确定圆的条件学案

4.1.2 圆的一般方程学 习 目 标核 心 素 养1.正确理解圆的方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径．(重点)2．会在不同条件下求圆的一般式方程．(重点)1. 通过圆的一般方程的推导,提升逻辑推理、数学运算的数学素养．2. 通过学习圆的一般方程的应用,培养数学运算的数学素养.圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念：当D 2＋E 2－4F ＞0时,二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程． (2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2,半径长为12D 2＋E 2－4F ．思考：所有形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程都表示圆吗？ [提示] 不是,只有当D 2＋E 2－4F>0时才表示圆．1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2,－3)D ．(2,－3)D [－D 2＝2,－E2＝－3,∴圆心坐标是(2,－3)．]2．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆,则实数k 的取值范围为( ) A ．k ≤12B ．k ＝12C ．k ≥12D ．k<12D [方程表示圆⇔1＋1－4k>0⇔k<12.]3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心,且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －1＝0D ．x －y ＋1＝0D[由题意知圆心坐标是(－1,0),故所求直线方程为y＝x＋1,即x－y＋1＝0.] 4．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3,则m的值为________．11 4[因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m,∴r＝5－m＝32,∴m＝114.]圆的一般方程的概念【例1】(1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆,则实数k的取值范围是( )A．R B．(－∞,1)C．(－∞,1] D．[1,＋∞)(2)已知a∈R,方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________．(1)B (2)(－2,－4) 5[(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k,此方程表示圆,则5－5k>0,解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞,1)．故选B.(2)由题可得a2＝a＋2,解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时,方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0,表示圆,故圆心为(－2,－4),半径为5.当a＝2时,方程不表示圆．]形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0,成立则表示圆,否则不表示圆．(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解,应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解．1．下列方程能否表示圆？若能表示圆,求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.[解](1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同,∴它不能表示圆．(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．∴它不能表示圆．(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5,∴它不能表示圆．(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542,∴它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0为圆心,54为半径长的圆．求圆的一般方程【例2】 已知△ABC 的三个顶点为A(1,4),B(－2,3),C(4,－5),求△AB C 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． [解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0, ∵A,B,C 在圆上,∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0, 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴外心坐标为(1,－1),外接圆半径为5. 法二：∵k AB ＝4－31＋2＝13,k AC ＝4＋51－4＝－3,∴k AB ·k AC ＝－1,∴AB ⊥AC.∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形, ∴外心是线段BC 的中点, 坐标为(1,－1),r ＝12|BC|＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.待定系数法求圆的方程的解题策略：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D 、E 、F.2．求经过点A(－2,－4)且与直线x ＋3y －26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程． [解] 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0, 则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2.∵圆与x ＋3y －26＝0相切于点B,∴6＋E28＋D 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1,即E －3D －36＝0.①∵(－2,－4),(8,6)在圆上, ∴2D ＋4E －F －20＝0, ② 8D ＋6E ＋F ＋100＝0.③联立①②③,解得D ＝－11,E ＝3,F ＝－30, 故所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.与圆有关的轨迹方程问题1．已知点A(－1,0), B(1,0),则线段AB 的中点的轨迹是什么？其方程又是什么？ [提示] 线段AB 的中点轨迹即为线段AB 的垂直平分线,其方程为x ＝0.2．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍,你能求出点M 的轨迹方程吗？ [提示] 设M(x,y),由题意有（x －8）2＋y 2＝2（x －2）2＋y 2,整理得点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16.【例3】 点A(2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 的中点M 的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°,求线段PQ 的中点N 的轨迹方程． 思路探究：(1)设点P 坐标→用P ，A 坐标表示 点M 坐标→求轨迹方程(2)设点N 坐标→探求点N 的几何条件→建方程 →化简得轨迹方程[解] (1)设线段AP 的中点为M(x,y), 由中点公式得点P 坐标为P(2x －2,2y)． ∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上,∴(2x －2)2＋(2y)2＝4,故线段AP 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设线段PQ 的中点为N(x,y), 在Rt △PBQ 中,|PN|＝|BN|.设O 为坐标原点,连接ON(图略),则ON⊥PQ , ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2, ∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4,故线段PQ 的中点N 的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.求轨迹方程的一般步骤：(1)建立适当坐标系,设出动点M 的坐标(x,y)； (2)列出点M 满足条件的集合； (3)用坐标表示上述条件,列出方程； (4)将上述方程化简；(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．3．已知△ABC 的边AB 长为4,若BC 边上的中线为定长3,求顶点C 的轨迹方程．[解] 以直线AB 为x 轴,AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图),则A(－2,0),B(2,0),设C(x,y),BC 中点D(x 0,y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋x2＝x 0，0＋y2＝y 0.①∵|AD|＝3,∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ②将①代入②,整理得(x ＋6)2＋y 2＝36. ∵点C 不能在x 轴上,∴y ≠0.综上,点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心,6为半径的圆,去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y≠0)．1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,来源于圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.在应用时,注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定,在设方程时,要根据实际情况,设出方程,以便简化解题过程,体现数学运算的核心素养．3．涉及到的曲线的轨迹问题,要求作简单的了解,能够求出简单的曲线的轨迹方程,并掌握求轨迹方程的一般步骤．1．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( ) A ．一个点 B ．一个圆 C ．一条直线D ．不存在A [方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0,可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0,即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0,∴方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示点(1,－2)．]2．点P(1,－2)和圆C ：x 2＋y 2＋m 2x ＋y ＋m 2＝0的位置关系是________．点P 在圆C 外部 [将点P(1,－2)代入圆的方程,得1＋4＋m 2－2＋m 2＝2m 2＋3>0,∴点P 在圆C 外部．] 3．圆心是(－3,4),经过点M(5,1)的圆的一般方程为________．x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0 [只要求出圆的半径即得圆的标准方程,再展开化为一般式方程即可．] 4．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2,－4)为圆心,4为半径的圆,则F ＝________． 4 [由题意,知D ＝－4,E ＝8,r ＝（－4）2＋82－4F 2＝4,∴F ＝4.]5．已知A(2,2),B(5,3),C(3,－1),求△ABC 的外接圆的方程． [解] 设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0, 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.。

