2021年广西南宁市高考模拟文科数学试题及答案解析

2021年广西南宁三中高考数学二模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. (2021·甘肃省·模拟题)已知集合A ={x|−2<x ≤1}，B ={−2,−1,0，1}，则A ∩B =( )A. {−2,−1,0，1}B. {−1,0，1}C. {−1,0}D. {−2,−1,0}2. (2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)设复数z =i−31+i ，则z 的共轭复数z −=( )A. −1+2iB. 1+2iC. −1−2iD. 1−2i3. (2021·广东省佛山市·单元测试)设命题p ：∀x >1，x >lnx ；则¬p 为( )A. ∃x 0>1，x 0>lnx 0B. ∃x 0≤1，x 0≤lnx 0C. ∃x 0>1，x 0≤lnx 0D. ∀x >1，x ≤lnx4. (2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)已知a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−1,3)，则a⃗ ⋅(2a ⃗ +b ⃗ )=( )A. 0B. 1C. −1D. 25. (2021·江西省·模拟题)某几何体的三视图如图所示，已知图中圆的半径都为1，则此几何体的体积为( )A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π6. (2021·浙江省·模拟题)设变量x 、y 满足约束条件{y ≤42x −3y ≤−22x +y ≥6，则目标函数z =x +y 的最小值是( )A. 1B. 3C. 4D. 57. (2021·陕西省西安市·模拟题)函数f(x)=cosx−x 2e x的图象大致为( )A. B.C. D.8.(2021·宁夏回族自治区银川市·模拟题)在等比数列{a n}中，a1+a3=10，a5+a7=160，则a1=()A. 0B. 1C. 2D. 49.(2020·黑龙江省哈尔滨市·单元测试)已知圆(x−1)2+y2=4内一点P(2,1)，则过P点最短弦所在的直线方程是()A. x−y+1=0B. x+y−3=0C. x+y+3=0D. x=210.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)执行如图所示的程序框图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是()A. n≥6B. n≥8C. n>10D. n≥1011.(2021·陕西省西安市·模拟题)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为√32，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点为(1,1)，则直线l的斜率为()A. −14B. −34C. −12D. 112.(2021·陕西省西安市·模拟题)已知直线l是曲线f(x)=x4−2x3在点(1,f(1))处的切线，点P(m,n)是直线l上位于第一象限的一点，则m+2nm⋅n的最小值为()A. 4B. 9C. 25D. 16二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·体验省·单元测试)已知一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则a的值是．14.(2021·福建省厦门市·模拟题)已知f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数，则)=______ ．f(π615.(2021·甘肃省金昌市·模拟题)在边长为6的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，，则阴影区域的面从该正方形区域内任取一点，若该点落在阴影区域内的概率为49积为______ ．16.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=2，M为棱BC的中点，动点P满足∠APD=∠CPM，则点P的轨迹与长方体的侧面DCC1D1的交线长等于______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·安徽省·单元测试)已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(b−a)(sinB+sinA)=(b−c)sinC．(1)求A；(2)从下列条件中：①a=√3；②S△ABC=√3中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．18.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，统计了本校高三年级每名学生一学期数学成绩的平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到如表．附表及公式：其中n=a+b+c+d，K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828(1)估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果判断数学成绩与性别是否有关；(2)规定成绩在80分以上为优秀，请你根据已知条件补全所列的2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”．优秀非优秀合计男生女生合计19.(2021·江西省萍乡市·模拟题)在如图所示的空间几何体中，两等边三角形△ACD与△ABC互相垂直，AC=BE=4，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．(1)求证：DE//平面ABC；(2)求点B到平面ADE的距离．20.(2021·河南省平顶山市·单元测试)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，离心率e=12，短轴长为2√3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，若MN⊥B1F2，试求△F1MN内切圆的面积．21.(2021·安徽省·模拟题)已知函数f(x)=kx2+2x−lnx．(1)当k=1时，求在x=1处的切线方程；(2)若f(x)在定义域上存在极大值，求实数k的取值范围．22.(2014·山西省临汾市·模拟题)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是{x=√3cosαy=sinα(α是参数).以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin(θ+π4)=4√2(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的直角坐标．23.(2021·广西壮族自治区南宁市·模拟题)已知f(x)=|x−a|+|x+b|(a>0,b>0)．(1)当a=2，b=1时，解不等式f(x)≥9；(2)若f(x)的最小值为2，求1a+1+12b的最小值．答案和解析1.【答案】B【知识点】交集及其运算【解析】解：∵A={x|−2<x≤1}，B={−2,−1,0，1}，∴A∩B={−1,0，1}．故选：B．进行交集的运算即可．本题考查了交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【知识点】复数的四则运算【解析】解：∵z=(i−3)(1−i)2=−2+4i2=−1+2i，∴z−=−1−2i．故选：C．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【知识点】全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定【解析】解；∵命题是全称命题的否定，是特称命题，只否定结论．∴￢p：∃x0>1，x0≤lnx0故选：C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4.【答案】A【知识点】向量的数量积【解析】解：由已知条件可得a⃗2=1+1=2，a⃗⋅b⃗ =1×(−1)−1×3=−4，因此，a⃗⋅(2a⃗+b⃗ )=2a⃗2+a⃗⋅b⃗ =2×2−4=0．利用向量的数量积的运算法则，求解即可． 本题考查向量的数量积的求法，是基础题．5.【答案】D【知识点】空间几何体的三视图【解析】解：根据几何体三视图转换为几何体的直观图，该几何体为34个球体； 故V =34×43⋅π⋅13=π． 故选：D ．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用球的体积公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】C【知识点】简单的线性规划【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{2x −3y =−22x +y =6，解得A(2,2)，化z =x +y 为y =−x +z ，由图可知，当直线y =−x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为2+2=4， 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．【知识点】函数图象的作法 【解析】解：f(−x)=cos(−x)−(−x)2e −x=cosx−x 2e −x≠f(x)，即f(x)不为偶函数，其图象不关于y 轴对称，故排除A ，C ；当x =0时，f(x)=1e >0，故排除D ， 故选项B 符合函数f(x)， 故选：B ．先判断函数的奇偶性，再根据函数的零点和函数值的特点即可判断．本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数值的特点是解题的关键，属于基础题．8.【答案】C【知识点】等比数列的通项公式 【解析】解：在等比数列{a n }中， ∵a 1+a 3=10，a 5+a 7=160， ∴{a 1+a 1q 2=10a 1q 4+a 1q 6=160， 解得q 2=4，a 1=2． 故选：C ．利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出首项．本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】B【知识点】直线与圆的位置关系及判定 【解析】解：如图：圆心坐标D(1,0)，要使过P点的弦最短，则圆心到直线的距离最大，即DP⊥BC时，满足条件，=1，此时DP的斜率k=1−02−1则弦BC的斜率k=−1，则此时对应的方程为y−1=−1(x−2)，即x+y−3=0，故选B．根据圆的性质，确定最短弦对应的条件，即可得到结论．本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆的位置关系确定最短弦满足的条件是解决本题的关键．10.【答案】D【知识点】程序框图【解析】解：由程序框图，其执行结果如下：1、S=0，n=0：n=2，S=2，执行循环体；2、S=2，n=2：n=4，S=6，执行循环体；3、S=6，n=4：n=6，S=12，执行循环体；4、S=12，n=6：n=8，S=20，执行循环体；5、S=20，n=8：n=10，S=30，跳出循环体，输出S=30；∴框内条件应为n≥10．故选：D．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，根据已知即可得解判断框内本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．11.【答案】A【知识点】椭圆的性质及几何意义【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB的中点坐标为(x1+x22,y1+y22)，由题意可得x1+x2=2，y1+y2=2，将A，B的坐标的代入椭圆的方程：{x12a2+y12b2=1x22 a2+y22b2=1，作差可得x12−x22a2+y12−y22b2=0，所以y1−y2x1−x2=−b2a2⋅x1+x2y1+y2=−b2a2，又因为离心率e=ca =√32，所以1−b2a2=34，所以−b2a2=−14，即直线AB的斜率为−14，故选：A．设A，B的坐标，代入椭圆的方程，作差可得直线AB的斜率的表达式，再由椭圆的离心率可得a，b的关系，进而求出直线AB的斜率．本题考查椭圆的性质及点差法求直线的斜率，属于基础题．12.【答案】B【知识点】导数的几何意义【解析】解：f(x)=x4−2x3的导数为f′(x)=4x3−6x2，可得在点(1,f(1))处的切线的斜率为4−6=−2，切点为(1,−1)，切线的方程为y+1=−2(x−1)，即为2x+y=1，则2m+n=1(m,n>0)，所以m+2nm⋅n =(2m+n)(1n+2m)=5+2mn+2nm≥5+2×2=9，当且仅当m=n=13时，取得等号．则m+2nm⋅n的最小值为9．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程，由乘“1”法和基本不等式，可得所求最小值．本题考查导数的运用：求切线的方程，以及基本不等式的运用：求最值，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．13.【答案】2【知识点】平均数、中位数、众数【解析】【分析】本题考查平均数的定义的运用，属于基础题．运用平均数的定义，解方程可得a的值．【解答】解：一组数据4，2a，3−a，5，6的平均数为4，则4+2a+(3−a)+5+6=4×5，解得a=2．故答案为：2．14.【答案】12【知识点】正弦、余弦函数的图象与性质【解析】解：∵f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数，∴φ=π2，f(x)=cos2x，则f(π6)=cosπ3=12，故答案为：12．由题意利用函数的奇偶性，求出函数的解析式，可得f(π6)的值．本题主要考查三角函数的奇偶性，属于基础题．15.【答案】16【知识点】几何概型【解析】解：设阴影部分的面积为S ，结合几何概型公式可得：S 6×6=49，解得：S =16． 故答案为：16．由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果． 本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．16.【答案】2π3【知识点】简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征 【解析】解：如下图所示：当P 在面DCC 1D 1内时，AD ⊥面DCC 1D 1，CM ⊥面DCC 1D 1；又∠APD =∠MPC ，在Rt △PDA 与Rt △PCM 中，∵AD =6，则MC =3，∴tan∠APD =ADPD=tan∠MPC =MCPC，则6PD =3PC ，即PD =2PC.在平面DCC 1D 1中，以DC 所在直线为x 轴，以DC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则D(−3,0)，C(3,0)，设P(x,y)，由PD =2PC ，得√(x +3)2+y 2=2√(x −3)2+y 2， 整理得：x 2−10x +y 2+9=0，即(x −5)2+y 2=16． ∴点P 的轨迹是以F(5,0)为圆心，半径为4的圆． 设圆F 与面DCC 1D 1的交点为E 、M ， 作EK 垂直x 轴于点K ，则sin∠EFK =EK EF=24=12；∴∠EFK =π6；故点P 的轨迹与长方体的面DCC 1D 1的交线为劣弧ME ⏜，所以劣弧ME ⏜的长为π6×4=2π3．由题意画出图形，由角的关系得到边的关系，然后再在平面DCC1D1内建系，求出P的轨迹方程，确定点P的轨迹与长方体的面DCC1D1的交线，进而求得交线长．本题考查棱柱的结构特征、圆的方程、弧长问题，考查数学运算能力及直观想象能力，属于难题．17.【答案】解：(1)因为(b−a)(sinB+sinA)=(b−c)sinC，由正弦定理得(b−a)(b+a)=(b−c)c，即b2+c2−a2=bc，由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc =12,A∈(0,π)，所以A=π3．(2)选择①a=√3.由正弦定理bsinB =csinC=asinA=2，即△ABC周长l=2sinB+2sinC+√3=2sinB+2sin(2π3−B)+√3=3sinB+√3cosB+√3=2√3sin(B+π6)+√3，∵B∈(0,2π3)∴π6<B+π6<5π6,12<sin(B+π6)≤1，即△ABC周长的取值范围(2√3,3√3],选择②S△ABC=√3.，得S△ABC=12bcsinA=√34bc=√3，得bc=4．由余弦定理得a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=(b+c)2−12，即△ABC周长l=a+b+c=√(b+c)2−12+b+c，∵b+c≥2√bc=4，当且仅当b=c=2时等号成立．∴l=a+b+c≥√42−12+4=6，即△ABC周长的取值范围[6,+∞)．【知识点】正弦定理及变形、辅助角公式(三角函数的叠加及应用（北师）)、三角形面积公式、利用余弦定理解决范围与最值问题、由基本不等式求最值或取值范围、利用正弦定理解决范围与最值问题、利用余弦定理解三角形【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)由正弦定理化简已知等式可得b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理得cos A 的值，结合A 的范围可求A 的值．