下载文档原格式
桐乡第一中学等四校2015届高三上学期期中联考数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1．已知全集U=R ，集合A ={}0,2|>-<x x x 或，B ={}11|<xx ，则=⋂B A C U )( （A ）(2,0)- （B ）)0,2[-（C ）φ （D ）(2,1)-2.若0.522,log 3,log 2a b c π===，则有 （A ） a b c >> （B ）b a c >> （C ）c a b >> （D ）b c a >>3.设,a b 为实数，命题甲：2ab b > .命题乙：110b a<< ，则甲是乙的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 4.已知{}n a 是等比数列，其中18,a a 是关于x 的方程22sin 0x x -αα=的两根，且21836()26a a a a +=+，则锐角α的值为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）512π 5．设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题．．．不成立的是 （A ）当α⊥c 时，若c ⊥β，则α∥β （B ）当α⊂b 时，若b ⊥β，则βα⊥ （C ）当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若c b ⊥，则b a ⊥ （D ）当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c6．已知α为第二象限角，sin cos 3αα+=，则cos2α= （A）3 （B）9 （C）3-（D）9-7．如果在约束条件1020(01)0x y x y a ax y -+≥⎧⎪+-≤<<⎨⎪-≤⎩下，目标函数x ay +最大值是53，则a ＝（A ）23 （B ）13 （C ）1123或 （D ）128．点P 是双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与圆22222:b a y x C +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中1F 、2F 分别为双曲线1C 的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为（A1（B）12+ （C）12（D ）1 9.已知一个高度不限的直三棱柱111ABC A B C -，4AB =，5BC =，6CA =，点P 是侧棱1AA 上一点，过A 作平面截三棱柱得截面,ADE 给出下列结论：①ADE ∆是直角三角形；②ADE ∆是等边三角形；③四面体APDE 为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体。
2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2015•江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分）（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．（5分）（2015•江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5，∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8，S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8，S=7，I=10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．（5分）（2015•江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015•江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可．解答：解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为（﹣1，2）．考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1，2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．（5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分）（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y ﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．11．（5分）（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．点评：本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0，因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g （x ）与φ（x ）=﹣f （x ）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数为4． 故答案为：4． 点评：本题考查求方程|f （x ）+g （x ）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）（2015•江苏）设向量=（cos，sin+cos）（k=0，1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为 ．考点：数列的求和． 专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用． 分析： 利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 解解：答：=+=++++=++=++，∴（a k •a k+1）=+++++++…+++++++…+=+0+0 =．故答案为：9．点评： 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．考点： 余弦定理的应用；二倍角的正弦． 专题： 解三角形． 分析：（1）直接利用余弦定理求解即可． （2）利用正弦定理求出C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可． 解答：解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB ＜BC ，∴C 为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（14分）（2015•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f （t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．解答：解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②设g（t）=，则g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，从而t=10时，函数g（t）有极小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．18．（16分）（2015•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．解答：解：（1）由题意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，则b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）当AB⊥x轴，AB=，CP=3，不合题意；当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，则x1+x2=，x1x2=，则C（，），且|AB|=•=，若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；则k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），从而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=±1，此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．20．（16分）（2015•江苏）设a1，a2，a3．a4是各项为正数且公差为d（d≠0）的等差数列．（1）证明：2，2，2，2依次构成等比数列；（2）是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列？并说明理由．考点：等比关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据等比数列和等差数列的定义即可证明；（2）利用反证法，假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，推出矛盾，否定假设，得到结论；（3）利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，得到a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），利用等式以及对数的性质化简整理得到ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln （1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**），多次构造函数，多次求导，利用零点存在定理，推出假设不成立．解答：解：（1）证明：∵==2d，（n=1，2，3，）是同一个常数，∴2，2，2，2依次构成等比数列；（2）令a1+d=a，则a1，a2，a3，a4分别为a﹣d，a，a+d，a+2d（a＞d，a＞﹣2d，d≠0）假设存在a1，d使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列，则a4=（a﹣d）（a+d）3，且（a+d）6=a2（a+2d）4，令t=，则1=（1﹣t）（1+t）3，且（1+t）6=（1+2t）4，（﹣＜t＜1，t≠0），化简得t3+2t2﹣2=0（*），且t2=t+1，将t2=t+1代入（*）式，t（t+1）+2（t+1）﹣2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0，则t=﹣，显然t=﹣不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．（3）假设存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列，则a1n（a1+2d）n+2k=（a1+2d）2（n+k），且（a1+d）n+k（a1+3d）n+3k=（a1+2d）2（n+2k），分别在两个等式的两边同除以=a12（n+k），a12（n+2k），并令t=，（t＞，t≠0），则（1+2t）n+2k=（1+t）2（n+k），且（1+t）n+k（1+3t）n+3k=（1+2t）2（n+2k），将上述两个等式取对数，得（n+2k）ln（1+2t）=2（n+k）ln（1+t），且（n+k）ln（1+t）+（n+3k）ln（1+3t）=2（n+2k）ln（1+2t），化简得，2k[ln（1+2t）﹣ln（1+t）]=n[2ln（1+t）﹣ln（1+2t）]，且3k[ln（1+3t）﹣ln（1+t）]=n[3ln（1+t）﹣ln（1+3t）]，再将这两式相除，化简得，ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t）=4ln（1+3t）ln（1+t），（**）令g（t）=4ln（1+3t）ln（1+t）﹣ln（1+3t）ln（1+2t）+3ln（1+2t）ln（1+t），则g′（t）=[（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t）]，令φ（t）=（1+3t）2ln（1+3t）﹣3（1+2t）2ln（1+2t）+3（1+t）2ln（1+t），则φ′（t）=6[（1+3t）ln（1+3t）﹣2（1+2t）ln（1+2t）+3（1+t）ln（1+t）]，令φ1（t）=φ′（t），则φ1′（t）=6[3ln（1+3t）﹣4ln（1+2t）+ln（1+t）]，令φ2（t）=φ1′（t），则φ2′（t）=＞0，由g（0）=φ（0）=φ1（0）=φ2（0）=0，φ2′（t）＞0，知g（t），φ（t），φ1（t），φ2（t）在（﹣，0）和（0，+∞）上均单调，故g（t）只有唯一的零点t=0，即方程（**）只有唯一解t=0，故假设不成立，所以不存在a1，d及正整数n，k，使得a1n，a2n+k，a3n+2k，a4n+3k依次构成等比数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题．三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）【选做题】本题包括21-24题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2015•江苏）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D．求证：△ABD∽△AEB．