2018年高三最新 北京市西城区2018年抽样测试(一)数学(文) 精品

北京市西城区2018年高三抽样测试数学试卷（文科）本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共50分，考试时间120分钟。

第一卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知集合S R =,2{|230}A x x x =--≤，那么集合A 等于A ．{|31}x x -≤≤B ．{|13}x x -≤≤C ．{|3,1}x x x <->或D ．{|1,3}x x x <->或2．将函数1y x =的图像按向量a 平移后，得到121y x =++的图像，则A ．(1,2)a =B ．(1,2)a =-C ．(1,2)a =-D ．(1,2)a =--3．在空间中，有如下四个命题： ①平行于同一个平面的两条直线是平行直线， ②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α//β；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直。

其中正确的两个命题是 A ．①、③B ．②、④C ．①、④D ．②、③4．在6(12)x -的展开式中3x 的系数是A ．20B ．－20C ．160D ．－1605．在1，2，3，4，5这五个数字所组成的没有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有A ．6个B ．9个C ．12个D ．18个6．在函数sin y x ω=在[,]33ππ-上是增函数，则ω的值可以是A ．1B ．2C ．－1D ．－27．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若2{log }n a 是公差为－1的等差数列，且638S =，那么1a 的值是A ．421B ．631C ．821D ．12318．在ABC ∆中，3AB BC =,ABC ∆的面积3]2S ∈，则AB 与BC 夹角的取值范围是A ．[,]43ππB ．[,]64ππC ．[,]63ππD ．[,]32ππ第二卷（非选择题 共110分）二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。

北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．设全集为R ，若集合}50|{},1|{<≤=≥=x x N x x M ，则N ( )等于A ．}5|{≥x xB ．}10|{<≤x xC ．}5|>x xD ．}51|{<≤x x2．函数1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是A ．π,13--B ．π,13+-C ．π,3-D ．π2,13--3． 函数)0(12>+=x x y 的反函数是 A ．)0(12>-=x x y B ．)0(12>--=x x yC ．)1(12>-=x x yD ．)1(12>--=x x y3．等差数列6427531,4,}{a a a a a a a a n ++=+++则中=A ．3B ．4C ．5D ．64．设命题p ：若001:;11,<⇔<<>ab bq b a b a 则. 给出下列四个复合命题：①p 或q ；②p 且q ；③ p ；④q 其中真命题的个数有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．函数])5,2[)(1(log )(21∈-=x x x f 的最大值与最小值之和是A ．－2B ．－1C ．0D ．26．已知直线21,l l 与平面α. 则下列结论正确的是 A ．若A l l =⊂αα 21,，则21,l l 为异面直线. B ．若α//,//121l l l ，则α//2l . C ．若,,121α⊥⊥l l l 则.//2αlD ．若,,21αα⊥⊥l l ，则21//l l .7．直线02=-y x 与圆9)1()2(:22=++-y x C 交于A ，B 两点，则△ABC （C 为圆心）的面积等于A ．52B ．32C ．34D ．548．某人上午7:00乘汽车以匀速1υ千米/时（30≤1υ≤100）从A 地出发到距300公里的B地，在B 地不作停留，然后骑摩托车以匀速2υ千米/时（4≤2υ≤20）从B 地出发到距50公里的C 地，计划在当天16:00至21:00到达C 地。

精品解析：北京市西城区2018届高三4月第一次模拟考试数学（文）试题解析（教师版）【试题总体说明】本套试卷严格按照2018年的高考题进行命制，临近高考，题目难度适当，创新度较高。

所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。

如选择题1，2,3，4，5,9,10；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查,如解答题15,16,17,18.（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如填空题7.（4）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色．如选择题8和解答题20等；（5）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。

如19，20题。

第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B = （ ） （A ）(2,2)- （B ）(1,2)-（C ）(1,2)（D ）(1,4)【答案】C【解析】{|22}B x x =-<<∴{|12}A B x x =<< 故选C【解析】x=3,y=7,|3-7|<8,x=7,y=15,|7-15|=8,x=15,y=31,|15-31|>8, ∴y=31故选D 3．若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a << （D ）c b a <<【答案】D【解析】32log (1,)a =∈+∞,23log (0,1)b =∈,134log (,0)c =∈-∞∴c<b<a,故选D【答案】B【解析】12z i =--，2z i =，∴12212z ii z i --==-+∴复数12z z 对应的点的坐标为（-1,2）∴复数12z z 对应的点位于第二象限，故选B 5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图 中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） （A）2 （B）2（C ）28cm（D ）24cm【答案】A【解析】左视图是矩形，可得边长为2，∴左视图的面积是2故选,A6．若实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则|3|x y -的最大值为（ ）（A ）6 （B ）5（C ）4（D ）3【答案】B【解析】由图可知，A （1,0），B （1,2），C （0,1），过（1,2）点时|3|x y -取最大值为5，故选B7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．则“10a >”是“32S S >”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件【答案】C【解析】32S S >30a ⇔>210a q ⇔>10a ⇔>，故选C8．已知集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且30a ≠.则A 中所有元素之和是（ ）（A ）120 （B ）112 （C ）92 （D ）84【答案】C【解析】0123,,,a a a a 的情况分别为：0001,0011,0101,0111,1001,1011,1101,1111，∴A 中元素分别为8,12,10,14,9,13,11,15，∴A 中所有元素之和,92第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知向量(1,2)=a ，(,2)λ=-b .若,90︒〈-〉=a b a ，则实数λ=_____.【答案】9【解析】(1,4)a b λ-=- ，∵,90o a b a <->=∴(1)80λ-+=∴9λ=10. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),， [1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．【答案】54【解析】∵小矩形的面积之比=频率之比∴成绩在[16,18]的学生人数是54 11. 函数22sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____． 【答案】π【解析】22sin 3cos y x x =+1cos 21cos 2322x x -+=+⨯cos 22x =+∴22T ππ==12. 圆22430x y x +-+=的圆心到直线0x =的距离是_____. 【答案】1【解析】圆22430x y x +-+=的圆心为（2,0），它到直线的距离为1d == 13. 已知函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是_____；()f x 的值域是_____．14. 如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ， .记(0,)n n A y ，1,2,3,n = .给出下列三个结论： ① 数列{}n y 是递减数列； ② 对*n ∀∈N ，0n y >； ③ 若14y =，23y =，则523y =. 其中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①②③ 【解析】（1）由图易知数列为递减数列（2）设2111(,)B y y ，2222(,)B y y ，直线12B B 的方程为211222121y y x y y y y y --=--当x=0时，12312y y y y y =+ ∵10y >，20y > ∴12120y yy y >+，依次类推，0n y >（3）由124,3y y ==，则3127y =，45122,113y y == 三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2BC =，△ABCAB ．（Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅． ……9分 因为 2BC =，1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=． ……………11分 因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ……………13分 16.（本小题满分13分）某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是18和27．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班抽取了3名同学．（Ⅰ）求研究性学习小组的人数；（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．【命题分析】本题考查概率知识，第一问利用分层抽样中，样本容量÷总容量=频率，利用公式求m ，第二问要把所有抽取2名学生的情况分清，在所有情况中挑出2次发言的学生恰好来自不同班级的情况，从而得出概率。