(2)选择①a =√3.由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求△ABC 周长l =2√3sin(B +π6)+√3，可求B +π6的范围，根据正弦函数的性质可求△ABC 周长的取值范围；选择②利用三角形的面积公式可得bc =4，由余弦定理得a 2=(b +c)2−12，根据基本不等式可求b +c ≥2√bc =4，即可得解△ABC 周长的取值范围．18.【答案】(1)男生的平均分x −1=45×3+55×9+65×18+75×15+85×6+95×960=71.5，女生的平均分x −2=45×6+55×4+65×5+75×10+85×13+95×240=71.5，从男、女生各自的平均分来看，数学成绩与性别无关；(2)由题表可知，在抽取的100名学生中，男生组中成绩优秀的有15人，女生组中成绩优秀的有15人，据此可得2×2列联表如下：计算可得K 2=100×(15×25−15×45)230×70×60×40≈1.786<2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”．【知识点】独立性检验【解析】(1)利用平均数的计算公式求解即可；(2)由题中的信息，补全2×2列联表，由公式计算K 2的值，对照临界值表中的数据，即可得到答案．本题考查了特征数的求解以及独立性检验的应用，解题的关键是掌握平均数的计算公式以及独立性检验的方法，属于基础题．19.【答案】(1)证明：取AC 中点O ，连接BO ，DO ，由题知，BO 为∠ABC 的平分线，BO⊥AC，DO⊥AC，设点F是点E在平面ABC上的射影，由题知，点F在BO上，连接EF，则EF⊥平面ABC．∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，DO⊥AC，∴DO⊥平面ABC，∴DO//EF，……………………………………………………………(2分)∵BE和平面ABC所成的角为60°，即∠EBF=60°，∴EF=2√3，又DO=2√3，∴四边形EFOD为平行四边形，∴DE//BO，…………………………………(5分)BO⊆平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE//平面ABC.……………………………………(6分) (2)解：设点B到平面ADE的距离为d，由V B−ADE=V A−BDE得：13S△ADE⋅d=13S△BDE⋅2……………………………(8分)1 3⋅12⋅AD⋅DE⋅d=13⋅12⋅ED⋅DO⋅2……………………………(10分)解得d=√3.………………………………(12分)【知识点】线面平行的判定、利用空间向量求点、线、面之间的距离【解析】(1)取AC中点O，连接BO，DO，证明BO⊥AC，DO⊥AC，连接EF，说明EF⊥平面ABC.推出DO⊥AC，利用BE和平面ABC所成的角为60°，证明DE//BO，推出DE//平面ABC．(2)设点B到平面ADE的距离为d，由V B−ADE=V A−BDE得：13S△ADE⋅d=13S△BDE⋅2，求解距离即可．本题考查直线与平面垂直以及直线与平面平行的判定定理的应用，等体积法的应用，点、线、面距离的求法，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得{ca =122b=2√3，又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1．(2)由B1(0,√3)，F2(1,0)，知B1F2的斜率为−√3，因为MN ⊥B 1F 2，故MN 的斜率为√33，则直线l 的方程为y =√33(x −1)，即x =√3y +1，联立{x 24+y 23=1x =√3y +1，得13y 2+6√3y −9=0， 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−6√313，y 1y 2=−913，则△F 1MN 的面积为S =c ⋅|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2413， 则△F 1MN 的周长L =4a =8， 即S =12LR ，得内切圆R =2S L=613，所以△F 1MN 的内切圆面积为πR 2=36169π.【知识点】直线与椭圆的位置关系、椭圆的概念及标准方程【解析】(1)由离心率e =12，短轴长为2√3，列方程组，解得a ，b ，进而可得椭圆的方程．(2)由题可知B 1F 2的斜率为−√3，又MN ⊥B 1F 2，得MN 的斜率为√33，写出直线l 的方程，联立椭圆的额方程，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，结合韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，进而可得△F 1MN 的周长L =4a =8，则内切圆R =2S L，进而可得△F 1MN 的内切圆面积．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)k =1时，f(x)=x 2+2x −lnx ，f′(x)=2x +2−1x ，因为f(1)=3，f′(1)=3，故f(x)在x =1处的切线方程为y −3=3(x −1)，即y =3x ； (2)f′(x)=2kx +2−1x =2kx 2+2x−1x，x >0，设g(x)=2kx 2+2x −1，①当k =0时，g(x)=0可得x =12，易得，当0<x <12时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x >12时，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增， 故f(x)有极小值，没有极大值；②当k >0时，△=4+8k >0，由g(x)=0得，x =√1+2k−12k，当0<x <√1+2k−12k时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，当x >√1+2k−12k，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)有极小值，没有极大值； ③当k <0时，△=4+8k ，当k ≤−12时，△=4+8k ≤0，f′(x)≤0，f(x)单调递减，没有极大值， 当−12<k <0时，△=4+8k >0， 由g(x)=0得，x =√1+2k−12k，或x =−√1+2k−12k，当0<x <√1+2k−12k时，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，当√1+2k−12k<x <−√1+2k−12k，g(x)>0，即f′(x)>0，f(x)单调递增，当x >−√1+2k−12k，g(x)<0，即f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x =−√1+2k−12k取得极大值，综上−12<k <0．【知识点】导数的几何意义、利用导数研究函数的极值【解析】(1)把k =1代入，对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解； (2)先对函数求导，结合导数与单调性的关系讨论k 的范围，确定函数单调性，进而确定极值的存在情况，可求．本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，体现了分类讨论思想的应用．22.【答案】解：(1)由曲线C 1：{x =√3cosαy =sinα，可得{√3=cosαy =sinα，两式两边平方相加得：(√3)2+y 2=1，即曲线C 1的普通方程为：x 23+y 2=1．由曲线C 2：ρsin(θ+π4)=4√2得：√22ρ(sinθ+cosθ)=4√2，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x +y −8=0， 即曲线C 2的直角坐标方程为：x +y −8=0．(2)由(1)知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点P(√3cosα,sinα)到直线x +y −8=0的距离为d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，∴当sin(α+π3)=1时，d 的最小值为3√2，此时点P 的坐标为(32,12)．【知识点】简单曲线的极坐标方程【解析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x =ρcosθ、y =ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程． (2)求得椭圆上的点P(√3cosα,sinα)到直线x +y −8=0的距离为d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，可得d 的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P 的坐标．本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a =2，b =1时，f(x)=|x −2|+|x +1|≥9，所以{x ≤−1−2x +1≥9或{−1<x ≤23≥9或{x >22x −1≥9，(3分)解得：x ≤−4或x ≥5，故解集为(−∞,−4]∪[5,+∞)；(5分)(2)由a >0，b >0，所以f(x)=|x −a|+|x +b|≥|x +b −x +a|=|a +b|=a +b ， 当且仅当(x −a)(x +b)≤0，即−b ≤x ≤a 时，等号成立． 若f(x)的最小值为2，则a +b =2，所以(a +1)+b =3，(7分)1a +1+12b =13(1a +1+12b )((a +1)+b)=13(32+b a +1+a +12b )≥13(32+2√12)=13(32+√2)=12+√23当且仅当ba+1=a+12b，即a =5−3√2，b =3√2−3时，等号成立．(9分)所以1a+1+12b 的最小值为12+√23.(10分)【知识点】函数的最值、不等式和绝对值不等式 【解析】(1)去掉绝对值，转化求解不等式的解集即可． (2)由推出a +b =2，利用基本不等式转化求解最值即可．本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。

广西壮族自治区南宁市东盟中学2021年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 沿一个正方体三个方面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）参考答案：B略2. 已知实数x，y满足，且z=x+y的最大值为6，则（x+5）2+y2的最小值为（）A．5 B．3 C．D．参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出k的值，然后利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【解答】解：作出不等式，对应的平面区域，由z=x+y，得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为6．即x+y=6．由得A（3，3），∵直线y=k过A，∴k=3．（x+5）2+y2的几何意义是可行域内的点与（﹣5，0）距离的平方，由可行域可知，（﹣5，0）到直线x+2y=0的距离DP最小．可得（x+5）2+y2的最小值为：=5．故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用以，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3. 已知两不共线向量，，则下列说法不正确的是（）A． B．与的夹角等于C． D．与在方向上的投影相等参考答案：B4. 若函数，则下列结论正确的是A．，在上是增函数w.w.w..c.o.mB．，在上是减函数C．，是偶函数D．，是奇函数参考答案：C5. 函数的部分图象可能是（）A． B． C.D．参考答案：C6. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，∵e==2，∴===，故选A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率公式和渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式，属于基础题．7. 若（x6）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于( )A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：二项式的通项公式T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值．解答：解：由题意，（x6）n的展开式的项为T r+1=C n r（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr令6n﹣r=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5故选：C．点评：本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．8.在的展开式中，的系数是（）A．－55 B．45 C．－25 D．25参考答案：答案：A9. 设全集U=R，集合，，则（）A．{1,2} B．{－1,0,2} C．{2} D．{－1,0}参考答案：B由集合，所以或，所以，故选B．10. 已知｛a n｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）(A)4 (B)5 (C)6 (D)7参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知等差数列{a n}，a1=2，a4=16，则数列{a n}的通项公式是．参考答案：a n =考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意易得数列的公差，可得通项公式．解答：解：设等差数列{a n }的公差为d ，则d===，∴通项公式a n =2+（n﹣1）=故答案为：a n=2+（n﹣1）=点评：本题考查等差数列的通项公式，求出数列的公差是解决问题的关键，属基础题．12. 已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为．参考答案：36【分析】正数a，b满足+=﹣5，﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解出即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足+=﹣5，∴﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解得≥6，当且仅当=，+=﹣5，即a=2，b=18时取等号．解得ab≥36．故答案为：36．【点评】本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：（s为参数）和C：（t为参数），若l与C相交于A、B两点，则|AB|=．参考答案：考点：直线的参数方程；抛物线的参数方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把直线l的参数方程化为直角坐标方程，把曲线C的参数方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求出结果．解答：解：把直线l：（s为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 x+y﹣2=0．把曲线C：（t为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 y=（x﹣2）2．把直线方程和曲线C的方程联立方程组解得，或．故|AB|==，故答案为．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求直线和曲线的交点坐标，两点间的距离公式，属于基础题．14. （2015秋?商丘期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）?f（x）=1对于x∈R恒成立，且f（x）＞0，则f（2015）= ．参考答案：1【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】先根据条件求出函数f（x）的周期为4，再根据周期把所求问题转化，即可求出答案．【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）?f（x）=1，∴f（x+2）=，∴f（x+4）=f（x），所以函数的周期T=4，f（2015）=f（3）；令x=﹣1，f（1）?f（﹣1）=1=f2（1），又f（x）＞0，∴f（1）=1，f（3）==1；∴f（2015）=1．故答案为：1．【点评】本题考查了函数周期性的应用问题，解题时要利用好题中f（x+2）?f（x）=1的关系式，是基础题目．15. 已知等差数列的公差，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是___________.参考答案：3略16. 设动点P在函数y=图象上，若O为坐标原点，则|PO|的最小值为．参考答案：2考点：两点间距离公式的应用．专题：函数的性质及应用．分析：设P，则|PO|=，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：设P，则|PO|==2，当且仅当时取等号．∴|PO|的最小值为2．故答案为：2．点评：本题考查了两点之间的距离公式、基本不等式的性质，属于基础题．17. 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8n mile．此船的航速是n mile/h．参考答案：32【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意及图形在△ABS中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，又已知三角形ABS中边BS=8，先求出边AB的长，再利用物理知识解出．【解答】解：因为在△ABS中，已知∠BAS=30°，∠ASB=45°，且边BS=8，利用正弦定理可得：??AB=16，又因为从A到S匀速航行时间为半个小时，所以速度应为：（mile/h）．故答案为：32．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