认识圆你能找出这个圆的圆心和直径吗？方法一：把这个圆剪下来，不同位置对折两次，两次折痕交点就是圆心。

折痕就是直径。

直径圆心方法二：在圆外画一个正方形，使这个圆成为这个正方形中最大的圆，再连接这个正方形的对角线，对角线的交点就是这个圆的圆心，最后过圆心任意画一条直径即可。

认识圆和圆的组成部分：圆：由一条曲线围成的封闭图形。

圆心：圆中心的一点叫圆心，一般用字母O表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。

直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。

拓展提高：等圆：半径相等的圆叫等圆。

同心圆：圆心重合，半径不相等的圆叫同心圆。

注意：①一个圆有无数条半径和直径。

②圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

易错：生活中的球不是圆，球是立体图形，圆是平面图形。

球的横截面是圆。

例题1【易错】判断：（1）足球是圆形。

（）（2）通过圆心的线段叫直径。

（）（3）半径是连接圆心和圆上任意一点的直线。

（）（4）在一个圆里，圆心是所有直径的交点。

（）解答过程：（1）足球是圆形。

（× ）（2）通过圆心的线段叫直径。

（×）（3）半径是连接圆心和圆上任意一点的直线。

（×）（4）在一个圆里，圆心是所有直径的交点。

（√）技巧点拨：（1）足球是球体，是立体图形，不是圆形。

（2）直径是通过圆心，并且两端都在圆上的线段。

（3）半径是连接圆心和圆上任意一点的线段，而不是直线。

（4）直径是通过圆心，两端都在圆上的线段，则所有的直径都要通过圆心，所以在一个圆里，圆心是所有直径的交点。

例题2小明用一张边长10厘米的正方形剪了一个最大的圆，这个圆的直径是（）厘米。

解答过程：小明用一张边长10厘米的正方形纸片剪了一个最大的圆，这个圆的直径是（ 10 ）厘米。

技巧点拨：在一个正方形内剪一个最大的圆，则圆的直径等于这个正方形的边长。

正方形的边长是10厘米，则圆的直径就是10厘米。

例题3一张边长为24厘米的正方形纸，剪成直径是6厘米的圆，可以剪多少个？解答过程：方法一：操作法：要将边长是24厘米的正方形纸剪成直径是6厘米的圆，这张正方形纸一排可以剪24÷6=4（个）圆，能剪4排，即4×4=16（个）圆。