考点：相似三角形的判定．专题：推理和证明．分析：直接利用已知条件，推出两个三角形的三个角对应相等，即可证明三角形相似．解答：证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，可知：△ABD∽△AEB．点评：本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识，考查逻辑推理能力．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2015•江苏）已知x，y∈R，向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．考点：特征值与特征向量的计算．专题：矩阵和变换．分析：利用A=﹣2，可得A=，通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论．解答：解：由已知，可得A=﹣2，即==，则，即，∴矩阵A=，从而矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ+2）（λ﹣1），∴矩阵A的另一个特征值为1．点评：本题考查求矩阵及其特征值，注意解题方法的积累，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015•江苏）已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，求圆C的半径．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：先根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程，求出半径．解答：解：圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin（θ﹣）﹣4=0，可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0，化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=6，圆的半径r=．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，比较基础，[选修4-5：不等式选讲】24．（2015•江苏）解不等式x+|2x+3|≥2．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式．分析：思路1（公式法）：利用|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；思路2（零点分段法）：对x的值分“x≥”“x＜”进行讨论求解．解答：解法1：x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x，得2x+3≥2﹣x，或2x+3≥﹣（2﹣x），即x≥，或x≤﹣5，即原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．解法2：令|2x+3|=0，得x=．①当x≥时，原不等式化为x+（2x+3）≥2，即x≥，所以x≥；②x＜时，原不等式化为x﹣（2x+3）≥2，即x≤﹣5，所以x≤﹣5．综上，原不等式的解集为{x|x≥，或x≤﹣5}．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法．本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号．若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些，其套路为：|f（x）|≥g（x）⇔f（x）≥g（x），或f（x）≤﹣g（x）；|f（x）|≤g（x）⇔﹣g（x）≤f（x）≤g（x）．可简记为：大于号取两边，小于号取中间．使用零点分段法时，应注意：同一类中取交集，类与类之间取并集．【必做题】每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤25．（10分）（2015•江苏）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．考点：二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论．解答：解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞==，∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又∵BP==，∴BQ=BP=．点评：本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．26．（10分）（2015•江苏）已知集合X={1，2，3}，Y n={1，2，3，…，n）（n∈N*），设S n={（a，b）|a整除b或整除a，a∈X，B∈Y n}，令f（n）表示集合S n所含元素的个数．（1）写出f（6）的值；（2）当n≥6时，写出f（n）的表达式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）f（6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论．解答：解：（1）f（6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键．。
南京市2015届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2015.321．A （几何证明选讲）（本题满分10分）证明：因为FG 切⊙O 于点G ，所以FG 2＝FB ·F A ．…………………………………2分 因为EF ∥CD ，所以∠BEF =∠ECD ．又A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ECD =∠EAF ，所以∠BEF =∠EAF ．………5分 又∠EF A =∠BFE ，所以△EF A ∽△BFE ． ………………………………7分 所以EF AF ＝FB FE，即EF 2＝FB ·F A ． 所以FG 2= EF 2，即EF =FG .．…………………………………………………………10分21．B （矩阵与变换）（本题满分10分）解：由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1．……………………………………3分 设(x ，y )是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y ) 在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x '，y ')，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 'y '，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 'y '，所以⎩⎨⎧x ＝x '，y ＝－y '．…………………………7分 因为点(x ，y )在直线2x －y ＋1＝0上，从而2 x '－(－y ')＋1＝0，即2x '＋y '＋1＝0． 所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0． ………………………………………………10分21．C （坐标系与参数方程）（本题满分10分）解：直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x =4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0．…2分 因为P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ ，sin θ)其中θ∈R ．…………4分 因此点P 到直线l 的距离是d ＝∣2cos θ＋2sin θ∣12＋22＝22∣sin(θ＋π4)∣5．…………8分 所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105． …………………………………10分21．D （不等式选讲）（本题满分10分）证明：（方法一）因为a ＞0，b ＞0，所以(a ＋b )⋅(1a ＋4b )＝5＋b a ＋4a b……………………………………………………4分 ≥5＋2b a ×4a b ＝9．……………………………………………8分 所以1a ＋4b ≥9a ＋b．……………………………………………………………………10分 （方法二）因为a ＞0，b ＞0，。
2015南师附中四校一卷数学（）必做题部分参考公式：样本数据的方差，其中；棱锥的体积公式：，其中S是棱锥的底面积，h是棱锥的高.一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）1．设集合，，且，则实数的值为▲．2．设是虚数单位，则复数的模为▲．3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为▲ .次数 1 2 3 45得分33 30 27 29 314．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为▲ .5．已知，则的值为▲ .6．以双曲线的中心为顶点，右准线为准线的抛物线方程为▲ .7．右图是函数图像的一部分，则的值为▲ .8．若一个正四棱锥的底面边长为，侧棱长为3cm，则它的体积为▲ cm3.9．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次得到的点数、分别作为点的横、纵坐标，则点不在直线下方的概率为▲ .10．已知圆C的圆心C在直线上，且圆C经过两点A（0,4），B（2,2），则圆C的方程为▲ .11．已知函数是奇函数，当时，，则满足不等式的x的取值范围是▲ .12.已知数列，的通项公式分别为，，若，则数列的通项公式为▲ .13．已知函数图像上有两点，若曲线分别在点A、B处的切线互相垂直，则的最大值是▲ .14.设函数，当时，恒成立，则的最小值是▲ .二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（14分）如图，在△ABC中，.（1）若（为实数），求的值；（2）若AB=3，AC=4，∠BAC=60°，求的值.16.（14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形.（1）若CF⊥AE，AB⊥AE，求证：平面ABFE⊥平面CDEF；（2）求证：EF//平面ABCD.17.（14分）如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC的长为a米（a为常数），现在斜边AB上选一点D，将△ACD沿CD折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD的面积为S，点A到直线CD的距离为d. 实践证明，遮阳效果y与S、d的乘积Sd成正比，比例系数为k（k为常数，且k>0）.（1）设∠ACD=，试将S表示为的函数；（2）当点D在何处时，遮阳效果最佳（即y取得最大值）？18.（16分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C ：的离心率为，右焦点F（1,0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：相切于点M.（1）求椭圆C的方程；（2）求PM·PF的取值范围；（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值.19.（16分）已知是实数，函数，，其中是自然对数的底数．（1）设时，求的单调区间；（2）设a=0时，试比较与的大小，并给出证明；（3）若关于x的不等式有解，求实数的取值范围.20.（16分）设数列的前n项和为，且，.（1）若数列是等差数列，求数列的通项公式；（2）设，求证：数列是等差数列.数学Ⅱ(附加题)注意事项21.【选做题】本题包括A, B,C,D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21.A.选修4-1【几何证明选讲】（10分）如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于点D. 求证：AC平分∠BAD.21.B.选修4-2【矩阵与变换】（10分）二阶矩阵A有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵A对应的变换将点（1,2）变换成点（8,4），求矩阵A.21.C.选修4-4【坐标系与参数方程】（10分）已知直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线与圆C相交于点A、B.（1）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求线段AB的长度.21.D.选修4-5【不等式选讲】（10分）设a、b、c>0，求证：.22.（10分）已知抛物线上有四点、，点M（3,0），直线AB、CD都过点M，且都不垂直于x轴，直线PQ过点M且垂直于x轴，交AC于点P，交BD于点Q.（1）求的值；（2）求证：MP=MQ.23.（10分）设，，，（1）当时，试指出与的大小关系；（2）当时，试比较与的大小，并证明你的结论.。
考点1 排列与组合 1．（徐州市2014届高考信息卷）一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，
则恰有1只红球的概率是 ． 【考点】组合问题.