第 1 页 共 13 页 2021年广西高考数学模拟试卷（满分：150分，考试时间：120分钟。

请将答案填写在答题卡上）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝ ( )A ．{－1,0}B ．{0,1}C ．{－2，－1,0,1}D ．{－1,0,1,2} 2．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π63．若0tan >α，则 （ ）A ．0sin >αB ．0cos >αC ．02sin >αD ．02cos >α4. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z = （ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -5．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．命题“*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x ≥”的否定形式是 （ ）.A.*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x <B.*x n ∀∈∀∈R N ，，使得2n x <C.*x n ∃∈∃∈R N ，，使得2n x <D.*x n ∃∈∀∈R N ，，使得2n x <7．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6 8．设a >0为常数，动点M (x ，y )(y ≠0)分别与两定点F 1(－a,0)，F 2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M 的轨迹是离心率为3的双曲线，则λ的值为( )。

绝密★启用前2021届广西南宁市高三一模数学（文）试题学校：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}24A x x =≤，{}1,0,1,2,3B =-，则AB =（）A ．{}2,3-B ．{}1,0-C ．{}1,0,1-D ．1,0,1,2答案：D先求出集合A ，再由交集定义即可求出. 解：{}{}2422A x x x x =≤=-≤≤，{}1,0,1,2A B ∴=-.故选：D.2．复数()()112z i i =+-，则z 的虚部是（） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3答案：B利用复数的乘法法则化简复数z ，由此可得出复数z 的虚部.解：()()21121223z i i i i i i =+-=-+-=-，因此，复数z 的虚部为1-.故选：B. 3．若3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（） A ．725-B ．725C ．1825D ．2425答案：A由二倍角公式结合诱导公式即可求解. 解：3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，297sin 2cos 22cos 121242525ππααα⎛⎫⎛⎫∴=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，392S =，则数列{}n a 的通项公式n a =（） A ．n B ．12n + C ．21n - D ．312n - 答案：B由等差数列前n 项和公式求出公差，即可得出通项公式. 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则313293+3+322S a d d ⨯===，解得12d =，()111122++n n a n ∴=-⨯=.故选：B.5．已知直线l ，两个不同的平面α和β.下列说法正确的是（） A ．若l α⊥，αβ⊥，则//l β B ．若//l α，αβ⊥，则l β⊥ C ．若//l α，//l β，则//αβ D ．若l α⊂，//αβ，则//l β答案：D根据线面和面面位置关系的性质即可依次判断.解：对A ，若l α⊥，αβ⊥，则//l β或l β⊂，故A 错误；对B ，若//l α，αβ⊥，则l 与β相交，平行或在平面内，故B 错误； 对C ，若//l α，//l β，则α与β平行或相交，故C 错误；对D ，若l α⊂，//αβ，则由面面平行的性质可得//l β，故D 正确. 故选：D.6．若实数x 、y 满足约束条件203030x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =+的最大值为（）A ．3B ．5C ．6D ．8答案：D作出不等式组所表示的可行域，平移直线z x y =+，找出使得该直线在x 轴上截距最大值时对应的最优解，代入目标函数即可得解.解：作出不等式组203030x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立320x x y =⎧⎨-+=⎩，解得35x y =⎧⎨=⎩，即点()A 3,5，平移直线z x y =+，当直线z x y =+经过可行域的顶点A 时，该直线在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 358z =+=. 故选：D.点评：思路点评：：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．过点()2,2P 的直线1l 与圆()2211x y -+=相切，则直线1l 的方程为（）A ．3420x y+=-B ．4320x y --=C ．3420x y+=-或2x =D ．4320x y --=或2x =答案：C当1l 斜率不存在时可知满足题意；当1l 斜率存在时，设其方程为()22y k x -=-，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得k ，由此可得切线方程.解：当过()2,2P 的直线1l 斜率不存在时，方程为2x =，与圆()2211x y -+=相切，满足题意；当过()2,2P 的直线1l 斜率存在时，设方程为()22y k x -=-，即220kx y k --+=，∴圆()2211x y -+=的圆心到1l 的距离202211k k d k --+==+，解得：34k =，131:042l x y ∴-+=，即3420x y+=-；∴直线1l 的方程为3420x y+=-或2x =.故选：C.点评：易错点点评：：本题考查过圆外一点的圆的切线方程的求解，解决此类问题采用待定系数法，利用圆心到直线距离等于半径来进行求解；易错点是忽略切线斜率不存在的情况，造成丢根的情况出现. 8．已知函数()1ln f x x=，则其大致图象为（） A ． B ．C ．D ．答案：B通过函数的定义域排除选项D,再通过1x >时的函数值确定选项. 解：由题得函数的定义域为{|1}x x ≠，所以选项D 错误； 当1x >时，1ln 0,0,()0ln x f x x>∴>∴>，所以选项B 正确，选项A,C 错误.故选：B点评：方法点评：：根据函数的解析式确定函数的图象，一般先找差异，再验证. 9．某中学高三文科⒉班在每周的星期一、三、五的晚自习前都要用半个小时进行英语听力测试，一共30个小题，每个小题1分，共30分.测试完后，该班英语老师都会随机抽取一个小组进行现场评阅，下表是该班英语老师在某个星期一随机抽取一个小组进行现场评阅的得分情况：对这个小组的英语听力测试分数，有下面四种说法： ①该小组英语听力测试分数的极差为12 ②该小组英语听力测试分数的中位数为21 ③该小组英语听力测试分数的平均数为21 ④该小组英语听力测试分数的方差为11 其中说法正确的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：C根据统计量的相关性质，直接计算，逐项判断即可得解.解：对①，该小组英语听力测试分数的极差为26-14=12，故①正确； 对②，该小组英语听力测试分数的中位数为21，故②正确； 对③，该小组英语听力测试分数的平均数为2023222114182025261892199+++++++++==，故③正确；④该小组英语听力测试分数的方差为222221[(2021)(2321)(2221)(2121)(1421)9-+-+-+-+- 2222106(1821)(2021)(2521)(2621)]9+-+-+-+-=，故④错误.故选：C.10．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为圆()2212x y +-=的圆心，又经过抛物线C 的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C 于A 、B 两点，则AB =（）A ．12B ．14C ．16D ．18答案：C由已知求出2p =，得出直线方程1y =+，联立直线与抛物线，利用弦长公式即可求出.解：由题可得抛物线焦点为()0,1，则12p=，即2p =，则抛物线方程为24x y =， 直线AB 的倾斜角为AB的方程为1y =+，联立直线与抛物线241x yy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得240x --=，设()()1122,,,A x y B x y，则12124x x x x +==-，则16AB ==.故选：C.点评：方法点评：：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.11．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M 、N 两点（点1F 位于点M 与点N 之间），且112MF F N =，又过点1F 作1F P OM ⊥于P （点О为坐标原点），且ON OP =，则双曲线E 的离心率e=（） ABCD 答案：C由题结合双曲线的性质可得1F N ON ⊥，11F N F P b ==，ON OP a ==，又得3MNb =，MP =，再由222MN ON OM +=即可求出b a =，即可求出离心率.解：如图，ON OP =，1F P OM ⊥，则由双曲线的对称性可得1F N ON ⊥，11,tan bOF c NOF a=∠=，则可得11F N F P b ==，ON OP a == 112MF F N =，1122MF F N b ∴==，3MN b ∴=，则()2223MP b b b =-=，在MNO 中，222MN ONOM +=，即()()22233b a a b +=+，可得3b a =， 2231b e a ⎛⎫∴=+=⎪⎝⎭. 故选：C.点评：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 12．设2log 3a =，32log 2b =，32log 2c =-，则a ，b ，c 的大小顺序为（） A ．b c a << B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c <<答案：A先通过变形3339log 9log 2log 2c =-=，而332log 2log 4b ==，故可判断,b c 大小， 再作差利用基本不等式有2323log 3log 222log 3log 220a c -=+->⨯=即可得解.解：由33333392log 2log 9log 2log log 42log 22c b =-=-=>==， 2323log 3log 222log 3log 22220a c -=+->⨯>-=，所以a c >， 所以a c b >>，故选：A.点评：本题考查了对数函数的比较大小，对数函数的比较大小是高考中重点考查对象，考查了利用中间量以及作差法比较大小，考查了变形转化以及对数的运算能力，比较大小有以下几种方法：（1）利用函数单调性比较大小； （2）中间量法比较大小； （3）作差法、作商法比较大小. 二、填空题13．已知向量()2,1a =-，(),4b x =，若a b ⊥，则x =__________. 答案：2根据向量的垂直，则数量积0a b ⋅=，代入向量坐标即可得解. 解：由a b ⊥可得：()()2,1,4240a b x x ⋅=-⋅=-+=，所以2x =. 故答案为：2.14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若22a =，516a =，则6S 的值为__________. 答案：63由已知求出首先和公比即可得出. 解：设等比数列{}n a 的公比为q ,则21451216a a q a a q ==⎧⎨==⎩，解得11,2a q ==， ()661126312S ⨯-∴==-.故答案为：63.15．函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为_________. 答案：5根据题意()sin ()sin()6363g x x x ππωππωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，且(0)sin()163g ωππ=-=±， 可得,,632k k Z ωππππ-=+∈56k ω=+，由0>ω即可得解.解：由题意可得：()sin ()sin()6363g x x x ππωππωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 由()g x 的图象关于y 轴对称， 可得(0)sin()163g ωππ=-=±，所以,,632k k Z ωππππ-=+∈56k ω=+，由0>ω，则ω的最小值为5. 故答案为：516．已知母线长为6的圆锥的顶点为S ，点A 、B 为圆锥的底面圆周上两动点，当SA 与SB 所夹的角最大时，锐角SAB 的面积为_________.答案：3可得当SA 与SB 所夹的角最大时，AB 为底面圆的直径，根据三角形面积可得sin SAB ∠=，进而得7cos 9SAB ∠=，再由余弦定理可求出半径，得出体积.解：设底面半径为r ，当SA 与SB 所夹的角最大时，AB 为底面圆的直径，此时166sin 2SABSSAB =⨯⨯⨯∠=，解得sin 9SAB ∠=，SAB 为锐角三角形，7cos9SAB ∴∠==，则()22227266266169r AB ==+-⨯⨯⨯=，解得2r ，则圆锥的体积为21233π⨯⨯=.故答案为：3. 点评：关键点评：：本题考查圆锥体积的计算，解题的关键是根据已知求出圆锥的底面半径. 三、解答题17．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()()()sin sin sin a b A B C c -+=-.（1）求角A ；（2）若ABC的面积2ABC S =△a 的取值范围. 答案：（1）30；（2）2a ≥（1）由正弦定理化角为边可得222b c a +-=，再利用余弦定理即可求出； （2）由面积公式可得8bc =+. 解：（1）由已知结合正弦定理可得()()()a b a b c c -+=，即222b c a +-=，则由余弦定理可得222cos 222b c A bc bc a +===-， ()0,180A ∈，30A ∴=；（2）11sin 224ABC S bc A bc ===△，则8bc =+由22224a b c bc =+≥=，当且仅当b c =时等号成立，2a ∴≥.18．在某地区的教育成果展示会上，其下辖的一个数育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位：个)有如下统计表：（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+. （2）根据线性回归方程预测2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数).附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线方程ˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆa y bx=-；(参考数据：61628 i iix y xy =-=∑).答案：（1） 1.664.4y x=+；（2）75或76.（1）由表格中的数据及所给公式求得b和a的值，则线性回归方程可求；（2）由回归方程求解预测值，注意x的取值.解：（1）由题意，1234563.56x+++++==，666770717274706y+++++== ()()()()7222222212.5 1.50.50.5 1.5 2.517.5iix x=-=-+-+-+++=∑()171277281.617.5iiiiix xx y x yb==--∴===∑∑70 1.6 3.564.4a y bx=-=-⨯=∴y关于x的线性回归方程为 1.664.4y x=+；（2）由（1）可知，当年份为2021年时，年份代码7x=，此时 1.6764.475.6y=⨯+=保留整数为75或76人，所以2021年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为75或76人.