西安交通大学2006年线形代数本科期末试卷A

红河学院2006－2007学年下学期期末 《高等代数II》课程考试试卷A卷考试院系： 数学系 考试日期： 题 号 一 二 三 四 总 分 得 分一、判断题（每题1分，合计8分）1、奇数次实多项式一定有实根。

（ ）2、本原多项式的乘积是本原多项式。

（ ）3、负定二次型的顺序主子式全小于零。

（ ）4、正定矩阵的行列式大于零。

（ ）5、可逆线性变换将线性无关向量组变为线性无关向量组。

（ ）6、阶实对称矩阵一定可以对角化。

（）n7、任意两个正交基下之间的过渡矩阵是正交矩阵。

（ ）8、正交向量组线性无关。

（ ）二、填空题（每题3分，合计30分）1、设都是首一多项式且)(),(xgxf)()(xgxf，则))(),((xgxf。

2、的标准分解式为311146)(2345−−−−+=xxxxxxf。

3、的标准形是()42233121432142,,,xxxxxxxxxxf++−=。

得 分阅卷人得 分阅卷人4、n 阶实二次型AX X T半正定的充分必要条件是A 与 合同。

5、设)4,3,2(),1,2,1(),1,0,1(),1,0,1(),1,1,1(21321===−==ββααα， )3,4,3(3=β是线性空间3R 的两组基,则由基123,,ααα到基123,,βββ过渡矩阵为 。

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=02221121122211211x x x x x x x x W ，则W 的一个基为 6、设 。

7、设线性变换σ在)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321=ε=ε=ε下的矩阵为，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−111110111=)1,1,1(σ 。

8、在3P 中定义()(c a b c b a ,,,,)=σ，σ在)1,1,1(1−=α，)0,1,1(2−=α，)0,0,1(3−=α下的矩阵为 。

9、设A 为阶矩阵且n A A =2，则A 的特征根为 。

10、设n εε,,1"是欧氏空间V 的标准正交基，，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11),,(,11),,(11#"#"n n εεβεεα=),(βα 。

目录长安大学2018-2019第一学期线性代数期末试题 (1)长安大学2018-2019第一学期线性代数期末试题解析 (4)长安大学2019-2020第一学期线性代数期末试题 (12)长安大学2019-2020第一学期线性代数期末试题解析 (14)长安大学2019-2020第二学期线性代数期末试题A (21)长安大学2019-2020第二学期线性代数期末试题A解析 (23)长安大学2019-2020第二学期线性代数期末试题B (29)长安大学2019-2020第二学期线性代数期末试题B解析 (32)长安大学2020-2021第一学期线性代数期末试题 (41)长安大学2020-2021第一学期线性代数期末试题解析 (43)长安大学2018-2019第一学期线性代数期末试题长安大学2018-2019第一学期线性代数期末试题解析长安大学2019-2020第一学期线性代数期末试题长安大学2019-2020第一学期线性代数期末试题解析长安大学2019-2020第二学期线性代数期末试题长安大学2019-2020第二学期线性代数期末试题解析长安大学2019-2020第二学期线性代数期末试题一、选择题。

（每小题4分，共16分）1.，有（）无解有无穷多组解有非零解可能有无穷多组解2.设则（）。

3.设向量组的秩为，则（）必定向量组中任意小于个向量的部分组无关向量组中任意个向量线性无关个向量组线性相关4.（）二、填空题（每小题4分，共16分）1.设齐次线性方程组为，若它有非零解，则应满足2.设矩阵是4阶方阵，矩阵是5则3.若可由，线性表示，则=4.设。

三、计算或证明下列各题（每小题8分，共16分）1.计算行列式2.设矩阵，求四、计算下列各题（每小题8分，共16分）1.写成二次型并判别其正定性。

2.设，证明是向量组的一个极大线性无关组，并把分别用该极大线性无关组线性表示。

五、（本题12分）设有方程组，问为何值时，方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时，求出通解。