【答案】35
【分析】从2只红球、3只绿球，随机抽取3只球的取法有35C10种，恰有1只红球的种
数是1223CC6,所以概率是122335CC3C5. 2. （15南京一中等五校联考）（1）证明：①111rrrnnnCCC；②122212nnnnCC（其中
n，r∈N*，0≤r≤n1）； （2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设2n+1局，每局比赛甲获胜
的概率均为p（p＞12），首先赢满n+1局者获胜（n∈N*）． ①若n=2，求甲获胜的概率； ②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）．
【考点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用． 【解】证明：（1）
①1!(1)()!!CC!()!(1)!(1)!(1)!()!rrnnnrnrnnrnrrnrrnr=
11(1)!C(1)!(1)(1)!rnnrnr
；
②由①得1122212121CCC2Cnnnnnnnn； （2）①若n=2，甲获胜的概率3222223234C(1)C161510Ppppppppppp（﹣）（﹣） ②证明：设乙每一局获胜的概率为q，则p+q=1，0＜q＜12． 记甲最终获胜的概率为nP，则12122CCCnnnnnnnnnnnnPpppqppqppq
121221CCCnnnnnnnnpqqq（）
，∴
1211221CCCnnnnnnnnnnPPpqqq﹣（）
21121123221CCCnnnnnnnnpqqq-（）=
12122(1CCC)nnnnnnnnpqqq
江苏省四校联考2025届高三最后一卷数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥β D ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥2．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．3．已知集合{}{}22(,)4,(,)2xA x y x yB x y y =+===，则AB 元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =，DF FC =，且6AF BE ⋅=-，则向量AD 在AB 上的投影为（ ） A ．2 B ．2-C ．32D ．32-5．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-16．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．87．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ） A ．55B ．35C ．79D ．2358．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A 3B ．36C 3D 239．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．110．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．511．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩,则(5)f =( ) A ．10B ．11C ．12D ．1312．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132B ．299C ．68D ．99二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2015届高三模拟考试试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2015．1 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n ∑i ＝1nx i .锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面面积，h 为锥体的高．圆锥的侧面积公式：S ＝πrl ，其中r 为圆锥的底面半径，l 为圆锥的母线长． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合M ＝{2，0，x}，集合N ＝{0，1}，若N M ，则实数x 的值为__________．2. 若复数z ＝a ＋ii (其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a 的值为__________．3. 在一次射箭比赛中，某运动员5次射中的环数依次是9，10，9，7，10，则该组数据的方差是__________．i ←1 S ←0While i ＜8 i ←i ＋3 S ←2×i ＋S End While Print S(第6题)4. 甲、乙两位同学下象棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为__________．5. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2＝a 2(a ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则实数a 的值为__________．6. 运行如图所示的伪代码表示的算法，其输出值为________．7. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为__________．8. 已知一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为____________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，若函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0的值为__________．10. 若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则x 2＋y 2x －y的最小值为__________．11. 设向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝12”成立的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．12. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足OC →＝54OA →＋34OB →，则r 的值为________．13. 已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x ∈(0，2]时，f(x)＝2x －1.又已知函数g(x)＝x 2－2x ＋m ，且如果对于任意的x 1∈[－2，2]，都存在x 2∈[－2，2]，使得g(x 2)＝f(x 1)，则实数m 的取值范围是______________．14. 已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n (n ∈N *)．若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知锐角α的始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆交于点P(x 1，y 1)．将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转π2后，与单位圆交于点Q(x 2，y 2)．记f(α)＝y 1＋y 2.(1) 求函数f(α)的值域；(2) 记△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若f(C)＝2，且a ＝2，c ＝1，求b.16.(本小题满分14分)如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，O 、E 分别为B 1D 、AB 的中点．求证： (1) OE ∥平面BCC 1B 1； (2) 平面B 1DC ⊥平面B 1DE.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右准线为直线x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F.