北京市西城区高三一模试卷数 学（文科） 4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集{|02}U x x =<<，集合1{|0}A x x =<≤，则集合U A =ð（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）(1,2) （D ）[1,2)2．已知平面向量(2,1)=-a ，(1,3)=b ，那么|a +b |等于（ ） （A ）5 （B（C（D ）133．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长是实轴长的2倍，则此双曲线的离心 率为（ ） （A（B ）2 （C（D4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）2正(主)视图俯视图侧(左)视图（B ）43（C ）4 （D ）56． 设0a >，且1a ≠，则“函数log a y x =在(0,)+∞上是减函数”是“函数3(2)y a x =-在R 上是增函数”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *∈N 年后，5．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ） （A）()sin =f x x （B ）()sin 2=f x x （C）()cos =f x x（D ）()cos 2=f x x盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）78. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）（A ） 4个 （B ）6个 （C ）10个 （D ）14个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．10．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则p =_____；C的准线方程为_____．BADC. P11．已知函数3, 0,()1, 0,1≤+⎧⎪=⎨>⎪+⎩x x f x x x 若0()2=f x ，则实数0=x ______；函数()f x 的最大值为_____．12．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为______．13．若不等式组1,0,26,ax y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是__________.14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，2BC =，P 为线段AD （含端点）上一个动点. 设AP xAD = ，PB PC y ⋅=，记()=y f x ，则(1)=f ____； 函数()f x 的值域为_________.A BD CP三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知222+=+.b c a bc（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cos=B2b=，求a的值.16．（本小题满分13分）某批次的某种灯泡共200个，对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；（Ⅱ）某人从这200个灯泡中随机地购买了1个，求此灯泡恰好不．是次品的概率；（Ⅲ）某人从这批灯泡中随机地购买了()*∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样．．．．．．．．．所得的结果相同，求n 的最小值.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是矩形，2AD AB =，SA SD =，SA AB ⊥， N 是棱AD 的中点.（Ⅰ）求证：//AB 平面SCD ； （Ⅱ）求证：SN ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ?若存在，求出SP PC的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）已知函数()ln a f x x x=-，其中a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）如果对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y W a b a b+=>>：的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆W 的方程.（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 与W 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =.20．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，1()n a n n*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111,,,2358为{}n a 的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等比数列； （Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足104d -<<；（Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个6项子列，且{}n c 为等比数列，证明：1234566332c c c c c c +++++≤.北京市西城区高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（文科） 4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．B 3．D 4．C5．D 6．A 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．25- 10．4 2=-x 11．1- 3 12．256 13． (3,5) 14．1 4[,4]5注：第10、11、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为 222b c a bc +=+， 所以2221cos 22b c a A bc +-==， ………………4分又因为 (0,π)∈A ，所以π3A =. ……………… 6分（Ⅱ）解：因为 cos 3=B ，(0,π)∈B ， 所以sin 3B ==， ………………8分由正弦定理sin sin =a bA B， ………………11分得sin 3sin ==b Aa B. ………………13分16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：0.15a =，30b =，0.3=c . ……………… 3分（Ⅱ）解：设“此人购买的灯泡恰好不是次品”为事件A . ……………… 4分由表可知：这批灯泡中优等品有60个，正品有100个，次品有40个，所以此人购买的灯泡恰好不是次品的概率为100604()2005+==P A . …………… 8分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得这批灯泡中优等品、正品和次品的比例为60:100:403:5:2=.……………… 10分所以按分层抽样法，购买灯泡数 35210()*=++=∈n k k k k k N ， 所以n 的最小值为10． (13)分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是矩形， 所以//AB CD ， ……………… 1分又因为 AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ， 所以//AB 平面SCD . (3)分（Ⅱ）证明：因为 , , AB SA AB AD SA AD A ⊥⊥= ，所以⊥AB 平面SAD ， ……………… 5分又因为 SN ⊂平面SAD ， 所以AB SN⊥. ……………… 6分因为 SA SD =，且N 为AD 中点， 所以 SN AD ⊥. 又因为 AB AD A = ， 所以SN ⊥平面ABCD . ……………… 8分（Ⅲ）解：如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作//FP SN交SC 于点P ，连接PB ，PD . 因为 SN ⊥平面ABCD ，所以 FP ⊥平面ABCD .又因为 FP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD . 在矩形ABCD 中，因为//ND BC ， 所以12NF ND FC BC ==. 在SNC ∆中，因为//FP SN ，所以12NF SP FC PC ==. 则在棱SC 上存在点P ，使得平面⊥PBD 平面ABCD ，此时12SP PC =. ……… 14分 18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由2()ln f x x x=-，得212()f x x x '=+， ……………… 2分 所以 (1)3f '=，又因为 (1)2f =-， 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为350x y --=. (4)分（Ⅱ）解：由 ()2f x x >-+，得ln 2a x x x->-+， 即2ln 2a x x x x <+-. ……………… 6分设函数2()ln 2g x x x x x =+-， 则()ln 21g x x x '=+-， ……………… 8分因为(1,)x ∈+∞， 所以ln 0x >，210x ->， 所以当(1,)x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->， (10)分故函数()g x 在(1,)x ∈+∞上单调递增， 所以当(1,)x ∈+∞时，()(1)1g x g >=-. ……………… 11分因为对于任意(1,)x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立， 所以对于任意(1,)x ∈+∞，都有()a g x <成立. 所以1a -≤. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得椭圆W 的半焦距1c =，右焦点(1,0)F ，上顶点(0,)M b ，…… 1分所以直线MF 的斜率为0101-==--MF b k ， 解得1b =， ……………… 3分由 222a b c =+，得22a =， 所以椭圆W 的方程为2212x y +=. ……………… 5分 （Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中1k =或2，11(,)A x y ，22(,)B x y .… 6分由方程组2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分所以 2216880k m ∆=-+>， （*）由韦达定理，得122412km x x k -+=+,21222212m x x k-=+. ……………… 8分 所以||AB ==…… 9分因为原点O到直线y kx m=+的距离d =， ……………… 10分所以1||2AOB S AB d ∆=⋅= ……………… 11分当1k =时，因为AOB S ∆=所以当232m =时，AOB S ∆的最大值12S =， 验证知（*）成立； ……………… 12分当2k =时，因为AOB S ∆=所以当292m =时，AOB S ∆的最大值22S =； 验证知（*）成立. 所以12S S =. ……………… 14分注：本题中对于任意给定的k ，AOB ∆.20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列：12，14，18. ……………… 2分 （Ⅱ）证明：由题意，知1234510b b b b b >>>>>≥，所以210d b b =-<. ……………… 4分因为 514b b d =+，151,0b b >≤， 所以 514011d b b =->-=-，解得 14d >-. 所以104d -<<. ……………… 7分（Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，则 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++. 因为{}n c 为{}n a 的一个6项子列， 所以q为正有理数，且1q <，111()c a a*=∈N ≤. ……………… 8分设 (,Kq K L L*=∈N ，且,K L 互质，2L ≥）.当1K =时，因为 112q L =≤， 所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++2345111111()()()()22222+++++≤， 所以1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 10分 当1K ≠时，因为 556151==⨯K c c q a L是{}n a 中的项，且,K L 互质，所以 5*()a K M M =⨯∈N ，所以 23451234561(1)c c c c c c c q q q q q +++++=+++++543223*********()M K K L K L K L KL L=+++++.因为 2L ≥，*,K M ∈N ，所以 234512345611111631()()()()2222232c c c c c c ++++++++++=≤. 综上，1234566332c c c c c c +++++≤. ……………… 13分。