西安交通大学2006年硕士研究生入学考试试题考试科目：微观经济学（含宏观经济学占50分） 科目编号：482第一部分 微观部分一、解释并比较下列经济学基本概念（每题5分，共20分）1．边际替代率与边际技术替代率2．劣等品与吉芬商品3．机会成本与会计成本4．边际收益与边际收益产品二、计算题（第l题6分，第2、3题8分，共22分）1．如果某消费者的效用函数为：U=x·y3，他会将收入的多少用于商品x上？2．已知生产函数为：Q＝L0.4K0.6，证明：（1）该生产过程是否是规模收益不变；（2）该生产过程是否受收益递减规律的支配。

3．在一个完全竞争市场，成本固定的行业有许多厂商，每个厂商都具有下列长期总成本函数：LTC=0.01q3-1.2q2+65q，其中q是单个厂商的年产量；市场对其产品的需求曲线为：Q=4780-20P，其中Q是年行业销售量。

计算：（1）该行业的长期均衡产量；（2）长期均衡下该行业中将有多少厂商？三、简答题（每题7分，共42分）1．利用无差异曲线与预算线的结合来推导标准的需求曲线。

2．简述替代品、互补品对商品价格的影响。

3．试说明生产要素组合在长期中的有效经济区间。

4．分析边际成本曲线、平均可变成本曲线和总成本曲线之间的关系。

5．简述“囚徒困境”博弈及其经济意义。

6．简述帕累托最优的舍义及其实现条件。

四、论述题（16分）试述外部性问题产生的原因、科斯提出的有关解决外部不经济问题的理论观点和具体方法及其局限性。

第二部分 宏观经济学部分一、计算题（每小题6分，共12分）1．若货币交易需求和预防需求的函数为L1=O.2Y，货币投机需求的函数L2=2000-500r。

试求：（1）货币需求函数；（2）若实际货币供给函数为Ms/P=2500亿，国民收入水平Y 为10000亿时，货币市场均衡时的利率是多少？2．假设某经济中消费函数为C=O.8（1-t）Y，税率t为25%，投资函数为I=900-50r，政府支出G=800亿，货币需求为L=0.25Y-62.5 r，实际货币供给函数为Ms/P=500亿，试求：（1）IS曲线；（2）LM曲线；（3）两个市场同时均衡时的国民收入和利率水平。