点评：思路点评：：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D-中，上、下底面均为菱形，点G，H，M分别为AC，11B C，BC的中点.（1）求证：//GH 平面11CDD C ； （2）若3ABC π∠=，求证：11B C ⊥平面1A AM .答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析（1）取CD 中点E ，连接1,C E GE ，可证四边形1GEC H 为平行四边形，得出1//GH C E ，即可证明；（2）通过AM BC ⊥和1AA BC ⊥可证BC ⊥平面1A AM ，再由11//B C BC 即可证明. 解：（1）取CD 中点E ，连接1,C E GE ，G 为AC 的中点，//GE AD ∴，且12GE AD =， 在直四棱柱中1111B C A D AD ，H 为11B C 中点，1GE C H ∴，故四边形1GEC H 为平行四边形，1//GH C E ∴，GH ⊄平面11CDD C ，1C E ⊂平面11CDD C ，∴//GH 平面11CDD C ；（2）四边形ABCD 是菱形，3ABC π∠=，ABC ∴为等边三角形，M 是BC 的中点，AM BC ∴⊥，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1AA BC ∴⊥，1AM AA A ⋂=，BC ∴⊥平面1A AM ，11//B C BC ，∴11B C ⊥平面1A AM .20．已知函数()ln e xxf x a x =⋅-，其中a R ∈.（1）若()f x 在()()1,1f 处的切线与x 轴的交点为()2,0，求a 的值；（2）设函数()()1g x f x x =-，当2e 4a =-时，试讨论()g x 的单调性.答案：（1）a e =；（2）函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减 （1）本题首先可通过函数解析式得出()1af e=，然后通过求导得出()11f '=-，并写出()f x 在1,a e ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程，最后通过切线与x 轴的交点为()2,0即可得出结果. （2）本题可根据题意得出()()22214x x e x x e g x e x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=，然后构造函数()()20xe h x x x =>，通过导函数求函数()2x e h x x=的最值从而得出2204xe x e ，最后分为()0,1x ∈、()1,x ∈+∞两种情况进行讨论，即可得出结果.解：（1）因为()()ln 0e x x f x a x x =⋅->，所以()11ln11e a f a e=⋅-=， 因为()11e x x f x a x -'=⋅-，所以()111111e 1f a -'=⋅-=-，则()f x 在1,a e ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为1a y x e ，即10ax ye， 因为切线与x 轴的交点为()2,0，所以210ae，解得a e =. （2）因为()()1g x f x x =-，所以()()l e 10n x g xa x x x x =-⋅>-，则()()()22211n 1e 11l x x x x x e ax x g x a x e x x e xx a x -+-'=---⋅=⋅+=， 当2e 4a =-时，()()22214x x e x x e g x e x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=， 构造函数()()20xe h x x x =>，则()()32x e x h x x-'=， 即当02x <<时，函数()h x 单调递减；当2x >时，函数()h x 单调递增，当2x =时，函数()h x 取最小值，()224e h =，即当0x >时，224x e e x ≥，224xe x e ，2204x e x e ，因为()()22214x x e x x e g x e x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=， 所以当()0,1x ∈，()0g x '>，函数()g x 在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞，()0g x '≤，函数()g x 在()1,+∞上单调递减，综上所述，当2e 4a =-时，函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.点评：关键点点评：：本题考查根据函数的切线方程求参数以及通过导数求函数的单调性，能否通过构造函数()2x e h x x =得出2204xe x e 是解决本题的关键，函数在某一点处的导函数值即函数在这一点处的切线斜率，考查计算能力，是难题.21．已知经过原点O 的直线与离心率为22的椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>交于A ，B两点，1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，且12AF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图所示，设点P 是椭圆C 上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C 的切线与2x =-交于点M.记直线1PF 的斜率为1k ，直线2MF 的斜率为2k ，证明：12k k ⋅为定值，并求出该定值.答案：（1）2212x y +=；（2）13-.（1）由点A 在短轴端点时，12AF F △面积取得最大值，得到1bc =，再根据椭圆的离心率为22求解.（2）设直线PM 的方程为y kx m =+与2212x y +=联立，根据PM 是椭圆的切线，由0∆=，得到22210k m -+=，设()00,P x y ，用导数法求得02x k y =-，然后根据()()()122,2,1,0,1,0M k m F F --+-，由01202,13y k mk k x -+==+-求解. 解：（1）因为椭圆的离心率为2，所以2c e a ==， 设()00,A x y ，则120122AF F Sc y =⨯， 当0y b =时，12AF F △面积取得最大值， 所以1bc =，又222a b c =+， 解得222,1a b ==，所以椭圆的方程是2212x y +=.（2）设直线PM ：y kx m =+与2212x y +=联立得：()222124220k x kmx m +++-=，因为PM 是椭圆的切线，所以()()()2224412220km k m ∆=-⨯+⨯-=，即22210k m -+=，由2212x y +=，得2212x y =-， 所以2yy x '=-，则2xy y'=-， 设()00,P x y ，则02x k y =-①， 因为220012x y +=，所以()220021x y =-②，将①②代入22210k m -+=，得2201m y =， 因为0,m y 同号，所以01=m y ， 因为M 在直线2x =-上，所以()()()122,2,1,0,1,0M k m F F --+-， 所以01202,13y k mk k x -+==+-， 所以()()()0000120023131x y m y y k m k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭⋅==++,()()000001131313x my x x x --+==-=-++.点评：方法点评：：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x a y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），又以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R .（1）求曲线C 的极坐标方程，若原点O 在曲线C 的内部，则求实数a 的取值范围； （2）当1a =时，直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，又点P 为此时曲线C 上一动点，求PMN 面积的最大值.答案：（1）222cos 20a a ρρθ-+-=，a <<；（2）4（1）将曲线C 的参数方程消去参数得出普通方程，将222,cos x y x ρρθ+==代入可得曲线C 的极坐标方程，由()22002a -+<可求出a 的范围；（2）利用弦长公式求出MN ，求出点P 到直线的最大距离，即可得出面积的最大值.解：（1）将曲线C的参数方程x a y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数α，可得普通方程为222x ay ，即222220x y ax a +-+-=，将222,cos x y x ρρθ+==代入可得曲线C 的极坐标方程为222cos 20a a ρρθ-+-=，若原点O 在曲线C 的内部，则()22002a -+<，解得a <<；（2）当1a =时，圆C 的方程为()2212x y -+=，圆心为()1,0C，半径r =直线l 的极坐标方程()3πθρ=∈R化为直角坐标方程为y =，由22(1)2x y y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得24210x x --=， 设()()1122,,,M x y N x y ，则121211,24x x x x +==-，||MN ====∴要使PMN 面积最大，只需点P 到直线的距离最大， 圆心()1,0C到直线的距离2d ==，则点P到直线的最大距离为2d r +=+ 所以PMN面积的最大值为12+=⎝. 点评：关键点评：：本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的转化，考查三角形面积的最值，解题的关键是清楚极坐标和直角坐标的关系，知道三角形面积最大只需满足点P 到直线的距离最大. 23．已知函数()1f x ax =-.（1）当2a =时，求不等式()21f x x >-+的解集；（2）若()1,2x ∈时，不等式()1f x x x +->成立，求实数a 的取值范围. 答案：（1）()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（2）()[),02,-∞+∞.（1）当2a =时，得原不等式等价于2112x x -++>，分1x ≤-、112x -<<、12x ≥三种情况解不等式2112x x -++>，综合可得出原不等式的解集；（2）由()1,2x ∈，可得出不等式()1f x x x +->等价于11ax ->，分0a <、0a =、0a >三种情况进行讨论，在前两种情况下验证即可，在0a >时，解不等式11ax ->，根据已知条件可得出集合间的包含关系，综合可得出实数a 的取值范围.解：（1）当2a =时，()21f x x =-，则()21f x x >-+等价于2112x x -++>. 当1x ≤-时，则有12132x x x ---=->，解得23x <，此时1x ≤-； 当112x -<<时，则有12122x x x -++=->，解得0x <，此时10x -<<； 当12x ≥时，则有21132x x x -++=>，解得23x >，此时23x >.综上所述，当2a =时，不等式()21f x x >-+的解集为()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭； （2）当()1,2x ∈时，不等式()1f x x x +->成立等价于当()1,2x ∈时11ax ->成立.若0a <，则当()1,2x ∈时，111ax ax -=-+>恒成立； 若0a =，则当()1,2x ∈时，11ax -=，不合乎题意；若0a >，由11ax ->可得11ax -<-或11ax ->，解得0x <或2x a>. 由题意可得()21,2,a ⎛⎫⊆+∞⎪⎝⎭，则201a <≤，解得2a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是()[),02,-∞+∞.点评：方法点评：：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2021届广西新高考数学模拟试卷解析版
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝Z，则A∩B＝（）
A．{﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1}【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，且B＝Z；
∴A∩B＝{0，1}．
故选：C．
【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．
2．已知i为虚数单位，复数z满足（2﹣i）z＝1，则复数z的虚部为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（2﹣i）z＝1，
得z ＝，
∴复数z 的虚部为．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为、
标准差分别为σ
甲、σ
乙
，则（）
A ．＜，σ甲＜σ乙
B ．＜，σ甲＞σ乙
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广西壮族自治区南宁市隆安县第四中学2021年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知实数x,y满足，则的最大值是（）A．-1 B．C．0 D．1参考答案：D2. 执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．15参考答案：D【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=0+20+21+22+23的值，并输出．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=0+20+21+22+23的值∵S=0+20+21+22+23=15，故选D．3. 曲线y=在 x=1处的切线的倾斜角为A. B. C. D．参考答案：B略4. 已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值………（）．.恒为正数恒为负数.恒为0 .可正可负参考答案：AT T T同理，，，…，，又T，以上各式相加，得.选A.5. 已知点，，P为曲线上任意一点，则的取值范围为（）A. [1,7]B. [－1,7]C. D.参考答案：A【分析】结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解．【详解】解：设则由可得，令，，，，，，，，，【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解本题的关键.6. 已知点三点不共线，且有，则有（）A、B、C、D、参考答案：B略7. 已知，，，，那么的大小关系是A．B．C．D．参考答案：A8. 设集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，B={x|﹣3≤x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣2，1] B．（﹣3，﹣2] C．[﹣3，﹣2）D．（﹣∞，1]∪（3，+∞）参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，再由集合的交集运算即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}=（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），B={x|﹣3≤x≤1}=[﹣3，1]，则A∩B=[﹣3，﹣2）．故选：C．【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查二次不等式的解法，属于基础题．9. 如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m的最大值是( )A．4 B．3 C．1 D．0参考答案：B【考点】程序框图．【专题】图表型；函数的性质及应用；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）=的值，在同一坐标系，画出f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：由图可知：当x=﹣1时，h（x）取最小值3，又∵h（x）≥m恒成立，∴m的最大值是3，故选：B．【点评】本题主要考查了程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，属于基本知识的考查．10. 函数是上的减函数，则的取值范围是( )A．B． C．D．参考答案：B据单调性定义，为减函数应满足：即. 答案B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD垂直于平面ABCD，在△PAD中，PA=PD=2，∠APD=120°，AB=4，则球O的表面积等于．参考答案：32π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】求出△PAD所在圆的半径，利用勾股定理求出球O的半径R，即可求出球O的表面积．【解答】解：令△PAD所在圆的圆心为O1，则因为PA=PD=2，∠APD=120°，所以AD=2，所以圆O1的半径r==2，因为平面PAD⊥底面ABCD，所以OO1=AB=2，所以球O的半径R=2，所以球O的表面积=4πR2=32π．故答案为32π．【点评】本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，求出球O的半径是关键，比较基础．12. 已知α为第二象限角，，则_________.参考答案：13. 已知函数f(x)＝2+㏒2x,x∈[1,2]则函数y=f(x)+f(x2)的值域为参考答案：略14. （文）设圆过双曲线右支的顶点和焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是.参考答案：双曲线的右顶点为，右焦点为，所以圆C的圆心的横坐标为4．故圆心坐标为，所以它到中心（0，0）的距离为。