北京市西城区2018年抽样测试高 三 数 学 卷（文科） 2018.1本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共8小题，第一每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

）1．已知集合P = {1，2 }，那么满足Q ⊆P 的集合Q 的个数是 （ ）A ．4个B ．3分C ．2个D ．1个2．若函数f ( x )的反函数为1-f( x ) = 12+x 则f (1) = （ ）A ．4B ．-4C ．1D ．-13．等比数列{a n }中，a 2 = 4，a 5 = 32，则{a n }的前4项和为 （ ） A ．8 B ．16 C ．30 D ．32 4．设a b ∈R ，则“a ＞b ”是“a ＞| b |” （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不时充分条件也是必要条件5．若函数f （x ）=[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛1,0,40,1,41x x xx则f （log 43）= （ ）A ．31 B ．3 C ．41D ．46．（x 3-x 2）7的展开式中x 14的系数是 （ ）A ．84B ．-84C ．168D ．-168 7．已知两直线的方程分别为l 1：x + ay + b = 0，x + cy + d = 0，它们在坐标系中的位置如图所示，则 （ ） A ．b ＞0，d ＜0，a ＜c B ．b ＞0，d ＜0，a ＞c C ．b ＜0，d ＞0，a ＞c D ．b ＜0，d ＞0，a ＜c8．有A 、B 两个口袋，A 袋中有4个白球，1个黑球；B 袋中有3个白球，2个黑球。

从A 、B 两个袋中各取两个球交换，则A 袋中白球仍恰有4个的概率为 （ ）A ．256 B ．509 C ．5017 D ．5021 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。