4.1 圆的标准方程
编制：邓太文编制时间：11月23日使用班级：高二（1-6班）编号：33
【目标】 1.掌握圆的定义及标准方程；2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．
【预习学案】
1、圆的定义：
1．圆的标准方程
2.点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，半径为r，则点在圆内⇔；点在圆上⇔；点在圆外⇔
3、点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系如何判断？
思考：从圆的标准方程所含的参数上，你能分析出求圆的标准方程需要几个条件吗？
【课内探究一】点与圆的位置关系
例1 写出圆心为A(2，－3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－5，－1)是否在这个圆上．
练习1 已知点A(1,2)在圆C：(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2的内部，求a的取值范围．
【课内探究二】求圆的标准方程
例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)．求它的外接圆的方程．
例3、已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y ＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．
练习2 在平面直角坐标系中，求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为5的圆的标准方程．
【课内探究三】圆的标准方程的应用
例4 已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，一辆宽度为3 m，高为3.5 m的货车能不能驶入这个隧
道？。

2.4.2圆的一般方程
一、学习目标：1．理解圆的一般方程的代数特征，掌握方程220
++++=表示圆的条件;
x y Dx Ey F
2．掌握用配方法、公式法把圆的一般方程化为圆的标准方程.
学习重点：方程220
++++=表示圆的条件.
x y Dx Ey F
学习难点：用配方法或公式法将圆的一般方程220
++++=化为圆的标准方程
x y Dx Ey F
()()2
2
2r
-
-.
+
x=
a
b
y
二、导学指导与检测
【A 层】 1. 若方程22
0x y x y m +-++=表示一个圆，则有（ ）.
A ．2m ≤ B.2m < C ．12m < D ．12m ≤ 【
B 层】
2.求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.
【C 层】
3.求圆22450x y x +--=上的点到直线3420x y -+0=的距离的最大值.
闯关题：已知等腰三角形的顶点是A(4,2)底边一个端点是B(3,5),求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么图形？。

圆的标准方程学案【想一想】1、理解圆的定义，能正确推导圆的标准方程2、会求圆的标准方程，了解圆的标准方程的简单应用【填一填】1、由画圆的过程您能回忆起已学过的圆的定义是什么？圆的定义：_____________________ 其中定点叫______ ，定长叫____ 。

2、 在平面直角坐标系中， 两点确定一直线，一点和倾斜角也能确定一直线， 类比此性质，您知道确定一个圆的最基本要素是什么？_________________做一做：坐标法推导圆的方程步骤：① 建标设点：在坐标系中圆的坐标为（a,b ） ，半径为 r ，设 M （x,y ） 为___________ ， ② 列式：由圆的定义可知_________：③ 坐标化：由两点间的距离公式可得_________④ 化简：化简得__________⑤ 检验证明结论： ①圆心在 A （a,b ）,半径为 r 的圆的标准方程为_____________②圆心在原点，半径为 r 的圆的标准方程为______________________【练一练】1. 写出下列圆的圆心坐标和半径。

圆心坐标 半径__________ ____________________ _____________________ _____________________ ____________________ _____________________ ___________2. 根据下列条件，写出圆的标准方程。