2021届广西南宁市第三中学高三二模数学（文）试题一、单选题 1．设复数31i z i-=+，则z =（ ） A ．12i -+ B ．12i +C ．12i --D ．12i -【答案】C【分析】由复数的除法运算可得12z i =-+，进而可得共轭复数. 【详解】(3)(1)241222i i iz i ---+===-+，12z i ∴=--．故选：C.2．设命题p : 1,ln x x x ∀>>；则p ⌝为（ ） A ．0001,ln x x x ∃>> B ．0001,ln x x x ∃>≤ C ．0001,ln x x x ∃≤≤ D ．1,ln x x x ∀>≤【答案】B【详解】分析：由全称命题的否定为特称即可得解； 详解：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题p : 1,ln x x x ∀>>；则p ⌝为0001,ln x x x ∃>≤. 故选B.点睛：本题主要考查了含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 3．已知()1,1a =-，()1,3b =-，则()2a a b ⋅+=（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2【答案】A【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可得结果.【详解】由已知条件可得2112a =+=，()11134a b ⋅=⨯--⨯=-，因此，()2222240a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯-=. 故选：A.4．某几何体的三视图如图所示，已知图中圆的半径都为1，则此几何体的体积为（ ）A ．4π B ．2π C ．34π D ．π【答案】D【分析】由几何体的三视图可知，该几何体为34个球，从而可求得答案 【详解】解：由几何体的三视图可知，该几何体为34个球，则该几何体的体积为334143ππ⨯⨯=. 故选：D5．设变量x y 、满足约束条件423226y x y x y ≤⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，则目标函数z x y =+的最小值是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】画出约束条件所表示的平面区域，化简目标函数为直线的斜截式，结合图形确定目标函数的最优解，代入最优解即可求解.【详解】解：画出约束条件423226y x y x y ≤⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域，如图所示目标函数z x y =+，可化为直线y x z =-+，由图可知当直线y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，由26232x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得()2,2A ，所以目标函数z x y =+的最小值为min 224z =+=. 故选：C6．函数2cos ()exx x f x -=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性和()00f >确定正确选项.【详解】由2cos ()()xx x f x f x e---=≠知，()f x 的图象不关于y 轴对称，排除选项A ，C ．()010f =>，排除选项D ．故选：B7．在等比数列{}n a 中，1310a a +=，57160a a +=，则1a =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4【答案】C【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出首项． 【详解】解：在等比数列{}n a 中， 1310a a +=，57160a a +=，∴211461110160a a q a q a q ⎧+=⎨+=⎩， 解得24q =，12a =．故选：C ．8．已知圆22(1)4x y -+=内一点P (2，1)，则过P 点的最短弦所在的直线方程是（ ） A ．10x y --= B ．30x y +-= C ．30x y ++= D ．2x =【答案】B【分析】设圆心C ，由圆的对称性可知过点P 与CP 垂直的直线被圆所截的弦长最短 【详解】由题意可知，当过圆心且过点(2,1)P 时所得弦为直径， 当与这条直径垂直时所得弦长最短， 圆心为(1,0)C ，(2,1)P ，则由两点间斜率公式可得10121CP k -==-， 所以与PC 垂直的直线斜率为1k =-，则由点斜式可得过点(2,1)P 的直线方程为11(2)y x -=-⨯-， 化简可得30x y +-=，故选：B9．执行如图所示的程序框图，若输出的S 是30，则判断框内的条件可以是（ ）A ．6n ≥B ．8n ≥C ．10n >D ．10n ≥【答案】D【分析】根据程序执行的结果，由程序逻辑列出执行步骤及其结果，结合循环体各次迭代所得结果判断条件即可.【详解】由程序框图，其执行结果如下： 1、0,0S n ==：2,2n S ==，执行循环体； 2、2,2S n ==：4,6n S ==，执行循环体； 3、6,4S n ==：6,12n S ==，执行循环体； 4、12,6S n ==：8,20n S ==，执行循环体；5、20,8S n ==：10,30n S ==，跳出循环体，输出30S =； ∴框内条件应为10n ≥. 故选：D.10．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，3过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（ ）A ．14-B ．34-C ．12-D ．1【答案】A【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可. 【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭， 由题意可得122x x +=，122y y +=，将A ，B 的坐标的代入椭圆的方程：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 作差可得22221212220x x y y a b--+=， 所以221212221212y y x x b b x x a y y a-+=-⋅=--+，又因为离心率2c e a ==，222c a b =-，所以22234a b a -=， 所以2214b a -=-，即直线AB 的斜率为14-，故选：A.11．已知直线l 是曲线43()2 f x x x =-在点(1,(1))f 处的切线，点(,)P m n 是直线l 上位于第一象限的一点，则2m nm n+⋅的最小值为（ ） A ．4 B ．9C ．25D ．16【答案】B【分析】由导数的几何意义求出曲线在点(1,(1))f 处的切线方程为21x y +=，进而得出21m n +=，由基本不等式可得结果.【详解】43()2f x x x =-的导数为32 ()46f x x x '=-， 可得在点(1, (1) )f 处的切线的斜率为462-=-， 切点为(1,1)-，切线的方程为12(1)y x +=--， 即为21x y +=，则21(,0)m n m n +=>，所以21222(2)55229m n m n m n m n n m n m +⎛⎫=++=+++⨯= ⎪⋅⎝⎭， 当且仅当13m n ==时，取得等号． 则2m nm n+⋅的最小值为9 故选：B.二、填空题12．已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____. 【答案】2【分析】根据平均数的公式进行求解即可． 【详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4 ∴4235620a a ++-++=，即2a =. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础． 13．已知()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<是偶函数，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 【答案】12【分析】先结合范围，根据(),2k k Z πϕπ=+∈时()sin()f x A x ωϕ=+是偶函数，解得ϕ，得到()f x 解析式，再代入计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭即可. 【详解】()sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<是偶函数，则(),2k k Z πϕπ=+∈，而0ϕπ<<，故取0k =时，得2ϕπ=，此时()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1cos 632f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为：12. 【点睛】结论点睛：有关正余弦型函数的奇偶性有关结论： （1）(),2k k Z πϕπ=+∈时，()sin()f x A x ωϕ=+是偶函数；（2）(),k k Z ϕπ=∈时，()sin()f x A x ωϕ=+是奇函数； （3）(),2k k Z πϕπ=+∈时，()cos()f x A x ωϕ=+是奇函数；（4）(),k k Z ϕπ=∈时，()cos()f x A x ωϕ=+是偶函数.14．在边长为6的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，从该正方形区域内任取一点，若该点落在阴影区域内的概率为49，则阴影区域的面积为________． 【答案】16.【分析】由几何概型公式得4966S =⨯，从而得解. 【详解】设阴影区域的面积为S ， 由几何概型公式得4,16966S S =∴=⨯.故阴影部分的面积为16. 故答案为：16.三、解答题15．已知ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()(sin sin )()sin b a B A b c C -+=-.（1）求A ；（2）从下列条件中：①a =ABCS 中任选一个作为已知条件，求ABC周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3A π=；（2）选择①，；选择②，[6,) +∞. 【分析】（1）根据正弦定理将角化边计算可得1cos 2A =，最后可得结果.（2）选①根据正弦定理以及辅助角公式化简可得周长)6π=++l B 根据角度范围可得结果；选②可得bc ，然后结合余弦定理以及不等式可得结果. 【详解】（1）因为()(sin sin )()sin b a B A b c C -+=- 由正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-，即222b c a bc +-=由余弦定理得2221cos ,(0,)22b c a A A bc π+-==∈所以3A π=（2）选择①a =由正弦定理2sin sin sin b c aB C A===，即ABC 周长22sin 2sin 2sin 2sin()3l B C B B π=+=+-+3sin B B =)6B π=+251 (0,) ,sin()1366626B B B πππππ∈∴<+<<+≤即ABC 周长的取值范围选择②ABCS.，得1sin 2ABC S bc A ===△，得4bc =.由余弦定理得22222()3()12,a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-即ABC 周长,l a b c b c =++=+4b c +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立46l a b c ∴=++≥=即ABC 周长的取值范围[6,) +∞【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式解三角形，注意边角如何转化，以及求范围问题常会转化为三角函数或者不等式的应用，属中档题.16．某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，统计了本校高三年级每名学生一学期数学成绩的平均分 (采用百分制)，剔除平均分在 40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名.现采用分层随机抽样的方法，从中抽取了100 名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到下表.附表及公式：其中n a b c d =+++，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（1）估计男、女生各自的平均分(同一组数据用该组区间中点值作代表)，从计算结果判断数学成绩与性别是否有关；（2）规定成绩在80分以上为优秀(含80分) ，请你根据已知条件补全所列的2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”.【答案】（1）答案见解析；（2）2×2列联表见解析，没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”.【分析】（1）计算出男、女生各自的平均分，从结果可得答案；（2）计算出2K，根据临界值表可得结果.【详解】（1）男生的平均分14535596518751585695971.560x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==女生的平均分24565546557510851395271.540x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==从男、女生各自的平均分来看，数学成绩与性别无关.(2)由题表可知，在抽取的100名学生中，男生组中成绩优秀的有15人，女生组中成绩优秀的有15人，据此可得2×2列联表如下：计算可得()22100152515451.7862.70630706040K⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别是否有关”.17．在如图所示的空间几何体中，两等边三角形ACD △与ABC 互相垂直，4AC BE ==，BE 和平面ABC 所成的角为60︒，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上.（1）求证：//DE 平面ABC ； （2）求点B 到平面ADE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）取AC 的中点O ，连接,BO DO ，根据等边三角形的性质可知DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么//EF DO ，通过计算证明四边形DEFO 是平行四边形，故//DE OB ，由此可得//DE 平面ABC ；（2）设点B 到平面ADE 的距离为d ,由B ADE A BDE V V --=，计算即可得解. 【详解】（1）取AC 中点O ，连接,BO DO ，由题知，BO 为ABC ∠的平分线，,BO AC DO AC ⊥⊥设点F 是点E 在平面ABC 上的射影，由题知，点F 在BO 上，连接EF ，则EF ⊥平面ABC .平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD平面ABC AC =，DO ⊂平面,ACD DO AC ⊥，DO ∴⊥平面ABC ,//DO EF ∴.BE 和平面ABC 所成的角为60︒，即60EBF ∠=︒，23EF ∴=,又23DO =，四边形EFOD 为平行四边形，//DE BO ∴.BO ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，//DE ∴平面ABC（2）设点B 到平面ADE 的距离为d由B ADE A BDE V V --=得：11233ADE BDE S d S ⋅=⋅△△ 111123232AD DE d ED DO ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ 解得3d =.18．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，上、下顶点分别是1B ，2B ，离心率12e =，短轴长为23 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，若12MN B F ⊥，试求1F MN △内切圆的面积.