已知斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为255.(1) 求a ，b 的值；(2) 将直线l 绕点A 旋转，与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，求直线l 的斜率．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，设计方案中，体育馆侧面的外轮廓线为如图乙所示的封闭曲线ABCD.曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中E(0，t)(0＜t ≤25，单位：m)，曲线BC 是抛物线y ＝－ax 2＋50(a ＞0)的一部分，CD ⊥AD ，且CD 恰好等于圆E 的半径．假定拟建体育馆的高OB ＝50 m.甲乙(1) 若要求CD ＝30 m ，AD ＝24 5 m ，求实数t 与a 的值；(2) 若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75 m ，求实数a 的取值范围； (3) 若a ＝125，求AD 的最大值．⎝⎛⎭⎪⎫参考公式：若f （x ）＝a －x ，则f′（x ）＝－12a －x设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 1a 5＝64，S 5－S 3＝48. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 对于正整数k ，m ，l(k ＜m ＜l)，求证：“m ＝k ＋1且l ＝k ＋3”是“5a k ，a m ，a l 经适当排序后能构成等差数列”的充要条件；(3) 设数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝3·2n ＋1－4n －6，且集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫n|b n a n≥λ，n ∈N *中有且仅有3个元素，求实数λ的取值范围．20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝mx ＋n ，其中e 是自然对数的底数，m ，n ∈R . (1) 设h(x)＝f(x)－g(x)．① 若函数h(x)的图象在x ＝0处的切线过点(1，0)，求m ＋n 的值；② 当n ＝0时，若函数h(x)在(－1，＋∞)上没有零点，求m 的取值范围．(2) 设函数r(x)＝1f （x ）＋nxg （x ），且n ＝4m(m ＞0)，求证：当x ≥0时，r(x)≥1. (这是边文，请据需要手工删加)2015届高三模拟考试试卷(一) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，已知点P 为Rt △ABC 的斜边AB 的延长线上一点，且PC 与Rt △ABC 的外接圆相切，过点C 作AB 的垂线，垂足为D.若PA ＝18，PC ＝6，求线段CD 的长．B. (选修42：矩阵与变换)在平面直角坐标系xOy 中，求直线x －y －1＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22表示的变换作用下所得曲线的方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的圆心到直线2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1的距离．D. (选修45：不等式选讲) 解不等式：|x ＋1|＋|x －2|＜4.【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，动点P 满足CP →＝λCC 1→(λ＞0)，且当λ＝12时，AB 1⊥BP.(1) 求棱CC 1的长；(2) 若二面角B 1ABP 的大小为π3，求λ的值．23.设集合S ＝{1，2，3…，n}(n ∈N *，n ≥2)，A ，B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集合B 中的最小数．记满足条件的集合对(A ，B)的个数为P n .(1) 求P 2，P 3的值； (2) 求P n 的表达式．2015届高三模拟考试试卷(一)(盐城、南京)数学参考答案及评分标准1. 12. －13. 654. 0.35. 22 6. 42 7. 8 8. 3π3 9. 5π12 10.4 11. 必要不充分 12. 10 13. [－5，－2] 14. （－2）n －1315. 解：(1) 由题意，得y 1＝sin α，y 2＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α，(4分)所以f(α)＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4.(6分)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，故f(α)∈(1，2]．(8分)(2) 因为f(C)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ＝2，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以C ＝π4.(10分)在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，即1＝2＋b 2－22×22b ， 解得b ＝1.(14分)(说明：第(2)小题用正弦定理处理的，类似给分)16. 证明：(1) 连结BC 1，设BC 1∩B 1C ＝F ，连结OF ，(2分) 因为O 、F 分别是B 1D 与B 1C 的中点，所以OF ∥DC ，且OF ＝12DC.又E 为AB 中点，所以EB ∥DC ，且EB ＝12DC ，从而OF ∥EB ，OF ＝EB ，即四边形OEBF 是平行四边形， 所以OE ∥BF.(6分) 又OE Ë平面BCC 1B 1，BF Ì平面BCC 1B 1，所以OE ∥平面BCC 1B 1.(8分)(2) 因为DC ⊥平面BCC 1B 1，BC 1Ì平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥DC.(10分)又BC 1⊥B 1C ，且DC ，B 1C Ì平面B 1DC ，DC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1DC.(12分) 而BC 1∥OE ，所以OE ⊥平面B 1DC.又OE Ì平面B 1DE ，所以平面B 1DC ⊥平面B 1DE.(14分)17. 解：(1) 由题意知，直线l 的方程为y ＝2(x －a)，即2x －y －2a ＝0，(2分) ∴ 右焦点F 到直线l 的距离为|2c －2a|5＝255，∴ a －c ＝1.(4分)又椭圆C 的右准线为x ＝4，即a 2c ＝4，∴ c ＝a 24，将此代入上式解得a ＝2，c ＝1，∴ b 2＝3，b ＝ 3.∴ 椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2) 由(1)知B(0，3)，F(1，0)，∴ 直线BF 的方程为y ＝－3(x －1)，(8分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －1），x 24＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝－335或⎩⎨⎧x ＝0y ＝3(舍)，即P ⎝⎛⎭⎫85，－335，(12分)∴ 直线l 的斜率k ＝0－⎝⎛⎭⎫－3352－85＝332.(14分)18. 解：(1) 因为CD ＝50－t ＝30，解得t ＝20.(2分)此时圆E ：x 2＋(y －20)2＝302，令y ＝0，得AO ＝105，所以OD ＝AD －AO ＝245－105＝145，将点C(145，30)代入y ＝－ax 2＋50(a>0)中，解得a ＝149.(4分)(2) 因为圆E 的半径为50－t ，所以CD ＝50－t ，在y ＝－ax 2＋50中令y ＝50－t ，得OD ＝ta ，则由题意知FD ＝50－t ＋ta≤75对t ∈(0，25]恒成立，(8分) 所以1a ≤t ＋25t 恒成立，而当t ＝25t ，即t ＝25时，t ＋25t 取最小值10， 故1a ≤10，解得a ≥1100.