(1) 圆心在，半径长为4； __________________________ (2) 圆心在，半径长为； __________________________ (3) 圆心在，半径长为5； __________________________例 1、写出圆心为 A （2，-3）半径为 5 的圆的标准方程，并判断点 M 1（5，-1） ，M 2 （-1，-3）是否在这个圆上？探索：如何判断一个点是否在圆上？_____________提升：①进一步问：若点 M 2不在圆上，那它在圆内还是圆外？_______________________--②点与圆的具体位置关系是什么？____________________________探索：如何利用方程判断一个点 P （x 0,y 0）是在圆（x-a ）2+(y-b)2=r 2的内部还是外部？随堂巩固：1 已知圆的方程是（x-3）2+(y+2)2=16，判断下列各点在圆上、在圆外、 还是在圆内？（1） M 1（4, -5） ； （2）M 2（5，1） ； (3)M 3（3，-6）2 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上，求圆心为的圆的标准方程。

2014年中考数学第二十三讲 圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义：1、⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA 叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合 【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的 2、直径是圆中 的弦，弦不一定是谁】 3、弦与弧： 弦：连接圆上任意两点的 叫做弦 弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类 4、圆的对称性： ⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴.⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】 5、 垂径定理及推论： （1 （223 1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是四、圆周角定理及其推论： 1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有 个，它们的关系是 2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】 3、圆内接四边形定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 这个圆叫做 性质：圆内接四边形的对角 【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】考点一：垂径定理 .例1、( 2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB =10，水面宽AB =16，则截面圆心O 到水面的距离OC 是_________例2、 （2013•绍兴4分）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为_________对应训练1、（2013湖北宜昌）如图，DC 是⊙O 直径，弦AB ⊥CD 于E ，连接BC ，AD ，则下列结论错误的是（ ）A 、»»AD BD= B 、AE=BE C 、 OE=CE D 、∠DBC=90° 2、（2013四川泸州）已知圆O 的直径CD ＝10cm ，AB 是圆O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，且AB ＝8cm ，则AC 的长为__________考点二：圆心角定理例3、（2013•厦门）如图所示，在⊙O 中， »»AB AC =，∠A=30°，则∠B=______ 对应训练 3、（2012•绵阳）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=________ 考点三：圆周角定理例4、如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O 上，斜边和一直角边分别与⊙O 相交于A 、B 两点，P 是优弧AB 上任意一点（与A 、B 不重合），则∠APB=例5、（2013•苏州）如左图，AB 是半圆的直径，点D 是 »AC 的中点，∠ABC=50°，则∠DAB 等于_________例6．（2013•巴中）如右图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 等于__________________ 例7、（2013四川内江）如图，半圆O 的直径AB=10cm ，弦AC=6cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为___________．对应训练4、（2013•襄阳）△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC 的度数是______________CD ⊥AB考点四：圆内接四边形的性质例8 （2012•深圳）如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A 、点B ，点A 的坐标为（0，3），M是第三象限内»OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C 的半径长为（ ）A ．6B ．5C ．3 D．对应训练6、（2013四川巴中）如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=58°，则∠BCD 等于_____________。

圆的标准方程【课标解读】栏目功能：按课程标准和考试要求，分课标要求和学习目标两方面去写，通过本栏目，使教师的教学更具有针对性，学生的学习更具有目的性。

编写要求：课标要求和学习目标左右栏排版单独成块，课标要求主要围绕三维目标进行展开，学习目标是从学生应该掌握的角度进行写作。

【学习策略】栏目功能：说明学习本节内容时应注意的问题和应采用的策略，以便学生更好的理解和掌握本章内容。

编写要求：注意要用条目式呈现，层次性条理性要强。

1．在本节的学习中，要注意圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，通过两点间的距离公式理解和记忆，且通过圆的标准方程可以直接得到圆心和半径、通过圆心和半径可以直接得到圆的标准方程。

2．在掌握了标准方程之后，要能从“是”、“否”两个方面来判断点与方程的关系， 3．要注意数形结合思想及方程思想的运用。

4．求标准方程常用待定系数法，根据题目的条件列出关于A 、B ．r 的方程或方程组。

【学习过程】一、情景创设栏目功能：激起学生的学习本节知识、探究问题、发现问题的兴趣和斗志，同时也能更好地体现新课标理念。

编写说明：1．在报刊、网络或相关信息上精选或精编一段新颖的、可读性强的、趣味性强的与本节相关的生产、生活、社会、科技等美文、小故事、图片等，作为本节知识的导入，引导学生去探索、发现问题，激发学生的学习兴趣。