北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（文科）2018．5学校______________ 班级_______________ 姓名______________参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+=-正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )'(21+=台侧 其中'c 、c 分别表示上下底面周长，l 表斜高或母线长 球体的体积公式334R V π=球一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线116922=-x y 的两条准线方程是（ ） A ．59±=x B ．516±=x C ．59±=y D ．516±=y 2．不等式(2x-1)(1-|x|)<0成立的充要条件是（ ）A ．x>1，或21<x B ．x>1，或211<<-x C ．211<<-x D ．x<-1，或21>x3．已知定点A （0，1）点B 在直线y=x 上移动．当线段AB 最短时，点B 的坐标是（ ） A ．)22,22(B ．)2,2(C ．)21,21( D ．)22,22(--4．已知α，β表示平面，m ，n 表示直线．下列命题中正确的是（ ） A ．若α//β，α⊂m ，β⊂n 则m//nB ．若α⊥β，α⊂m ，β⊂n ，则m ⊥nC ．若m//α，n//β，m ⊥n ，则α⊥βD ．若m ⊥α，n ⊥β，m//n ，则α//β 5．函数)1(12<+=x y x 的反函数是（ ） A ．)1(log 2-=x y ，x ∈（1，3） B ．x y 2log 1+-=，x ∈（1，3） C ．)1(log 2-=x y ，x ∈（1，3] D ．x y 2log 1+-=，x ∈（1，3]6．在复平面内，向量→AB 对应的复数是2+i ，向量→CB 对应的复数是-1-3i ，则向量→CA对应的复数为（ ）A ．1-2IB ．-1+2IC ．3+4ID ．-3-4i7．设集合A={1，2，3，4，5}，a 、b ∈A ，则方程122=+by a x 表示焦点位于y 轴上的椭圆有（ ）A ．5个B ．10个C ．20个D ．25个8．人口问题是我国最大的社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础．由人口统计年监，可查得我国从1974年至1999年人口数据资料如下：（单位：亿）由此可估算出我国2018年的人口数为（ ）A ．13.18亿B ．13.22亿C ．13.42亿D ．13.66亿二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．如果函数⎩⎨⎧<>-=)0( , )()0(,32x x f x x y 是奇函数，则f(x)=_________．10．函数)10(≠>=a a a y x且在[0，1]上最大值与最小值的和是3，则a 的值是_________．11．函数)(cos 3sin R x x x y ∈+=的最小值是__________． 12．直线l 截圆0222=-+y y x 所得弦AB 的中点是)23,21(-，则直线l 的方程为_________________；|AB|=___________．13．设正方体的棱长为a ，则以其六个面的中心为顶点的多面体的体积是_________． 14．如图，)4(2≥n n 个正数排成n 行n 列方阵．符号),1,1(N j i n j n i a ij ∈≤≤≤≤、表示位于第i 行第j 列的正数．已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q ．若2111=a ，124=a ，4132=a ．则q=___________；________46=a ． nnn n n n n a a a a a a a a a a a a 32122322211131211三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分） 设x ∈R ，函数)0,0)(cos()(πϕωϕω<<>+=x x f ．已知f(x)的最小正周期为π，且21)8(=πf ． （Ⅰ）求ω和ϕ的值； （Ⅱ）求f(x)的单调递增区间． 16．（本题满分14分）如图，正三棱柱111C B A ABC -中，E 是AC 中点． （Ⅰ）求证：11A ACC BE 平面⊥； （Ⅱ）求证：11//BEC AB 平面；（Ⅲ）若221=AB A A ，求二面角C BC E --1的大小．17．（本题满分12分）某种商品在近30天内每件的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系近似满足⎩⎨⎧∈≤≤+-∈≤≤+=),3025(,100),241(,20N t t t N t t t P ．商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系近似满足Q=-t+40（1≤t ≤30，N t ∈）．求这种商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中第几天．18．（本题满分14分）设函数f(x)=)1(log ax a -,其中0＜a ＜1． （Ⅰ）证明f(x)是（-∞，a1）上的增函数； （Ⅱ）解不等式f(x)＞1． 19．（本题满分14分）已知定点A （-2，-4），过点A 作倾斜角为45°的直线l 交抛物线px y 22=(p ＞o)于B 、C 两点，且|AB|，|BC|，|AC|成等比数列． （Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D ，使得|DB|=|DC|成立？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．20．（本题满分14分）已知正项数列{}n a 和{}n b 中，a a =1(0＜a ＜1），a b -=11．当n ≥2时，21111,----=⋅=n n n n n n a b b b a a ． （Ⅰ）证明：对任意N n ∈，有1=+n n b a ； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；高三数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．D 7．B 8．B二、填空题：本大题共６小题，每小题５分，共30分． 9．2x+3 (5分) 10．2 (5分) 11．-2 (5分) 12．2 0;2y -x =+ (第一个空2分，第二个空3分)．13．63a (5分)14．21；)83((第一个空2分，第二个空3分)三、解答题：本大题共6小题，共80分，其它解法，请仿此给分． 15．