【答案】（1）22143x y +=；（2）36169π. 【分析】（1）由题意得12223c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解出即可；（2）首先算出直线l 的方程，然后和椭圆的方程联立消元，算出1F MN △的面积和周长，然后得到1F MN △内切圆的半径即可.【详解】（1）由题意得12223c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，又222a b c =+，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由(13B ，()21,0F ，知12B F 的斜率为3-12MN B F ⊥，故MN 的斜率为33，则直线l的方程为)1y x =-，即1x +，联立221,431,x y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：21390y +-=，设()11,M x y ，()22,N x y，则12y y +=12913y y =-，则1F MN △的面积122413S c y y =⋅-==， 由1F MN △的周长48L a ==，及12S LR =，得内切圆2613S R L ==， 所以1F MN △的内切圆面积为236ππ169R =. 19．已知函数()22ln kx f x x x +-=（1）当1k =时，求在1x =处的切线方程；（2）若()f x 在定义域上存在极大值，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）3y x =；（2）1,02⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，然后求得导数(1)f '，由点斜式写出切线方程化简即可；（2）求出导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 的零点，()'f x 的正负，得()f x 的单调性，从而确定有无极大值．【详解】解：（1）1k =时，()22ln f x x x x =+-定义域是()0,∞+，()122f x x x'=+-(0x >) 所以()13f =，()13f '=，切线方程为()331y x -=-即3y x =（2）()f x 的定义域是()0,∞+，求导得()2122122kx x f x kx x x+-'=+-=(0x >) 记()2221g x kx x =+-，①当0k =时，令()102g x x =⇒=， 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()00g x f x f x <⇒'<⇒单调递减，当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()()()00g x f x f x >⇒'>⇒单调递增；()f x 有极小值没有极大值.②当0k >时，480k ∆=+>，()0g x x =⇒==(负根舍去)，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()()()00g x f x f x <⇒'<⇒单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()()()00g x f x f x >⇒'<⇒单调递增；()f x 有极小值没有极大值.③当0k <时，令480k ∆=+≤得1,2k ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()22210g x kx x =+-≤在()0,∞+恒成立，于是()0f x '≤在()0,∞+恒成立，()f x 在定义域()0,∞+上单调递减，没有极大值.令480k ∆=+>得1,02k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令()1102g x x k=⇒=，2x =()0f x '=有2个不相等正根，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎝⎭单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减.所以()f x 在212x k=点取极大值.综上所述，()f x 在定义域上存在极大值时，实数k 的取值范围是1,02⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的最值．解题关键是掌握导数与单调性的关系，掌握极值的定义．解题方法是利用分类讨论思想讨论()0f x '=的根的分布，()'f x 0>或()0f x '<的解的情况，确定单调性得极值情况．20．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数）.以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是sin 4πρθ⎛⎫⎪⎭=⎝-（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，Q 为曲线2C 上的动点,求线段PQ 长度的最小值，并求此时点P 的直角坐标.【答案】（1）2213x y +=；80-+=x y ；（2）PQ长度的最小值为P 的坐标为31,22⎛⎫-⎪⎝⎭. 【详解】解：（1）由曲线1:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得：cos sin yαα⎧=⎪⎨⎪=⎩两式两边平方相加可得：曲线1C 的普通方程为：2213x y += (2)分由曲线2:sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C(sin cos )θθ-=， 即()sin cos 8ρθθ-=，所以曲线2C 的直角坐标方程为：80-+=x y .……………4分 （2）由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点，设),sin P αα，易知当PQ 与直线80x y ++=垂直时距离较小， (6)分此时P 到直线80x y ++=的距离为==d 当cos =-16πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭时，d的最小值为5=2+()6παπ∈k k Z ，31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭P所以PQ长度的最小值为此时点P 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.…………………………10分21．已知()()0,0f x x a x b a b =-++>>. （1）当2a =，1b =时，解不等式()9f x ≥；（2）若()f x 的最小值为2，求1112a b++的最小值.【答案】（1）(][),45,-∞-⋃+∞；（2）123+. 【分析】（1）当2a =，1b =时，()219f x x x =-++≥， 分类讨论即可得解； （2）由绝对值三角不等式可得()f x x a x b x b x a a b a b =-++≥+-+=+=+， 若()f x 的最小值为2，则2a b +=，所以(1)3a b ++=，再利用基本不等式即可求最小值.【详解】（1）当2a =，1b =时，()219f x x x =-++≥，所以1219x x ≤-⎧⎨-+≥⎩或1239x -<≤⎧⎨≥⎩或2219x x >⎧⎨-≥⎩，解得：4x ≤-或5x ≥， 故解集为(][),45,-∞-⋃+∞； （2）由0,0a b >>，所以()f x x a x b x b x a a b a b =-++≥+-+=+=+， 若()f x 的最小值为2，则2a b +=，所以(1)3a b ++=，1111113113131()((1))()((12312321232322b a a b a b a b a b ++=+++=++≥+=+=+++，所以1112a b ++的最小值为123+.【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了绝对值三角不等式以及基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题.。

绝密★启用前2021届广西南宁市高三第一次适应性测试数学（文）试题一、选择题（（每小题5分,共60分））1. 已知集合,则( )A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】可求出集合,然后进行交集的运算即可. 【详解】∵, , ∴.故选:D.2. 复数的虚部是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数除法运算化简复数,由虚部定义可得结果. 【详解】∵,∴的虚部为. 故选:A.3. 若,则( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由诱导公式即可求出. 【详解】∵, ∴.故选:C.4. 的展开式中,的系数是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式,令的幂指数等于可求得,代入可求得结果. 【详解】展开式通项公式为:, 令,解得:,∴的系数为.故选:C.5. 已知直线,两个不同的平面和.下列说法正确的是( )A. 若,,则B. 若,,则C. 若,,则D. 若,,则【答案】D【解析】【分析】根据线面和面面位置关系的性质即可依次判断. 【详解】对A,若, ,则或,故A错误; 对B,若,,则与相交,平行或在平面内,故B错误; 对C,若,,则与平行或相交,故C错误; 对D,若,,则由面面平行的性质可得,故D正确. 故选:D.6. 记为等差数列的前项和,若,则数列的通项公式( )A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得,根据等差数列通项公式得到结果. 【详解】设等差数列的公差为,则,解得:, ∴. 故选:B.7. 过点的直线与圆相切,则直线的方程为( )A. B.C. 或D. 或【答案】C【解析】根据题意,圆的圆心为,半径, 若直线的斜率不存在,则直线的方程为,与圆相切,符合题意, 若直线的斜率存在,设直线的斜率为, 则直线的方程为,即, 此时有,解可得, 则切线方程为,变形可得. 综合可得:要求直线方程是或,故选:C.8. 已知函数,则其大致图象为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】令且,,利用导数求极值,进而判断在定义域内的符号,即可知的大概图象. 【详解】令且,,则, ∴,有单调增;,有单调减; ∴,故在定义域内恒成立.故选:D.9. 春天是鲜花的季节,水仙花就是其中最迷人的代表,数学上有个水仙花数,它是这样定义的:“水仙花数”是指一个三位数,它的各位数字的立方和等于其本身.三位的水仙花数共有个,其中仅有个在区间内,我们姑且称它为“水仙四妹”,则在集合,“水仙四妹”,共个整数中,任意取其中个整数,则这个整数中含有“水仙四妹”,且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据定义求内的“水仙四妹”,由集合知:“含有水仙四妹的3个整数”的取法有种,而其中“其余两个没有比小”的只有1种,即所求事件的取法有种,进而即可求概率.【详解】设“水仙四妹”为且,,依题意知:,即有,可得,即“水仙四妹”为, ∴集合为,故“含有,但其余两个整数至少有一个比小”的对立事件为“含有,但其余两个没有比小”, ∴“含有”的取法有:种,而事件只有种,故所求事件的取法有种,∴即所求概率为.故选:D.10. 已知抛物线的焦点在直线上,又经过抛物线C的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于､两点,则( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直线与轴的交点就是抛物线的焦点,从而可求出抛物线方程,然后将倾斜角为的直线方程与抛物线方程联立成方程组,消去,整理后利用根与系数的关系可得,从而再利用抛物线的定义可求出【详解】因为直线与轴的交点为, 所以抛物线的焦点坐标为,设,抛物线方程为,所以过焦点且倾斜角为的直线方程为, 设,由,得, 所以,所以,故选:C.11. 已知双曲线的左焦点为,过点的直线与两条渐近线的交点分别为两点(点位于点与点之间),且,又过点作于(点为坐标原点),且,则双曲线E的离心率( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意作出图示,根据角度以及长度关系分别求解出,然后根据二倍角的正切公式求解出的关系式,则离心率可求. 【详解】不妨设在第二象限,在第三象限,如下图所示:因为,,所以, 所以, , 又,所以, 所以,所以, 因为,所以, 所以,所以.故选:C.12. ,则的大小顺序为( )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数,应用导数研究其单调性,进而比较,,的大小,若有两个解,则,,构造,利用导数确定,进而得到,即可判断、的大小,即可知正确选项. 【详解】令,则,,, 而且,即时单调增,时单调减,又,∴, .若有两个解,则,,即,,令,则,即上递增,∴,即在上,,若即,故,有∴当时,,故, 综上:.故选:A.二、填空题（（每小题5分,共20分））13. 已知向量,,若,则__________.【答案】2【解析】【分析】利用向量垂直的性质直接求解. 【详解】∵向量,,, ∴,解得.故答案为:.14. 记为递增等比数列的前项和,若,则的值为__________.【答案】【解析】【分析】利用等比数列通项,结合求,,进而求的值. 【详解】设等比数列首项为,公比为,则, 由题意,,得,解得或(舍), ∴,故. 故答案为:.15. 函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,且的图象关于轴对称,则的最小值为__________【答案】【解析】【分析】根据平移求得,再根据的图象关于轴对称建立关系即可求解. 【详解】由题可得, ∵的图象关于轴对称,∴,解得, ∵,故的最小值为.故答案为:.16. 已知母线长为的圆锥的顶点为,点、为圆锥的底面圆周上两动点,当与所夹的角最大时,锐角的面积为,则此时圆锥的体积为__________.【答案】【解析】【分析】可得当与所夹的角最大时,为底面圆的直径,根据三角形面积可得,进而得,再由余弦定理可求出半径,得出体积. 【详解】设底面半径为, 当与所夹的角最大时,为底面圆的直径, 此时,解得, ∵为锐角三角形,∴, 则,解得, 则圆锥的体积为.故答案为:.三、解答题（（每小题12分,共60分））17. 在中,分别为角的对边,且. (1)求角A;(2)若的面积,求的取值范围.【答案】见解析【解析】【分析】 (1)由正弦定理化角为边可得,再利用余弦定理即可求出; (2)由面积公式可得,再利用基本不等式即可求出. 【详解】 (1)由已知结合正弦定理可得,即, 则由余弦定理可得, ∵,∴; (2),则, 由,当且仅当时等号成立, ∴.18. 在某地区的教育成果展示会上,其下辖的一个数育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数(单位:个)有如下统计表:(1)根据表中数据,建立关于的线性回归方程. (2)根据线性回归方程预测年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数(结果保留整数). 附:对于一组数据,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,;(参考数据:).【答案】见解析【解析】【分析】 (1)由表格中的数据及所给公式求得和的值,则线性回归方程可求; (2)由回归方程求解预测值,注意的取值. 【详解】(1)由题意,,∴∴关于的线性回归方程为; (2)由(1)可知,当年份为年时,年份代码,此时保留整数为或人,所以年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为或76人.19. 如图,在直四棱柱中,上､下底面均为菱形,且,点M为的中点.(1)求证:平面; (2)若,求二面角的余弦值.【答案】见解析【解析】【分析】 (1)根据菱形和直四棱柱的特点可证得,,由线面垂直判定定理可证得结论; (2)连接,交于点,以为坐标原点可建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【详解】 (1)∵四边形为菱形,,∴为等边三角形, 又为中点,∴,又,∴; ∵四棱柱为直四棱柱,∴平面, 又平面,∴; ∵平面, ,∴平面. (2)连接,交于点,以为坐标原点,可建立如下图所示的空间直角坐标系,则,,, , ∴,,, 设平面的法向量,则, 令,则,,∴; 设平面的法向量,则, 令,则, ,∴; ∴, 由图形知:二面角为锐二面角,∴二面角的余弦值为.20. 设,,其中,且. (1)试讨论的单调性;(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.【答案】见解析【解析】【分析】 (1)分别在和两种情况下,结合定义域,根据导函数的正负可确定原函数的单调性; (2)将不等式化为,利用导数和复合函数单调性可确定,进而转化为,利用导数可求得的最小值,由可得结果. 【详解】(1), ①当时,由得:,即定义域为; ∴当时,;当时,; ∴在上单调递减,在上单调递增; ②当时,由得:,即定义域为; ∴当时,;当时, ; ∴在上单调递减,在上单调递增; 综上所述:当时,在上单调递减,在上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增. (2)由得:,即, 设,则∴上单调递减,在上单调递增,∴; ∴在上恒成立,∴; 设,则, ∴当时,;当时,; ∴在上单调递减,在上单调递增,∴,∴, 即实数的取值范围为.21. 