2．如果与本节相关的材料确实不好找，也可以从知识回顾的角度或自己精编一个与本节有关的问题去写。

3．注意篇幅不易过长。

同学们，你们做过摩天轮吗？登高而望远，不亦乐乎。

世界上最巨大的摩天轮是座落于泰晤士河畔的英航伦敦眼，距地总高达135公尺。

然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在排行上应该与重力式摩天轮分开来计算。

因此目前世界最大的重力式摩天轮应位于日本福冈的天空之梦福冈，是直径112公尺，离地总高12021的摩天轮。

对于这些摩天轮，我们如何通过建立平面直角坐标系，利用方程的知识来研究呢？ 二、合作探究栏目功能：通过对本节重要知识点和典型解题方法的探究，进一步强化学生对知识和方法的探索感悟和认知过程，使学生对问题的认识是一个层层递进、不断攀升、不断升华的过程，从而遵循由特殊到一般的认识问题和解决问题的基本思路、基本方法编写要求：1．对于基本概念、公式、定理、方法的讲解。

2.5.2圆与圆的位置关系素养目标·定方向课程标准学法解读1．了解圆与圆的位置关系．2．掌握圆与圆的位置关系的判断方法．3．能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(数学抽象)2．能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系．(数学运算)3．能综合应用圆与圆的位置关系解决问题．(逻辑推理)必备知识·探新知知识点两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d＞__r1＋r2__d＝__r1＋r2____|r1－r2|__＜d＜__r1＋r2__d＝__|r1－r2|__d＜__|r1－r2|__C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F1＞0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2＞0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系__相交____外切或内切____外离或内含__两圆的位置关系？提示：不能．已知两圆只有一个交点只能得出两圆内切或外切．关键能力·攻重难题型探究题型一判断两圆的位置关系典例1已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax －2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含？[分析]先求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a的值．[解析]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1．∴|C1C2|＝(a－2a)2＋(1－1)2＝a．(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．(4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含．[规律方法]判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系．(2)代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题．【对点训练】❶(1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(B) A．内切B．相交C．外切D．相离(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有__4__条．[解析](1)两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为(－2－2)2＋(0－1)2＝17，则R－r＜17＜R＋r，所以两圆相交，选B．(2)到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝(3＋1)2＋(－1－2)2＝5．半径之和为3＋1＝4，因为5＞4，所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．题型二两圆相切问题典例2求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．[分析]设圆的方程，利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得．[解析]设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，则(a－1)2＋b2＝r＋1．①又所求圆过点M的切线为直线x＋3y＝0，故b＋3a－3＝3．②|a＋3b|2＝r．③解由①②②组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－43，r＝6．故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36．[规律方法]处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．【对点训练】❷已知圆O1：x2＋y2－82x－82y＋48＝0，圆O2过点A(0，－4)，若圆O2与圆O1相切于点B(22，22)，求圆O2的方程．[解析]圆O1的方程变为(x－42)2＋(y－42)2＝16，所以圆心O1(42，42)，因为圆O2与圆O1相切于点B(22，22)，所以圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设为(a，a)，因为圆O2过点A(0，－4)，所以圆O2与圆O1外切，因为圆O2过B(22，22)，所以a2＋(a ＋4)2＝2(a－22)2，所以a＝0，所以圆O2的方程为x2＋y2＝16．题型三两圆相交问题角度1与弦长相关的问题典例3已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0．(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．[解析] (1)将两圆方程配方化为标准方程，C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10．则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径r 1＝52； 圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径r 2＝10．又|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10．∴r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0．