(10分) (3) 当a ＝125时，OD ＝5t ，又圆E 的方程为x 2＋(y －t)2＝(50－t)2，令y ＝0，得x ＝±1025－t ，所以AO ＝1025－t.从而AD ＝f(t)＝1025－t ＋5t(0<t ≤25)．(12分)因为f′(t)＝5⎝⎛⎭⎪⎫－125－t ＋12t ＝5（25－t －2t ）225－t·t，令f′(t)＝0，得t ＝5，(14分) 当t ∈(0，5)时，f ′(t)>0，f(t)单调递增；当t ∈(5，25)时，f ′(t)<0，f(t)单调递减，从而当t ＝5时，f(t)取最大值为25 5.答：当t ＝5 m 时，AD 的最大值为25 5 m ．(16分)(说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法来解决，类似给分)19. 解：(1) ∵ 数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴ a 1a 5＝a 23＝64，∴ a 3＝8.∵ S 5－S 3＝48，∴ a 4＋a 5＝8q 2＋8q ＝48，∴ q ＝2，∴ a n ＝8·2n －3＝2n .(4分) (2) (ⅰ)必要性：设5a k ，a m ，a l 这三项经适当排序后能构成等差数列，① 若2·5a k ＝a m ＋a l ，则10·2k ＝2m ＋2l ，∴ 10＝2m －k ＋2l －k ，∴ 5＝2m －k －1＋2l －k －1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2m －k －1＝1，2l －k －1＝4，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝k ＋1，l ＝k ＋3.(6分) ② 若2a m ＝5a k ＋a l ，则2·2m ＝5·2k ＋2l ，∴ 2m ＋1－k －2l －k ＝5，左边为偶数，等式不成立． ③ 若2a l ＝5a k ＋a m ，同理也不成立．综合①②③，得m ＝k ＋1，l ＝k ＋3，∴ 必要性成立．(8分) (ⅱ) 充分性：设m ＝k ＋1，l ＝k ＋3，则5a k ，a m ，a l 这三项为5a k ，a k ＋1，a k ＋3，即5a k ，2a k ，8a k ，调整顺序后易知2a k ，5a k ，8a k 成等差数列，所以充分性也成立．综合(ⅰ)(ⅱ)，原命题成立．(10分)(3) 因为a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝3·2n ＋1－4n －6，即21b n ＋22b n －1＋23b n －2＋…＋2n b 1＝3·2n ＋1－4n －6，(*)∴ 当n ≥2时，21b n －1＋22b n －2＋23b n －3＋…＋2n －1b 1＝3·2n －4n －2，(**)则(**)式两边同乘以2，得22b n －1＋23b n －2＋24b n －3＋…＋2n b 1＝3·2n ＋1－8n －4，(***) (*)－(***)，得2b n ＝4n －2，即b n ＝2n －1(n ≥2)． 又当n ＝1时，2b 1＝3·22－10＝2，即b 1＝1，适合b n ＝2n －1(n ≥2)，∴ b n ＝2n －1.(14分)∴b n a n ＝2n －12n ，∴ b n a n －b n －1a n －1＝2n －12n －2n －32n －1＝5－2n 2n ， ∴ n ＝2时，b n a n －b n －1a n －1>0，即b 2a 2>b 1a 1；∴ n ≥3时，b n a n －b n －1a n －1<0，此时⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减，又b 1a 1＝12，b 2a 2＝34，b 3a 3＝58，b 4a 4＝716，∴ 716<λ≤12.(16分) 20. (1) 解：① 由题意，得h′(x)＝(f(x)－g(x))′＝(e x －mx －n)′＝e x －m ， 所以函数h(x)在x ＝0处的切线斜率k ＝1－m.(2分)又h(0)＝1－n ，所以函数h(x)在x ＝0处的切线方程y －(1－n)＝(1－m)x ， 将点(1，0)代入，得m ＋n ＝2.(4分)② 当n ＝0，可得h′(x)＝(e x －mx)′＝e x －m ，因为x>－1，所以e x >1e，当m ≤1e 时，h ′(x)＝e x －m>0，函数h(x)在(－1，＋∞)上单调递增，而h(0)＝1，所以只需h(－1)＝1e ＋m ≥0，解得m ≥－1e ，从而－1e ≤m ≤1e .(6分)当m>1e时，由h′(x)＝e x －m ＝0，解得x ＝lnm ∈(－1，＋∞)，当x ∈(－1，lnm)时，h ′(x)<0，h(x)单调递减；当x ∈(lnm ，＋∞)时，h ′(x)>0，h(x)单调递增．所以函数h(x)在(－1，＋∞)上有最小值为h(lnm)＝m －mlnm ，令m －mlnm>0，解得m<e ，所以1e <m<e.综上所述，m ∈⎣⎡⎭⎫－1e ，e .(10分)(2) 证明：由题意，r(x)＝1f （x ）＋nx g （x ）＝1e x ＋n m x x ＋n m＝1e x ＋4x x ＋4，而r(x)＝1e x ＋4xx ＋4≥1等价于e x (3x －4)＋x ＋4≥0，令F(x)＝e x (3x －4)＋x ＋4，(12分)则F(0)＝0，且F′(x)＝e x (3x －1)＋1，F ′(0)＝0，令G(x)＝F′(x)，则G′(x)＝e x (3x ＋2)，因为x ≥0，所以G′(x)>0，所以导数F′(x)在[0，＋∞)上单调递增，于是F′(x)≥F′(0)＝0，(14分)从而函数F(x)在[0，＋∞)上单调递增，即F(x)≥F(0)＝0.从而，当x ≥0时，r(x)≥1.(16分)2015届高三模拟考试试卷(一)(盐城、南京)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：由切割线定理，得PC 2＝PA·PB ，解得PB ＝2，所以AB ＝16，即Rt △ABC 的外接圆半径r ＝8，记Rt △ABC 外接圆的圆心为O ，连OC ，则OC ⊥PC ，在Rt △POC 中，由面积法得OC·PC ＝PO·CD ，解得CD ＝245.(10分) B. 解：设P(x ，y)是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为Q(x′，y ′)， 则⎩⎨⎧22x′－22y′＝x ，22x ′＋22y′＝y ，解得⎩⎨⎧x′＝22（x ＋y ），y ′＝22（y －x ），(5分) 代入x′－y′－1＝0中，得22(x ＋y)－22(y －x)－1＝0， 化简可得所求曲线方程为x ＝22.(10分) C. 解：将圆ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1，0)，(4分)又2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1，即2ρ⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝1， 所以直线的普通方程为3x ＋y －1＝0，(8分)故所求的圆心到直线的距离d ＝3－12.(10分) D. 解：当x<－1时，不等式化为－x －1＋2－x<4，解得－32<x<－1；(3分) 当－1≤x ≤2时，不等式化为x ＋1＋2－x<4，解得－1≤x ≤2；(6分)当x>2时，不等式化为x ＋1＋x －2<4，解得2<x<52.(9分) 所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－32，52.(10分) 22. 解：(1) 以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设CC 1＝m ，则B 1(3，0，m)，B(3，0，0)，P(0，4，λm)，所以AB 1→＝(3，0，m)，PB →＝(3，－4，－λm )，AB →＝(3，0，0)，(2分)当λ＝12时，有AB 1→·PB →＝(3，0，m)·⎝⎛⎭⎫3，－4，－12m ＝0， 解得m ＝32，即棱CC 1的长为3 2.(4分)(2) 设平面PAB 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n 1＝0，PB →·n 1＝0，得⎩⎨⎧3x ＝0，3x －4y －32λz ＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，4y ＋32λz ＝0，令z ＝1，则y ＝－32λ4，所以平面PAB 的一个法向量为n 1＝⎝⎛⎭⎫0，－32λ4，1.