(本题满分12分)解：∵f(x)的最小正周期为π， ∴1,22==ωπωπ…………………………3分∵)2cos()(ϕ+=x x f ∴21)4cos()8(=+=ϕππf∵πϕ<<0， ∴4544πϕππ<+<……………………………5分∴324πϕπ=+ ∴12πϕ=………………………………………8分（Ⅱ）解：由(Ⅰ）得，).122cos()(π+=x x f∴当ππππk x k 21222≤+≤-时, 即)(242413Z k k x k ∈-≤≤-ππππ时，f(x)单调递增． ∴f(x)的单调递增区间是)(],24,2413[Z k k k ∈--ππππ…………………………12分 16．（本题满分14分）(Ⅰ）证明：∵111C B A ABC -是正三棱柱， ∴,1ABC AA 平面⊥ ∴1AA BE ⊥∵△ABC 是正三角形，E 是AC 中点， ∴AC,BE ⊥∴11A ACC BE 平面⊥, …………………………………………………………4分 (Ⅱ）证明：连.,111D C B BC C B =⋂设 ∵111C B A ABC -是正三棱柱， ∴11B BCC 是矩形，D 是C B 1的中点． ∵E 是AC 的中点，∴1AB ∥DE ． ∵1BEC DE 平面⊂，11BEC AB 平面⊄∴1AB ∥平面1BEC ………………………………………………………………8分(Ⅲ）解：作F EC CF 于1⊥，1BC FG ⊥于G ，连CG ． 由（Ⅰ）知,平面111A ACC BEC 平面⊥，∴1BEC CF 平面⊥………………………………………………………………9分 ∴FG 是CG 在平面1BEC 上的射影． ∴根据三垂线定理得，1BC CG ⊥∴∠CGF 是二面角C BC E --1的平面角……………………………………11分设AB=a,∵.22,2211a A A AB A A ==则 在Rt △,66,111a EC CC EC CF ECC =⋅=中在Rt △.33,111a BC CC BC CG BCC =⋅=中在CFG Rt ∆中，∵22sin ==∠CG CF CGF ，∴︒=∠45CGF ． ∴二面角C BC E --1的大小是45°．………………………………14分 17．（本题满分12分）解：设日销售金额为y 元，则y=P ·Q ……………………………………2分∴⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤+-∈≤≤++-=),3025(,4000140),241(,8002022N t t t t N t t t t y即⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤--∈≤≤+--=),3025(,900)70(),241(,900)10(22N t t t N t t t y …………………………6分 当900,10,241max ==≤≤y t t 时；……………………………………8分 当900)70()(,30252--=≤≤t t g t 函数时单调递减，∴t=25时，1125max =y …………………………………………10分 ∴1125max =y ．∴该商品销售金额的最大值为1125元，且近30天中第25天销售额最大．……12分18．（本题满分14分）（Ⅰ）证明：任取)1,(,21ax x -∞∈，且21x x <，21212111log )1(log )1(log )()(ax ax ax ax x f x f aa a --=---=-…………3分∵212221211)(1)1(1111ax x x a ax ax ax ax ax --=----=---，…………5分 ∵ax x a 1,1021<<<<，∴0)(,01122>->-x x a ax ． 即11121>--ax ax ，∴011log 21<--x ax a ．∴)()(21x f x f <，∴)1,()(ax f -∞是上的增函数．……………………8分 （Ⅱ）解：[解法1] ∵10<<a ， ∴⎩⎨⎧<->-⇔>-⇔>)2( 1)1(01log )1(log 1)(a ax ax ax x f a a ……………………11分解不等式(1)得，a x 1<， 解不等式(2)得，aax ->1∵0<a<1，∴aa a 11<- ∴原不等式解集为}11|{ax a a x <<-……………………………………14分 [解法2] 函数f(x)的定义域为}1|{ax x <………………………………8分解方程f(x)=1，得a ax -=1由（Ⅰ）知f(x)是)1,(a -∞上的增函数，∴f(x)>1时，aax ->1．∵a a a 11<-，∴原不等式解集为．}11|{ax a a x <<-……………………13分 19．（本题满分14分）（Ⅰ）解：直线l 方程为y=x-2，将其代入px y 22=， 整理为，04)2(22=++-x p x ．①……………………2分 ∵p>0，∴016)2(42>-+=∆p ． 设),(),,(2211y x C y x B ．∴4,242121=⋅+=+x x p x x ．…………………………4分 ∵|AB|，|BC|，|AC|成等比数列， ∴||||||2AC AB BC ⋅=． ∴)2(2)2(2|)|2(21212+⋅+=-x x x x ，整理为，045)(2)(2121221=-⋅---+x x x x x x ． 将4,242121=⋅+=+x x p x x 代入上式，解得p=1． ∴抛物线方程x y 22=．………………………………7分（Ⅱ）解：假设在抛物线x y 22=上存在点),(33y x D ，使得|DB|+|DC|成立， 记线段BC 中点为),(00y x E ．则11||||1-=-=⇔⊥⇔=K K BC DE DC DB DE ．………………10分 当p=1时，①式成为0462=+-x x ． ∴32210=+=x x x ，1200=-=x y ．∴点),(33y x D 应满足⎪⎩⎪⎨⎧-=--=13123323x y x y ．…………………………12分解得，⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==48223333y x y x 或． ∴存在点)2,2(D 或（8,-4），使得|DB|=|DC|成立…………………………14分 20．（本题满分14分）（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明：①当n=1时，1)1(11=-+=+a a b a ，命题成立；…………………………2分 ②假设n=k 时命题成立，即1=+k k b a ，则当n=k+1时，111)1(112221111==-=-+=-+-⋅=+⋅=+++++k kk k kk k k k k k k k k k k k b b a b a a b a b a b a b b a b a ． ∴当n=k+1时，命题也成立．综合①、②知，1=+n n b a 对N n ∈恒成立．……………………7分 （Ⅱ）解：∵nnnn n nnn n n n a a a a a a b a b a a -=-+⋅=-⋅=⋅=++11)1(12211， ∴111,111111=-+=+=++nn n n n n a a a a a a 即．…………………………11分 ∴数列}1{n a 是公差为1的等差数列，其首项是aa 111=． ∴an aa n a a n )1(1,1)1(111-+=⨯-+=从而．………………………………14分 [注：（Ⅰ）、（Ⅱ）两问独立给分]。