(3)解法一：两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0 ①x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0 ② 两式相减得x ＝2y －4 ③，把③代入②得y 2－2y ＝0，∴y 1＝0，y 2＝2．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－4，y 1＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2. ∴交点坐标为(－4,0)和(0,2)．∴两圆的公共弦长为(－4－0)2＋(0－2)2＝25．解法二：两方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 两式相减得x －2y ＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程；由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心为C 1(1，－5)，半径r 1＝52．圆心C 1到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝35， ∴两圆的公共弦长为2r 2－d 2＝250－45＝25．角度2 圆与圆位置关系的应用典例4 已知圆C 满足：圆心在直线x ＋y ＝0上，且过圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的交点A ，B ．(1)求弦AB 所在的直线方程和圆C 的方程；(2)过点M (－4,1)的直线l 被圆C 截得的弦长为6，求直线l 的方程．[解析] (1)由题意：圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的交点A (－4,0)，B (0,2)．两式相减得：4x －8y ＋16＝0，即x －2y ＋4＝0，所以弦AB 所在的直线方程为x －2y ＋4＝0．圆心在直线x ＋y ＝0上，设圆心为(a ，－a )，那么它到两交点A ，B 的距离相等，故有(a ＋4)2＋a 2＝a 2＋(2＋a )2，可得：a ＝－3，即圆心(－3,3)，r 2＝10，圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －3)2＝10．(2)当k 存在时，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋4)，即kx －y ＋1＋4k ＝0，直线l 被圆C截得的弦长为6，即9＝r 2－d 2，所以d 2＝1．即|－3k －3＋1＋4k |k 2＋1＝1，可得：k ＝34，所以直线l 的方程为3x －4y ＋16＝0；当k 不存在时，直线l 的方程为x ＋4＝0．直线l 被圆C 截得的弦长为6，符合题意．故所求直线l 的方程为x ＋4＝0或3x －4y ＋16＝0．[规律方法] 求两圆公共弦长的方法1．代数法：求交点的坐标，利用两点间的距离公式求出公共弦长．2．几何法：利用圆的半径、公共弦的一半、圆心到弦的垂线段构成的直角三角形，根据勾股定理求出公共弦长．【对点训练】❸ 已知圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －4)2＋(y －4)2＝R 2(R ＞0)．(1)R 为何值时，圆C 1与圆C 2外切；(2)在(1)的条件下，设切点为P ，过P 作直线l 与圆C 1相交于E 点，若|PE |＝2，求直线l 的方程．[解析] (1)由已知圆的方程可得：C 1(0,0)，C 2(4,4)，则|C 1C 2|＝42＝R ＋1，所以R ＝42－1．(2)因为C 1(0,0)，C 2(4,4)，所以P 为直线C 1C 2与圆C 1的交点，在第一象限．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝1，得P ⎝⎛⎭⎫22，22 ． 当直线斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，所以l ：kx －y ＋22(1－k )＝0，则圆心C 1到直线l 的距离d ＝12－⎝⎛⎭⎫222＝⎪⎪⎪⎪－22k ＋221＋k 2，解得：k ＝0，此时直线方程为y ＝22．当直线斜率不存在时直线方程为x ＝22也满足条件，故所求直线l 的方程为y ＝22或x ＝22．易错警示两圆的位置有关系考虑不全面致错典例5求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．[错解]由题意知，所求圆的圆心为C(a,4)，半径为4，故可设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－4)2＝16．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心为A(2,1)，半径为3．由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7，∴(a－2)2＋(4－1)2＝72，解得a＝2±210，故所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16．[辨析]两圆相切可为内切和外切，不要遗漏．[正解]设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．由圆C与直线y＝0相切且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，－4)．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3．由两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1．①当圆心为C1(a,4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±210，故所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16．②当圆心为C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a＝2±26．故所求圆的方程为(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16．综上所述，所求圆的方程为(x－2－210)2＋(y－4)2＝16或(x－2＋210)2＋(y－4)2＝16或(x－2－26)2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋26)2＋(y＋4)2＝16．[误区警示]两圆相切包括外切与内切，外切时，圆心距等于两圆半径之和，内切时，圆心距等于两圆半径差的绝对值．在题目没有说明是内切还是外切时，要分两种情况进行讨论．解决两圆相切问题，常用几何法．。