(6分) 又平面ABB 1与y 轴垂直，所以平面ABB 1的一个法向量为n 2＝(0，1，0)． 因为二面角B 1ABP 的平面角的大小为π3， 所以||cos 〈n 1，n 2〉＝12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－32λ4⎝⎛⎭⎫32λ42＋1，结合λ>0，解得λ＝269.(10分) 23. 解：(1) 当n ＝2时，即S ＝{1，2}，此时A ＝{1}，B ＝{2}，所以P 2＝1，(2分) 当n ＝3时，即S ＝{1，2，3}，若A ＝{1}，则B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2，3}； 若A ＝{2}或A ＝{1，2}，则B ＝{3}；所以P 3＝5.(4分)(2) 当集合A 中的最大元素为“k”时，集合A 的其余元素可在1，2，…，k －1中任取若干个(包含不取)，所以集合A 共有C 0k －1＋C 1k －1＋C 2k －1＋…＋C k －1k －1＝2k －1种情况，(6分) 此时，集合B 的元素只能在k ＋1，k ＋2，…，n 中任取若干个(至少取1个)，所以集合B 共有C 1n －k ＋C 2n －k ＋C 3n －k ＋…＋C n －k n －k ＝2n －k －1种情况， 所以，当集合A 中的最大元素为“k”时，集合对(A ，B)共有2k －1(2n －k －1)＝2n －1－2k －1对，(8分)当k 依次取1，2，3，…，n －1时，可分别得到集合对(A ，B)的个数，求和可得P n ＝(n －1)·2n －1－(20＋21＋22＋…＋2n －2)＝(n －2)·2n －1＋1.(10分)。
2015届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2015．5 参考公式：棱锥的体积公式V 棱锥＝13Sh ，其中为S 棱锥的底面积，h 为棱锥的高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若A ＝{a}，B ＝{0，a 2}，A B ，则A ＝________．2. 设复数z ＝1＋i ，若1，1z对应的向量分别为OA →和OB →，则|AB →|的值为________．3. P 是平面直角坐标系中的点，其横坐标与纵坐标都是集合A ＝{－1，0，1，2}中的元素，则此点正好落在抛物线y ＝x 2－1上的概率为________．4. 下图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则在区间[4，5)上的数据的频数为________．(第4题)(第5题)5. 上图是一个算法的流程图，则输出的n ＝________．6. 一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x ＝6 cm 时，该容器的容积为________cm 3.7. 若双曲线x 2－my 2＝1的焦点到渐近线的距离为2，则实数m 的值是________．8. 不等式1x≤2的解集是________．9. 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．(第10题)10. 已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f(π)＝________．11. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且y ＝f(x)的图象关于直线x ＝12对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________．12. 已知正三角形ABC 的边长为23，圆O 是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则PA →·PB →的最大值为________．13. 非空集合G 关于运算满足：(1) 对任意a 、b∈G，都有a ＋b∈G；(2) 存在e∈G，使得对一切a∈G，都有a e ＝ea ＝a ，则称G 关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：① G ＝{非负整数}，为整数的加法； ② G ＝{平面向量}，为平面向量的加法； ③ G ＝{二次三项式}，为多项式的加法；④ G ＝{虚数}，为复数的乘法．其中G 关于运算为“融洽集”的是________．(写出所有“融洽集”的序号)14. 设曲线y ＝(ax －1)e x在点A(x 0，y 1)处的切线为l 1，曲线y ＝1－x ex 在点B(x 0，y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四边形ABEF 中，AF ⊥BF ，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直．(1) 求证：AF⊥平面CBF ；(2) 设FC 的中点为M ，求证：OM∥平面DAF.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3cos2C －10cos(A ＋B)－1＝0. (1) 求cosC 的值；(2) 若c ＝1，cosA ＋cosB ＝233，求边a 的值．17. (本小题满分14分) 某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.(1) 若某企业年产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y ＝lgx ＋kx ＋5(k 为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg2≈0.3，lg5≈0.7)；(2) 若采用函数f(x)＝15x －ax ＋8作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为e.直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM →＝λAB →.(1) 证明：λ＝1－e 2；(2) 若λ＝34，△MF 1F 2的周长为6，写出椭圆C 的方程；(3) 确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．设函数f(x)＝(x－1)e x－ax2，其中a∈R.(1) 当a＝0时，求函数f(x)的单调区间；(2) 求函数f(x)的极值；(3) 当a∈(0，1]时，若函数f(x)在[0，a]上的最大值为M(a)，求M(a)．已知无穷数列{a n}满足a n＋1＝a·a n＋ba n，且a1＝5.(1) 若ab＝0，求数列{a n}的前n项和S n；(2) 若a＝b＝1，是否存在整数a，使得0<a1 001－a<0.1成立？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2015届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲) 如图，∠PAQ 是直角，圆O 与AP 相切于点T ，与AQ 相交于两点B ，C.求证：BT 平分∠OBA.B. (选修42：矩阵与变换)变换T 1是逆时针旋转π2角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101.(1) 求点P(2，1)在T 1作用下的点P′的坐标；(2) 求曲线y ＝x 2依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)．(1) 当α＝π4时，求曲线C 1与C 2公共点的直角坐标；(2) 若α≠π2，当α变化时，设曲线C 1与C 2的公共点为A ，B ，试求AB 中点M 轨迹的极坐标方程，并指出它表示什么曲线．D. (选修45：不等式选讲)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1.(1) 求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值；(2) M为AB的中点，试在线段EF上找一点P，使平面PCD与平面PCM相互垂直．23. 设数列{a n}，定义如下：a n表示小于等于n的正整数中完全平方数的个数，即当k2≤n≤k2＋2k(k∈N*)时，a n＝k，记S n＝a1＋a2＋…＋a n(n∈N*)．(1) 分别求a88，S88的值；(2) 是否存在n使S n＝880？若存在，求出n；若不存在，说明理由．