如图所示,已知椭圆的左､右焦点分别为､,且,点在直线上运动,线段与椭圆的交点为,当轴时,直线的斜率的绝对值为.(1)求椭圆的标准方程; (2)设点在椭圆上,若直线的斜率与直线的斜率之积等于,证明:直线始终与椭圆相切.【答案】见解析【解析】【分析】 (1)由焦距、过焦点直线的斜率求参数、、,写出椭圆方程; (2)设, ,椭圆上过点的切线方程,联立椭圆方程结合判别式,确定为切线方程,由得,代入切线方程判断是否过点,即可证结论. 【详解】(1)由,即, ∵当轴时,直线的斜率的绝对值为, ∴,即,而且, ∴,故,得, ∴椭圆方程为. (2)由(1),,结合题设,令且, ,, 设椭圆上过点的切线方程,以下证明该方程确为椭圆切线方程: ∴联立方程,整理得, ∴,又, ∴,即为椭圆切线方程, ∴由,即,得,代入切线方程, 得,故切线方程必过点. 综上,直线始终与椭圆相切,得证.四、选做题（（每小题12分,共24分））22A. 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),又以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求曲线的极坐标方程,若原点在曲线C的内部,则求实数的取值范围; (2)当时,直线与曲线交于、两点,又点为此时曲线上一动点,求面积的最大值.【答案】见解析【解析】【分析】 (1)将曲线的参数方程消去参数得出普通方程,将代入可得曲线的极坐标方程,由可求出的范围; (2)利用弦长公式求出,求出点到直线的最大距离,即可得出面积的最大值. 【详解】 (1)将曲线的参数方程消去参数, 可得普通方程为,即, 将代入可得曲线的极坐标方程为, 若原点在曲线C的内部,则,解得; (2)当时,圆C的方程为,圆心为,半径, 直线的极坐标方程化为直角坐标方程为, 由得, 设,则, ∴, 要使面积最大,只需点到直线的距离最大, 圆心到直线的距离, 则点到直线的最大距离为, 所以面积的最大值为.22B. 已知函数. (1)当时,求不等式的解集; (2)若时,不等式成立,求实数的取值范围.【答案】见解析【解析】【分析】 (1)当时,得原不等式等价于,分、、三种情况解不等式,综合可得出原不等式的解集; (2)由,可得出不等式等价于,分、、三种情况进行讨论,在前两种情况下验证即可,在时,解不等式,根据已知条件可得出集合间的包含关系,综合可得出实数的取值范围.【详解】 (1)当时,,则等价于. 当时,则有,解得,此时; 当时,则有,解得,此时; 当时,则有,解得,此时. 综上所述,当时,不等式的解集为; (2)当时,不等式成立等价于当时成立. 若,则当时,恒成立; 若,则当时,,不合乎题意; 若,由可得或,解得或. 由题意可得,则,解得. 综上所述,实数的取值范围是.。

广西省南宁市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1∙若集合A I X 2x|-X 1 0 ,B x| 1 X 2 ,贝U AI B =:()A •[ 2,2)B •(1,1]C •1,1 D. 1,2 【答案】C【解析】【分析】求出集合A, 然后与集合B取交集即可.【详解】由题意，A I X 2x|- 0 x| 2 X 1 , B {x| 1 x 2},则AI B {x| 1 X 1},故答案X 1为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题•2•执行如图所示的程序框图，若输入的t 3,则输出的i （）D. 63【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果【详解】执行程序框t 3, i 0 ；t 8, i 1 ；t 23, i 3 ；t 68, i 7 ；t 203, i 15 ；t 608, i 31，满足t 606 ,退出循环，因此输出i 31，故选:B.【点睛】3. “a 2”是直线ax 2y 1 0与X (a 1)y 2 0互相平行”的()A .充分不必要条件B•必要不充分条件 C •充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当a 2时，直线方程为2x 2y 1 0与x y 2 0 ,可得两直线平行；若直线ax2y10与X a 1 y 2 0互相平行，则a a 1 2 ,解得a1 2，a21,则“a 2”是直线ax 2y 1 0与X a 1 y 2 0互相平行”的充分不必要条件,【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题•4.冷是函数f X I ax 1 x在区间内单调递增”的（）A •充分不必要条件B •必要不充分条件C .充分必要条件【答案】C【解析】I aX 1 X ∣ax2 X ,令ax2 X 0,解得X I 0, x2由上两图可知，是充要条件故选AD.既不充分也不必要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法5.已知定义在R上的可导函数f X满足1 X f X X f X 0 ,若y f(χ2) e3是奇函数，则不等式X f(x)X 12e0的解集是(, 2 ,1C.2,D.1,【答案】A【解析】【分析】构造函数g XfX,根据已知条件判断出g X的单调性根据y f X 2 e3是奇函数，求得f 2的值, 由此化简不等式X f (X) 2e x 10求得不等式的解集【详解】构造函数g XfX,依题意可知X—0 ,所以在R上递增.由于y 2 e3是奇函数，所以当0时, e30 ,所以f 2 所以3e~2-e2e.由X f (X)X 1 /口2e 0 得g2e g 2 ,所以X 2 ,故不等式的解集为,2.故选：A【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式, 考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法, 属于中档题•6.已知双曲线2 2C : Xy =1(a>0 ,a bb>0)的右焦点为4F，过原点O作斜率为-的直线交C的右支于点A，若IoAFIoFI , 则双曲线的离心率为(D. 3+1【答案】B【解析】【分析】以O为圆心，以OF为半径的圆的方程为2XC2,联立X2~2a2yy2b22C,可求出点1b 2∣~2 b 2b 2—4A a ^c------- ,—,则一=C2 三，整理计算可得离心率C C a j Cb 3C【详解】7.已知定义在 0, 上的函数f(x)满足f (X)22),且当 X 0,2 时，f (X) X 2x •设2n 9C l 牛卫，只需找到数列｛c n ｝的最大值即可•2n【详解】解：以0为圆心，以 OF 为半径的圆的方程为 2 2 2XyC ,2 X 联立 x 2 a 2 y 2y b 2 2 C ,取第一象限的解得 1 C b 2b 2b 2,则 ICb 2a ∖ C b整理得 9C 25a 25a 2(舍去)，故选：B. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力, 是中档题 f(x)在2n 2,2n 上的最大值为a n ( n N ),且数列 a n 的前n 项的和为S n .若对于任意正整数 n 不等式k S n 1 2n 9恒成立，则实数 k 的取值范围为(A . 0, 1 32 ,3 C . 64 , 7D .64,【答案】C 【解析】 【分析】 由已知先求出f (X)max21 ,即 a n = n 12 -,进一步可得S n2n 1 ,再将所求问题转化为 k 2晋对2n丄f(X于任意正整数 n 恒成立，设当 2n 2 X 2n 时，则 O x 2 2 n 2, f(x 2 2n) (X 2 2n )(x 2n), 2n 1 (X 2 2n)(x 2n),显然当 X 2n 1 时,f (x)m aχ 2n 1,故a n = 2n-1, S n2n 1 ,若对于任意正整数n 不等式1 22n 9k S n 1 2n 9恒成立，即k2n 2n 9对于任意正整数n 恒成立，即k n 对于任2n2n 911 2n 人 11 2n 小 ” 口 11 意正整数n恒成立，设 C n 歹 ，C n 1 C n 尹厂，令—尹 O ,解得n 三， 人 11 2n C 11*r 1令一百O ,解得n,考虑到n N ,故有当n 5时，｛C n｝单调递增，2233 当n 6时，有｛C n ｝单调递减，故数列｛C n ｝的最大值为C 6 飞2643所以k —.64故选：C. 【点睛】是一道较为综合的数列题I 1 r √31 r 1 r b B.- b C . — b D .b I22 12【答案】D 【解析】 【分析】【详解】故选：D.【点睛】 本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题 9.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是(所以，f(x) 2n1f[x 2(n1)]本题考查数列中的不等式恒成立问题,涉及到求函数解析、 等比数列前n 项和、数列单调性的判断等知识,&已知非零向量Ll * Ib ,右b 且2a b √3 b ,则向量 b 在向量a 方向上的投影为(设非零向量a 与b 的夹角为 在等式2a两边平方, 求出COS 的值，进而可求得向量 b 在向量a 方向上的投影为COS ,即可得解.r r r 2 b 得2a br23br 2,整理得2a 2ar 2 b「2rr2a 2 a 2 a COS 40 ,解得cos因此，向量b 在向量a 方向上的投影为A . 1. 1B . 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题 【详解】 初始值n O , S 111第一次循n 1 , S1 一2 2；第二次循环：n 2 , S 1 2 12 3 3第三次循环：n 3 , S 1 3 13 4 4第四次循环：n 4 , S — 4 —4 5 5第五次循环：n 5 , S 1 5 15 6 6第六次循环：n 6 , S 1 6 16 7 7第七次循环：n 7 , S — 7 —7 8 8 18 1第九次循环：n 8， S ———；8 9 9 1 9 1第十次循环：n 9， S — — —0.1；9 10 101 所以输出S 9 0.9. 10故选：C 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题110 .已知复数Z 满足—1 i ,则Z 的值为（）D . 2. 8ZC . -J2 D.【答案】C【解析】【分析】由复数的除法运算整理已知求得复数Z进而求得其模【详解】12i，所以Z1 12 2故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题11. 一个陶瓷圆盘的半径为IOcm ,中间有一个边长为4cm的正方形花纹，向盘中投入现落在正方形花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率的值为（精确到0.001)(1000粒米后，发）A. 3.132 B . 3.137C. 3.142D. 3.147【答案】B【解析】【分析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可【详解】如图，由几何概型公式可知:S H241025110003.137故选：B【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型, 属于基础题12 .设等差数列θn的前n项和为S n ,若a4 5, S9 81 ,则印。

广西高考数学(文科)模拟考试卷附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|M x x A =∈且}x B ∈,{}3,4,5,6,7A =与{}2,4,6,8B =，则M 等于（ ） A ．{}4,5,6 B ．{}4,6 C ．{}2,8D ．{}3,5,72．复数z2，则复数z 2的对应点位于复平面内（ ） A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第二或三象限3．函数2cos 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为（ ）A ．()2ππ,2π,Z k k k -∈B ．()2π,2ππ,Z k k k +∈C ．7ππ(2π,2π),Z 66k k k --∈ D ．π5π(2π,2π),Z 66k k k -+∈4．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）A ．2exy x=B ．()22e x xy x+=C ．e 2xy x=D ．2e xy x=5．经过原点且倾斜角为60︒的直线被圆C:220x y a +-+=截得的弦长是C 在x 轴下方部分与x 轴围成的图形的面积等于（ ）A ．83π-B ．163π-C ．83π-D ．163π-6．有一组样本数据由这组数据得到新的样本数据其中i iy cx =（1i =，2，…，n ），且0c ≠，则下列说法中错误的是（ ）A ．新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c 倍B ．新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c 倍C ．新样本数据的方差是原样本数据方差的c 倍D ．新样本数据的极差是原样本数据极差的c 倍7．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（ ）A ．12B ．1CD 8．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且1122BC BA BP +=，则A ．0PA PB += B ．0PA PC += C ．0PC PB +=D ．0++=PA PB PC9．已知椭圆22:1126x y C +=的两焦点分别为1F ，2F 且P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积等于（ ）．A ．6B ．C ．D ．10．如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=DC=BC=2，60ABC ∠=︒将ACD 沿边AC 翻折，使点D 翻折到P 点，且PB =-P ABC 外接球的表面积是（ ）A ．15πB ．25πC ．D ．20π11．已知椭圆C 的焦点为()12,0F -，()22,0F 过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =则C 的方程为（ ）A ．221124x y += B ．2211612x y += C ．221128x y += D ．2212016x y += 12．若存在实数x ，y 满足ln 3y y x x e e --+≥+，则x y +=（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．e二、填空题13．已知向量(1,3)a =，(3,)b m =且b 在a 上的投影为3，则a 与b 夹角为__________．14．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．15．函数()21f x x x=-+的图象在点()()1,1f 处的切线的斜率为______． 16．已知11223x x -+=，则22x x --=___________． 三、解答题17．某健康社团为调查居民的运动情况，统计了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：小时），并根据统计数据分为六个小组（所调查的居民平均每天运动时长均在[]1,4内），得到频率分布直方图如图所示.(1)求出图中m 的值，并估计这100名居民平均每天运动时长的平均值及中位数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）；(2)为了分析该小区居民平均每天的运动量与职业、年龄等的关系，该社团按小组用分层抽样的方法抽出20名居民进一步调查，试问在[)1.5,2时间段内应抽出多少人?18．在公比大于0的等比数列{}n a 中，已知354a a a =，且2a ，43a 与3a 成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知12n n S a a a =，试问当n 为何值时n S 取得最大值，并求n S 的最大值.19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =点E 是棱PB 的中点．(1)求证：CB AE ⊥；(2)若2AB =，BC =求三棱锥P ACE -的体积． 20．已知函数()32123f x x x =-+．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求函数()f x 在区间[](),10a a a +>的最大值． 21．已知抛物线22x py =上一点()2,1P -，焦点为F ． (1)求PF 的值；(2)已知A ，B 为抛物线上异于P 点的不同两个动点，且PA PB ⊥，过点P 作直线AB 的垂线，垂足为C ，求C 点的轨迹方程．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为42cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线2C 的极坐标方程与1C 的普通方程； (2)若直线π6θ=与曲线1C 交于A 点、与曲线2C 交于B 点，求||AB 的值． 23．已知()112f x x x =-++的最小值为n ． (1)求n 的值；(2)若正实数,,a b c 满足a b c n ++=，求222a b c ++的最小值．参考答案与解析1．B【分析】利用交集的定义直接求解.