北京市西城区2018年抽样测试高三数学试卷（文科）参考公式：三角函数的和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+l c c S )(21+'=台侧 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=-其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示 2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+斜高或母线长. 2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-球体的体积公式：334R V π=球 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列各函数中，（ ）是R 上的偶函数A ．x x y 22-=B ．x y 2=C ．x y 2cos =D ． 1||1-=x y2．设全集为实数集R ，集合A=∈<x x x ,1log |{2R }，集合B=∈<-x x x ,1|2||{R }，则 B A 等于（ ）A ．}1|{≤x xB ．}10|{≤<x xC ．}21|{<≤x xD ．}3|{≥x x3．抛物线2ax y =的准线方程为1-=y ，则实数a 的值是（ ）A ．41 B ．21 C ．41-D ．－21 4．5．设,4||0πα<<则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．ααsin 2sin >B ．ααcos 2cos <C ．ααtg tg >2D ．ααctg ctg <25．若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之 比为 （ ）A ．2:2B ．2:3C ．2:5D ．2:36．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1（5-，0），点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为（0，2），则双曲线的方程是 （ ）A ．1422=-y xB ． 1422=-y xC ．13222=-y xD ．12322=-y x7．函数)(x f 的部分图象如下图所示，则)(x f 的解析式可以是 （ ）A ．x x x f sin )(+=B ．xxx f cos )(=C ．x x x f cos )(=D ．)23()2()(ππ-⋅-⋅=x x x x f8．某航空公司经营A 、B 、C 、D 这四个城市之间的客运业务. 它的部分机票价格如下：A —B 为2000元；A —C 为1600元；A —D 为2500元；B —C 为1200元；C —D 为900元. 若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B —D 的机票价格为（ ）（注：计算时视A 、B 、C 、D 四城市位于同一平面内） A ．1000元 B ．1200元 C ．1400元 D ．1500元 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．设∈z C ，且i z i -=⋅2，则复数z 等于 ；||i z +等于 .10．正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2，高为2，则异面直线AB 与SC 所成角的大小是 .11．从3名男同学1名女同学中选出3人，分别担任班长、体委、宣委职务，其中女同学不能担任体委职务，那么不同的任职方案共有 种（用数字作答）. 12．已知)(x f 是定义在[－4，0]上的减函数，其图象端点为A （－4，1），B （0，－1），记)(x f 的反函数是)(1x f -，则)1(1-f 的值是 ；)(x f 的值域是 . 13．如果曲线C 的方程是,23++=x x y 那么曲线C 的对称中点坐标是 .14．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本题满分13分）已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为.621,33=⋅=S a S n （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）求).111(lim 21nn S S S +++∞→ .16．（本题满分14分） 在△ABC 中，三个内角是A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，其中c =10，且.34c o s c o s ==a b B A （I ）求证：△ABC 是直角三角形；（II ）设圆O 过A 、B 、C 三点，点P 位于劣弧AC 上，∠PAB=60°.求四边形ABCP 的面积.（17．（本题满分14分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°. BC=CC1=AC=a.（I）求证：BC1⊥平面AB1C；（II）求二面角B—AB1—C的大小；（III）求三棱锥A1—AB1C的体积.18．（本题满分13分） 已知O （0，0）、A （3，0）为椭圆的两个焦点，P 为椭圆与y 轴的一个公共点，且|PO|+|PA|=2. （I ）写出椭圆的方程并求出其离心率；（II ）设直线)0(:>=k kx y l 与（I ）中的椭圆交于B 、C 两点. 求△ABC 的面积是,21求k 的值.19．（本题满分12分）某城市2018年末粮食储备量为100万吨，预计此后每年耗用上一年末粮食储备量的5%，并且每年新增粮食储备量均为x万吨.（I）记2018年末的粮食储备量为a1万吨，以后各年末的粮食储备量依次为a2万吨，a3万吨，…. 写出a1，a2，a3和a n（n∈N）的表达式；（II）当x=6时，是否可以保证该城市的粮食储备量永远不超过120万吨？请加以论证.20．（本题满分14分）设a ≥0，曲线C 的方程为∈+=x ax x y (2R ）.P 是曲线C 上横坐标为1的点，Q 是曲线C 的顶点. （I ）若直线PQ 的斜率是2时，求实数a 的值；（II ）设直线l 经过点P 且与曲线C 有且只有一个公共点，记直线l 交x 轴于点)0,(0x .证明：.121000=≤<x x 或高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.A 7.C 8.D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．10;21i --（第一个空2分，第二个空3分）10．60°（5分） 11．18（5分） 12．－4；}11|{≤≤-y y （第一个空2分，第二个空3分） 13．（－2，1）（5分） 14．①、③（多答、少答、错答均不给分） 三、解答题：本大题共6小题，共80分.其它解法，请仿此给分. 15．（本题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d ，依题意得，.1222336211=⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=+d a d a解得⎩⎨⎧==.2,21d a ………………5分∴数列{}n a 的通项公式为.2)1(1n d n a a n =-+=…………7分 （Ⅱ）解：∵n a n 2=，∴).1(2)(1+=+=n n a a n S n n …………9分 ∵)1(132121111121+++⨯+⨯=+++n n S S S n =.111)111()3121()3121()2111(+-=+-++-++-+-n n n∴.1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∞→∞→n S S S n n n ……13分16．（本题满分14分）（Ⅰ）证明：根据正弦定理得，.sin sin cos cos AB BA =…………2分整理为，sinAcosA=sinBcosB ，即sin2A=sin2B.∵sin2A －sin2B=0， ∴2cos(A+B)·sin(A －B)=0. ∵A+B=π－C ， ∴cosC·sin(A －B)=0.…………5分.,0πππ<-<-<<B A C ∴.0,2=-=B A C 或π…………7分,34=a b ∴舍去A=B. ∴2π=C . 故△ABC 是直角三角形.………………8分 （Ⅱ）解：由（1）可得：a =6，b=8. 在Rt △ACB 中，.54cos ,53sin =∠==∠CAB AB BC CAB ∴)60sin(sin CAB PAC ∠-︒=∠=CAB CAB ∠⋅︒-∠⋅︒sin 60cos cos 60sin =).334(10153215423-=⨯-⨯…………11分 连结PB ，在Rt △APB 中，AP=AB ·cos ∠PAB=5， ∴四边形ABCP 的面积PAC AC AP ab S S S PAC ACB ABCP ∠⋅⋅+=+=∆∆sin 2121四边形 =24+)334(1018521-⨯⨯⨯ =18+38.………………14分17．（本题满分14分）（1）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC ， ∴AC ⊥CC 1. ∵AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面B 1BCC 1. ∴BC 1⊥AC.∵BC=CC 1， ∴四边形B 1BCC 1是正方形， ∴BC 1⊥B 1C.∴BC 1⊥平面AB 1C.………………5分（Ⅱ）解：设BC 1∩B 1C=O ，作OP ⊥AB 1于点P ，连结BP.∵BO ⊥AC ，且BO ⊥B 1 C ，∴BO ⊥平面AB 1C.∴OP 是BP 在平面AB 1C 上的射影.根据三垂线定理得，AB 1⊥BP.∴∠OPB 是二面角B —AB 1—C 的平面角.…………8分∵△OPB 1~△ACB 1， ∴,11AB OB AC OP = ∴.6611a AB AC OB OP =⋅= 在Rt △POB 中，3==∠OP OB OPB tg ， ∴二面角B —AB 1—C 的大小为60°…………10分（Ⅲ）解：∵B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，.6123131*********a a a C B S V V AC A C AA B C AB A ==⋅==∆--…………14分 18．（本题满分13分）（Ⅰ）解：由图可知，椭圆的中心为线段OA 的中点.∵|PO|+|PA|=2， ∴该椭圆的长轴长2a =2.…………2分∴a =1， .21,2322=-==c a b c ∴椭圆方程为.14)23(22=+-y x …………5分 ∴其离心率为.23==a c e …………6分 （Ⅱ）解：将y=k x 代入14)23(22=+-y x ，消去x ， 整理为.0413)14(22=--+y k y k…………8分 设),(),,(2211y x C y x B ， 则21221214)(23||||21y y y y y y OA S ABC -+=-⋅=∆=.21411322=++⋅kk k …………11分 注意到k>0，解得.22=k …………13分19．（本题满分12分）（Ⅰ）解：a 1=100，a 2=0.95×100+x ，a 3=0.95a 2+x =0.952×100+0.95x +x .…………3分 对于n>2，有a n =0.95a n －1+x =0.952×a n －2+(1+0.95)x =… ∴x x a a n n n n n 05.095.0110095.0)95.095.01(95.011211-----+⋅=++++= =.95.0)20100(201-⋅-+n x x …………6分（Ⅱ）解：[解法1] 当x =6时，.95.0201201-⋅-=n n a.120]95.020120[lim lim 1=⋅-=-∞→∞→n n n n a …………9分 并且数列{}n a 的逐项增加，可以任意靠近120.因此，可以保证该城市的粮食储备量永远不超过120万吨.…………12分[解法2] 当x =6时，.95.0201201-⋅-=n n a.12095.0201200.195.00,01,11<⋅-=≤≤<≥-∴∈--n n n a n N n 因此，可以保证该城市的粮食储备量永远不超过120万吨.…………12分20．（本题满分14分）（Ⅰ）解：容易得到P （1，1+a ），).4,2(2a a Q -- 依题意得，.2.221412==+++=a a a a k PQ 解得…………4分 （Ⅱ）证明：①当直线l 的斜率不存在时，其方程为1=x ，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点),1,1(a +合适题意，此时10=x .…………6分②当直l 的斜率存在时，设其方程为),1()1(-=+-x k a y代入.0)1()(,22=--+-++=a k x k a x ax x y 整理为依题意，得.0)1(4)(2=----=∆a k k a 即.2,0)2(4)(4)(22a k k a k a k a +=∴=+-=+-+-……9分直线l 方程为：).1)(2()1(-+=+-x a a y 令y=0，得.2112)1(0aa a x +=+++-=…………11分 ∵,0≥a ∴212100≤+=<a x ，当且仅当a =0时，.210=x 综上，.121000=≤<x x 或………………14分。