2015届高三模拟考试试卷 数学参考答案及评分标准1. {1}2. 223. 3164. 30 解析：对于在区间[4，5)的频率/组距的数值为0.3，而总数为100，因此频数为30.5. 96. 487. 128. (－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞9. 3116 解析：显然q≠1，所以9（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q 1＋q 3＝9q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和T 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.10. 2 解析：由图象知最小正周期T ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π3＝2πω，故ω＝3.又x ＝π4时，3·π4＋φ＝2k π(k∈Z )，可得φ＝5π4，所以f(π)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋5π4＝ 2. 11. 0 解析：f(－0)＝－f(0)得f(0)＝0，假设f(n)＝0，因为点(－n ，0)和点(n ＋1，0)关于x ＝12对称，所以f(n ＋1)＝f(－n)＝－f(n)＝0，因此，对一切正整数n 都有f(n)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.12. 6＋ 5 13. ①② 14. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 15. 证明：(1) 因为平面ABCD⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD∩平面ABEF ＝AB ， 所以CB⊥平面ABEF.(2分)又AF平面ABEF ，则AF⊥CB，(4分)又AF⊥BF，且BF∩BC＝B ，BF ，BC平面CBF ，所以AF⊥平面CBF.(7分)(2) 设DF 的中点为N ，则MN 綊12CD.又AO 綊12CD ，则MN 綊AO ，所以四边形MNAO 为平行四边形，所以OM∥AN.(12分)又AN 平面DAF ，OM 平面DAF ， 所以OM∥平面DAF.(14分)16. 解：(1) 由3cos2C －10cos(A ＋B)－1＝0，得3cos 2C ＋5cosC －2＝0，(3分)即(cosC ＋2)(3cosC －1)＝0，解得cosC ＝13或cosC ＝－2(舍去)．(6分)(2) 由cosC ＝13得sinC ＝223，则cosB ＝－cos(A ＋C)＝－13cosA ＋223sinA ，(9分)代入cosA ＋cosB ＝233，得cosA ＋2sinA ＝3，从而得sin(A ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2. 则A ＋φ＝π2，于是sinA ＝63.(12分)由正弦定理得a ＝csinA sinC ＝32.(14分)17. 解：(1) 对于函数模型f(x)＝lgx ＋kx ＋5(k 为常数)，x ＝100时，y ＝9，代入解得k ＝150，(3分) 所以f(x)＝lgx ＋150x ＋5.当x∈[50，500]时，f(x)是增函数，但x ＝50时，f(50)＝8－lg2>7.5，即f (x)≤320x不恒成立，故该函数模型不符合要求．(6分)(2) 对于函数模型f(x)＝15x －a x ＋8，即f(x)＝15－120＋ax ＋8，a 为正整数，函数在[50，500]上递增；f(x)min ＝f(50)>7，解得a<344；(9分)要使f(x)≤3x20对x∈[50，500]恒成立，即15x －a x ＋8≤3x 20，3x 2－276x ＋20a≥0恒成立，(11分) 所以a≥315.综上所述，315≤a<344，所以满足条件的最小的正整数a 的值为315.(14分)18. (1) 证明：(证法1)因为A 、B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a e ，0，(0，a)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ex ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c ，y ＝b 2a.这里c ＝a 2＋b 2，所以点M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .(2分)由AM →＝λAB →得⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋a e ，b 2a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a e ，a . 即⎩⎪⎨⎪⎧a e －c ＝λa e ，b2a＝λa，解得λ＝1－e 2.(4分)(证法2)因为A 、B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a e ，0，(0，a)． 设M 的坐标是(x 0，y 0)．由AM →＝λAB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a e ，y 0＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a e ，a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a e （λ－1），y 0＝λa.(2分)因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 2b2＝1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a e （λ－1）2a2＋（λa）2b 2＝1，所以（1－λ）2e2＋λ21－e2＝1. e 4－2(1－λ)e 2＋(1－λ)2＝0，解得e 2＝1－λ，即λ＝1－e 2.(4分)(2) 解：当λ＝34时，c ＝12，所以a ＝2c.(6分)由△MF 1F 2的周长为6，得2a ＋2c ＝6.(8分)所以a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(10分)(3) 解：(解法1)因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2＝90°＋∠BAF 1为钝角，要使△MF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|＝|F 1F 2|，即12|PF 1|＝c.(12分)设点F 1到l 的距离为d ，由12|PF 1|＝d ＝|e （－c ）＋0＋a|1＋e 2＝|a －ec|1＋e2＝c ，(14分) 得1－e21＋e2＝e.所以e 2＝13，于是λ＝1－e 2＝23. 即当λ＝23时，△PF 1F 2为等腰三角形．(16分)(解法2)因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2＝90°＋∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|＝|F 1F 2|.设点P 的坐标是(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0＋c ＝－1e ，y 0＋02＝e x 0－c 2＋a.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e 2－3e 2＋1c ，y 0＝2（1－e 2）ae 2＋1.(10分) 由|PF 1|＝|F 1F 2|得⎣⎢⎡⎦⎥⎤（e 2－3）c e 2＋1＋c 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（1－e 2）a e 2＋12＝4c 2， 两边同时除以4a 2，化简得（e 2－1）2e 2＋1＝e 2.从而e 2＝13.(14分) 于是λ＝1－e 2＝23.即当λ＝23时，△PF 1F 2为等腰三角形．(16分)19. 解：(1) 当a ＝0时，f(x)＝(x －1)e x ，f ′(x)＝xe x，(2分) x ∈(－∞，0)时，f ′(x)<0，函数单调递减；x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，函数单调递增．