北 方 交 通 大 学2000-2001学年第二学期线性代数期末考试试卷（A 卷）一．填空题（本题共10道小题，每小题3分，满分30分）1．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121xA ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=012y B ，且BA AB =，则=x _______；=y _______． 解：由BA AB =，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121012012121xy y x ， 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2142124y xy xy x y ． 即112,4=--=x y y ，解方程组，得2,1==y x ．且当2,1==y x 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1121A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0122B ， 验证：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=212401221121AB ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212411210122BA 此时有BA AB =． 应填：2,1==y x ．2．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ，其中0,0≠≠i i b a ()3,2,1=i ，则()=A r _______．解：由该矩阵的构造，以及行列式的运算性质，可知该矩阵的任意一个1阶子式均不为0，而任意一个二阶子式都为0．因此该矩阵的秩()1=A r ． 应填：()1=A r ．3．设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且0≠=a A ，则=*A _______．解： 由E A AA=*，两端取行列式，得nAE A AA==*．由于两个n 阶矩阵乘积的行列式等于它们行列式的乘积，因此有 nA A A =*，即na a =*A．由题设，0≠=a A ，得11*--==n n aA A．应填：1-n a ． 4．设向量()3,2,11-=α，()5,2,02-=α，()2,0,13-=α，()8,5,44=α，则4321,,,αααα线性_______关．解：根据向量线性相关的性质：1+n 个n 维向量必然线性相关．可知4321,,,αααα线性相关．应填：相关．5．设A 是3阶矩阵，A 有特征值1,1,0321=-==λλλ，其对应的特征向量分别为1ξ，2ξ，和3ξ，设[]321,,ξξξP =，则=-AP P 1___________．解：根据矩阵的相似标准形的理论，我们有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1101AP P 应填：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-11． 6．设A 是n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是___________． 解：根据齐次线性方程组解的结构理论，得齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是()n r =A ．应填：()n r =A ． 7．已知：()()3122232132124,,x x x x x x x x f +++=β是正定二次型，则β的取值范围是___________． 解：此二次型所对应的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=40001βββA ． 则此二次型为正定二次型的充分必要条件为矩阵A 是正定二次型．而A 是正定二次型的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式皆大于零．即001>=ββ； ()04400012>-=βββββ．因此有不等式组⎩⎨⎧>->0402ββ，解之得20<<β． 应填：20<<β．8．设3阶方阵A 的列分块矩阵为[]321,,αααA =，a 、b 是数，若213αααb a +=，则=A ___________．解：根据行列式的运算性质，得 [][]2121321,,,,αααααααA b a +==[][][]0,,,,,,2211212121=+=+=ααααααααααb a b a ．应填：0．9．设不含零向量的n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组，则m 与n 的大小关系为______． 解：因为n 元向量组m ααα,,,21 是正交向量组，所以向量组m ααα,,,21 是线性无关的向量组．因此n m ≤． 应填：n m ≤．10．设有一个四元非齐次线性方程组 b AX =，()3=A r ，321,,ααα为其解向量，且⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=79911α， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+899132αα， 则此方程组的一般解为____________． 解：由于四元非齐次线性方程组b AX =的系数矩阵的秩()3=A r ，因此齐次线性方程组b AX =的导出组0AX =的基础解系中有一个解向量．由于2α与3α都是非齐次线性方程组b AX =的解向量，所以()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+42929212132αα也是非齐次线性方程组b AX =的解向量．因此()13221ααα-+是齐次线性方程组0AX =的解向量．所以()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-+69917991289912132ααα或者⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡6991是齐次线性方程组0AX =的基础解系中的一个解向量．因此，非齐次线性方程组b AX =的通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k ， （其中k 是任意常数）． 应填：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡79916991k ．二．（本题满分8分）计算n 阶行列式1111111332211------=n n a a a a a a a a D ．解：将行列式按第1列展开，得1111111332211------=n n n a a a a a a a a D ()1211114433221111111-+---+-----=n n n n a a a a a a a a a a a a()1211111-+--+-=n n n a a a D a由此得递推公式：()1211111-+--+-=n n n n a a a D a D于是，()[]()121113222111-+---+-+--=n n n nn n a a a a a a D a a D()()12112212121-+--+-=n n n a a a D a a== ()()()121122212121-+----+-=n n n n a a a n D a a a而1112211----=-=n n n a a a D所以，()()()()1211122121221-+-----+-⋅-=n n n n n n a a a n a a a a D()()122111221111--+----=-=n n n n n n a a a na a a a na ．三．（本题满分8分）已知矩阵X 满足关系式：X B XA 3+=T ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1234A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41032B ， 求X ． 