北京市西城区2018年高三一模试卷 数 学（文科）2018. 4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{2,5}A =，{4,5}B =，则()U A B ð等于 （A ）{1,2,3,4}（B ）{1,3}（C ）{2,4,5}（D ）{5}2. 函数2lg y x x =-+的定义域是 （A ）(]0,2（B ）(0,2)（C ）[]0,2（D ）[]1,23.为了得到函数x x y cos sin +=的图像，只需把x x y cos sin -=的图象上所有的点（A ）向左平移4π个单位长度 （B ）向右平移4π个单位长度 （C ）向左平移2π个单位长度（D ）向右平移2π个单位长度4. 设2log 3a =，4log 3b =，12c =，则 （A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a <<（D ）c b a <<5．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 （A ）6（B ）12（C ）24（D ）366．对于平面α和异面直线,m n ，下列命题中真命题是 （A ）存在平面α，使m α⊥，α⊥n （B ）存在平面α，使α⊂m ，α⊂n （C ）存在平面α，满足m α⊥，//n α （D ）存在平面α，满足//m α，//n α7. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的 成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过 乙的平均成绩的概率为 （A ）52 （B ）107 （C ）54 （D ）109 正(主)视图俯视图侧(左)视图344333甲 8 9 9 8 01 2 3 3 79乙8．某次测试成绩满分为180分，设n 名学生的得分分别为12,,,n a a a （i a ∈N ，1i n ≤≤），k b （1150k ≤≤）为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩.则（A ）12150b b b M n +++= （B ）12150150b b b M +++=（C ）12150b b b M n +++> （D ）12150150b b b M +++>二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若复数(1i)(1i)a ++是纯虚数，则实数a 等于______. 18.设向量(1,sin )θ=a ，b (1,cos )θ=，若35⋅=a b ，则θ2sin =______. 18.双曲线22:12x C y -=的离心率为______；若椭圆2221(0)x y a a+=>与双曲线C 有相同的焦点，则a =______. 18. 设不等式组22,22x y -≤≤⎧⎨-≤≤⎩表示的区域为W ,圆:C 22(2)4x y -+=及其内部区域记为D .若向区域W 内投入一点，则该点落在区域D 内的概率为_____.18. 阅读右侧程序框图，则输出的数据S 为_____.18. 已知数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为其前n 项和，对于1,2,3,n = ，有1135,2n n n nn n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,， 当53=a 时，1a 的最小值为______；当11=a 时，1220S S S +++= ______. 三、解答题：本大题共6小题，共80分。