(4分)(2) f′(x)＝x(e x－2a)，① a ≤0时，因为e x－2a>0，x ∈(－∞，0)时，f ′(x)<0，函数单调递减；x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，函数单调递增．x ＝0时，函数f(x)取极小值f(0)＝－1.(6分)② a>0时，令f′(x)＝x(e x－2a)＝0，解出x 1＝0或x 2＝ln(2a)．若ln(2a)＝0，即a ＝12，f(x)＝x(e x－1)≥0，x ∈R ，函数f(x)单调递增，没有极值； 若ln(2a)>0，即a>12，x ∈(－∞，0)和x∈(ln(2a)，＋∞)时，f ′(x)>0，函数单调递增；x∈(0，ln(2a))时，f ′(x)<0，函数单调递减；函数f(x)的极大值是f(0)＝－1，极小值是f(ln(2a))＝2a(ln(2a)－1)－a(ln(2a))2；若ln(2a)<0，即0<a<12，x ∈(－∞，ln(2a))和x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，函数单调递增；x∈(ln(2a)，0)时，f ′(x)<0，函数单调递减；函数f(x)的极大值是f(ln(2a))＝2a(ln(2a)－1)－a(ln(2a))2，极小值是f(0)＝－1.综上，当a≤0时，f(x)有极小值－1，无极大值；当a>12时，f(x)有极大值－1，极小值2a(ln(2a)－1)－a(ln(2a))2；当0<a<12时，f(x)有极大值2a(ln(2a)－1)－a(ln(2a))2，极小值－1；当a ＝12时，没有极值．(10分)(3) f′(x)＝x(e x －2a)，f ′(x)＝e x(x －2a)＝0，解出x 1＝0或x 2＝ln(2a)．① 若ln (2a)≤0，即0<a≤12时，x ∈[0，a]，f ′(x)≥0，函数在[0，a]上单调递增，M(a)＝f(a)＝(a －1)e a －a 3.② 若ln(2a)>0，即12<a ≤1，令g(a)＝ln(2a)－a ，g′(a)＝1－a a >0，所以g(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递增，所以g(a)≤g(1)＝ln2－1＝ln 2e<0，从而ln(2a)<a ，所以ln (2a)∈(0，a)，所以x∈(0，ln(2a))时，f ′(x)<0，当x∈(ln(2a)，＋∞)时，f ′(x)>0，M(a)＝max{f(a)，f(0)}＝{(a －1)e a －a 3，－1}．令h(a)＝(a －1)e a －a 3＋1，h ′(a)＝a(e a －3a)，令k(a)＝e a －3a ，则k′(a)＝e a－3<e －3<0，所以k(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递减，而k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12k(1)＝⎝⎛⎭⎪⎫e －32(e －3)<0， 所以存在唯一的零点x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1使得k(x 0)＝0，且当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0时，k(a)>0，则h′(a)>0；当a∈(x 0，1)时，k(a)<0，则h′(a)<0.所以h(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0上单调递增，在(x 0，1)上单调递减．h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12e ＋78>0，h(1)＝0，所以h(a)≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上恒成立，当a ＝1时，等号成立． 即f(a)≥f(0)．综上，M(a)＝f(a)＝(a －1)e a －a 3.(16分)20. 解：(1) 若a ＝0，b ≠0，a n ＋1＝b a n ，∴ a 1＝5，a 2＝b 5，a 3＝5，a 4＝b5，…所以当n 为奇数时，S n ＝5·n ＋12＋b 5·n －12＝25n ＋bn －b ＋2510；当n 为偶数时，S n ＝5·n 2＋b 5·n 2＝25n ＋bn10.(3分)若a≠0，b ＝0时，a n ＋1＝a·a n ，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5（a n－1）a －1，a ≠0，a ≠15n ，a ＝1；(6分)若a ＝0，b ＝0时，a n ＋1＝0，不合题意．(2) n≥2时，∵ a n ＝a n －1＋1a n －1，∴ a 2n ＝a 2n －1＋1a 2n －1＋2.∴ a 22＝a 21＋1a 21＋2，a 23＝a 22＋1a 22＋2，…，a 21 001＝a 21 000＋1a 21 000＋2，∴ a 21 001＝a 21＋2 000＋1a 21＋1a 22＋…＋1a 21 000>2 025, ∴ a 1 001>45.(10分)下面证明a 1 001<45.1.∵ 45.12＝(45＋0.1)2＝2 025＋9＋0.01，只要证a21 001<2 034.∵ {a n}是单调递增数列，a2101＝a21＋200＋1a21＋1a22＋…＋1a2100>225，∴ a21 001＝2 025＋1a21＋1a22＋…＋1a2100＋1a2101＋…＋1a21 000<2 025＋100a21＋900a2101<2 025＋4＋4＝2033.∴ a1 001<45.1.综上所述，存在a＝45.(16分)2015届高三模拟考试试卷 数学附加题参考答案及评分标准21. B. 解：(1) M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，(2分) M 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，所以点P(2，1)在T 1作用下的点P′的坐标是P′(－1，2)．(5分) (2) M ＝M 2·M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－110，(7分)设⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，也就是⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝x ，x 0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝y －x ， 所以，所求曲线的方程是y －x ＝y 2.(10分)C. 解：(1) 曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.①当α＝π4时，曲线C 2的普通为y ＝x.②由①，②得曲线C 1与C 2公共点的直角坐标方程为(0，0)，(1，1)．(4分) (2) C 1是过极点的圆，C 2是过极点的直线．设M(ρ，θ)，不妨取A(0，θ)，B (2ρ，θ)，则2ρ＝2cos θ.(7分)故点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝⎛⎭⎪⎫θ≠π2. 它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，以12为半径的圆，去掉点(0，0)．(10分) 22. 解：(1) 以C 为原点，CD ，CB ，CE 方向为轴建系， DF →＝(0，2，1)，平面ACEF 的法向量BD →＝(2，－2，0)，(2分)|cos 〈DF →，BD →〉|＝105，所以直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值为105.(5分)(2) 设P(t ，t ，1)(0≤t≤2)，平面PCD 的一个法向量为m ＝(0，1，－t)， 平面PCM 的一个法向量为n ＝(－2，1，t)，(7分)∵ 平面PCD⊥平面PCM ，∴ m ·n ＝0，解得t ＝1，即P 为EF 的中点．(10分) 23. 解：(1) ∵ 81<88<100，故a 88＝9；(2分)S 88＝（4分）(2i ＋1)i ＝k （k ＋1）（4k ＋5）6，(7分)从而可得S 120＝S 102＋2·10＝∑i ＝110(2i ＋1)i ＝k （k ＋1）（4k ＋5）6＝10×11×456＝825，而880－82511＝5，故S 125＝S 120＋5a 121＝825＋5×11＝880.(10分)。