解：由X B XA 3+=T ，得T B X XA =-3，即()T B E A X =-3 而 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-2231300312343E A ， 所以 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---1232412231311E A ． 在等式()T B E A X =-3两端右乘()13--E A ，得()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=-12212314884644112324140130231E A BX T． 四．（本题满分10分）设向量组[]Tk ,1,0,01=α，[]Tk 0,1,,02=α，[]T0,0,1,13=α，[]Tk 1,0,0,4=α，问：⑴ k 为何值时，向量组4321,,,αααα线性无关．⑵ k 为何值时，向量组4321,,,αααα线性相关，并求其秩及一个极大无关组．解：⑴ 4维向量组4321,,,αααα线性无关当且仅当4阶行列式0,,,4321≠αααα．而 11000100011101000100011100011010100,,,4321kk k kk k kk k --=-==αααα()1101000100011111000100011-=--=-=k k kk k k k所以，当且仅当0≠k 而且1≠k 时，0,,,4321≠αααα此时向量组4321,,,αααα线性无关．⑵ 当0=k 或者1=k 时，向量组4321,,,αααα线性相关．当0=k 时，[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001101000100,,,4321αααα， 此时向量组4321,,,αααα的秩为3，432,,ααα是其一个极大线性无关组．当1=k 时，[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=101001101101100,,,4321αααα， 此时向量组4321,,,αααα的秩为3，432,,ααα是其一个极大线性无关组．五．（本题满分14分）对参数λ，讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=-+λλλλλ3213213211x x x x x x x x x 的解．在有解时，求出其无穷多解． 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0110111011111100110111111111122λλλλλλλλλλλλλλλλλ()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+----→λλλλλλλλ11101110111⑴ 若0=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10111011011111111λλλλλ此时方程组的系数矩阵的秩为2，而其增广矩阵的秩为3，故此时线性方程组无解． ⑵ 若1=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000100101102020011111111111λλλλλ此时线性方程组有无穷多组解．其解为⎩⎨⎧=-=01321x x x ．⑶ 若1-=λ，则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001010010100202011111111111λλλλλ 此时线性方程组有无穷多组解．其解为⎩⎨⎧-=-=1231x x x ．⑷ 若0≠λ，且1±≠λ，线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是3，其秩与未知变量的个数相等，故此时线性方程组有唯一解．六．（本题满分16分）设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=122232221A ，求可逆矩阵P ，使得AP P Λ1-=为对角矩阵，并求kA ． 解：⑴ 矩阵A 的特征多项式为()1221102211122110221122232221---+=--++-=--+--=-λλλλλλλλλλλA E()()()111221002112-+=+--+=λλλλλ所以，矩阵A 的特征值为1,1321=-==λλλ．对121-==λλ，由⎪⎩⎪⎨⎧=--=++-=++-022202220222321321321x x x x x x x x x ，得解向量[][]TT0,1,1,1,0,121==αα．对13=λ，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=+02202420222132132x x x x x x x ，得解向量[]T1,1,13-=α．令 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101110111P ，则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P ． ⑵ 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111AP P ，得1111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P A 所以，()()111111111111---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=P P P PP PAkk kkk若k 是奇数，则 A P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1111k； 若k 是偶数，则 E P PA=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1111k． 七．（本题满分8分）设321,,ααα为线性空间V 的一个基， 3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=．证明：321,,βββ也是线性空间V 的一个基．并求32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量．解：⑴ 由3213321221123,232,αααβαααβααβ++=++=-=，得[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=22331121,,,,321321αααβββ 由于022245012122331121≠==-，所以矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-220331121是可逆矩阵，因此向量组321,,ααα与321,,βββ等价．这表明，321,,βββ也是线性空间V 的一个基．⑵ []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+-=312,,32321321ααααααα．由[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=220331121,,,,321321αααβββ，得 [][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-52242232021,,22331121,,,,3211321321ββββββααα 所以，[][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2135211,,31252242232021,,312,,321321321ββββββαααα即32132αααα+-=在基321,,βββ下的坐标向量为T⎥⎦⎤⎢⎣⎡-213,5,211． 八．（本题满分6分）已知矩阵A 与B 相似，其中2000-2001学年第二学期线性代数期末考试A 卷解答 第 11 页 共 11 页 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x 10100002A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10010002y B ， 求x 和y ．解：由于相似矩阵有相等的行列式，即100100021*******-===y x B A因此，有y 22-=-，所以有1=y ． 再由相似的矩阵有相等的迹，即有 1202-+=++y x ，因此，有0=x ．由此得1,0==y x ．。