北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2018.1 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的 四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B =（A ）{|13}x x -<<（B ）{|10}x x -<< （C ）{|02}x x <<（D ）{|23}x x << 2．在复平面内，复数2i 1i -对应的点的坐标为 （A ）(1,1) （B ）(1,1)- （C ）(1,1)-- （D ）(1,1)-3．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）1y x =-+ （B ）2(1)y x =- （C ）sin y x = （D ）12y x =4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）2（B ）6（C ）30（D ）2705．若122log log 2a b +=，则有 （A ）2a b = （B ）2b a = （C ）4a b = （D ）4b a =6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去．．的几何体是 （A ）三棱锥 （B ）三棱柱 （C ）四棱锥 （D ）四棱柱7．函数()sin()f x x ϕ=+的图象记为曲线C ．则“(0)(π)f f =”是“曲线C 关于直线π2x =对称”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8．已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点．若点A ，B 到直线12y =的距离相等， 则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（A ）(,1)-∞-（B ）(,2)-∞- （C ）(,3)-∞- （D ）(,4)-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．若函数()()f x x x b =+是偶函数，则实数b =____．10．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(2,0)F ，其渐近线方程为3y x =±，该双曲线的方程是____．11．向量,a b 在正方形格中的位置如图所示．如果小正方形格的边长为1，那么⋅=a b ____．12．在△ABC 中，3a =，3C 2π∠=，△ABC 的面积为334，则b =____；c =____． 13．已知点(,)M x y 的坐标满足条件10,10,10.x x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≥设O 为原点，则OM 的最小值是____．14．已知函数2,2,()1, 3.x x x c f x c x x ⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分） 已知函数2π()2sin cos(2)3f x x x =-+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求证：当π[0,]2x ∈时，1()2f x -≥．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公比为13的等比数列，且26a +是1a 和3a 的等差中项． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项之积为n T ，求n T 的最大值．17．（本小题满分13分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A ，B 两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为1A 的学生中有40%是男生，等级为2A 的学生中有一半是女生．等级为1A 和2A 的学生统称为A 类学生，等级为1B 和2B 的学生统称为B 类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图．表1 图2（Ⅰ）已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为A 类学生的人数；（Ⅱ）某5人得分分别为45,50,55,75,85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生”的概率；（Ⅲ）在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%，B 类女生占女生总数的比例为1k ，B 类男生占男生总数的比例为2k ．判断1k 与2k 的大小．（只需写出结论）类别 得分()x B 1B 8090x ≤≤ 2B 7080x <≤ A 1A 5070x <≤ 2A2050x <≤18．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，1AA AC =.过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求证：1//A A EF ；（Ⅲ）记四棱锥11B AA EF -的体积为1V ，三棱柱111ABC A B C -的体积为V .若116V V =，求BF BC 的值.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过(2,0)A ，(0,1)B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设点Q 在椭圆C 上．试问直线40x y +-=上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分） 已知函数2()ln 2f x x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -；（Ⅲ）比较(1.01)f 与 2.01-的大小，并加以证明．北京市西城区2017 — 2018学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2018.1 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．B 3．D 4．C5．C 6．B 7．C 8．B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．0 10．2213y x -= 11．4 12．1；13 13．22 14．1[,)4-+∞；1[,1]2注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)3f x x x =-+ ππ1cos2(cos2cossin 2sin )33x x x =--⋅-⋅ [ 4分] 33sin 2cos 2122x x =-+[ 5分] π3sin(2)13x =-+， [ 7分] 所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ==． [ 8分] （Ⅱ）因为 π2x ≤≤0，所以 ππ2π2333x --≤≤． [10分] 所以 ππ3sin(2)sin()332x --=-≥， [12分] 所以 1()2f x -≥． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 26a +是1a 和3a 的等差中项，所以 2132(6)a a a +=+． [ 2分]因为数列{}n a 是公比为13的等比数列， 所以 1112(6)39a a a +=+， [ 4分] 解得 127a =． [ 6分]所以 1411()3n n n a a q --=⋅=． [ 8分] （Ⅱ）令1n a ≥，即41()13n -≥，得4n ≤， [10分] 故正项数列{}n a 的前3项大于1，第4项等于1，以后各项均小于1． [11分]所以 当3n =，或4n =时，n T 取得最大值， [12分]n T 的最大值为 34123729T T a a a ==⋅⋅=．[13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意得，样本中B 类学生所占比例为(0.020.04)1060%+⨯=， [ 2分]所以A 类学生所占比例为40%． [ 3分]因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A 类学生的人数约为8万人． [ 4分]（Ⅱ）由表1得，在5人（记为,,,,a b c d e ）中，B 类学生有2人（不妨设为,b d ）．将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种． [ 6分]依次为：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),ab cde ac bde ad bce ae bcd bc ade bd ace be acd cd abe(,),(,)ce abd de abc ． [ 8分] 所以“甲、乙两组各有一名B 类学生”的概率为63105=． [10分] （Ⅲ）12k k <． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ） 因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 2分]在三棱柱111ABC A B C -中，因为 1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形， 所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1A C ⊥平面1ABC ． [ 5分]（Ⅱ）在 三棱柱111ABC A B C -中，因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ， [ 6分]所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 8分]因为 平面1AA EF 平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [10分]（Ⅲ）记三棱锥1B ABF -的体积为2V ，三棱柱11ABF A B E -的体积为3V .因为三棱锥1B ABF -与三棱柱11ABF A B E -同底等高，所以2313V V =， [11分] 所以1233213V V V V =-=. 因为 116V V =， 所以 3131624V V =⨯=. [12分] 因为 三棱柱11ABF A B E -与三棱柱111ABC A B C -等高，所以 △ABF 与△ABC 的面积之比为14， [13分] 所以14BF BC =． [14分] 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =． [ 2分]所以椭圆C 的方程为2214x y +=． [ 3分] 设椭圆C 的半焦距为c ，则 223c a b =-=， [ 4分]所以椭圆C 的离心率32c e a ==． [ 5分]（Ⅱ）由已知，设(,4)P t t -，00(,)Q x y ． [ 6分]若PAQB 是平行四边形，则 PA PB PQ += ， [ 8分]所以 00(2,4)(,3)(,4)t t t t x t y t --+--=--+， 整理得 002, 3x t y t =-=-． [10分]将上式代入 220044x y +=，得 22(2)4(3)4t t -+-=， [11分]整理得 2528360t t -+=，解得 185t =，或2t =． [13分] 此时 182(,)55P ，或(2,2)P ．经检验，符合四边形PAQB 是平行四边形， 所以存在 182(,)55P ，或(2,2)P 满足题意． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数2()ln 2f x x x x =-的定义域是(0,)+∞，导函数为()2ln 2f x x x x '=+-． [ 1分]所以(1)1f '=-， 又(1)2f =-，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =--． [ 3分]（Ⅱ）由已知(2)(1)4ln 22f f -=-． [ 4分]所以只需证明方程 2ln 24ln 22x x x +-=-在区间(1,2)有唯一解．即方程 2ln 4ln 20x x x +-=在区间(1,2)有唯一解． [ 5分] 设函数 ()2ln 4ln 2g x x x x =+-， [ 6分]则 ()2ln 3g x x '=+．当 (1,2)x ∈时，()0g x '>，故()g x 在区间(1,2)单调递增． [ 7分]又 (1)14ln 20g =-<，(2)20g =>，所以 存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0g x =． [ 8分]综上，存在唯一的0(1,2)x ∈，使得曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率为(2)(1)f f -． [ 9分]（Ⅲ）(1.01) 2.01f >-．证明如下： [10分]首先证明：当1x >时，()1f x x >--．设 2()()(1)ln 1h x f x x x x x =---=-+， [11分] 则 ()2ln 1h x x x x '=+-．当 1x >时，10x ->，2ln 0x x >，所以 ()0h x '>，故()h x 在(1,)+∞单调递增， [12分] 所以 1x >时，有()(1)0h x h >=，即当 1x >时，有()1f x x >--．所以 (1.01) 1.011 2.01f >--=-． [13分]。