy.
法一：由于 2x＋3y≥2 2x·3y＝2 6xy，
所以 2 6xy≤18，得 xy≤227，
即 Smax＝227，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立.

两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
思考：应用上述两个结论时，要注意哪些事项？
提示：应用上述性质时注意三点：(1)各项或各因式均为正；
(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．即
“一正二定三相等”。
基础自测
下列不等式中正确的是( D )
4
A．a＋a≥4
，即 x＝2时取等号．
4x－5
3
1
∴当 x＝2时，4x－2＋
取得最小值 5.
4x－5
5
(2)∵x< ，∴4x－5<0，∴5－4x>0，
4
1
1
∴4x－2＋
＝4x－5＋
＋3
4x－5
4x－5
1
＝－[(5－4x)＋
]＋3≤－2
5－4x
1
5－4x·
＋3
5－4x
＝－2＋3＝1，
1
当且仅当 5－4x＝
，即 x＝1 时取等号．
值之间有什么相对大小关系呢？
从具体实例中可以看出，两个正数的算术平均值大于
或等于它们的几何平均值。一般地，我们有如下结论。
均值不等式 如果 a，b 都是正数，那么
＋

≥
当且仅当a=b时，等号成立。
证明：因为a，b都是正数，所以
＋

＋
即

－ =
＋－

=
( － )²
典例剖析
利用均值不等式求最值
1．和为定值求积的最值
1
已知 0<x< ，求代数式 x(1－3x)的最大值．
3
思路探究：由题可知1－3x>0，配凑x的系数，易知3x＋(1－3x)

均值不等式的形式与性质
基于基本不等式的证明：利用基本不等式证明均值不等式的方法是最常用的方法之一。
均值不等式的证明
均值不等式的应用
03
1
均值不等式在数学中的应用
2
3
利用均值不等式可以简洁明了地证明一些不等式成立。
证明不等式
通过运用均值不等式，可以求出函数的最值，使函数取得最优解。
解决最值问题
在求解一些方程时，运用均值不等式能够简化计算，提高解题效率。
均值不等式的现代形式
对于任意正数$a$和$b$，总有$(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
均值不等式的推广形式
均值不等式的定义
形式
均值不等式有许多形式，如$A \geq B \geq C \geq D$，其中A、B、C、D是实数或变量。
性质
均值不等式具有对称性、传递性和可加性等性质。
求解方程
03
生产计划
通过均值不等式，可以帮助生产厂家制定生产计划，实现产能和成本的最优配置。
均值不等式在经济学中的应用
01
投资组合选择
在确定投资组合时，利用均值不等式可以找到最优投资组合的比例，以实现最大收益。
02
资本预算
在资本预算中，运用均值不等式可以确定最优资本结构，以最小成本获得最大收益。
教学内容的难度和深度需要进一步调整和完善
虽然小组讨论的教学方式有助于培养学生的合作精神和思维能力，但在实际操作中容易出现小组讨论不够充分、讨论方向偏离主题等问题。因此，在今后的教学中，我将更加注重小组讨论的组织和引导，确保学生能够充分参与到讨论中，并沿着正确的方向展开讨论。
小组讨论的组织需要更加严谨

为297 600元．
典例解析
均值不等式在生活中的应用
【解题反思】如何利用基本不等式求解实际问题？
答：利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标
量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及
取最大(小)值的条件．
典例解析
均值不等式在生活中的应用
例3. 过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于
1

2
≥


＋
4，当且仅当ቐ 1 2
+


=1
，即 = 2， = 4
时，取“＝”号．
∴ ∆
4 = 0.