2005 - 2006 学年第一学期《线 性 代 数》试 卷 (A) 答 案 及 评 分 标 准一、填空题（每空不给中间分，共24分）1、121-n k k k Λ ； ()11+-n 121-n k k k Λ ；()11+-n n k k k Λ21。

2、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00T T B C ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0011B C 。

3、2- 。

4、无 ；321,,ααα ；30 。

5、n ααα,,,21Λ线性无关 或n ααα,,,21Λ的秩为n 。

6、3211,1,1λλλ ； 33323213121,21,21λλλλλλ--- 。

二、单项选择题（共12分）1、C 。

2、D 。

3、A 。

4、B 。

5、A 。

6、A 。

三、计算题（共40分）1、1D =1，2D =7，3D =6-， 得2分 ；当3>n 时，())3(162)1(--=-n D n n n ! 计算共4步，每步得2分。

2、02≠=A ，得2分；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-01101C ，11--=BC A X ， 得2分； ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-122511231331A ，得3分；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=251446X ，得3分。

3、()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==3001061124201210,,,4321ααααA ，得2分； ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→0000480012103001A ，得2分；⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00002110000103001A ，得2分； 秩{}3,,41=ααΛ，321,,ααα是一个极大无关组，得2分； 32142103αααα-+= ，得2分。

4、)12()3(7414714442λλλλλλ--=-------=-E A ，得2分； 12,3321===λλλ, 得1分；对应于321==λλ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0141ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1042ξ，得2分；对应于123=λ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1113ξ，得2分；()321,,ξξξ=P ，0≠P ，A 可对角化，得2分；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ=-12000300031AP P ，得1分。

西安交通大学研究生公共课最优控制2006试题2006/07/12一、（20分）简答题1） 什么是泛函？什么是泛函极值？2） 对于线性连续系统的二次型目标泛函：请解释其中各部分的物理意义，并解释此LQR 问题所表示的物理概念。

3） 预测控制算法的三个基本点（或三个主要步骤）是什么？4） 请简述你所在小组课程project 的主要工作结果以及你个人的主要工作。

二、（15分）设系统的状态方程为()()⎩⎨⎧====222112100ξξx ,u x x ,x x &&，转移到x 1(T )=0，x 2(T )=0，目标为()∫=T u dt t u J min 0221，其中T 是给定的。

求最优控制()t u ˆ。

三、（20分）端点可变情形下的泛函极值问题：()()dx y ,y ,x F y J min x x y ∫′=10 其中，x 0固定，x 1可变，y 0=y (x 0)固定，y 1=y (x 1)可变。

请推导其泛函极值存在的必要条件：四、（15分）给定如下的被控系统：Bu Ax x +=&，其中，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10001021B ,A ,x x x 。

求最优反馈控制律，使如下性能指标最小化：()∫∞+⋅=0221dt u x x J T五、（15分）设离散系统方程()()()k u k x k x +=+1，性能指标()()()()()[]∑=++=3023k k x k u k x k u k x J 式中u (k )限取+1或-1，且x(k)≥0。

要求末端状态为x (4)=2。

试求使性能指标最小化的最优控制u *(k )和最优轨线x *(k )，k = 0,1,2,3。

六、（15分）* 考察的同学五、六题可选做一题。

2006年北京大学研究生入学考试高等代数与解析几何试题解答高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。

解: 方程AX B =有解的充分必要条件是: ()(,)r A r A B =. 令1(,,)m B ββ=", 其中k β为列向量. 则矩阵方程AX B =有解⇔方程组12,,,,k k Ay k m β=="有解. ⇔A 的列向量组构成的向量组与(,)A B 的列向量组构成的向量组等价. ⇔()(,)r A r A B =.注: 方程有解的一个等价含义是可由列向量线性表示, 从而转化为等价向量组上来.(2) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：方程n XA E =是否有解？有解，写出它的解集；无解，说明理由。