【详解】因为 {}3,4,5,6,7A =，{}2,4,6,8B =与{|M x x A =∈且}x B ∈ 所以{}4,6M =. 故选：B 2．D【分析】结合复数的概念及模长求出复数z ，然后根据复数的乘方运算，即可判断所处象限.【详解】设z a bi =+，因为2b z =，所以1a =±，所以1z =或1z =-若1z =+，则()2212z =+=-+，复数z 2的对应点位于复平面内第二象限；若1z =-，则()2212z =-=--，复数z 2的对应点位于复平面内第三象限；故选：D. 3．C【分析】根据给定函数，利用余弦函数的单调性直接列式，求解作答. 【详解】由2ππ2π,Z 6k x k k π-≤+≤∈，解得2π2π,Z 66k x k k 7ππ-≤≤-∈ 所以所求函数的增区间为7ππ(2π,2π),Z 66k k k --∈. 故选：C 4．C【分析】结合图象，根据函数值的特点排除A 、B ，根据单调性排除D 即可得正确选项. 【详解】对于A ：当0x <时2e0xy x=<，且2exy x=为奇函数图象关于原点对称，不符合题意，故选项A 不正确；对于B ：当0x <时()22e 0x xy x+=<，不符合题意，故选项B 不正确；对于D ：当0x >时由 2e x y x =可得()243e 2e 2e xx x x x x y x x -⋅-'== 当02x <<时0'<y ；当2x >时0'>y ，所以2e xy x=在()0,2单调递减，在()2,∞+单调递增，不符合图象特点，故选项D 不正确； 故选：C. 5．A【分析】由已知利用垂径定理求得a ，得到圆的半径，画出图形，由扇形面积减去三角形面积求解．【详解】解：直线方程为y =，圆22:0C x y a +-+=的圆心坐标为(圆心(0y -=的距离d = 则4a =-．∴圆C 的圆心坐标为(，半径为4．如图sin OBC ∠60OBC ∠=︒ 60ACB ∠=︒∴．218463CAB S ππ=⨯⨯=扇形 144602ABC S sin =⨯⨯⨯︒=三角形∴圆C 在x 轴下方部分与x 轴围成的图形的面积等于83π-． 故选：A ．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查扇形面积的求法，考查计算能力，属于中档题． 6．C【分析】根据平均数，百分位数，极差以及方差的定义以及计算即可根据选项逐一求解.【详解】对于A ，根据平均数的定义知，新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c 倍，选项A 正确； 对于B ，根据百分位数的定义知，新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c 倍，选项B 正确； 对于C ，根据方差的计算公式知，新样本数据的方差是原样本数据方差的2c 倍，所以选项C 错误； 对于D ，根据极差的定义知，新样本数据的极差是原样本数据极差的c 倍，选项D 正确． 故选：C 7．B【分析】将正三棱台补全为正三棱锥再做高，结合勾股定理求解即可【详解】如图，延长正三棱台的三条棱,,AA BB CC '''，交于点P ，因为6AB BC AC ===,3A B B C A C ''''''===，则24PA PB PC AA '====，作PO ⊥底面ABC 于O ，连接BO ，则BO ==故2PO =，故正三棱台ABC A B C '''-的高为12PO= 故选：B 8．B【分析】由向量的加减法运算化简即可得解.【详解】2BC BA BP +=,移项得20,0BC BA BP BC BP BA BP PC PA +-=-+-=+=． 【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，属于基础题. 9．B故选：B 10．D【分析】在梯形ABCD 中，利用已知条件求出三角形ADC 和三角形ABC 的边长，分别取,AB AC 的中点,O F '，连接,,O F PF BF '，可证出PF ⊥面ABC ，由O P O A ''<知，三棱锥-P ABC 外接球的球心O 在平面ABC 的下方，设三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，连接OO '，作OH PF ⊥，垂足为H ，由()22222R O A O O OH PF O O '''=+=++，解出外接球半径，进而得出表面积．设三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ，连接OO '，作OH PF ⊥，垂足为H 由题中数据可得1PF = 1OH O F '== 2O A '= HF OO '=设三棱锥-P ABC 外接球的半径为R ，则()22222R O A O O OH PF O O '''=+=++ 即()222141R O O O O ''=+=++，解得1'=O O 25R = 故三棱锥-P ABC 外接球的表面积是24π20πR =. 故选：D11．C【解析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=列方程可解得a ，b ，即可得到椭圆的方程．【详解】22||2||AF BF = 2||3||AB BF ∴= 又1||||AB BF = 12||3||BF BF ∴= 又12||||2BF BF a += 2||2aBF ∴=2||AF a ∴= 13||2BF a =12||||2AF AF a += 1||AF a ∴= 12||||AF AF ∴= A ∴在y 轴上．在Rt2AF O 中22cos AF O a∠=在12BF F △中，由余弦定理可得22221316()()822cos 2242a a a BF F a a +--∠==⨯⨯． 221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得22802a a a -+=，解得212a =．2221248b a c =-=-=．椭圆C 的方程为221128x y +=．故选：C ．【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x ya b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 12．C【分析】令()ln 3f x x x =-+，利用导数求得函数的单调性与最大值，再令()y y g y e e -=+，结合基本不等式，求得()2g y ≥，进而得到ln 32x x -+=，求得,x y 的值，即可求解. 【详解】令函数()ln 3f x x x =-+，可得11()1xf x x x-='-= 当(0,1)x ∈时0fx，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时()0f x '<，()f x 单调递减 所以当1x =，可得max ()(1)ln1132f x f ==-+=令函数()y y g y e e -=+，则2y y e e -+≥，当且仅当0y =时取等号 又由ln 3y y x x e e --+≥+，所以ln 32y y x x e e --+=+= 所以1,0x y ==，所以1x y +=． 故选：C.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成求解参数的取值时一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大. 13．6π 【分析】根据投影公式，求得m (3,3)b =，再由夹角公式得解． 【详解】解：因为(1,3)a = (3,)b m =33a b m ∴=+ (212a =+=由公式b 在a 上的投影为||a ba 得，3332||a b a +==m所以(3,3)b =，即(23b =+由向量夹角公式33cos ,||||43a b a b a b +<>==因为[],0,a b π<>∈ 则a 与b 夹角6π． 故答案为6π． 【点睛】本题考查平面向量的数量积及投影公式的运用，考查向量夹角的求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．14【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由其侧面展开图为一个半圆可得r l 2π=π，所以2l r =，所以圆锥的表面积为223a r rl r r πππ=+=∴=15．3-【分析】求出函数的导函数，代入计算()1f '即可；【详解】解：因为()21f x x x=-+，所以()212f x x x '=--，即()2112131f '=-⨯-=-，故函数在点()()1,1f 处的切线的斜率为3-； 故答案为：-316．±【分析】利用分数指数幂的运算，根据平方关系即可求得结果.【详解】由11223x x-+=可得21112229x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭ 即17x x -+= 又因为()()22114x x x x --+=-+ 即()22174x x -=-+，可得()2145x x -=-即1x x --=±所以()()(22117x x x x x x ----=+-=⨯±=±．故答案为±17．(1)0.5m =，平均数为2.4小时中位数为2.4小时(2)4人【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得m ，再利用平均数与中位数的计算公式直接计算；（2）根据分层抽样等比例的性质直接计算.【详解】（1）由频率分布直方图可知()0.20.420.30.10.51m ++++⨯=，解得：0.5m =平均数：()1.250.2 1.750.4 2.250.5 2.750.5 3.250.3 3.750.10.5 2.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=小时；中位数：由0.20.40.50.30.5，0.20.40.50.50.550.5得中位数在[)2,2.5内 设中位数为a ，则()()0.20.40.520.50.5a +⨯+-⨯=，解得 2.4a =，即中位数为2.4小时（2）由已知可得在[)1.5,2时间段内的频率为0.40.50.2⨯=所以在[)1.5,2时间段内应抽出200.24⨯=人.18．（1）42n n a -=；（2）当3n =或4时n S 取得最大值，()max 64n S =.【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，由354a a a =，得41a =，再根据2a ，43a 与3a 成等差数列，求得公比即可.（2）根据（1）得到(7)321(4)21222n nn n n S a a a -++++-===，再利用二次函数的性质求解.【详解】（1）设{}n a 的公比为q由354a a a =，即244a a =得41a =或40a =（舍）.因为2a ，43a 和3a 成等差数列所以2346a a a +=，即231116a q a q a q +=则2610q q --= 解得12q =或13q =-（舍） 又3411a a q ==故18a =. 所以141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. （2）(7)321(4)21222n n n n n S a a a -++++-=== 又()2717222n n y n n -==-+，该二次函数对称轴为72又n N +∈，故当3n =或4时二次函数取得最大值6故当3n =或4时n S 取得最大值6264=，即()max 64n S =.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的运算以及数列最值问题，还考查运算求解的能力，属于基础题.19．(1)证明见解析【分析】（1）由线面垂直性质可得CB PA ⊥，结合CB AB ⊥，由线面垂直的判定可得CB ⊥平面PAB ，由线面垂直的性质可证得结论；（2）根据体积桥P ACE C PAE V V --=，结合棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）PA ⊥平面ABCD ，CB ⊂平面ABCD CB PA ∴⊥；四边形ABCD 为矩形CB AB ∴⊥，又AB PA A =，,AB PA ⊂平面PAB CB ∴⊥平面PAB ，又AE ⊂平面PAB ，CB AE ∴⊥.（2）PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，PA AB ∴⊥又E 为PB 中点 11124PAE PAB SS PA AB ∴==⋅=由（1）知：CB ⊥平面PAB ，11133P ACE C PAE PAE V V S BC --∴==⋅=⨯20．(1)函数()f x 在()(),0,2,-∞+∞单调递增，在()0,2单调递减(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）求导()()222f x x x x x '=-=-，由0f x ，()0f x '<求解；（2）根据（1）的结论，分01a <≤，12a <≤与2a >，讨论求解.(1)解：()()222f x x x x x '=-=-当0x <或2x >时0f x ；当02x <<时()0f x '<；∴函数()f x 在()(),0,2,-∞+∞单调递增，在()0,2单调递减；(2)由（1）知当01a <≤，函数()f x 在区间[],1a a +单调递减∴()()32max 123f x f a a a ==-+ 当12a <≤，函数()f x 在区间[],2a 单调递减，在[]2,1a +单调递增()()()3231141112333f a a a a a +=+-++=-+ ()()2213+-=--f a f a a a①当1a <≤()()1f a f a ≥+，∴()()32max 123f x f a a a ==-+2a <≤时()()1f a f a <+，∴()()3max 14133f x f a a a =+=-+ 当2a >时函数()f x 在区间[],1a a +单调递增∴()()3max 14133f x f a a a =+=-+综上所述，当0a <≤时()32max 123f x a a =-+当>a ()3max 1433f x a a =-+ 21．(1)2(2)()2238x y +-=【分析】（1）将点()2,1P -代入抛物线方程，求得抛物线方程，再根据抛物线的定义即可得出答案；（2）设直线AB 的方程为y kx t =+，()()1122,,,A x y x y 联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得12x x +，12x x 再根据PA PB ⊥，求得,k t 的关系，从而可得直线AB 过定点H ，再根据PC HC ⊥，可得C 点的轨迹为PH 为直径的圆，即可得出答案.【详解】（1）解：∵42p =，∴2p =∴抛物线方程为24x y =，准线方程为1y =- 122p PF =+=； （2）解：由已知直线AB 存在斜率，设直线AB 的方程为：y kx t =+由24x y y kx t⎧=⎨=+⎩，有2440x kx t --=，记()()1122,,,A x y x y 则124x x k += 124x x t =- ∵22121212121211112244222244PA PBy y y y x x k k x x x x ------⋅=⋅=⋅=⋅++++ ()121224116x x x x -++==- ∴52t k =-则直线AB 的方程为：()25y k x =-+，过定点()2,5H∵PC HC ⊥，则C 点的轨迹为PH 为直径的圆，其方程为()2238x y +-=则轨迹方程为()2238x y +-=.22．(1)21:1(0)C x y x =+≥ 22:8cos 120C ρρθ-+=【分析】（1）消去参数t ，结合取值范围得1C 的方程，根据2C 为圆的标准参数方程可得普通方程，再根据极坐标与普通方程的关系式可得极坐标方程；（2）根据极坐标中极径的几何意义求解即可.【详解】（1）在1C 的参数方程中，消去参数t 得21(0)x y x =+≥；所以1C 的普通方程为21(0)x y x =+≥.又2C 是以()4,0为圆心，2为半径的圆，故其普通方程为22(4)4x y -+=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式得2C 的极坐标方程为28cos 120ρρθ-+=.（2）将π6θ=代入28cos 120ρρθ-+=可得2120ρ-+=，即(20ρ-=，解得ρ=||OB =.又1C 的极坐标方程为22cos sin 1ρθρθ=+ 把π6θ=代入1C 的极坐标方程得：23240ρρ--=解得ρ=ρ=故有||||||AB OB OA =-=23．(1)32 (2)34【分析】（1）先在数轴上标根，把数轴分成三区，再打开绝对值，写出分段函数()f x ，求其最小值.（2）先把a b c n ++=两边平方，再利用重要不等式进行放缩求出结果.【详解】（1）由已知121231()12211222x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，，， 当1x ≤-时3()2f x ≥；当11x -<<时3()2f x =；当1x ≥时3()2f x ≥. 所以3()2f x ≥，即min 3()2f x =，即32n =． （2）由（1）知：32a b c ++= 所以2222239()22224a b c a b c ab ac bc ⎛⎫++=+++++== ⎪⎝⎭因为222a b ab +≥，当a b =时取等号；同理222b c bc +≥，当b c =时取等号；222a c ac +≥当a c =时取等号. 所以222222222ab bc ac a b c ++++则()2222()3a b c a b c ++++ 所以22234a b c ++，当且仅当12a b c ===时取等号 所以222a b c ++的最小值为34．。