的面积最小时，直线l的方程为2

+
4
= 1，即2 + −
典例解析
均值不等式在生活中的应用
变式3. 如图，一份印刷品的排版面积(矩形)为A，它的两边都留
有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为b的空白．如何选择纸
典例解析
均值不等式在生活中的应用
变式1. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，
一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1) 现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的
长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2) 若使每间虎笼面积为24 m2 ，则每间虎笼的长、
宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网
m3 ，深为3 m，如果池底每1 m2 的造价为150 元，池壁每1 m2
的造价为120 元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总
造价是多少元？
解：设水池底面一边的长度为 m，则另一边的长度为
再设水池总造价为y元，则根据题意，得

还有没有其它的证明方法证明上面 的基本不等式呢?
几何直观解释：
令正数a，b为两条线段的长，用几何作
图的方法，作出长度为 a ? b
2
和
ab
的两条线段，然后比较这两条线段的长。
具体作图如下：
（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,
（2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平 均数不小于它们的几何平均数。
3.我们把不等式 a ? b ? ab (a≥0,b≥0)
2
称为基本不等式
把
a
? 2
b
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
并说明此时x,y的值． 当x=6,y=4时,最小值为48
2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值最．小值为8
3.已知x<0，求函数 f ( x) ? x ? 2 的最大值.
x
4
?2 2
已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u
?
1? x
1 y
的最小值．
3? 2 2
当且仅当x=y时，式中等号成立，
此时x=y=10。
因此，当这个矩形的长与宽都是10m时， 它的周长最短，最短周长是40m.
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以，xy ≤ x ? y
2

ຫໍສະໝຸດ 解答0102
03
解答1
解答2
解答3
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$进行平方，得到 $(a+b)^2 geq 4ab$。然后，我们展 开并整理得到$(a-b)^2 geq 0$，由 于平方数总是非负的，所以原不等式 成立。
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$进行 平方，得到$(a+b)^2 geq a^2+b^2$。然后，我们整理得到 $ab geq 0$，由于$a > 0$且$b > 0$，所以$ab geq 0$成立，原不等 式也成立。
CHAPTER
03
均值不等式的证明方法
代数证明方法
代数证明方法是通过代数运算来 证明均值不等式的一种方法。
常用的代数证明方法包括比较法 、反证法、归纳法等。
这些方法通常需要使用基本的代 数公式和不等式性质，通过一系 列的推导和变换来证明均值不等
式。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和 面积来证明均值不等式的一种方
均值不等式ppt课件
CONTENTS
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的证明方法 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的变体 • 习题与解答
CHAPTER
01
均值不等式的定义
均值不等式的文字描述
• 均值不等式的文字描述为：“对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$ ，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时取等号。”

课前热身：
1、均值不等式：
ab ab(a,bR) 2
2、均值不等式的变形：
ab2 ab(a,bR)
ab(ab)2 (a,bR)
2
3、重要不等式的变形：ab
a2
b2
2
三、典例分析：
例1、求函数
2x2 f(x)
x3(x0） 的最大值，x来自以及此时的x 值。解 f( x ) ： 1 ( 2 x 3 )因 x 0 ,为 所 2 x 3 以 26
2
当 32x2x1即 x 1 时，
2
y有最大值4。
变式1、已知 0 x 1 ，求函数 yx(13x)
的最大值。 3
提示：yx(13x)13x(13x) 3
1
12
变式2、已知 x , y 都是正实数，且x4y 1 求 x y 的最大值。（有几种方法？）
1
16
例3、设
x, y R ,
且x2
y2 2
1
求 x 1 y 2 的最大值。
解：
x 1 y 222 x 21 y 22 2 x 2 1 y 2 32
2
22 4
练习：已知 a,b R，且 ab3
求 a1 b1 的最大值。
5
2
四、课堂练习： 1、已知点 P ( x, y )在直线2xy40上运动，
求它的横、纵坐标之积的最大值，以及此时点 P 坐标。
2 (1, 2)
2、已知
x2,y4,xy32，求
log2
x 2
log2
y 4
的最大值，以及相应的 x , y 值。
1 x4, y8
五、高考再现：
已知：x 0 ,y 0 ,x 2 y 2 x y 8
则x 2 y 的最小值是多少？