解:方程n XA E =有解. 理由: 因为A 列满秩, 所以()()Tr A r A n ==.又(,)Tn r A E n =, 因此()(,)TTn r A r A E =,从而Tn A Y E =有解,两边取转置可知方程n XA E =有解.我个人觉得本题似乎考察的是:广义逆矩阵方面的知识, 如果大家对这部分知识不熟悉, 建议大家去看看丘维声老先生编著的<<高等代数>>.矩阵方程AXA A =的解X A −=一般称为A 的广义逆矩阵. 广义逆是存在的, 对于本题因为A 是列满秩的, 故由相抵标准型知,存在可逆矩阵,P Q 满足n E PAQ O ⎛⎞⎟⎜⎟⎜=⎟⎜⎟⎟⎜⎝⎠, 则可以取(,)n A Q E O P −=. 此时X 的所有解为: (),n sn X A Z E AA KZ −−×∈=+−∀.因为 11(,)n n nE A Q E O PP Q A E O −−−⎛⎞⎟⎜⎟⎜==⎟⎜⎟⎟⎜⎝⎠, 所以A −是矩阵方程n A A E −=的特解. 下面证明XA O =的全部通解为: (),n sn X Z E AA Z K−×∈=−∀.首先, 由()()n Z E AA A Z A A O −−=−=,知()n Z E AA −−是方程的解. 其次, 任取XA O =的一个解0X , 则由0000()n X E AA X X AA X −−−=−=, 取0Z X =即可.由矩阵方程解的结构定理可知, (),n sn X Z E AA Z K −×∈=−∀(3) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：对于数域K 上任意s m ×矩阵B ,矩阵方程AX B =是否一定有解？当有解时，它有多少个解？求出它的解集。

浙江科技学院 2006-2007学年第 2 学期考试试卷 B 卷 考试科目 线性代数 考试方式 闭 完成时限 2小时 拟题人 吴阿林 审核人 批准人 07 年06 月18日 院 年级 专业一、填充题（每题4分，共计20分） 1）在五阶行列式中，乘积项 5145342312a a a a a 的符号应取（正、负） 号。

2）已知,321,421⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=βα则βαT = ；T αβ = ；βα+= 。

3）设A 均为3阶方阵，伴随矩阵为*A ，1=A ，则=*A 2________ __ _。

4）已知矩阵方程⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011006500002100524321x x x x ，则解为 。

5）向量组A 线性相关的充要条件是 。

二．选择题(每小题4分, 共16分) 1．设B A ..均为n 阶可逆矩阵,下列运算规则正确的是-----------------（ ）． （A ）B A B A +=+ （B) ()T T T B A AB = (C) BA AB = (D) BA AB =学姓……………………………………………………………装订线……………………………………………………………………………………2．若2333222111=c b a c b a c b a ，则333322221111225222522252c b b a c b b a c b b a +++的值是--------------（ ） A 4 B –4 C -16 D 163．设A 是m n ⨯矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组A x b =对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）（A ）若0Ax =只有零解，则A x b =有唯一解；（B ）若A x b =有无穷多解，则0Ax =有非零解；（C ）若0Ax =有非零解，则A x b =有无穷多解；（D ）若A x b =有无穷多解，则0Ax =只有零解.4、若由AB AC =必能推出B C =，其中A B C ,,为同阶方阵，则A 应满足--（） A 、 A O ≠ B 、 A O = C 、 A 0= D 、 A 0≠二、计算题（共64分）1、（10%）已知3阶方阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200063031求：1-A2、（10%）算行列式52222242222232222222222215=D3、（10%）已知112011111-=A ，求矩阵）（）（E A E A 422-1-+4、（10%）求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x5、（%）已知向量组A ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201,211,102321ααα，向量组B ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=614,52121ββ求：（1）向量组A 的秩.（2）判断向量组A的线性相关性.（3）证明向量组A能线性表示向量组B。

天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共 4 页第1 页天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共 4 页第2 页天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共 4 页第3 页2、求解如下线性方程组；若有无穷多解，请用其特解与导出组的基础解系联合表出通解.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--++=++++=-+++-=++-+.6936,326433,54522,26554321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x四、计算(15分)设σ为3R 的线性变换，而()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100,010,001:I 321ααα； ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101,011,111:II 321βββ都是3R 的基，且σ在基()I 下的矩阵为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=211121112A .1、求σ在基()II 下的矩阵B ；2、计算2006A (要有过程及结果).天津大学试卷专用纸学院专业班年级学号姓名共 4 页第4 页五、(18分)求一个正交替换SY X =，将如下实二次型化为标准形.32312123222132184422),,(x x x x x x x x x x x x f ++---=.六、(5分)求证秩为r 的实对称矩阵可以写成r 个秩为1的实对称矩阵之和.2005～2006学年第一学期期末考试线性代数标准答案一、填空(每小题3分，共30分) A 卷 1、40； 2、(D)； 3、3，421,,ααα(或431,,ααα或432,,ααα)；4、(C)；5、T ]24,24,12[12--=β；6、43；7～10、(B)(C)(B)(C).B 卷1、40；2、3，421,,ααα(或431,,ααα或432,,ααα)；3、T ]24,24,12[12--=β；4、43；5～10、(D)(C)(B)(C)(B)(C).二、计算行列式(每小题6=3+3分，共12分) 1、化为三角形或降阶得 274=D .2、将前n 列加到最后一列，再按最后一列展开得 n n n a a a n D 211)1)(1(-+=+. 三、(每小题10分，共20分) 1、1) B E B A E A AB E B A B A A B AA ⇒=-⇒+=⇒+=-)|(|||)(1*可逆. (5分) 2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=--1111116166666)8(11A E B . (5分)2、对增广矩阵做初等行变换得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=00000111000010100300011693611326433541522265111~A ， (6分)从而通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=11100000110100321k k X ，其中21,k k 为任意常数.(4分)四、(15分)1、由基()I 到基()II 的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=101011111S ，则σ在基()II 下的矩阵(3分)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==-330101011111211121112211121111311AS S B ； (5分)2、A SBS S SB SBS A 2005120051200620061200633)(====---. (A A 32=)(7分)五、(18分)1) 二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=242422221A ； (2分)2) A 的全体特征值为7,2321-===λλλ，对应的标准正交特征向量为 (3分)3/]2,2,1[;23/]1,1,4[,2/]1,1,0[T 3T 2T 1-=-==X X X .(10分)3) 令],,[321X X X S =，则S 为正交矩阵，二次型经过正交替换SY X =化为标准形232221722y y y -+. (3分) 六、(5分)设n 阶实对称矩阵A 的秩为r ，正惯性指数为p ，由A 的相合标准形到A 的相合变换矩阵为S ，则∑∑≤≤+≤≤-+=--=rj p jj pi ii 1T1TT )()0,,0,1,,1,1,,1diag(S E SS E SS S A表为r 个秩为1的实对称矩阵之和.出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

2005年——2006年第一学期期末试题 一．填空（每题5分）1．321,,ααα线性无关，则133221,,αααααα--- 。

2．,2,3124321==αααααα则=++21431ααααα 。

3．A 为3阶实正交阵，,)0,0,1(,1'11==b a 则b Ax =的解为 。

4．二次型3231212322214222x x x x x x tx x x f -+-++=为正定二次型的条件为 。

5．非齐次线性方程组b Ax =有解的充要条件是 。

二．（15分）已知向量组,)1,2,2,1,4(,)0,0,1,5,2(,)2,1,0,1,3(,)1,1,2,0,1('4'3'2'1--=-=--=-=αααα（1） 求),,,(4321ααααR 。

（2） 求向量组的一个最大无关组。

（3） 将其余向量用最大无关组线性表示。

三．（10分）已知线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+++=+++μλ4321432143214321121053153363132x x x x x x x x x x x x x x x x 问λ和μ各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？ 四．（15分）设.343122321,111012112,145243121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=C B A 求解矩阵方程C AXB =。

五．（15分）试求正交变换PY X =，把二次型312322213212434),,(x x x x x x x x f -++=化为标准型。

六．（10分）B A ,为方阵，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B AD 00，证明：D 为正定矩阵的充要条件是B A ,为正定矩阵。

七．（10分）已知方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++++++11221111332321312222212*********n n n n n n n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 有解， 证明0112111333231222221111211==++++n nn n n n n n b a a a b a a a b a a a b a a a D。